动态电路课件

动态电路

问题的提出？结论：电压表坏了！！t=0时,打开开关K,电压表量程：50V电路中会出现什么现象？为什么？iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V1、2、火车

n=0（静止）n=80Km/h(匀速)n=0（21mv²=021mv²=21mv0²21mv²=0启动停止稳态

静止）K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC

=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→

)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC

=0i=0,uC=UsK动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态第二个稳定状态t1USuct0i又一过渡期第三个稳定状态+–uCUsRCi

(t<t2)K+–uCRCi

(t=

t2)K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL

=

uL=0,i=Us/RK断开瞬间K+–uLUsRLi+–uLUsRLi

(t→

)注意工程实际中的过电压过电流现象电感电路§7—0

动态电路概述动态电路：电路中含有动态元件L、C。动态过程：电路从一种稳态改变到另一种稳态的过渡过程。一.动态过程产生的原因1.电路含有储能元件L、M、C。2.电路换路。（能引起动态元件能量发生改变的一切原因）内因外因二、研究电路动态过程的意义，任务，方法。1、意义有效利用：如日光灯启动、信号变换、处理等。减少危害：感性负载的启动、停止，电容放电等。2、任务定性、定量地分析动态电路中各电量的变化规律。3、分析方法复频域分析法时域分析法经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。重点

稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励三、动态分析的讨论要点

电路的稳态分析用代数方程组描述，电路变量的大小（有效值）不随时间变化。而动态分析需要用

微分方程组描述。因此，所研究的出发点不同。1、初始值——f(0）电路变量变化的初始状态。2、稳态值——f(

）电路变量变化的终止状态。3、时间常数——

电路变量变化的速度。4、变化规律——

解析式或曲线，描述变化的全部过程。§7—1

动态电路的换路定律及初始值、稳态值的计算一.

关于

t=0+与t=0¯一般换路在t=0时刻进行t=0的前一瞬间t=0的后一瞬间0-

0+00－0＋0tf(t)二.

换路定律iucC+-1、t=0+时刻当i()为有限值时i()d

0q

(0+)=q

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。电荷守恒q

(0+)

=q

(0-)+

i(

)d或换路定律一当iC为冲激函数时，即

当u为有限值时

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。2、或iuLL+-L换路定律二当uL为冲激函数时换路定律：动态电路中，由于电路发生换路，动态元件的能量随之发生改变，而能量的变化需要时间，不可能在瞬间完成。？能否举出几个生活中的相似例子。wc

uc能量

状态变量：wL

iL22三.

初始值的计算(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)uC(0-)=8V(3)由0+等效电路求

iC(0+)例题1：+-10ViiC+uC-k10k

40k

求t=0时，打开开关k的iC(0+)。iC(0-)=0iC(0+)解：+-10V+uC-10k

40k

••注意：\iL(0+)=iL(0-)=2A例题2：t=0时闭合开关k,求uL(0+)0+电路+uL-10V1

4

2A

)

)=0(+Lu0(-Lu\解：iL+uL-L10VK1

4

求初始值的步骤：1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)和iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等值电路。(换路)a）当uC(0-)

0，iL(0-)0时，

电容（电感）用电压源（电流源）替代。取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向。

b）当uC(0-)=0，iL(0-)=0时，电容短路，电感开路。

4.由0+电路求所需各变量的0+值。iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS求t=0，闭合开关k时的

iC(0+),uL(0+)0+电路uL+–iCRISRIS+–2、K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解：1.习题7-17-2(D)四.

稳态值的计算

f(0_）、f(

）代表两种不同稳定状态下的值。前者为t=0¯

的稳定值，后者为t=

的稳态值。在直流电源作用下，电感短路，电容开路，但是，取决于两种完全不同的电路结构。例：K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC+–uLiLC+–uCLRISiC••••+–uLiLC+–uCLRiC••••t=0¯t=

§7—2

一阶电路的动态分析一阶电路：一阶微分方程描述的电路。电路中只含有一个动态元件（或等效为一个动态元件）。iC+uC-KR+-us+-uRC1C2C3C=

一阶电路二阶电路一、一阶电路的零输入响应零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由动态元件初始储能作用于电路产生的响应。1、

