河北省部分学校联考2024-2025学年高三年级下册2月开学调研检测数学试题（含答案）

2024・2025学年河北省名校联考高三（下）开学调研数学试卷（2月份）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={-2,-1,0,1,234},集合N={%|%2v4},则CMN=（）

A.{2,3,4}B.{-2,234}C.{3,4}D.{-2,—1,04,2}

2.设复数z=1+3则z2=（）

A.-2iB.2iC.2-2iD.2+2i

3已知向量方=（0,1）b=（1,1）,若五1（石一人初，则入=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知coscr—cos8=psina—sin/?=半，则cos（/?—a）=（）

151717

A•万B.C.-D.--

5.“k=1”是“函数f（x）=M与为奇函数”的（）

1~rKC

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

6.椭圆的：+y2=1的上、下顶点分别为51，椭圆。2：]1与的的一个交点为跖贝

的周长为（）

A.4B.2+2<2C.2+273D.6

7.VxGR,不等式（/一x）e*-ax+e20恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.[f,e]B.[e,2e]C.[0,1]D.[0,e]

8.正方体ZBCD-EFGH的棱长为1,球。为其内切球，作球。的内接正方体为扬的％-EFiGi%,正方

体48传以1的内切球为球作球。1的内接正方体为4282c2%-三/2G2H2,依此法一直继续

下去，从正方体4BCD-EFGH开始，所有这些正方体的表面积之和将趋近于（）

A.1B.9C.9+3V3D.6+2V3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知有四个数从小到大排列为1,2,a,b,这四个数的80%分位数是4,则a+6可能是（）

A.4B.5.5C.6D.7.5

10.己知如图是函数/（尤）=2（：05（3%+0）,（3〉0,—5<0<0）的部分图象，贝！|（）

1/14

A.f(%)的最小正周期为7T

8"(%)在(-1,2)单调递增

C./(x)的图象关于居,0)中心对称

D.fO)的图象向左平移竽个单位长度后为偶函数

11.数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.

现坐标满足方程/-y3=1的点(x,y)的轨迹为曲线C,贝(1()

A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C位于x轴下方的点与原点的最远距离为争

C,曲线。与x轴围成的区域面积大于2

D.曲线C上横坐标和纵坐标均为整数的点至少有五个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从长度为1,3,5,7,9,11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.

13.圆O的半径为3,从中剪出扇形N08围成一个圆锥(无底)，当所得的圆锥的体积最大时，圆心角为.

2

14.已知实数尤0尤2,yi，力满足：耳+y；=4,其+於=9,刀1比2+y^y-i-+x2-1,贝！1(久i-%2)+(yi-

为)2的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中、角/、B,。所对的边分别为a、b,c,且asinA-bsinB=sinC(acosB

(1)求角A的大小；

(2)若4ABC的面积为4/3,求a的最小值.

16.(本小题15分)

如图所示，在圆台。'。中，四边形/BCD为过。'。的圆台截面，△4EF为底面圆。的内接正三角形.

2/14

(1)证明：平面CEF1平面A8C£>；

(2)若AD=2AB=2BC,求平面48尸和平面CE尸夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至

少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关

卡每个挑战成功的概率均为•!，第四关挑战成功的概率为楸且各关挑战成功与否相互独立.

(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；

(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X,求X的分布列以及数学期望.

18.(本小题17分)

已知椭圆C：胃+翕=l(a>b>0)的离心率为苧，且经过4(一2,0),直线/交C于£,月两点，直线

工下斜率之和为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线/过定点.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=1%2+2x—(2x+a)ln久.

(1)当a=0时，求函数/(久)在点(1)(1))处的切线；

(2)若函数/(久)在［1,+8)上为增函数，求实数a的取值范围；

2

(3)证明：-7==+T=^=+-+?^|==+7==+ln2>ln(n+3n+2),(neN*).

Vn2+2n(九一1)2+2(几_1)V2z+2x2V12+2

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合M={—2,—1,0,1,2,3,4},集合N={小2<4}={洌-2cx<2},

则C“N={-2,2,3,4}.

故选：B.

根据补集的定义可解.

本题考查补集的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

由z求得5,利用两数和的平方公式展开即可得出.

【解答】

解：z-1+i,

z2=(1—i)2=—2i.

故选：A.

3.【答案】C

【解析】解：若31(不一人口，

则五•(1—立)=0,BPa-h=Aa2,

向量2=(0,1)，b=(1,1),

则0+1=入，解得入=1.

