2025版高考数学一轮复习第九章算法初步统计统计案例第二节随机抽样学案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1其次节随机抽样2024考纲考题考情1．简洁随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样。(2)最常用的简洁随机抽样的方法：抽签法和随机数法。2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。(1)先将总体的N个个体编号。(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当eq\f(N,n)是整数时，取k＝eq\f(N,n)。(3)在第1段用简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)。(4)依据肯定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获得整个样本。3．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样。(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样。1．随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制。2．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的。3．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差eq\f(N,n)的整数倍。4．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比。一、走进教材1．(必修3P100A组T1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体 B．个体C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200。故选A。答案A2．(必修3P64A组T6改编)在一次嬉戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为()A．5,15,25,35,45 B．1,3,5,7,9C．11,22,33,44,50 D．12,15,19,23,28解析采纳系统抽样的等距抽样法，抽样间距为eq\f(50,5)＝10，随机抽取第1个奖品号，设为a(1≤a≤10)，则其他奖品号分别为10＋a,20＋a,30＋a,40＋a，所以可知A正确。答案A3．(必修3P64A组T5改编)一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，则总体中的个体数为()A．40 B．60C．80 D．120解析因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。由B层中每个个体被抽到的概率都为eq\f(1,12)，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是eq\f(1,12)，所以总体中的个体数为10÷eq\f(1,12)＝120。故选D。答案D二、走近高考4．(2024·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异。为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________。解析由题意，不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，故实行分层抽样法。答案分层抽样三、走出误区微提示：①随机数表法的规则不熟出错；②系统抽样中先剔除部分个体，再分段；③分层抽样每层抽取的抽样比是相同的。5．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A．08 B．07C．02 D．01解析从随机数表第1行的第5列和第6列数字起先由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01。故选D。答案D6．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33,34,33 B．25,56,19C．30,40,30 D．30,50,20解析因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25人，56人，19人。故选B。答案B7．某学校为了解高一年级1203名学生对某项教改试验的看法，准备从中抽取一个容量为40的样本，若采纳系统抽样，则分段间隔为________。解析因为1203除以40不是整数，所以需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30。答案30考点一简洁随机抽样【例1】(1)下列抽取样本的方式属于简洁随机抽样的个数为()①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验。在抽样操作时，从中随意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛。A．0 B．1C．2 D．3(2)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，假如从随机数表第8行第7列的数起先向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________。(下面摘取了随机数表第7行至第9行)解析(1)①不是简洁随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的，而不是有限的。②不是简洁随机抽样。因为它是放回抽样。③不是简洁随机抽样。因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取。④不是简洁随机抽样。因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不具有随机性，不是等可能的抽样。故选A。(2)找到第8行第7列的数起先向右读，第一个符合条件的是785；其次个数916>799，舍去；第三个数955>799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175。答案(1)A(2)785,567,199,507,175抽签法与随机数表法的适用状况1．抽签法适用于总体中个体数较少的状况，随机数表法适用于总体中个体数较多的状况。2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀。一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法。【变式训练】(1)下面的抽样方法是简洁随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的看法D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析(1)A，B不是简洁随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简洁随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简洁随机抽样。故选D。(2)设这批米内夹谷x石，则由题意知，eq\f(28,254)＝eq\f(x,1534)，即x＝eq\f(28,254)×1534≈169。故选B。答案(1)D(2)B考点二系统抽样【例2】(1)为了解1000名学生的学习状况，采纳系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50 B．40C．25 D．20(2)将高一(九)班参与社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采纳系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________。解析(1)由系统抽样的定义知，分段间隔为eq\f(1000,40)＝25。故选C。(2)依据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17。答案(1)C(2)17用系统抽样法抽取样本，当eq\f(N,n)不为整数时，取k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))，即先从总体中用简洁随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公允性。【变式训练】某学校采纳系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查。现将800名学生从1到800进行编号。已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是()A．5 B．7C．11 D．13解析把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组。所以第1组抽到的数为39－32＝7。故选B。答案B考点三分层抽样【例3】(1)(2024·河南名校联考)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共须要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数)。(2)某学校三个爱好小组的学生人数分布如下表(每名同学只参与一个小组)(单位：人)。篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参与这三个爱好小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________。解析(1)依据钱的多少按比例出钱，所以丙应当出钱为eq\f(180,560＋350＋180)×100＝eq\f(18000,1090)≈17。(2)由分层抽样得eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30。答案(1)17(2)301．分层抽样中分多少层，如何分层要视详细状况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠。2．进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系(1)eq\f(样本容量n,总体的个体数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)。(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比。【变式训练】(1)某校老年、中年和青年老师的人数见下表，采纳分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，青年老师有320人，则该样本中的老年老师人数为()类别人数老年老师900中年老师1800青年老师1600合计4300A.90 B．100C．180 D．300(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测。若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件。解析(1)设该样本中的老年老师人数为x，由题意及分层抽样的特点得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180。故选C。(2)由题设，抽样比为eq\f(80,4800)＝eq\f(1,60)。设甲设备生产的产品为x件，则eq\f(x,60)＝50，所以x＝3000。故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800。答案(1)C(2)1800eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))1．(协作例2运用)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号依次平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8。现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________。解析由题知分组间隔为eq\f(64,8)＝8，又第1组中抽取的号码为5