不等式与复数（讲义）学生版-2025年高考数学二轮复习提升

专题02不等式与复数

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理方法技巧............................................................4

04真题研析精准预测............................................................6

05核心精讲题型突破............................................................8

题型一：基本不等式二元式8

题型二：和式与积式9

题型三：柯西不等式二元式10

题型四：齐次化与不等式最值11

题型五：复数的四则运算12

题型六：复数的几何意义13

重难点突破：不等式与复数新定义问题15

差情;奏汨•日标旦祐

有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，

且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主,

分值5分.复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5

分，考题难度为低档“

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第9题，5分

2023年上海卷第6题，4分

预测2025年高考，多

掌握基本不等2022年上海卷第14题，5分

基本不等式以小题形式出现，不等式

式的应用2022年新高考II卷第12题，5分

在高考中主要考查基本不

2021年上海卷第16题，5分

等式求最值、大小判断，

2023年天津卷第13题，5分

求取值范围问题；预测

2024年新高考甲卷第1题，5分

2025年高考仍将以复数的

熟练掌握并灵2023年新高考I卷第2题，5分

基本概念以及复数的代数

复数的四则运算活应用复数四2023年新高考甲卷第2题，5分

则运算法则运算为主要考点，其中复

2023年新高考乙卷第1题，5分

数的除法运算、共能复数

2022年新高考H卷第2题，5分

及复数的几何意义是最可

理解复数的几2023年新高考II卷第1题，5分

能出现的命题角度！

复数的几何意义何意义，能直观2023年上海卷第11题，5分

应用2022年新高考乙卷第2题，5分

〃用识导图•思维引航\\

知过捺孑里•右比怙IE

1、几个重要的不等式

（1）a2>0（aeR）,Va>0（a>0）,|a|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,则竽2而（当且仅当“a=b”时取

特例：a>0,a+^>2;^+^>2（a力同号）.

（3）其他变形：

①a?+炉之誓！（沟通两和a+b与两平方和a?+/的不等关系式）

②abW守（沟通两积ab与两平方和a2+62的不等关系式）

③abW（吟）（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：J孚（a,b€R+）即

调和平均值<几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知久,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），贝收丫三（等）2=9（当且仅当，%=y"时取即“和为定值，积有最大

值”.

（2）如果xy=P（定值），则x+=（当且仅当"=y"时取即积为定值，和有最小

值”.

3、常见求最值模型

模型一•：mx+-^>2y[mn（m>0,n>0）,当且仅当％=正时等号成立；

xAIm

模型二：mx+=m（x—a）++ma>2Vmn+ma（jn>0,n>0）,当且仅当％—a=白时等号成

立；

模型三：=—（a〉0，c〉0），当且仅当x=J时等号成立；

模型四：x（n—mx）=>丁茨皿）-5•（mx+^~m%）2=^（m>0,n>0,0<x<^）,当且仅当久=琮时等号

成立.

4、对复数几何意义的理解及应用

（1）复数z,复平面上的点z及向量8?相互联系，即2=（1+儿（a,beR）=Z（a,6）=3?；（2）由于复数、

点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结

合的方法，使问题的解决更加直观.

1.（2024年北京高考数学真题）已知（久i，y。，（应,及）是函数丫=2天的图象上两个不同的点，则（）

A.噫空什B.1喻空〉中

C.Iog2%;'2<*1+42D.logz'1；'?>+比2

2.（2024年北京高考数学真题）已知（=—l—则2=（）.

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若z=5+i,贝|i（2+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

4.（2024年新课标全国n卷数学真题）已知z=—1—i,贝ij|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

5.（2024年新课标全国I卷数学真题）若言=l+i,贝（）

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

6.（2024年上海市1月春考数学试题）己知ab=1,4a2+9b2的最小值为.

7.（2024年天津高考数学真题）i是虚数单位，复数（乃+i）•（遮—2i）=.

8.（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,旧），贝Uz的共轨复数2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

9.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）提*=<）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

10.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设2=*=,贝物=（）

1+12+15

A.1—2iB.1+2iC.2—iD.2+i

11.（2023年新课标全国II卷数学真题）在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知z=l—2i,Az+az+b=0,其中a,6为实数，则

（）

A.a=l,b=—2B.a=-l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

13.（多选题）（2022年新高考全国n卷数学真题）若X,歹满足/+y2—盯=1,则（）

A.x+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

14.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知△ABC中，点。在边上，2LADB=120°,AD=2,CD=

2BD.当*取得最小值时，BD=______.