R—C串联电路已知uC

(0-)=U0求uC和i.解：

iK(t=0)+–uRC+–uCR1）动态物理过程t>0+uC

—

WC

—

ic

t

uc()=0wc()=0i()=0稳态t=0+换路

i

(0+)=U0R=tuCCdd-

tuCdd<0

uC将开始减小uC

(0+)=uC

(0-)=U0动态？t<0k未闭合uC

(0-)=U0i

(0-)=0

uR

(0-)=021cU0

²WC=稳态1）动态物理过程uC=uR=Ri2）建立数学模型经典法：以状态变量uC

为未知量，列写电路换路后的方程。

一阶线性常系数齐次微分方程0ddutuRCCC=+

0t>Ci+–uR+–uCR设RCp+1=0特征根特征方程)0(U0uC=+求解微分方程代入初始条件：A=U000==--eIeRURuRCtRCtC=i（t）

0=-eURCtuc（t）讨论：从初始值U0开始，电容按指数规律放电，到稳态值结束。变化速度取决于RC00==--eIeRURuRCtRCtC=i（t）同理2、

0=-eUuRCtc=)0(uC+

-eRCttU0uC0连续函数I0ti0跃变

的大小反映了电路过渡过程时间的长短电压初始值一定：R

大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R不变）w=0.5Cu2

储能大

大

过渡过程时间的长

小

过渡过程时间的短3、令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t023

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

设：U0=10伏a)

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。*

的计算如电容电压由10V下降到0.368V所需要的时间t=

。b)在uC

曲线上的一点uC

（t0）做切线，tU0uC0•t0t1uC（t0）

ducdtt=t

。=-

0-eURCt0

-tg

=

=

t1-t0=uC

（t0）tg

设uC(0+)=U0能量关系：4、C)根据电路换路后的结构、参数，利用

=RC求得。••R：从动态元件C两端看进去的等效电阻。ReqCN0电容放出能量电阻吸收能量==R1R2R3CR=？？特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0定积分常数AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=00dd>=+tRitiL2、

R—L串联电路K(t=0)闭合2，求iL，uL。

采用经典法：设)(00==-eIeItitLRpt得-iK(t=0)USL+–uLRR1°°°21令

=L/R,称为一阶RL电路时间常数-RI0uLt结论与物理过程自己分析。tLReI

0-=/

0=-eIRLtiL（t）tiLdd=/

0-=-eRIRLtu（t）LI0ti0i

(0+)=i

(0-)=分析iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0时,打开开关K,现象：电压表坏了电压表量程：50ViL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000V

造成V损坏。分析零状态响应：状态变量初始值为零的电路，在独立电源作用下产生的响应采用经典法列方程：t0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0二、一阶电路的零状态响应1、

R—C串联电路

解答形式为：齐次方程的通解齐次方程的特解一阶线性常系数非齐次微分方程与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量变化规律由电路参数和结构决定齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）)1(

-=-=--)(teUeUURCtSRCtSSuc强制分量(稳态)自由分量(暂态)tuc-USuC'uC"US全解：uC

(0+)=A+US=0

A=-US由初始条件uC

(0+)=0确定积分常数

Ati0tuc-USuC'uC"US)1(

-=-=--)(teUeUURCtSRCtSSuc能量关系

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电源提供能量：WS=1、电容储存：WC=2、电阻消耗：WR

=结论：L+RiL=US)1()(teRUtLRSiL--=dd)(teUtiLtLRSuL-==iLK(t=0)US+–uRL+–uLR解：iL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知tuLUStiL002、

R—L串联电路t

03、

正弦电源激励下的零状态响应

iL(0-)=0iK(t=0)L+–uLRuS+-

utuS求：i

(t)

接入相位角R—L串联电路强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)用相量法计算稳态解采用经典法：t0RSUj

L+-I••得：讨论几种情况：1）合闸时

u

=

，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。2）

u=

±/2即

u-

=±/2确定积分常数A由则A=0,无暂态分量

u

=

-/2时波形为最大电流出现在t=T/2时刻。iIm-ImT/2ti0i'三、一阶电路的全响应一.一阶电路的全响应及其两种分解方式uC

(0-)=U0iL

(0-)=I0全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。••iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=01.

全响应=零状态响应+零输入响应+uC

(0-)=U0C+–uCiK(t=0)+–uRR零输入响应零状态响应全响应ucUS0tU0零输入响应零状态响应+=UUuSC0-ett)1(--ettuC

(

))1(--ett+uC

(0+)-ett=U0>USiK(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'=US解答为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0

=RCttSCeUu

A-+=2.

全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)暂态解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由初始值确定Atuc0强制分量(稳态解)uC"-USU0自由分量(暂态解)uC'USU0uc全解设：U0<USU0>USU0<US充电放电U0=US？)(0-+=-eUUUutSSCt0t

一阶电路的数学模型是一阶微分方程,解的一般形式为令t=0+§7—4三要素法分析一阶电路

+时间常数初始值稳态解三要素

)0(

)(tff0t

——三要素公式

三要素法分析一阶电路动态过程的一种实用方法。全时域或ttefftf-+

-+

=])(f-)0()()(0

(t)

