不等式与基本不等式（原题版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题02不等式与基本不等式

目录

题型一：不等式性质及解法

易错点01忽略不等式性质成立的前提条件

易错点02解分式不等式时变形不等价

易错点03一元二次型不等式恒成立问题混淆范围

易错点04解含参不等式讨论不全

易错点05多变量不等式问题混淆主元

题型二基本不等式

易错点06基本不等式求最值忽略前提条件

题型一：不等式性质及解法

易错点01：忽略不等式性质成立的前提条件

易错陷阱与避错攻略

典例2.（24-25高三上•上海•期中）若。、b、ceR,a>b,则下列不等式中成立的是（）

a2>b2

C.-->——a|c|>b\c\

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性质和反例即可判断.

【详解】对于AB：取=满足。>6,显然!<1,/不成立，错误;

对于C：因为百所以,正确;

对于D：取c=0,显然力|>小|不成立，错误,

故选：C

【易错剖析】

在应用不等式性质进行判断时，若忽略。力是否同号，容易错选若忽略不一定同大于零，容易错选

B,由于忽略c是否为零，容易错选D

【避错攻略】

1不等式的性质及推论

性质1：不等式的传递性：设a,b,c均为实数，如果且6>c,那么a>c

性质2：不等式的加法性质：设a,b,c均为实数，如果a>b,那么a+c>b+c

性质3：不等式的乘法性质：设a,6,c均为实数，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推论1.如果a>b,c>4/那么a+c>6+d

推论2.如果。>6,c<d那么a-c>6-d

推论3.如果a>6>0,c>d>0那么

推论4.如果a>6>0,那么!〈工

ab

推论5.如果。>b>0,d>c>0那么@>2

cd

推论6.如果a>b>0,那么a">6"（"是正自然数）

推论7.如果a>6>0,那么a">6"（"是正自然数）

【提醒】（1）不等式的性质3中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；

（2）推论1逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.

（3）推论3、推论5、推论6、推论7中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得同

向不等式，并无相除式.

2判断不等关系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性质进行推理判断.；

（2）比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、

判断商式与1的大小、下结论.

（3）构造函数利用函数的单调性；

（4）特殊值排除法.

易错提醒：（1）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前

提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.

（2）不等式性质包括“充分条件（或者是必要条件）”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础.

举一反三

1.（24-25高三上•河北沧州•期中）已知。>6>c,则下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac1>be2

工〉工

C.D.a（a-c）>b（b-c）

a-ca-c

2.（2024•福建泉州一模）若实数Q>6〉0,则下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3”<0.36B.\ga>\gb---<----D.y[a>4b

。一1b-1

3.（24-25高三上•山东泰安・期中）（多选）已知Q,b,xeR,则下列命题正确的是（）

A.若一〈:，贝B.若a>b,则*>加”

ab

C.右Q>6>0,贝I-->—D.若ln@>0,贝！Ja>b

a+\ab

叁易错题通关

1.（24-25高三上•上海•期中）已知。<6<0,则（）

A.—<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b1

bab

2.（23-24高三上•四川泸州•阶段练习）若a>b>0,c<09则下列结论正确的是（）

A.ac>beB.a+c<b+c

117

C.—<—D.a-c<b-c

ab

3.（24-25高三上•山东临沂•期中）已知非零实数Q,b满足。>6,贝（！（）

A.—<—B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

4.（24-25高三上•广东•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.若。>6>0,贝!B.若贝!

ab

C.。十一妾2D.〃222Q-3

a

5.（24-25高三上•重庆•期中）已知。>b,c<d<0f贝!J（）

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd2

6.（24-25高三上•山东聊城期中）已知。也C£R,G>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.a1>b2B.，+*>2C.[Jac1>be1