AD

15.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9M=10,a=10m—11力=8巾一9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

16.（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在sinacos/?,sinScosy,sinycosa三个值中,

大于甘勺个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

17.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=%2+2%+4B.y=|sin%|+曲回

C.y=2x+22-xD.y=Inx+A

J/Inx

18.（2021年天津高考数学试题）若a>0">0,则工+2+b的最小值为_________.

a炉

孩心切道・题型助破

题型一：基本不等式二元式

【典例1-1］［新考法］（2024•浙江宁波•一模）不等式Q2一同一l）（x-b）>0对任意x>0恒成立，则a2+b2

的最小值为（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2^2+2

【典例1-2］（2024•陕西宝鸡•二模）己知正数x,y满足x+；=1,则：+2y的最小值是（）

A.2+2V2B.6C.4V2D.3+2V2

巧

如果a>0,b>0,那么疯工等，当且仅当a=6时，等号成立.其中，等叫作a,6的算术平均

数，而叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

不等式可变形为：（莉+圾224Ao或（竽下，其中a,bER+.

【变式1-1］（2024•辽宁大连•模拟预测）已知函数y=loga（x—1）+1（a>0,且a41）的图象恒过定点4

若点力在直线+ny—1=0（m>0,?1>0）上，则'+，的最小值为（）

A.13B.8V2C.9+4V2D.8

【变式1-2］［新考法］（2024•广西柳州•一模）设函数/（久）=xln久一（a+6）lnx,若f（x）20,则5。+5b的最

小值为（）

A.1B.2C.V5D.2V5

命题预测T

1.（多选题）（2024・浙江・一模）已知a>0,匕>0,则下列说法正确的是（）

A.若a+b=l,则log2。+log2b4—2

B.若a+b=l,则VH+VF<1

C.若a—6=1,则2。一£>1

D.若a—b=l,则尼+按〉］

2.（多选题）若实数a,6满足3a2+3b2+4ab=5,则下列结论正确的是（）

2

A.ab<1B.ab>--

C.a2+b2>2D.-V2<a+fo<V2

3.|新考法]设函数/(X)=(2a-x)ln(x+b),若/(x)WO,则(^+炉的最小值为()

题型二：和式与积式

【典例2-1】(2024•广西•模拟预测)已知a,6e(—8,0),且a+4b=ab—5,则ab的取值范围为()

A.[25,+oo)B.[1,+oo)C.(0,5]D.(0,1]

【典例2-2]已知%2+y2=x2y2(xy70),则1-16/—9y2的最大值为()

A.-48B.-49C.-42D.-35

巧

已知式目标式方法选取

和式积式基本不等式

积式和式基本不等式

和式和式柯西不等式

积式积式柯西不等式

【变式2-1]（2024•四川绵阳•一模）已知久＞0,y＞0,且满足％+y=%y-3,则%y的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

【变式2-2]（2024•山西・三模）已知正实数%,＞满足%2+3%y—2=0,贝!J2x+y的最小值为（

A.亨B.孚C.|D.1

【变式2・3】（多选题）已知租＞0,九＞0,zn2+九2—血几=*贝U（）

A.log2m+log2n＜1B.m+n＜4

C.m3+n3<16D.yjm+Vn2V2

命题预测

1.（多选题）设正实数a,6满足a+b=l,则下列说法中正确的有（）

A.而有最大值B.T+：有最大值4

c.仿+VF有最大值鱼D.。2+炉有最小值T

2.（多选题）已知a>0,b>0,且a+2b=2,则下列说法正确的是（）

A.ccb>B.y[a+72b<2

C.2。+4b24D.2+熹^^2

a+ba+3b4

3.（多选题）已知正实数a力满足a2—帅+按=1,则（）

A.a+b的最大值为2

B.ab的最小值为1

C.a2+F的最大值为2

D.42+炉的最小值为i

4.（多选题）（2024•海南•模拟预测）若正实数a,6满足a+26=L贝U（）

A."押最小值为1+2四B.3b(2a+b)的最大值为1

C.a2+2》2的最小值为:D.(a+1)(6+1)的取值范围为(1,2)

题型三：柯西不等式二元式

【典例3-1】新考法]（多选题）柯西不等式（Caiichy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使

用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁・路易•柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以

用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数%和%有（a2+&2）（c2+d2）>（ac+bd）2.