故选：C.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：对cosa-cos口二：两边平方，(cosa-cos/?)2=弓)2,

即cos2a-2cosacosj6+cos2jff=策)，

对sina—sin0=苧两边平方,(sina-sinjff)2=(苧产

即sin2a—2sinasinS+sin2s=

4/14

①+②得，cos2a+sin2a+cos2/?+sin2s—2(coscrcos/?+sinasin6)=7+-,

43

3+47

即1+1—2(cosacos口+sincrsin/?)=即2—2(cosacosS+sincrsin^)=—,

717

则2-2cos(B-«)=—,解得cos/-«)=—.

1ZZ4

故选：C.

利用三角函数的两角和差公式cos(i4—B)=cosAcosB+sin/sinB,对已知条件进行平方处理，然后通过变

形得到cos(/?-a)的值.

本题考查了三角函数的两角和差公式，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】尚军：若k=1,贝ijf(%)=贝1」/(-%)=；；晨％=贝ij/(一%)=一/(%),故充分性成立，

当函数f(x)=修捺为奇函数，

则“—%)=-/0)，则卜=±1，

则必要性不成立，

故“k=1”是“函数/(X)=左篝为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

根据充分必要条件相关知识可判断.

本题考查充分必要条件相关知识，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：椭圆的：4+必=1的上、下顶点分别为B2,Bi，

则%(0,1),B2(0,-l),

2”2

又椭圆C2:2v+9=1,

则椭圆C2的焦点为Bi(0,l),82(。,—1),

则AMB1B2的周长为箕/1+|M52|+出网=2x2+2=6.

故选：D.

由椭圆的性质，结合椭圆的定义求解即可.

本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆的定义，属基础题.

7.【答案】D

5/14

【解析】解：因为不等式(%2一%)a一以十?之0恒成立，

①当％=0时，aE.R；

②当1>0时，问题等价为a<(x-l)ex+，恒成立，

设g(x)=(%—l)ex+?(%>0),

则d(%)=叱-另

因为y=g'O)在(0,+8)上单调递增,且丁(1)=o,

所以g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以y=0(%)上的最小值为g(l)=C，所以aMe.

③当％V0时，问题等价为a>(%-l]ex+，恒成立，

设h(x)=(%—l)ex+;(%<0),

则h(x)<0,hf(x)=xex—p-<0,

所以y=九(%)在(t8,0)上单调递减，

而X-00时，/l(X)T0,

所以aNO即可，

综上所述：实数。的取值范围为[0,可.

故选：D.

对x的取值分三种情况，通过构造函数，结合导数求其最值，即可求解.

本题考查导数的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：设正方体ZBCD-EFG”的棱长为内,其内切球球O半径为h,则%=合

球。的内接正方体为BiCiDi-％FiGi%的棱长a2=普=影，

其内切球球01半径为2=缓=翡，

球。1的内接正方体为4282c2。2-E2F2G2“2的棱长。3=^=居，

其内切球球。2半径为危=詈=等

以此类推，

可知所有这些正方体的棱长构成一个以的=1为首项，以表为公比的等比数列，

6/14

则它们的表面积构成以6为首项，以g为公比的等比数列，

其前n项和％=4了’=9[1-

当〃趋于正无穷时，S”趋近于9.

故选：B.

根据正方体和其内切球的关系、球和其内接正方体的关系进行推理，得到各正方体棱长成等比数列，从而

表面积也成等比数列，问题转化为等比数列求和的问题.

本题主要考查正方体和其内切球的关系、球和其内接正方体的关系以及等比数列求和，属于中档题.

9.【答案】CD

【解析】解：因为4x80%=3.2,

所以这四个数的80%分位数是6,即6=4,

所以2WaW4,

所以6<a+b<8,

由四个选项可知，a+b可能是6或75

故选：CD.

根据百分位数的定义求解.

本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：由题意可得/'(0)=2cos0=1,即cosw=9,而

可得0=—全

又因为/(三)=0,即2cos(―钏一引=0,

可得一段3-今=-]+2/OT,kGZ,

可得3=/一6k,keZ,又因为。>0-(一？)，且3>0,

Z43

即即0<3<工

4a)32

可得3=

所以/(%)=2cos(|x

/中，函数的最小正周期7=竿=4TT,所以4不正确；

7/14

8中，因为xe(—l,2),可得—号e(—T—氧—兀,0),所以函数在(―1,2)上是单调递增，所以

2正确；

。中，因为黄苧*=是相+—kez,所以居,0)不是函数的对称中心，所以。不正确；

。中，将“X)向左平移整个单位后可得g(x)=2cosgx(x+等)-阳=2cos/,可得g(x)为偶函数，所

D乙DD乙

以。正确.

