北京市东城区2024-2025学年高二年级上册期末统一检测数学试卷（含答案与解析）

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北京市东城区2024〜2025学年上学期期末统一检测

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.若直线/过P（°』），。（G，2）两点，则直线/的倾斜角为（）

A.30°B,60°C,120°D,150°

2.已知向量万=（1,—2,2）,3=（3,左,6）,若M/区，则实数人的值为（）

A.6B.2C.-2D.-6

3.已知直线/i：2x+3y+l=0,l2:ax+2y-2=0,若乙必,则实数°的值为（）

11

A.3B.-C.-3D.——

33

4.已知抛物线/=2px（p>0）的准线方程为x=-1,则〃的值为（）

A.1B.2C.4D.8

5.在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委.下面是他们给某位选手的打分情况:

43444545464849495051

设这10个分数的平均数为夕1，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为

夕2，则（）

A.Pi=P2=47B.2i=47且22。47

C.22=47且Piw47D.夕iw47且22。47

6.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱CG的中点，则点。到平面的距离为

ac,

A.5B.V2C.1D.=^-

7.做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.5m的一根木杆刚好可

以截成最上面的三根横梁，长为2m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁

的长度是（）

13752

A.—mB.——mC.—mD.—m

241283

8.设坐标原点为O,抛物线=2"（p>0）的焦点为尸，M为线段OE的中点，过点M且垂直于x

轴的直线与抛物线C的一个公共点为。，若△0D9的周长为8,则p的值为（）

A2B.4C.6D.8

9.已知点幺（苞,%），B（x2,y2）,直线/:ox+6y+c=0,记点/到直线/的距离为4，点2到直线/的

距离为乙，则“4〉4，，是“［办］+勿J>卜》2+勿2卜，的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

10.在平面直角坐标系中，圆C截X轴所得弦长为1,截y轴所得弦长为2,则这样的圆C的面积（）

A.有最大值，有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.

n.等比数列｛4｝满足：出=-2,%=4,则数列｛%｝的前5项和是.

一

12.双曲线上-必=1的离心率为，渐近线方程为

4

13.已知a,瓦c,d均为空间向量，其中a=（1,0,0）,b-（0,1,0）»c=（0,0,1）,若从这4个向量

中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量2的坐标可以为

14.某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥S-48。（如图2）.己知Z3长为4米，且平面£4。，

平面SBC,则顶点S到直线AB的距离为米；正四棱锥S-ABCD的侧面积为

____________平方米.

图1图2

15.关于曲线Q:x"—y"=l,〃eN*，给出下列四个结论:

①对任意〃eN*，曲线G与直线>=x没有公共点;

②对任意〃eN*，曲线C,上的点的横坐标的取值范围为R；

③对任意〃eN*，曲线G为轴对称图形;

④当〃为奇数时，曲线G与x轴、》轴所围成区域的面积为J,则S“<S"+2<L

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：［50,100）,［100,150）,

,并整理得到如下频率分布直方图:

（2）已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间［200,300）内的户数;

(3)假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费.

17.已知圆C:x?+>2+4y+4—a=0(a〉0)与x轴相切.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)直线/：2x+y—2=0与圆C交于4,2两点，求线段4B的长.

18.如图，在长方体48CD—451G2中，DA=DC=1,DD、=2.

(1)求证：平面。8片；

(2)若点尸是线段。4的中点，求平面尸4片与平面。8片的夹角的余弦值.

19.已知数列｛%｝满足：%+%=3,4+%=9.

(1)若数列｛4｝是等差数列，求｛%｝的通项公式以及前〃项和邑；

(2)若数列｛%｝是等比数列，求｛%｝的通项公式.

20.已知椭圆。：[+'=1伍〉6〉0)的离心率为3,并且经过点(2,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/：y=k(x—3)(左/0)与椭圆C交于不同的两点/,8,点M是线段48的中点，直线乙过点

M,且与直线/垂直.记直线乙与y轴的交点为N.请问：是否存在直线/,使得|4B|=pW]?若存在，

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.设〃为正整数，集合4=｛a|a=(/"2,…eQi),(左=12…,〃)｝,对于集合4中的任意元

素a=(再,》2,…%)和#=(弘,％,…,%)，记&*4=西匕+%%-1+…+七%.设耳,是4的子集，且满

足：对于8“中的任意两个不同的元素a,B,都有。*尸=0,则称集合8“具有性质尸（〃）.

（1）当"=4时，若a=（l,l,O,O）,>5=（0,0,1,1）,求a*a,的值；

（2）已知正整数集合G+2为4+2的子集.求证：“集合C0+2具有性质尸（〃+2）”的充要条件为

“对G+2中任意两个不同的元素a=（P1力,々夕=（展邑，§2,…，%%）都有

（生々，…,9）*®，“，…，s”）=°，且（21应1）*（22，%）=0"；

（3）给定不小于2的偶数"，设其具有性质尸（〃），求集合耳,中元素个数的最大值.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.若直线/过P（°』），0（6,2）两点，则直线/的倾斜角为（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

【答案】A

【解析】

【分析】由直线上的两点坐标计算直线的斜率，即可得到直线的倾斜角.