②等式条件：当且仅当ad-6c=0时，等号成立.

例：已知久+2y=2,由柯西不等式（/+必）（12+22）N（X+2y产可得（久2+产"皿=?运用柯西不等式,

判断以下正确的选项有（）

A.若。2+力2=],则（2a+3b）max=

B.若0<a<2,贝+）=3+2V2

C.若a+b=4,则（府^1+2^^）11^=2①

D.若l<a<3,则"a—1+，6—2a)max=逐

【典例3-2】（多选题）已知久>0,y>0,且不等式工（X+1）2+y（y+1）2一（62—2根）％y20恒成立，则相

的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

国国目巧

+

设a,b,c,dERf有(a+b)(c+d)2(VHE+，酸¥当且仅当］=&时等号成立.

【变式3-1］存在正数无y,z,使得不等式«+y/Sy+V5z>+y+z成立,则租的最大值是.

【变式3-2］（2024•河南信阳•模拟预测）已知正数a力满足a+b=霁+岩，则a+b的最小值为.

;命题预测;I

1.已知汽，y,z是正实数，且％+y+z=5,则/+2y2+z2的最小值为.

2.［新考法］设角a、S均为锐角，则5也a+$也6+8$（a+/?）的范围是

3.己知正实数a力满足a+26=1，则号+等的最小值为——•

题型四：齐次化与不等式最值

【典例4-1］［新考法］若正实数x,y满足（3久一2）3+8（y—l）3=4—3x—2y,则2x+（+平的最小值

人y

是.

【典例4-2］设x>0,y>0,x+2y=2,则7^信。的最大值为.

国国画

关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。

-1_?丫2

【变式4-1］已知x>0,y>0,2x3+2y3-x-y,则十一的最小值为.

【变式4-2］已知正实数a,6,c,a+6=3,则ab的最大值为,能+压+系的最小值为.

命题预测

1.（2024•江西新余•二模）已知x,y为正实数，且久+y=2,则一^的最小值为（）

A.12B.3+2V2C.yD.

2.［新考法］己知正数X,y满足总加+诙垢=1，则孙的最小值是（）

A.JB.?C.£D.I

433Z

3.（2024•黑龙江•二模）已知实数a,b且ab>0,则装京先而取得最大值时，a+b的值为（）

A.V3B.2V3C.-2V3D.2旧或一2g

题型五：复数的四则运算

【典例5-1］若复数z满足3z-7=i•(4z+24),则zi=()

A.5B.25C.125D.625

【典例5・2】若复数z满足^^=1—i,贝旧=()

A.-1+iB.l+3iC.1+iD.3+i

国国画

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c4-di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+hi)•(a—bi)=z-z=a2+Z?2=\z\2

l注意Z)=|Z|2),

1z+z=2a

其中|z|=Va2+b2,叫z的模；万=a—九是z=a+6的共轨复数(a,beR).

,、a+bi_(a+bi)«_di)_(ac+bd)+(bc-ad)［2।^2nA

7+di=(c+di)-(c-d0=c2+-2«十0

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幕运算法则)都适用于复数.

【变式5・1］［新考法］(2024・陕西咸阳・模拟预测)若复数Z满足z2+z+l=0,则Z2023+Z2024=()

A.1B.-1C.iD.i

【变式5-2］（2024•江苏苏州•模拟预测）复数句、Z2满足Zi+z2=ZiZ2,若万=l+i,则氏尸（）

A.芋B.IC.2V2D.V2

【变式5-3］［新考法I（2024•江西新余•模拟预测）已知复数z满足：|z|=l,1+Z+Z2+Z3为纯虚数，则这

样的复数z共有（）个.

A.1B.2C.3D.4

;命题预测1

1.（2024・湖北•模拟预测）已知复数Z满足信=i2024（i为虚数单位），贝加=（）

A.3B.V10C.4D.5

2.［新考法］（2024•四川宜宾•模拟预测）已知虚数z满足z3—1=0,且2是z的共辗复数，则下列结论错误的

是（）

A.z2+z+1=0B.|z|=1

C.z2=2D.Z+z2+z3+…+z2°24=0

3.（2024•浙江杭州•模拟预测）已知方程/+&+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为zi，Z2,则有

（）

7Z1Z2.