7.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）下列命题中，真命题的是（）

A.若。<6,则一>；

ab

B.若a>b,贝U/AQ/J〉/

C.若a>b>c>。,贝I]2>什

bb+c

D.若0<Q<6<C,贝！Jlog,。<log,b

8.（24-25高三上•江苏无锡•期中）（多选）下列说法中正确的有（）

A.若。>b>0,c<d<0,贝ijacvbd

B.若a>b>0,c<0,贝!J—>—

ab

C.若-1<Z?<O,则2<〃一b<3

D.若。<0,ab>a2>Pl!|b2>a2

9.（24-25高三上•河南安阳•期中）（多选）已知。，4Gd为实数，则下列结论正确的有（）

A.若a>b,则小,33

B.若a>b,c>d,贝！]Q+c>b+d

C.若e">eJ则L：

ab

D.若Ina〉In/?,Inc>Ind,贝（Jac>bd

10.（24-25高三上•山东烟台・期中）（多选）已知。<0,b>0且。+6>0,则（）

A.a2<b2B.a2+ab>0C.-+y<0D.（—l）<0

ab

易错点02：解分式不等式时转化不等价

12易错陷阱与避错攻略

2—x

典例（24-25甘肃兰州•期中）不等式一21的解为（）

X

A.{x|0<x<l}B.{%|x<0或

C.{x|0<x<l}D.{x|x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解.

2—x2—x2—2xfx（l—x）0

【详解】由——>1,得-----1>0,即----->0,因此,解得

xxx[xwnU

所以原不等式的解集为{xl0<x<l）.

故选：A

【易错剖析】

本题求解时容易忽略XW1这一条件而造成化简不等价而出错.

【避错攻略】

1.基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式.在此

过程中，变形的等价性尤为重要.

2.基本方法：

①通过移项，将分式不等式右边化为零；

②左边进行通分，化为形如42的形式;

g（x）

③常见同解变形:

〃x)

⑴0=/(x>g(x)>0；

g(x)

〃x)

(2)0=〃x>g(x)<0；

g(x)

7(xbg(x)Z0

(3)g(>x0)=[

g(无)wo

/(x)-g(x)<0

(4)

g(x/I&GN。

易错提醒：求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、

两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.

举一反三

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）函数的定义域为（)

A.(1,4)B.[1,4)

C.（-℃,l）U（4,+co）D.（-oo,l]u（4,+oo）

2.（24-25高一上•上海•期中）“x>l”是“2<1”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•安徽•阶段练习）已知集合={x|x2-x-2<o},则（）

A.{x|-l<x<5}B.{x|l<x<5}

C.{x|-l<x<21D.{x|l<x<2}

易错题通关

1.（24-25高三上•江苏宿迁•期中）若集合N={-l,0,l,2},5=jx|^->o1,则工口3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1）

2.（24-25高三上•重庆•阶段练习）“x>l”是“二<1”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

3.（24-25高三上•河南•阶段练习）不等式—<0的解集为（）

x-2x+3

A.RB.{x|x>l}C.{x|x<l}D.{x|x<-l}

4.（2024•陕西西安•三模）若集合4=卜也<2},5={-3,-1,0,1,3）,则（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3）

1—2x

5.（24-25高三上•山东德州•期中）已知。：xMa,4：--<0,若。是4的充分不必要条件，则。的取

x+2

值范围是（）

A.u<—2B.a4—2

1,1

C.。<—D.aS—

22

3

6.（24-25高三上•河南•阶段练习）使不等式9一41成立的一个必要不充分条件是（）

2-x

A.U（2,+co）B.（-8,-1]U（2,+8）

C.（-<»,-l）u[2,+oo）D.（-8,-1][[2,+oo）

7.（24-25高三上•上海•期中）不等式半葭0的解集为______.

x-1

Y—6

8.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知不等式二^>1的解集为A,若5e力，则实数。的取值范围为—

ax-1

SY+3

9.（24-25高三上•上海浦东新•期中）不等式的解集为_________.

x-1

易错点03：解含参不等式讨论不全面出错

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25山东高三联考）（多选）对于给定实数。，关于x的一元二次不等式（G-1）（X+1）<0的解集可

能是（）

A.l<x<—j>B.{x|xw—1}C.|-<x<—11D.R

【答案】AB

【详解】由（"-l）（x+l）<0,分类讨论。如下：

当。>0时，—1<x<—；

a

当。=0时，x>-1；

当时，x<，或x>-l；

a

当。=-1时，xw-1；

当a<-l时，x<-l或x>L

a

故选：AB.

【易错剖析】

本题在求解过程中对参数a的分类讨论容易不全面而漏解失分.