【详解】由题意得，直线的斜率左=与L=也，

V3-03

...直线/的倾斜角为30°.

故选：A.

2.已知向量5=（1,-2,2）,3=（3,左,6）,若万/区，则实数人的值为（）

A.6B.2C.-2D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解.

【详解】因为1//B，b=A.a>

3=2

所以左=—24,所以4=3,k=-6.

6=22

故选：D

3.已知直线4：2x+3y+l=0,4：ax+2y-2=0,若入人卜，则实数°的值为（）

1C1

A.3B.-C.—3D.—

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果.

【详解】；/』，

，2a+3x2=0,解得a=-3.

故选：C.

4.已知抛物线/=2px（p>0）的准线方程为x=—1,则〃的值为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线的准线方程为可得结果.

【详解】由题意得，抛物线的准线方程为x=-^,

5=一1，解得夕=2.

故选：B.

5.在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委.下面是他们给某位选手的打分情况:

43444545464849495051

设这10个分数的平均数为夕1,再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为

P2,则（）

A.P\=Pi=47B.=47且夕2W47

C.夕2=47且夕iH47D.w47旦P2w47

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均数的概念直接计算可得结果.

43+44+45+45+46+48+49+49+50+51c

【详解】由题意得，Pi=--------------------------------------------------------------=47,

10

44+45+45+46+48+49+49+50

~=0=47.

故选：A

6.如图，在棱长为2的正方体48CD-451G2中，〃为棱CG的中点，则点C到平面/期的距离为

()

A.5B.V2C.1D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用等体积转化求点到平面的距离.

【详解】由条件可知，45J_平面BCCB，u平面BCC&I,所以Z8，8/,

BM=^BC2+CM2=V5,

设点C到平面ABM的距离为h,由VM_ABC=VC_ABM,

所以』xLx2x2xl='x1x2xV^z,解得：h=-.

32325

G

故选：D

7.做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.5m的一根木杆刚好可

以截成最上面的三根横梁，长为2m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁

的长度是（）

13752

A.—mB.—rnC.—mD.lm

241283

【答案】B

【解析】

12

【分析】根据等差数列的性质可得%=5，a6=~,利用2%=为+4可得结果.

【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列｛4｝（14〃W7/eN）,

由题意得，/+%+。3=1,5，a5+a6+a7=2,

12

3a2=1.5,3a$=2,故％=,，“6=§，

77

：2%=%+0，；♦%=一，即正中间的一根横梁的长度是一m.

1212

故选：B.

8.设坐标原点为0,抛物线C:/=2.（P>0）的焦点为足M为线段OE的中点，过点M且垂直于x

轴的直线与抛物线C的一个公共点为。，若△ODE的周长为8,则p的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线的方程及已知条件可以求得点。的横坐标为（■及=司，再利用抛物线的定义,

得到口的长度，最后利用△0。斤的周长列出关于。的方程，从而求解.

【详解】

v抛物线的方程为/=2px{p>0)，

.-.F(1,0),：.\OF\=^,

为线段OE的中点，.•.M(K,0),

4

•••过点M且垂直于x轴的直线为x=B,，点。的横坐标为£,

44

•・•点。在抛物线上，，根据抛物线的定义，|。咒|="+"=2,

''424

由题意可知=制，

•・•△0”的周长为8,，|。。+|所+|0月=8,即¥+学+言=8,

=4.

故选：B.

9.已知点幺(西,弘)，5(x2,j2),直线/:ox+6y+c=0,记点/到直线/的距离为4,点B到直线I的

距离为刈，则"4>"2"是"1+奶|>|"2+勿2卜的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式表示4,乙，通过举反例可确定答案.

,\axy+c|\ax2-^-by2+c|

【详解】由题意得，」

4；，J'2一

ax

由4〉&得，\\+byx+c|>\ax2+by2+c|,

令ax】+by1=4,4工2+6%=-5,c=1,则\axY+by1+c|=5,|ox2+by2+c|=4,

满足|啊+byx+c\>\ax2+by2+c\,但|啊+by]\<\ax2+by2\,故充分性不成立；

令axx+byl=-5,ax2+by2=4,c=1,满足\axx+by^>\ax2+by2\,

但,西+勿]+c|=4,卜々+A8+。|=5，|«^i+byx+c|<|ox2+by2+c|,dx<d2,故必要性不成立.

所以“《〉&"是"|啊+byx\>\ax2+"21”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

10.在平面直角坐标系中，圆C截x轴所得弦长为1,截y轴所得弦长为2,则这样的圆C的面积（）

A.有最大值，有最小值B,有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

【答案】C

【解析】

【分析】设。（根,〃），根据半径相等建立等量关系可得机2=?,则圆C半径为1,根据“2范

围可得结果.