(-t)f+)0([+0t

例题1：已知：

t=0时合开K

求换路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.66701A2

1

3F+-uCK1、2、3、例题2：i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：电感无初始储能

t=0时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2ssAAit(s)0.25(A)1.2620<t<0.2st>0.2s问题的提出？设：uc（0¯）=U0t=0闭合开关K电路会出现什么现象？CL+-uciLK二阶电路：用二阶微分方程描述的电路电路中同时含有L和C两个动态元件2、t=0开关闭合，uc（0+）=

uc（0¯）=U0

iL

（0+）=iL

（0¯

）=03、to>

t>0+

uc

iL

wcwL4、t=

touc

（

to）=0,iL

（

to）=I

0电容释放电场能量分析如下：1、t<0uc（0¯）=U0,

iL

（0¯）=0wc

=12cU02wL

=12Li02=0电感储存磁场能量diL

uc=uL=Ldt=U0>0iL

但duc

ic=iL=cdt=I0>0uc

但6、t=

t1uc

（

t1）=-U0

iL

（

t1）=0

••••周而复始循环下去电感释放磁场能量5、t1>

t>toiL

ucwLwC电容储存电场能量tU0-U0

uc

iL

to

t1••§7—5

二阶电路的零输入响应0dddd22=++CCCutuRCtuLCuC(0+)=U0i(0+)=0已知求uC(t),i(t),uL(t).ucRLC+-iuL+-(t=0)二阶动态电路初始状态uC(0-)=U0i(0-)=0uC(0-)=0i(0-)=I0uC(0-)=U0i(0-)=I0—二阶线性常系数齐次微分方程经典法_KVL根的性质不同，响应的变化规律也不同二个不等负实根

2CLR>二个相等负实根

2CLR=二个共轭复根

2CLR<tptpCeeu2121AA+=tpCetu)AA(21+=)sin(tKeutCbwd+=-R=0一对虚根KuC)sin(tbw+=1、

不等的负实根

,

2

21ppCLR>tptpCeeu2121AA+=)(2112120tptpCePePPPUu--=U0tuc设|P2|>|P1|t=0+ic=0,t=ic=0ic>0t=tm时ic

最大tU0uctm2tmuLic0<t<tmi增加,uL>0t>tmi减小,uL

<0t=2tm时uL

最大由uL=0可计算tm由duL

/dt

可确定uL为极小值的时间t能量转换关系0<t<tmuc减小，i增加。t>tmuc减小，i减小.RLC+-RLC+-tU0uctmi0非振荡放电过阻尼虚数实数p1

，p2共轭A1

，A2

也共轭)sin(

bwd+=-tKet式中uL零点：

t=，+，2+...n+t-2-2

0U0uc

ic或)sincos(0000ttUeutCwwdwwwwwd+=-bdww0)sin(cos0ttUeutCwwdwd+=-)sin(

00bwwwd+=-teUtuCt-2-2

0U0uct-2-2

0U0uc

icic零点：t=0，

，2...n，为uc极值点

ic极值点为uL零点。

2、

2CLR<特征根为一对共轭复根uC的解答形式：)(212121tjtjttptpCeAeAeeAeAuwwd--+=+=

衰减因子

固有振荡角频率（阻尼振荡角频率）

0无阻尼振荡角频率uL零点：

t=，+，2+...n+t-2-2

0U0uc

ic能量转换关系RLC+-0<t<

uC减小，i增大-<t<

RLC+-|uC

|增大，i减小欠阻尼衰减振荡放电<t<-uC减小，i减小RLC+-uCt-2-2

0U0uc

ic解出3、

相等的负实根

,

2

21ppCLR=由初始条件临界阻尼非振荡放电4、R=0

无阻尼等幅振荡放电LC+-tuciL零输入响应小结：tptpceAeAu2121+=))cossin()sin(

tBtAetAeuttcwwbwdd+=+=--)(21

tAAeutc+=-d1、2、衰减振荡放电欠阻尼

2

CLR<3、4、R=0无阻尼，等幅振荡CtUu+=)2sin(00pw定积分常数由*确

电路所示如图

t=0时打开开关。求:电容电压uC

,并画波形图。解：例题15ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uc+

-iL5Ω20Ω10Ω10Ω50V+

-iL+uC-0-电路20Ω10Ω10Ω+-25V5AiC0+电路电路如图，t=0时打开开关。求uc,并画出其变化曲线。解一：经典法（1）

uc(0－)=25V

iL(0－)=5A例1.5ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uc+

-iL（2）开关打开为RLC串联电路，方程为：20Ω10Ω10Ω+-uCLCt

>0电路方法2:

2

CLR<特征方程为：50P2+2500P+106=0(4)

由uC

t035825§7—6

二阶电路的零状态响应和全响应求所示电路中电流

i(t)的零状态响应。

i1=i

-

0.5u1=i

-0.52(2-i)=2i-2经典法一.

零状态响应uc(0-)=0ViL(0-)=0A

2-ii1+u1-

0.5

u12W1/6F1Hk2W2W2A

i+-uc1、列方程整理得：二阶线性常系数非齐次常微分方程2、求通解i

P1=-2，P2=-6解答形式为：P2+8P+12=03、求特解i"u1=2Vi()=1