浙江专用2024高考数学二轮复习专题四解析几何学案

PAGEPAGE1专题四解析几何[析考情·明重点]小题考情分析大题考情分析常考点1.双曲线的渐近线、离心率及焦点问题(5年4考)2.椭圆的离心率问题，椭圆与直线、双曲线的综合问题(5年3考)直线与圆锥曲线解答题是高考的热点也是重点部分，主要涉及以下两种考法：(1)直线与椭圆有关范围、最值的综合问题；(2)直线与抛物线有关范围、最值的综合问题.偶考点1.圆与不等式的交汇问题2.抛物线的焦点、准线问题第一讲小题考法——直线与圆考点(一)直线的方程主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.[典例感悟][典例](1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2(2)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(3)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_________________________________________________________________.[解析](1)由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(3,2).经检验，当a＝0或a＝－eq\f(3,2)时均有l1∥l2，故选C.(2)易知BC所在直线的方程是x＋y＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，结合图形(图略)知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置，即当a＝0时，易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2))).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴l1与l2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x＝1时，明显不满意题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，∵点P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝eq\f(|－2－k|,\r(1＋k2))，∴k＝0或k＝eq\f(4,3).∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.[答案](1)C(2)B(3)y＝2或4x－3y＋2＝0[方法技巧]解决直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要留意代入检验，解除两条直线重合的状况．(2)求直线方程时应依据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的状况是否符合题意．[演练冲关]1．已知直线l的倾斜角为eq\f(π,4)，直线l1经过点A(3,2)，B(－a,1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：选B由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以eq\f(2－1,3＋a)＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B.2．(2024·浙江名师预料卷)“m＝－1”是“直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋myA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A若直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my则3m＋m(2m－1)＝0，即2m解得m＝0或m＝－1，则“m＝－1”是“直线l1：mx＋(2m－1)y＋1＝0与直线l2：3x＋my3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2A.eq\r(2) B.eq\f(8\r(2),3)C.eq\r(3) D.eq\f(8\r(3),3)解析：选B由l1∥l2，得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1与l2间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq\f(8\r(2),3).考点(二)圆的方程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.[典例感悟][典例](1)已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(2\r(5),3) D.eq\f(4,3)(2)(2024·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是______________．[解析](1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1，))∴△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－2x－eq\f(4\r(3),3)y＋1＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(21),3).(2)抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0相切，所以r＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.[答案](1)B(2)x2＋(y－1)2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法几何法通过探讨圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数[演练冲关]1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的圆的方程是()A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：选D圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标即可．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－0,a－2)×\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b＋0,2)＝\f(\r(3),3)×\f(a＋2,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)，))所以圆(x－2)2＋y2＝4的圆心关于直线y＝eq\f(\r(3),3)x对称的点的坐标为(1，eq\r(3))，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4，故选D.2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是()A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8解析：选A依据题意，直线x－y＋1＝0与x轴的交点坐标为(－1,0)，即圆心为(－1,0)．因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，则圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2，故选A.3．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2b＝0，,b>0，))又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|＝r，|b|2＋3＝r2.综上，解得a＝2，b＝1，r＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4考点(三)直线(圆)与圆的位置关系主要考查直线圆与圆位置关系的推断、依据直线与圆的位置关系解决参数问题或与圆有关的轨迹问题.[典例感悟][典例](1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离(2)(2024·丽水、衢州、湖州高三联考)已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y＋a＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0.若圆C上随意一点P到两直线l1，l2的距离之和为定值2eq\r(5)，则实数a＝________.[解析](1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，即圆M的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M，圆N的圆心距|MN|＝eq\r(2)，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<eq\r(2)<3，故两圆相交．(2)由题可知l1∥l2，若圆C上随意一点到两直线的距离之和为定值2eq\r(5)，则两平行线之间的距离为2eq\r(5)，且位于圆的两侧．