故选；BD.

由函数过两点(-90)和(-0,1)及9的范围，可得3,0的值，即求出函数的解析式，由函数的性质分别判断

所给命题的真假.

本题考查三角函数的性质的应用及数形结合求函数的解析式，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由方程/-y3=i,将其中的x换为—X,方程不变，可得曲线。关于y轴对称，故/正确；

设P(x,y)(y<0)是曲线。上的点，可得%2-y3=1,即有/=y3+1,

和原点的距离为d=Vx2+y2=J俨+y2+1,

设/«)=严+产+1,t<o,可得尸(t)=3"+2t,当」<一|时,f(t)>0,f(t)递增;

当一|<t<0时，f(t)<0,/(t)递减,

可得f(t)在1=-|处取得极大值，且为最大值可得d的最大值为等，故2正确；

由久2=,3+120,可得y2-1;方程广一y3=],可化为了=一],

可得函数〉为偶函数，当X>0时，为递增函数；

当无<0时，为递减函数，函数夕有最小值-1,

图象经过点(—1,0),(1,0),(0,-1),(-3,2),(3,2),

则曲线C与x轴围成的区域面积小于2x1=2,故C错误，。正确.

故选：ABD.

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将方程中的X换为-久，方程不变，可判断/；由两点的距离公式和函数的导数的运用，求得最大值，可判

断5由曲线C关于y轴对称，可得曲线C与X,>轴的交点，以及函数y的单调性，可判断CD

本题考查曲线与方程的关系，以及曲线的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

12.【答案】京

【解析】解：从长度为1,3,5,7,9,11的六条线段中任取3条，

基本事件总数n=熊=20,

其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有：

(3,5,7),(3,7,9),(3,9,11),(5,7,9),(5,7,11),(5,9,11),(7,9,11),共7个，

则这三条线段能构成一个三角形的概率为P=看.

故答案为：益.

基本事件总数几=优=20,利用列举法求出其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有7个，由

此能求出这三条线段能构成一个三角形的概率.

本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.【答案】守

【解析】解：根据题意，所得的圆锥的底面半径为八则该圆锥的高％

则圆锥的体积V=^r2h=^r2V9-r2=R74(9_/)=y-JyXyX(9-r2)<J[2+2+9rp=

27-371,

当且仅当q=9—/时，即厂=，石时等号成立，

此时圆锥的底面周长为2仃=2<6TT,其圆心角8=等=马要.

故答案为：浮.

根据题意，所得的圆锥的底面半径为r,则圆锥的体积了=(2八=表2卷=,利用基本不等式的性质分

析所得的圆锥的体积最大时，『的值，进而求出此时的圆心角，即可得答案.

本题考查扇形弧长及面积公式，涉及圆锥体积公式及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

14.【答案】13+473

【解析】解：依题可设第1=2coscr,yr=2sina,x2=3cos/?,y2=3sinS，

由久62+y/2=+第2—1，可得6cos(a-S)+1=2coscr+3cosg.

9/14

为求cos(a-/?)的最小值，

设y=a—,贝!J6cosy+1=2cos(0+y)+3cos夕，

从而有|6cosy+1|=|(2cosy+3)cos£—2sinysin/?|=J(2cosy+3)2+(-2siny)21cos(/?+</?)|<

J13+12cosy,

因此(6cosy+l)2<13+12cosy,

解得—?Wcosy<

2

再由Qi-x2)+Qi一、2)2=13—2(/％2+y/2)=13-12cosy<13+4V~3,

可知(%1-%2)2+(yi-丫2)2最大值为13+4^.

故答案为：13+4扃.

直接利用三角换元法结合辅助角公式求解即可

本题考查了利用三角换元求解最值问题，是中档题.

15.【答案】解：(1)因为asinA—bsinB=sinC(acosB—1),

由正弦定理及余弦定理可得。2-X=叱.包孝卫-9

2ac2

整理可得：fo2+c2—a2=be,

由余弦定理可得COsA==I，

b笠2bc-°2

而A€(0,兀)，

可得A=3

(2)S^BC=^besinA=^bc­?=4V~3,可得be=16,

由余弦定理可得层=b2+c2—2bccosA>2bc—be=be=16,当且仅当b=c时取等号，

所以。的最小值为4.

【解析】(1)由正弦定理及余弦定理可得cos力=g,再由角N的范围，可得角/的大小；

(2)由三角形面积公式及余弦定理，基本不等式可得a的最小值.