【避错攻略】

1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

项目J>0J=0J<0

v

4/V

y=ax2-\~bx~\~C(Q>0)

的图象

XNQ/X2XO\Xi=X2X

有两个相等的实数根

QN+&+。=0(6Z>0)有两个不相等的实数没有

b

的根根修，X2（Xi<X2）X\=乃=实数根

2a

ax2-\~bx~\-c>0(tz>0)

{x\x<Xi,或介历}R

的解集l2al

QN+&+C<0(6Z>0)

{%Xi<X<%2}00

的解集

2解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

第一步（化标准）：通过对不等式变形，使不等式右侧为0,二次项系数为正；

第二步（判别式）：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式;

第三步（求实根）：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

第四步（画图象）：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象;

第五步（写解集）：根据图象写出不等式的解集.

3解含参数的一元二次不等式的一般步骤

【注意】

求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式/,用求根公式计算.

易错提醒：含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，在求解过程紧抓三点就可以

有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的

大小关系是否需要讨论.

举一反三

1.（24-25高三上•安徽•阶段练习）设实数加，〃满足机+〃>0,则关于x的不等式（x-%）（x+"）>0的解集为

（）

A.{xlx<-n^x>m}B.{x\x<-m^x>n}

C.{x\-n<x<m}D.{x\-m<x<n}

2.（23-24江苏徐州•阶段练习）（多选）对于给定的实数。，关于实数x的一元二次不等式。（x-«»（x+l）>0

的解集可能为（）

A.0B.{-1}

C.（a,-l）D.（-°o,-l）U（a,+°o）

3.（24-25高三上•江苏盐城•开学考试）（多选）已知集合/={祖<」<4},8=卜丫一（a+l）x+a<0},则下

列命题中正确的是（）

A.若{U8=B,则〃之4

B.若=贝!

C.若Bp|Z=3,贝

D.若4r）5=0,贝lja<l

>易错题通关.

1.（24-25高三上,湖北,阶段练习）已知集合4=—={x|——（2Q+l）x++1）W0},若

“XW/”是。£8”的必要不充分条件，则实数Q的取值范围是（）

A.〃4-3或B.〃4-3或〃>1

C.1<一3或D.1<-3或

2.（24-25高三上・北京•阶段练习）已知/={x£R|%2+2加x+加2一4<。},5={xGN||x|<1）,且=

那么实数机的取值范围是（）

A.（-14）B.C.（-2,2）D.[—2,2]

3.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）（多选）己知“eR,关于x的一元二次不等式（◎-2）（x+2）>0的解集可

能是（）

4.（23-24高三上•河北邢台・阶段练习）（多选）关于x的不等式（"-1）（》+20-2）>0的解集中恰有4个整

数，则。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

5.（24-25高三上•河南安阳•期中）已知不等式ar+bx+oQ的解集为{N-1<x<2}.若不存在整数x满足不

等式（“履+bk2+2c）（2c-6x）<0,则实数人的取值范围是.

6.（2024高三・全国・专题练习）解关于x的不等式：ax2-（3a+l）x+3<0（其中0>0）.

7.（24-25高三上・甘肃白银•阶段练习）已知关于x的一元二次不等式办?+x+6>0的解集为

（一co,-2）u（l,+oo）

（1）求。和6的值

（2）求不等式苏-（2a+b+2）cx+c2-l<0的解集

易错点04：二次型不等式恒成立问题混淆范围

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东临沂•期中）“。<3”是“不等式/一方+2N0在（0,+功上恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分离参数得到。在（o,+“）上恒成立，由基本不等式求出x+2“百，得到“w2VL根据

XX

a<3幺aM2血,aV2&na<3求出答案.

【详解】不等式/一办+220在（0,+动上恒成立，

2

即X+—在（0,+8）上恒成立，

X

其中》+工22、11=2也，当且仅当x=2即》=后时，等号成立，

X\XX

故aW2近，

由于“<33/42逝，a<272=>A<3>

故。<3是不等式/一狈+2z0在（。,+8）上恒成立的必要不充分条件.

故选：B

【易错剖析】

本题求解时容易忽略在（0,+。）上这一条件而误认为在R上恒成立而而出错.

【避错攻略】

对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴

上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在无轴下方，解决一元二次不等式中的恒

成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题.