因为直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：2x－y＋eq\f(a,2)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,2))),\r(5))＝2eq\r(5)，解得a＝－18或a＝22，当a＝22时，两条直线在圆的同侧，此时圆C上的点到两直线的距离之和大于2eq\r(5)，舍去，故a＝－18.[答案](1)B(2)－18[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)探讨直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的推断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．直线截圆所得弦长的求解方法(1)依据平面几何学问构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l＝2eq\r(r2－d2)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)依据公式：l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB＝()A．eq\f(\r(5),10) B．－eq\f(\r(5),10)C．eq\f(9,10) D．－eq\f(9,10)解析：选D因为圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝eq\f(|2×0－0＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(1,\r(5))，所以弦长|AB|＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(5))))2)＝2eq\r(\f(19,5)).在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(|OA|2＋|OB|2－|AB|2,2|OA|·|OB|)＝eq\f(4＋4－4×\f(19,5),2×2×2)＝－eq\f(9,10).2．(2024·浙江名师预料卷)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上随意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，则|PA|的最小值为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\r(2)－1 D．2－eq\r(2)解析：选D由题意可知，直线PA平行于坐标轴，或与坐标轴重合．不妨设直线PA∥y轴，设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，∴|PA|＝|2－cosα－sinα|＝|2－eq\r(2)sin(α＋45°)|，∴|PA|的最小值为2－eq\r(2).故选D.3．已知动圆C过A(4,0)，B(0，－2)两点，过点M(1，－2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．解析：依题意得，动圆C的半径不小于eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(5)，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时圆心C是线段AB的中点，即点C(2，－1)，又点M的坐标为(1，－2)，且|CM|＝eq\r(2－12＋－1＋22)＝eq\r(2)<eq\r(5)，所以点M位于圆C内，所以当点M为线段EF的中点时，|EF|最小，其最小值为2eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)eq\a\vs4\al([必备知能·自主补缺])(一)主干学问要记牢1．直线方程的五种形式点斜式y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线)斜截式y＝kx＋b(b为直线在y轴上的截距，且斜率为k，不能表示y轴和平行于y轴的直线)两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐标轴和平行于坐标轴的直线)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)一般式Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(推断直线与圆方程联立所得方程组的解的状况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．(二)二级结论要用好1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(2)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C(3)相交⇔A1B2－A2B1≠0；(4)垂直⇔A1A2＋B1B2[针对练1]若直线l1：mx＋y＋8＝0与l2：4x＋(m－5)y＋2m＝0垂直，则m解析：∵l1⊥l2，∴4m＋(m－5)＝0，∴m答案：12．若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则圆过该点的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.[针对练2]过点(1，eq\r(3))且与圆x2＋y2＝4相切的直线l的方程为____________．解析：∵点(1，eq\r(3))在圆x2＋y2＝4上，∴切线方程为x＋eq\r(3)y＝4，即x＋eq\r(3)y－4＝0.答案：x＋eq\r(3)y－4＝0(三)易错易混要明白1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如依据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的状况，干脆设为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1；再如，忽视斜率不存在的状况干脆将过定点P(x0，y0)的直线设为y－y0＝k(x－x0)等．[针对练3]已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x－y＝0；当截距不为0时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，代入P(1,5)，得a＝6，∴直线方程为x＋y－6＝0.答案：5x－y＝0或x＋y－6＝02．探讨两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的探讨导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.假如利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件A1A2＋B1B2[针对练4]已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0相互垂直，则t的值为________．解析：∵l1⊥l2，∴(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0，解得t＝1或t＝－1.答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而干脆代入公式eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，导致错解．[针对练5]两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．解析：把直线6x＋4y＋5＝0化为3x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，故两平行线间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－5－\f(5,2))),\r(32＋22))＝eq\f(15\r(13),26).答案：eq\f(15\r(13),26)4．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的状况导致漏解．[针对练6]已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0相切，则m＝________.解析：由x2＋y2－2x－6y－1＝0，得(x－1)2＋(y－3)2＝11，由x2＋y2－10x－12y＋m＝0，得(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.当两圆外切时，有eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(61－m)＋eq\r(11)，解得m＝25＋10eq\r(11)；当两圆内切时，有eq\r(5－12＋6－32)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(61－m)－\r(11)))，解得m＝25－10eq\r(11).答案：25±10eq\r(11)eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])A组——10＋7提速练一、选择题1．