本题考查正弦定理及余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题.

10/14

16.【答案】解：(1)证明：设力DCiEF=M,连接CM,如图,

因为△AEF为底面圆O的内接正三角形，所以。为正三角形4EF的中心,

贝IJ力M1EF,且“为即中点，

因为四边形/BCD为过。'0的圆台截面，且£、尸关于底面直径对称,

所以CE=CF,则CM1EF,

因为CMCMD=M,所以EF1平面/BCD,

因为EFu平面CEF,所以平面CEF1平面ABCD；

(2)由(1)分析知，。为。为正三角形/跖的中心，所以/。：0M=2：1,

因为4。=。。，所以。O：0M=2：1,故M为。。中点，

-1-1

因为AD=2.AB=2BC,所以C。'==yAD=MO,

24

又因为C07/M。，所以四边形CO'OM为平行四边形，CM1100',

因为。。'仁平面CM,CMu平面CM,所以。。7/平面CE「，

以。为原点建立空间直角坐标系如图，

连接C。，因为力。=24B=28C,所以三角形COD满足C。=。。=CD,为正三角形,

所以NC。。=NBA。=60°,

不妨设4。=4,则4(0,2,0),8(0,1,0，F(73,-1,0),

所以方=(0,-1,0，BF=-2,-73),

11/14

设平面尸法向量为汨=(%y,z),则怯竺=°,即曰+不二，

显.8F=0173%-2y-<3z=0

解得％=(3,后,1),

易知平面CEV法向量通=(0,1,0),

设平面N"和平面C£尸夹角为仇则cos0=|cos</,芯>|=誉，

所以平面歹和平面CEF夹角的余弦值为鸳.

【解析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；

(2)结合题意建立空间直角坐标系，求出平面48月和平面CM的法向量，从而求出它们夹角的余弦值.

本题主要考查面面垂直的判定和利用空间向量求两平面夹角，属于中档题.

17.【答案】解：(1)参与者甲未能参与第四关的概率为:

2121134

P=dq)0(w)3+CXw)(w)2-----1-----=-----

272727,

(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=C0(|)°(1)3=j=,

P(X=1)=4(|)〈)2=5

「3=2)=1c弓2)r2l(,»1=右1

P(X=3)=禽(|)2号)(|)+月(|)3弓)。吁)=芬

P(X=4)=C：(|)3(》/,

X的分布列为：

X01234

22

P1111

2799279

数学期望为E(X)=0x^+lx1+2x1+3x||+4x|^^.

【解析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式求解；

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.

本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

rc73

18.【答案】解：(1)设椭圆半焦距为c,则依题意有，=£=彳，

(a=2

22

所以c=，耳，所以房=a-c=4-3=1,

12/14

所以椭圆C的方程为苧+y2=i.

(2)证明：显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=/c%+zn,

y=kx+m

联立•%2Q消去》得(1+4fc2)%2+8kmx+4m2—4=0,

h+y=1

△=64/c2m2-4(1+4fc2)(4m2—4)>0,即>4k2+］，

设久久1，为)，F(x2,y2),则％i+久2=言翡，打犯=署能•

因为直线4E,/尸斜率之和为1,

yi.yi_1%+m)(%2+2)+(k%2+m)(%1+2)

即k/E+^AF

%l+2M+2(%I+2)(%2+2)

2fc(4m2—4)—8/cm(2/c+m)4m+16k2m

2/C%I%2+(2k+m)(%i+%2)+47n1+4H+1+4H+I+4k2

%112+2(%i+%2)+44m2—4—16km4+16/c2

1+4k2+1+4k2+1+4k2

m—2k

(m—2/c)2

］

因为爪2>4k2.|_,所以m—2k=1,即m=2k+1,

所以直线l的方程为y=kx+2k+1,即y-1=k(x+2),

所以直线/过定点(—2,1).

【解析】(1)依题意求解a,b,。的值，即可求解椭圆方程；

(2)设出直线/的方程为y=+m及点E,尸的坐标，并联立直线/与椭圆C的方程，表示出韦达定理,

再对右E+^F计算化简，得出加与人的关系式，即可证明.

本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题.

1

19.【答案】解：(l)a=0时，/(x)=-x2+2%-2xlnx,

/'(%)=%+2—2(In%+1)=%—21nx,尸(1)=Lf(1)=

所以在点(1/(1))处的切线为y—|=X—1,

整理得：2x—2y+3=0,

故〃久)在点(1/(1)