1、在R上的恒成立问题

a>0[a=b=Q,

①二次型不等式以2+乐+°>0在氏上恒成立或者解集为k时，满足〈或〈

A<0[c>0

a>0fa=Z）=0,

②二次型不等式以2+区+0之0在尺上恒成立或者解集为氏时，满足〈或〈

A<0[c>0

a<0fa=Z)=0,

③二次型不等式a^+bx+cvO在R上恒成立或者解集为R时，满足〈、八或八

A<0[c<0

a<0[a=Z)=0,

④二次型不等式a^+bx+cwo在R上恒成立或者解集为R时，满足〈或〈

A<0[c<0

2、在给定区间上的恒成立问题

方法一：若/(x)〉0在集合/中恒成立，即集合z是不等式/(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由

子集的含义求解参数的值(或范围)；

方法二：转化为函数值域问题，即已知函数/(x)的值域为[机,〃],

则/(x)>a恒成立=/(x)min>a,即小»a；

/(x)<a恒成立=/(x/ax<。，即〃Wa.

易错提醒：|求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立(有

解)的区间.

举一反三

1.(24・25高三上•辽宁•阶段练习)已知命题p：VXGR,6tx2-ax+l>0;q：3XGR,一―%+口工。.均为真

命题，则。的取值范围是()

A.(-<»,4)B.[0,4)C.10。D.0,1

2.(24-25高三上•河北石家庄•阶段练习)若函数/(x)=lg(加/-蛆+2)的定义域为R,则实数仅取值范围

是()

A.[0,8)B.(8,+(»)C.(0,8)D.(-℃,0)u(8,+(»)

3.(24-25高三上•山西•阶段练习)若不等式对任意的xeR恒成立，则4a+6的最小值为

()

A.2-72B.4C.5D.4亚

能易错题通关.

1.(24-25高三上・安徽合肥•阶段练习)命题“V无eR,使得2/+(a-l)x+g>0”成立的一个充分不必要条

件可以是()

A.(0,1)B.(—3,+oo)C.(-L3)D.(—3,1)

2.(24-25高三上・北京•阶段练习)已知命题?：3x0eR,x：+2%+aV0是假命题，则实数。的取值范围是

A.（-oo,l]B.[l,+℃）C.（-84）D.（l,+°o）

3.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）已知关于x的不等式办2-2尤+3a<0在（0,2]上有解，则实数a的取

值范围是（）

A.1一B.一0°，9C.（-℃,0]D.（-<»,0）

4.（24-25高三上•河南•阶段练习）若命题“上仁&62加-依':+1<0”是假命题，则实数上的取值范围是（）

5.（24-25高三上•内蒙古赤峰•阶段练习）（多选）已知命题p:VxeR,x2+（2a+l）x+4>0,则命题。成立的

一个充分条件可以是（）

A.\Q卜3<6Z<—?

B.

53

C.a——<a<—

22

6.（24-25高三上•湖南•期中）已知命题：“VXERMY一"一2<0”为真命题，则。的取值范围是.

7.（24-25高三上•黑龙江绥化•期中）命题3,2],-一2、-2〃20”为假命题,则实数。的范围为.

8.（24-25高三上・辽宁・期中）已知关于*的不等式（x-a）[x2-（2a+l）x+24+2]N0在xe[0,+功上恒成立,

则实数。的取值集合为;

9.（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（X）=X2+X+6,若存在e[0,2],使得/'（x。）2/一。成立，则

实数a的取值范围是—.

10.（24-25高三上•江苏泰州•期中）已知函数/（x）=x-2,g（x）=mx2-2mx+l（meR,m^0）.

⑴若对任意无eR,不等式g（x）>〃x）恒成立，求加的取值范围；

（2）若对任意再e[1,2],存在％e[3,4],使得g（xj=f（%）,求机的取值范围.

易错点05：多变量不等式中混淆主元出错

易错陷阱与避错攻略

典例(24-25齐鲁名校共同体联考)已知函数/(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，对于任意玉，x2e[-l,

1],&//总有/(*)一虫>0且/(1)=1.若对于任意ae[-1,1],存在xe[-1,1],使/(x)Wd-2a”l

.X1-x2

成立，则实数，的取值范围是()

A.—B.t4-1—y/3或+1

C.怎0或，》2D.后2或《-2或％=0

【解析】解：・・・/(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，

.•.当西、x2e[-l,1],且X|+%H0时，有““J—"[>>0,

玉-x2

.•・函数〃x)在[-1,1]上单调递增.

(1)=1,

“X)的最小值为/(-1)=-/(1)=-1,最大值为/(1)=1,

若对于任意1],存在无e[-l,1],使-2af-l成立，

即产-2加-珍-1对所有ae[-1,1]恒成立，，产-2af20,

g(l)=〃-2例f22或《0

设g(a)=t2~2at=-2ta+12,则满足

g(-l)=〃+2/》0或-2

:722或怎-2或f=0,

故选：D.