已知直线l：y＝k(x＋eq\r(3))和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0 B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)或0 D.eq\r(3)或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(k2＋－12))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故选D.2．(2024·宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l过圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，当原点到直线l距离最大时，直线l的方程为()A．y＝2 B．x－2y－5＝0C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－5＝0解析：选D设圆心为M，则M(1,2)．当l与OM垂直时，原点到l的距离最大．作出示意图如图，∵kOM＝2，∴l的斜率为－eq\f(1,2).∴直线l的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.3．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A依题意，留意到|AB|＝eq\r(2)＝eq\r(|OA|2＋|OB|2)等价于圆心O到直线l的距离等于eq\f(\r(2),2)，即有eq\f(1,\r(k2＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝eq\r(2)”的充分不必要条件．4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A．2个 B．3个C．4个 D．6个解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－eq\f(1,4)；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－eq\f(5,3).故实数m的取值最多有4个，故选C.5．(2024·温州模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C．1 D.eq\f(4,3)解析：选B设直线AC的倾斜角为β，直线AB的倾斜角为α，即有tanβ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).又tanβ＝eq\f(1,a)，tanα＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))，解得a＝eq\f(3,4).6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－2)2＋(y－2)2＝2解析：选D由题意知，曲线方程为(x－6)2＋(y－6)2＝(3eq\r(2))2，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2)，故最小圆的半径为eq\f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq\r(2)，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.7．(2024·长沙模拟)若直线(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)被圆C：(x－1)2＋y2＝4所截得的弦为MN，则|MN|的最小值是()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：选C直线方程(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)可化为λ(2x＋y＋1)＋(－x＋2y＋2)＝0(λ∈R)，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋1＝0，,－x＋2y＋2＝0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))所以直线恒过圆C：(x－1)2＋y2＝4内的定点P(0，－1)，当直线(2λ－1)x＋(λ＋2)y＋λ＋2＝0(λ∈R)与直线CP垂直时，|MN|最小，此时|MN|＝2eq\r(r2－|CP|2)＝2eq\r(4－\r(2)2)＝2eq\r(2).故选C.8．(2024·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：选B由题可知，圆心C(1,1)，半径r＝2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，计算出弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以直线l的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.9．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为()A．3eq\r(2) B．－3eq\r(2)C．6 D．－6解析：选B两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以C1(－a,0)，C2(0，b)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝eq\r(a2＋b2)＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)，得(a＋b)2≤18，所以－3eq\r(2)≤a＋b≤3eq\r(2)，当且仅当“a＝b”时等号成立．所以a＋b的最小值为－3eq\r(2).10．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6) B．[4,6]C．(4,5) D．(4,5]解析：选A设直线4x－3y＋m＝0与直线4x－3y－2＝0之间的距离为1，则有eq\f(|m＋2|,5)＝1，m＝3或m＝－7.圆心(3，－5)到直线4x－3y＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x－3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11．直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1，1)到直线l的距离的最大值为________．解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y－3)＋x＋2＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3＝0，,x＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))∴直线l恒过定点(－2,3)．不妨记Q(－2,3)，则P(1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ|＝eq\r(－32＋22)＝eq\r(13).答案：(－2,3)eq\r(13)12．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为eq\f(\r(2),2)r＝2，即eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝2，得a2＋b2＝(2eq\r(2)＋1)2＋(1－2eq\r(2))2＝18.答案：1813．已知点M(2,1)及圆x2＋y2＝4，则过M点的圆的切线方程为________，若直线ax－y＋4＝0与该圆相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(3)，则a＝________.解析：若过点M的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x＝2，阅历证满意条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y＝k(x－2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得eq\f(|－2k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，故切线方程为y＝－eq\f(3,4)(x－2)＋1，即3x＋4y－10＝0.综上，过M点的圆的切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.由eq\f(4,\r(a2＋1))＝eq\r(4－3)，得a＝±eq\r(15).答案：x＝2或3x＋4y－10＝0±eq\r(15)14．已知⊙C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋x－2k＝0与⊙C交于A，B两点，当|AB|取最大值时，k＝________；当△ABC的面积最大时，k＝________.解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB为直径，|AB|最大，此时k＝1.设∠ACB＝θ，则S△ABC＝eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(1,2)sinθ，当θ＝90°时，△ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为eq\f(\r(2),2)，由d＝eq\f(|1－k|,\r(k＋12＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝0或k＝6.