2018年数学（北师大版选修4-5）练习11不等式的性质活页作业1

活页作业(一)不等式的性质一、选择题1．若2－m与|m|－3异号，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞) B．(－3,3)C．(2,3) D．(－3,2)∪(3，＋∞)解析：法一因为2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)＜0，即(m－2)(|m|－3)＞0.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m－2m－3＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,m－2－m－3＞0.))解得m＞3或0≤m＜2或－3＜m＜0.法二取m＝4符合题意，排除B，C两项；取m＝0可排除A项．答案：D2．给出下列命题：①若a＞b且a，b同号，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若eq\f(1,a)＞1，则0＜a＜1；③a≥b且ac≥bc⇒c≥0；④若a＞b，n∈N＋⇒a2n－1＞b2n－1.其中真命题个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①正确．因为ab＞0，a＞b，所以eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).②显然成立．③错误．因为ac≥bc，即(a－b)c≥0，而a≥b，当a＝b时，c∈R.④正确．因为n∈N＋，2n－1为奇数，条件可放宽，即a＞b，则得a2n－1＞b2n－1.答案：C3．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)＞eq\f(c,b)；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中，正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③解析：由a＞b＞1，c＜0，得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，eq\f(c,a)＞eq\f(c,b).由幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，得ac＜bc.因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)．故①②③均正确．答案：D4．若a＜0，－1＜b＜0，则有()A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a解析：∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1.∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a.∵ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2.故ab＞ab2＞a.答案：D二、填空题5．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是________.①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d；②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)；④如果a＝b，那么a3＝b3.解析：因为幂函数y＝x3在R上是增加的，所以④成立．答案：④6．lg(x2＋1)与lgx(x＞0)的大小关系是________.解析：lg(x2＋1)－lgx＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2＞1.∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＞0，即lg(x2＋1)＞lgx.答案：lg(x2＋1)＞lgx三、解答题7．已知a，b，x，y都是正数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y.求证：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).证明：因为a，b，x，y都是正数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，所以eq\f(x,a)＞eq\f(y,b).所以eq\f(a,x)＜eq\f(b,y).故eq\f(a,x)＋1＜eq\f(b,y)＋1，即0＜eq\f(x＋a,x)＜eq\f(y＋b,y).所以eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).8．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？解：设窗户面积为n，地板面积为m，则eq\f(1,10)≤eq\f(n,m)＜1.设增加的窗户面积和地板面积均为t，由eq\f(n,m)＜1.得m＞n.∴mt＞nt.∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)．∴eq\f(n＋t,m＋t)＞eq\f(n,m)，即采光条件变好了．一、选择题1．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是()A．eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b) B．eq\f(b2＋1,a2＋1)＞eq\f(b2,a2)C．a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b) D．aa＞bb解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知eq\f(2a＋b,a＋2b)＝eq\f(5,4)，eq\f(a,b)＝2.由此可知选项A不成立．由不等式的基本性质，可知当a＞b＞0时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).由此可知选项C不恒成立．取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，则a＞b＞0，但aa＝bb.故选项D不恒成立．答案：B2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0.所以x＞0，z＜0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞z，))可得xy＞xz.答案：C二、填空题3．若0＜x＜eq\f(π,2)，则2x与3sinx的大小关系是否确定？________(选填“是”或“否”)．解析：令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.当cosx＜eq\f(2,3)时，f′(x)＞0；当cosx＝eq\f(2,3)时，f′(x)＝0；当cosx＞eq\f(2,3)时，f′(x)＜0.所以当0＜x＜eq\f(π,2)时，函数f(x)先减后增．而f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝π－3＞0，故函数f(x)的值与0的关系与x取值有关，即2x与3sinx的大小关系不确定．答案：否4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，则lgeq\f(x2,y)的取值范围是________.解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2.而lgeq\f(x2,y)＝2lgx－lgy＝eq\f(1,2)(lgx＋lgy)＋eq\f(3,2)(lgx－lgy)，所以－1≤lgeq\f(x2,y)≤5.答案：[－1,5]三、解答题5．已知m∈R，a＞b＞1，函数f(x)＝eq\f(mx,x－1)，试比较f(a)与f(b)的大小．解：f(a)－f(b)＝eq\f(ma,a－1)－eq\f(mb,b－1)＝eq\f(mb－a,a－1b－1).∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.∴当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，即f(a)＜f(b)；当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．6．