西南名校联盟2025届高三下学期“3 3 3”高考备考诊断性联考（二）数学试卷 含解析

西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（二）数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，即可求其共轭复数.详解】由可得：，解得，用复数除法得：，则，故选：C.2.已知，分别为两个实根，则（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理结合两角和正切公式计算即可.【详解】因为，分别为两个实根，则，则.故选：C.3.设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点.若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示.【详解】因为，所以为中点，即，又因为点E为边上的中点，所以，由，因为，，所以，故选：D.4.某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（）A.42种 B.36种 C.6种 D.12种【答案】B【解析】【分析】利用分类加法原理来求解即可.【详解】第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有：种；第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有：种；根据分类加法原理可得，共有种，故选：B.5.已知“p：”是“q：与表示的曲线有两个不同交点”的（）条件.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先分析，联立方程组整理得到一元二次方程，且由曲线方程得到方程的解范围，由二次函数分析二次方程在某区间上存在两个解，建立不等式组，从而求出的取值范围.由对应区间的关系得到结论.【详解】∵，∴，联立方程组得，即方程在时有两个不同的解，设函数，则，即，解得，∴是的必要不充分条件.故选：A.6.四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解.【详解】因为四棱锥底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为.连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，在中，，由得，，整理得，.设内切球的半径为，中，，，所以，所以四棱锥表面积为，由，即，∴，则的长为.故选：B.7.莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现.就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图：下列关于莫比乌斯环说法正确的是（）A.一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处B.如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分C.如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cmD.一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面【答案】C【解析】【分析】解法一：根据题意，想想小虫行进的情况，可以判断AD；设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，想想其前进行走情况，可以推测出剪开之后的形状，进而判定BC.解法二：可以用平面图示法理解转化分析.【详解】解法一对于选项A：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面走30 cm，则会发现小虫来到“另一面”，需要在继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故A错误;对于选项B：设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，走完30cm到达了背面的白线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原点，因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分，把莫比乌斯带沿中线剪开后不会分成两个独立部分，而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故B错误;对于选项C：沿中线剪开后得到的环带长是60 cm，其边缘周长是60cm2＝120 cm，故C正确;对于选项D：实际走一走，可以看出小虫在不跨越边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故D错误.故选：C.解法二如图1标记原纸带的正面的四个角,起始端线和终止端线的中点分别记做,其背面的相应点依次记做小写的字母表示相应的线段.图2是第一次扭转180°粘接后的莫比乌斯环的两面沿剪断后展开图，图3是从中间白线剪开后的纸环沿剪断后的展开图，从图可以看出，小虫在不跨越它的边缘的情况下沿表面至少要走60cm才能回到原处，此时也正好爬遍整个曲面；沿中间线剪开后的纸带是如图3所示的矩形纸带扭转2个180°重新粘接的环，其周长为矩形的上下两边线的和，总长为120cm；故选：C.故选：C.8.函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调，且满足，而，,即的一个对称中心为，故；而，故在区间上单调，设函数的最小正周期为T，则；函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，故，即，解得，结合，可得的取值范围为，故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数B.样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差C.若随机变量服从二项分布，则D.若随机变量服从正态分布，且，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可；C选项由二项分布得到结合对应的方差公式即可得到；D选项由正态分布的对称性得到，即可求出.【详解】A选项：设，则，所以A选项错误；B选项：这组数据的平均数，所以方差，标准差，∴，即标准差大于方差，B选项正确；C选项：由可知，所以，C选项正确；D选项：由可知，∴由对称性可得，∴，D选项正确.故选：BCD.10.函数满足，且，，下列说法正确的有（）A.为的一个周期 B.为奇函数C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D.【详解】对于A，当有意义，且，时，则，则，.当时，(无意义)，可得,所以,所以.当时，,可得,综上，总有.故为的一个周期，故A正确；对于B，，即，函数关于点对称.又由为的一个周期，所以，所以，故为奇函数，故B正确；对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义.但已知，可得有意义，故有意义，,所以分母不为零，有意义，从而,即,所以，故C正确；对于D，.因为，，，满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误.故选：ABC.11.设函数，则（）A.若，则为的唯一的极小值点B.函数不一定有最小值C.若方程恰有个实数根，则D.若对恒成立，则【答案】AC【解析】【分析】分析的单调性，即可得到A正确；证明总有最小值，即可得到B错误；利用方程的零点分布关于原点对称，即可得到C正确；给出，作为反例，即可得到D错误.