答案：10或615．已知圆O：x2＋y2＝r2与圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OA⊥OB，则直线OP的斜率是________，r＝________.解析：两圆的方程相减得，4x－4＝0，则点P的横坐标x＝1.易知P为AB的中点，因为OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，所以△OAP为等边三角形，所以∠APO＝60°，因为AB∥x轴，所以∠POC＝60°，所以直线OP的斜率为eq\r(3).设P(1，y1)，则y1＝eq\r(3)，所以P(1，eq\r(3))，代入圆O，解得r＝2.答案：eq\r(3)216．(2024·浦江模拟)设A是直线y＝x－4上一点，P，Q是圆C：x2＋(y－2)2＝17上不同的两点，若圆心C是△APQ的重心．则△APQ面积的最大值为________．解析：如图，∵圆心C是△APQ的重心，∴AC⊥PQ，设C到PQ的距离为x，则PQ＝2eq\r(17－x2)，则A到PQ的距离为3x，∴S△PAQ＝eq\f(1,2)×2eq\r(17－x2)×3x＝3eq\r(17－x2)·x≤3·eq\f(17－x2＋x2,2)＝eq\f(51,2).当且仅当eq\r(17－x2)＝x，即x＝eq\f(\r(34),2)时等号成立．∴△APQ面积的最大值为eq\f(51,2).答案：eq\f(51,2)17．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|eq\r(x－x02＋y－y02)<r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2>0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0<x2＋(y－eq\r(2))2<1}．其中是开集的是________．(请写出全部符合条件的序号)解析：集合{(x，y)|eq\r(x－x02＋y－y02)<r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应当无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④B组——实力小题保分练1．若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则t＝aeq\r(1＋2b2)取得最大值时a的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(3,4)解析：选D因为圆心到直线的距离d＝eq\f(2,\r(4a2＋b2))，则直线被圆截得的弦长L＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(4,4a2＋b2))＝2eq\r(3)，所以4a2＋b2＝4.则t＝aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·(2eq\r(2)a)·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,2\r(2))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)a2＋\r(1＋2b2)2))＝eq\f(1,4\r(2))·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝eq\f(9,4\r(2))，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8a2＝1＋2b2，,4a2＋b2＝4))时等号成立，此时a＝eq\f(3,4)，故选D.2．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，那么k的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，＋∞)C．[eq\r(2)，2eq\r(2)) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：选C当|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|时，O，A，B三点为等腰三角形AOB的三个顶点，其中OA＝OB＝2，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，即eq\f(|k|,\r(2))＝1，解得k＝eq\r(2)；当k>eq\r(2)时，|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))|>eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|，又直线与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，故eq\f(|k|,\r(2))<2，即k<2eq\r(2).综上，k的取值范围为[eq\r(2)，2eq\r(2))．3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离d＝eq\f(|1－\r(3)×0＋3|,\r(12＋－\r(3)2))＝2.当2－r>1，即0<r<1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2－r＝1，即r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当0<2－r<1，即1<r<2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r＝0，即r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0<r－2<1，即2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r－2＝1，即r＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；当r－2>1，即r>3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线x－eq\r(3)y＋3＝0的距离为1可得0<r<3.故p是q的充要条件，故选C.4．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))解析：选B把圆的方程化为标准方程得，(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，依据题意可知，圆心在直线ax－by＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，则ab＝(1－2b)b＝－2b2＋b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)≤eq\f(1,8)，当b＝eq\f(1,4)时，ab有最大值eq\f(1,8)，故ab的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))).5．已知点A(3,0)，若圆C：(x－t)2＋(y－2t＋4)2＝1上存在点P，使|PA|＝2|PO|，其中O为坐标原点，则圆心C的横坐标t的取值范围为________．解析：设点P(x，y)，因为|PA|＝2|PO|，所以eq\r(x－32＋y2)＝2eq\r(x2＋y2)，化简得(x＋1)2＋y2＝4，所以点P在以M(－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P(x，y)在圆C上，所以圆C与圆M有公共点，则1≤|CM|≤3，即1≤eq\r(t＋12＋2t－42)≤3，开方得1≤5t2－14t＋17≤9.不等式5t2－14t＋16≥0的解集为R；由5t2－14t＋8≤0，得eq\f(4,5)≤t≤2.所以圆心C的横坐标t的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，2)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，2))6．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，明显圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上随意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特殊地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]其次讲小题考法——圆锥曲线的方程与性质考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.[典例感悟][典例](1)已知双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满意|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，则△PF1F2的面积为()A．1 B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\f(1,2)(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1[解析](1)在双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1中，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2.