A.z1=z2>0B.Zi+Z2=Z1Z2C.|1+Zi|=|1+Z2ID.Z1+Z2=i

4.［新考法］（2024•黑龙江佳木斯•三模）复数Z=i+2i2+3i3+.••+202省2。24的虚部是（）

A.1012B.1011C.-1011D.-1012

题型六：复数的几何意义

【典例6-1】（2024・吉林•模拟预测）已知复数z满足|z+2|+|z—2|=6,则复数z在复平面内所对应的点的

轨迹为（）

A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线

【典例6-2】（2024•湖南林B州•模拟预测）设复数2=号，贝旧的共辗复数2在复平面内对应点的坐标为

（）

A.（0,1）B.（1,0）

C.（-1,0）D.（0,-1）

回国目国

复数的几何意义

(1)复数z=a+bi(a,bWR)对应平面内的点z(a,b)；

(2)复数z=a+加(a,bER)对应平面向量0Z；

(3)复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

(4)复数z=a+bi(a,b€R)的模|z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离.

【变式6-11已知复数2=。+折，其中£R且a+b=1,则|z+1+i|的最小值是()

A.V2B.2C.孝D.唱

【变式6-2］已知复数zi=l—2i,复数z满足|z+zj=2,贝ij()

A.Zi-Zi=|2+i|

B.复数无在复平面内所对应的点的坐标是(一1,2)

C.V5-2<|z|<V5+2

D.复数z在复平面内所对应的点为Z(x,y),贝U(x+l)2+(y—2)2=2

【变式6-3］设zi的实部与虚部相等，且实部不为0,Z2的虚部是实部的2倍，且Z2在复平面内对应的点位于

第三象限，贝eZi在复平面内对应的点位于第一象限”是，管在复平面内对应的点位于第二象限”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

命题预测H

1.(2024・山西太原•一模)复平面内复数z满足|z—2|=1,则|z—i|的最小值为()

A.1B.V5-1C.V5+1D.3

2.已知复数Zi，Z2在复平面上对应的点分别为4B,且。为复平面原点，若Zi=苧+m(i为虚数单位),

向量而绕原点逆时针方向旋转90°,且模伸长为原来的2倍后与向量方重合，则()

A.Z2的虚部为亨B.无对应的点在第二象限

C.|Zi+z|=V5D.—=4

2zi

3.(多选题)(2024•广西•模拟预测)复数z=x+yi(x,yeR,i为虚数单位)在复平面内内对应点Z(x,y),

则下列为真命题的是()

A.若|z+1|=|z—1］,则点Z在圆上

B.若|z—l|+|z+l|=4,则点Z在椭圆上

C.若|z+l|—|z—1|=2,则点Z在双曲线上

D.若|x+l|=|z—1|,则点Z在抛物线上

重难点突破：不等式与复数新定义问题

【典例7-1】定义:正割seca=L,余割csca」—.已知m为正实数，且m-csc2*+tar&仑15对任意的实数％

coscvsina

均成立，则小的最小值为（）

A.1B.4C.8D.9

【典例7-2］（多选题）一般地，对于复数2=a+齿（i为虚数单位，a,6CR）,在平面直角坐标系中，设

\z\=|oz|=r（r>0）,经过点Z的终边的对应角为仇则根据三角函数的定义可知a=rcos。，b=rsind,因

此z=r（cos8+isin。），我们称此种形式为复数的三角形式，/称为复数z的模，。称为复数z的辐角.为使所

研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0<。<2兀的辐角8的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z—1|

<r,re（0,1）,Re（z）为z的实部，。为z的辐角的主值，则（）

A.|z—两i|的最大值为r+,2025

B.|z-V^演i|的最小值为何芯一7

C.cosd<V1—r2

D-Reg）2品（I—T-2）

巧

面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不等

式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵活

运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。

复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运用

复数的模、辐角、共辗等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无误。

两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。

【变式7-1］（多选题）（2024•山西•模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843年，数学家哈

密顿发现了四元数.四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数单

位i,j和k,而且它们有如下关系：i2=j2=k2=—l,iO=jO=kO=l,ij=k,ji=—k,jk=i,kj=—i,ki=j,ik=—

j.四元数一般可表示为a+6i+cj+dk,其中a,b,c,d为实数.定义两个四元数：a=的+人工+qj+心工/?=

a2+b2i++d2k,那么这两个四元数之间的乘法定义如下：邓=（的。2-b1b2-crc2—4也）+

+人1。2+—d［C2