【详解】对于A，当时，，根据的单调性，知在上单调递减，在上单调递增.所以为的唯一的极小值点，故A正确；对于B，若，则，而，故有最小值.若，则，且，故有最小值.所以总有最小值，故B错误；对于C，由于是偶函数，故如果是方程的根，则也一定是方程的根.这表明该方程的全部根是关于原点对称的，而该方程恰有个根，数量为奇数，这表明一定是方程的根，即，所以，故C正确；对于D，若，，则对有，.所以恒成立，但此时，故D错误.故选：AC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线的左、右焦点分别为，.点A，点B是双曲线上两点，点C是y轴上一点，O为坐标原点.若四边形AOBC是正方形，且，则双曲线的离心率e为________.【答案】【解析】【分析】做出图形并利用正方形性质得出在双曲线上，联立方程组解得离心率.【详解】如下图所示：知，又因为四边形为正方形，可得，且因此可得，设其离心率为，知；代入双曲线的方程可得，又，联立可得，解得或（舍）；所以.故答案：13.数列的前n项和为，满足，，则__________.【答案】10100【解析】【分析】取得到，当时，由建立等式，然后化简得到的关系，从而得到数列的通项公式，即可求出.【详解】当时，，解得，当时，，即，则，即，∴或，当时，，则与矛盾，∴舍去，∴，即数列是首项，公差的等差数列，即，∴数列的前项和，即.故答案为：10111.14.，，则的取值为________.【答案】1【解析】【分析】由于，即则与在同一区间内保持同号，根据函数单调性，分类进行判断即可.【详解】根据题意，，定义域为，当时，，则，令，则，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，又，则时，，即，与题意不符；当时，，根据对数函数的图像特点，易知，当时，，即，与题意不符；当时，则且，或且，又在上单调递增，，所以时，；时，；所以时，，时，；又为增函数，所以.故答案为：1.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有.（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，，求△ABC的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦函数公式化简已知可得，由为三角形内角，结合范围，即可求得的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长．【小问1详解】因为.由正弦定理得，计算得，化简得而，所以又因为，则，，所以，得；【小问2详解】∵的面积为，∴，由（1）知，∴，由余弦定理得：，∴，解得，∴的周长为.16.已知函数.（1）当时，求证：最大值小于；（2）若有两个零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用指数不等式和对数不等式，即可放缩法证明；（2）利用同构思想变形为，从而构造函数，通过求导证明其单调性，即可转化为新的方程，再用分离参变量思想，构造函数求导分析，通过数形结合即可求解.【小问1详解】当时，，先证明：，令，其中，则，当时，，所以在上单调递增，即，则不等式在上恒成立，再证明：，令，其中，则，则当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，即，则不等式在上恒成立，所以有，证毕；【小问2详解】由得：，构造函数，由，因为，所以，即函数在上单调递增，由，根据单调性可得：再构造，则，则当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，即当时，由，可知，当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，根据数形结合可得：.17.中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）当最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆性质列出关于的方程组，联立求解即可；（2）由的最大值小于5，所以椭圆方程为，设，则过点P作椭圆的切线方程为，分别求出、的坐标，即可表示三角形的面积，再结合基本不等式即可求出.【小问1详解】因为动点在椭圆上，所以，又，所以，又，所以，即，又，联立可得，解得或，又，解得或，所以椭圆的标准方程为或.【小问2详解】根据椭圆的几何性质：，又，所以椭圆的标准方程为，设切点，①当且时，椭圆的方程可化为，求导得，所以切线斜率为，切线方程为，整理得，又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为；②当且时，椭圆的方程可化为，求导得，所以切线斜率为，切线方程为，整理得，又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为；③当且时，过点P作椭圆的切线方程为，综上所述，过椭圆上一点P作椭圆的切线方程为，令，可得，即，同理可得，所以，又，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.18.一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，.（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率；（2）求证：，均为等比数列；（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？【答案】（1）0.5；（2）证明见解析；（3）第2分钟.【解析】【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解.（2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.（3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值.【小问1详解】在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，则，，设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5.【小问2详解】依题意，，，当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况：上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为；上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，由全概率公式，得，则，而，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，满足上式也满足题意，则，老鼠第分钟0号房间包含3种情况：上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为，上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为，由全概率公式，得，即，则，即，而，因此数列是首为，公比为的等比数列，，而满足上式也满足题意，则，又，所以为等比数列.【小问3详解】由（2）知，显然不是其最大值，设，当为奇数时，，当且仅当时取等号，最大值为0；当为偶数且时，，当时，，最大值为，则的最大值为，所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大.19.如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面.过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上