不妨设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，又|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，∴|PF1|＝eq\r(5)＋eq\r(3)，|PF2|＝eq\r(5)－eq\r(3).又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×|PF1|×|PF2|＝eq\f(1,2)×(eq\r(5)＋eq\r(3))×(eq\r(5)－eq\r(3))＝1.故选A.(2)由题可知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，而抛物线y2＝－4x的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故选A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．[留意]应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．2．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．[演练冲关]1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4eq\r(5)，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝1解析：选A易知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得eq\f(b,a)＝2，因为双曲线的焦距为4eq\r(5)，所以c＝2eq\r(5).结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.2．(2024·杭二中高三期中)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的直线l：y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)与双曲线C只有一个公共点，则双曲线C的焦距为________，C的离心率为________．解析：双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，因为过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的直线l：y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)与双曲线C只有一个公共点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(3)，,0＝\r(3)c－4\r(3)，))又因为a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝2eq\r(3)，c＝4，所以2c＝8，e＝eq\f(c,a)＝2.答案：823．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.解析：法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq\f(2\r(3),3).设P(x0，y0)，则x0＝±eq\f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq\f(1,3)，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq\f(4,3).法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝eq\f(2,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)，∴|PF|＝eq\f(|AF|,\r(3))＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)考点(二)圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.[典例感悟][典例](1)(2024·浙江名师预料卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x(2)(2024·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．[解析](1)因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).设M(x，y)，由抛物线的性质可得|MF|＝x＋eq\f(p,2)＝5，所以x＝5－eq\f(p,2).因为圆心是MF的中点，所以依据中点坐标公式可得圆心横坐标为eq\f(5,2)，又由已知可得圆的半径也为eq\f(5,2)，故可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，4)).将点M的坐标代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.(2)双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝eq\f(|ba－a×0|,\r(b2＋a2))＝eq\f(ab,c).又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝eq\f(ab,c)，即eq\f(\r(3)b,2)＝eq\f(ab,c)，所以e＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3).[答案](1)C(2)eq\f(2\r(3),3)[方法技巧]1．椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是依据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求eq\f(c,a)的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．(2)用法：①可得eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[演练冲关]1．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(3)或eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(2\r(3),3)或2解析：选D∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)或eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3).由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(2\r(3),3)(舍负)；由eq\f(b,a)＝eq\r(3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D.2．(2024·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满意∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)解析：选A当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满意∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(3),\r(m))≥eq\r(3)，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满意∠AMB＝120°，则eq\f(a,b)≥tan60°＝eq\r(3)，即eq\f(\r(m),\r(3))≥eq\r(3)，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y3＝2y1，y4＝eq\f(1,2)y2，|EG|＝y4－y3＝eq\f(1,2)y2－2y1.因为AB为抛物线y2＝4x的焦点弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝eq\f(1,2)y2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,y2)))＝eq\f(1,2)y2＋eq\f(8,y2)≥2eq\r(\f(1,2)y2×\f(8,y2))＝4，当且仅当eq\f(1,2)y2＝eq\f(8,y2)，即y2＝4时取等号，所以|EG|的最小值为4.答案：4考点(三)圆锥曲线与圆、直线的综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.[典例感悟][典例](1)已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3,0)D．