【易错剖析】

因为题设条件中含有两个变量的取值范围，易分不清主元而出错，此时可依次设定主元进行求解.

【避错攻略】

关于不等式的恒成立问题，主元法是一个常用方法，所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一

个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用.有些

看似复杂的问题，如果选取适当的字母作为主元，往往可以起到化难为易的作用。

易错提醒：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主

元，求谁的范围，谁就是参数.即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范

围列式求解。

举一反三

1.(24-25年高三专题训练)已知对任意加«1,3],机/-加工-1〈-加+5恒成立，则实数x的取值范围是

()

g,+C0

-8,'

22

2.设/(x)=x3+x(xeR)当0W。(春时/(^sin0)+/(l-m)^O,|'l^AL,则加的取值范围是_

3.已知二次函数〃尤)=/-"+c,对任意xeR都有/(-2-幻=/(-2+x),且40)=6.

⑴求函数“X)的解析式；

(2)若对于Vw4-1,2],不等式时(x)-6<0恒成立，求x的取值范围.

能易错题通关

1.(24-25河北石家庄三中月考)已知任意ae[-1,2],若存在实数b使不等式|x?-ax区6对任意的

xe[0,2]恒成立，贝！]()

A.b的最小值为4B.b的最小值为6

C.6的最小值为8D.b的最小值为10

2.已知Vae[0,2]时，不等式江+(0+1卜+1-的<0恒成立，则x的取值范围为.

3.设二次函数>=/+加龙.

(1)若对任意实数〃?40,1]/>0恒成立，求实数x的取值范围；

⑵若存在[-4,0),使得函数值为4-4成立，求实数/的取值范围.

4.已知二次函数y=依2+bx+2(a,6为实数)

(1)若x=l时，了=1且对力42,5),y>0恒成立，求实数。的取值范围；

(2)若x=l时，了=1且对\/。«-2,-1],>>0恒成立，求实数x的取值范围.

题型二基本不等式

易错点06：基本不等式求最值忽略前提条件

,易错陷阱与避错攻略

典例14.（24-25高三上•江苏•阶段练习）下列函数中最小值为4的是（）

4,

A.y=lnx+—B.y=2x+22-x

Inx

…।12（/+5）

C.J=4|sinx|+――-D.y=\

|snw|"6+4

【答案】BC

【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值x=工代入

e

检验.

144

I1n।---------____1-I____S

【详解】对于选项A：令》=上，可得e।1--1一，

ein—

e

4

所以4不是》=lnx+的最小值，故A错误；

lux

对于选项B：因为2，＞0,22-，＞0,则2*+22-工22,2可22-工=4,

当且仅当2，=22r,即x=l时，等号成立，

所以2*+22r的最小值为4,故B正确；

对于选项C：因为卜inx|＞0,则4,加|+厂'22/体inxl.p^u灯

11|sinx|V|sinx|

当且仅当体加|=占，即situ=±1时等号成立，所以＞=4年加|+1］的最小值为4,故C正确；

|sinx|2|sinx|

2（V+5）2（f+4）+2i--2

对于选项D：因为y=i_L-=2必百+^^,则

&+44+46+4

2&+4+.2＞22&+4x,2=4,

当且仅当24r%=—=二，即X?+4=1时等号成立，

VX+4

2（f+5）

但/w—3,所以歹=',的最小值不为4,故D错误；

G+4

故选：BC.

【易错剖析】

如果忽略“一正”的判断容易错选A；如果忽略“等号”的检验容易错选D.

【避错攻略】

1.几个重要的不等式

（1）t/2>0（<2e7?）,>0（<2>0）,|a|>e7?）.

（2）基本不等式：如果则巴|^»痴（当且仅当“a=b”时取""）.

特例：a>0,a+->2;-+->2（。）同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+从2（"'）（沟通两和a+b与两平方和a2+b~的不等关系式）

2

②abWa-^~（沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式）

2

（4）③

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个

方面的问题：

（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对

不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数

或加上一个数，“1”的代换法等.

易错提醒：制用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如y=x+q（a〉O）的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单

X

调性求解.

■k举一反三

25

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）x+2一的值可以为（）

x-1

A.