(－2,0)(2)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一条渐近线与圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(5,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,3)或eq\f(25,16) D.eq\f(5,3)或eq\f(5,4)[解析](1)因为直线与圆相切，所以eq\f(|t＋1|,\r(1＋k2))＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故选A.(2)圆x2＋y2－6x－2y＋9＝0的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，则圆心为M(3,1)，半径r＝1.当m<0，n>0时，由mx2＋ny2＝1得eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，则双曲线的焦点在y轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y＝eq\f(a,b)x，即ax－by＝0，则圆心到直线的距离d＝eq\f(|3a－b|,\r(a2＋b2))＝1，即|3a－b|＝c，平方得9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，即8a2－6ab＝0，则b＝eq\f(4,3)a，平方得b2＝eq\f(16,9)a2＝c2－a2，即c2＝eq\f(25,9)a2，则c＝eq\f(5,3)a，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)；当m>0，n<0时，同理可得e＝eq\f(5,4)，故选D.[答案](1)A(2)D[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的留意点(1)留意圆心、半径和平面几何学问的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)留意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C．2 D．3解析：选B取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝eq\f(1,2)·|PF1|＝a＋c，则在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为eq\f(52．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为()A．－9 B．－eq\f(9,2)C．－eq\f(1,9) D．－3解析：选A设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq\f(9b,k2＋9)，故直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(9,k)，所以kOM·k＝－9，即直线OM与直线l的斜率之积为－9.eq\a\vs4\al([必备知能·自主补缺])(一)主干学问要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1渐近线y＝±eq\f(b,a)x(二)二级结论要用好1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)．(1)三角形的三个边长是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，(2)假如△PF1F2中∠F1PF2＝α，则这个三角形的面积S△PF1F2＝c|y0|＝b2taneq\f(α,2).(3)椭圆的离心率e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P).2．双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，△PF1F2为焦点三角形．(1)面积公式S△PF1F2＝c|y0|＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．(2)焦半径若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.3．抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB的4个结论(1)xA·xB＝eq\f(p2,4)；(2)yA·yB＝－p2；(3)|AB|＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)；(4)|AB|＝xA＋xB＋p.4．圆锥曲线的通径(1)椭圆通径长为eq\f(2b2,a)；(2)双曲线通径长为eq\f(2b2,a)；(3)抛物线通径长为2p.5．圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(3)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短．(三)易错易混要明白1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要留意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不行的：其一，肯定值；其二，2a＜|F1F[针对练1]△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．解析：如图，设内切圆的圆心为P，过点P作AC，BC的垂线PD，PF，垂足分别为D，F，则|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，∴|CA|－|CB|＝|AD|－|BF|＝6.依据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)2．解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要留意其焦点的位置．[针对练2]若椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则k的值为________．解析：当焦点在x轴上时，a2＝8＋k，b2＝9，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(k－1,k＋8)＝eq\f(1,4)，解得k＝4.当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝8＋k，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1－k,9)＝eq\f(1,4)，解得k＝－eq\f(5,4).答案：4或－eq\f(5,4)3．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要留意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必需先有“判别式Δ≥0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])A组——10＋7提速练一、选择题1．(2024·浙江高考)双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)解析：选B∵双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\f(\r(13),2)，则它的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(3,2)x B．y＝±eq\f(2,3)xC．y＝±eq\f(9,4)x D．y＝±eq\f(4,9)x解析：选A由双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq\f(\r(13),2)，可得eq\f(c2,a2)＝eq\f(13,4)，∴eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(13,4)，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.3．(2024·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝eq\f(2ab,\r(b2＋a2))＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3).4．(2024·温州适应性测试)已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))解析：选C因为双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e∈(1,2]，所以1<eq\f(c,a)≤2，所以1<eq\f(c2,a2)≤4，又c2＝a2＋b2，所以0<eq\f(b2,a2)≤3，所以eq\f(a2,b2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(a,b)≥eq\f(\r(3),3).因为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝eq\f(a,b)x，设其倾斜角为α，则tanα＝eq\f(a,b)≥eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，故选C.5．(2024·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：选C由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\