如图，圆C与X轴交于48两点（点A在点B的左侧）,与V轴交于瓦尸两点（点尸在点£的上方）,

设C（根,〃），则线段48中点坐标为（私0）,线段斯中点坐标为（0,〃）

■：\AB\=X\EF\=2,：.B\m+1,0j,F（0,«+l）,

33

整理得〃2-/=—,即/=77?+—,

44

,3

由机220得，3一,

4

22

...圆C的半径|。回=+g—机1+（0-«）=^+1>1，即圆C的半径无最大值，有最小值1,

...圆C的面积无最大值，有最小值.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用半径相等分析出圆心横、纵坐标之间的关系，结合范围即可

得到答案.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分.

11.等比数列｛%｝满足：的=-2,%=4,则数列｛%｝的前5项和是.

【答案】11

【解析】

【分析】代入等比数列的基本量，即可求首项和公比，再代入等比数列的前"项和.

【详解】设等比数列的首项为4,公比为4,

a,q=-2

所以424，所以%=1,q=-2,

=4

所以良=11.

故答案为：11

丫2

12.双曲线--y2=1的离心率为___________，渐近线方程为____________.

4

【答案】①.行；②.y=±2;

22

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程先确定a,hc的值，再利用离心率和渐近线的定义求出即可.

【详解】由题可得双曲线的焦点在x轴上，且a=2/=1,°=右，

所以双曲线的离心率为©=£=也，渐近线方程为y=±?x=土土.

a2a2

故答案为：；y=±-'.

22

13.已知£,瓦",2均为空间向量，其中£=(1,0,0),S=(0,1,0),c=(0,0,1),若从£,瓦工,2这4个向量

中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量7的坐标可以为.

【答案】(1,2,3)(答案不唯一)

【解析】

【分析】由题意得｛Z,64可以构成空间的单位正交基底，设1=(x/,z),则2=£+韬+2入根据空

间向量基本定理及平面向量基本定理可得结果.

【详解】va=(1,0,0),S=(0,1,0),c=(0,0,l),：.a-b=b-c=a-c=Q>

aLb,b_LC,Q_Lc，

,五斗可以构成空间的单位正交基底，

设1=(x,y,2),则7=xa+yB+zc,

,:仄a,~i),c,d这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，

d与a,b,c中的任意两个向量均不共面，

根据平面向量基本定理可得x/，z均不为零，

.,•向量2的坐标可以为(1,2,3)(答案不唯一).

故答案为：(123)(答案不唯一).

14.某景观亭(如图1)的上部可视为正四棱锥S-4BC。(如图2).已知Z5长为4米，且平面

平面SBC,则顶点S到直线AB的距离为米；正四棱锥S-ABCD的侧面积为

____________平方米.

图1

【答案】①.2721672

【解析】

【分析】根据平行关系，构造直二面角的平面角，根据几何关系，即可求解.

【详解】设平面S4。和平面SBC交于过点S的直线/,

因为8C///。，平面S4O,NQu平面S4O,

所以8C//平面S4£>,5Cu平面SBC,且平面S5CI平面54。=/,

所以BC///,

取ZD,5c的中点M,N,连结SM,SN,MN,

SMVAD,SNLBC,即SAU/,SNLI,

因为平面£4。，平面SBC,

所以&WLSN,且皿0=SN,MN=4,

所以SM=SN=26，

所以点S到4B的距离为20；

故答案为：20；16/

15.关于曲线C“：x"—y"=l,〃eN*，给出下列四个结论:

①对任意〃eN*，曲线G与直线>=x没有公共点；

②对任意〃eN*，曲线G上的点的横坐标的取值范围为R；

③对任意〃eN*，曲线G为轴对称图形；

④当〃为奇数时，曲线c“与x轴、了轴所围成区域的面积为s,,则S.<S"+2<L

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】对①：将〉=X代入曲线C”,可得该方程无解；对②：举出反例即可得；对③：分对〃为奇数与力

为偶数进行讨论，分别验证当(X/)在曲线G上时，(-y,-x)与(-羽力是否在曲线G上即可得；④：分

别令x=0、v=0求出对应》、X的值即可得曲线G与X轴、丁轴所围成区域，再通过计算曲线G与G+2

上横坐标相同的点的纵坐标的绝对值的大小关系及其与1的关系即可得其面积关系.

【详解】对①：令>=》，则y"=0wl,故曲线G与直线y=x没有公共点，故①正确；

对②：当〃=2时，有V—「=1,则》2=1+/21,故②错误；

对③：若〃为奇数，则对点(―X),有(―月―(―4=/—V=l,

故对任意点(X/)在曲线C"上，点(-y,-x)也在曲线G上，

此时曲线Q关于直线>=一%对称，

若“为偶数,则对点(-XJ),<(-%)"-/=xB-/=l,

故对任意点(x,y)在曲线C“上，点(-羽田也在曲线C“上，

此时曲线C“关于直线>=0对称，故③正确；

对④：当〃为奇数时，令x=0,则y=—l,令y=0,则x=l,

故曲线G与X轴、y轴分别交于点(1,0)、(0,-1),

故S,即为曲线C"在的部分与X轴、>轴所围成图形面积，

对曲线G与Q+2上横坐标相同的点《X,心二T)、B(X,飞斓2_1),

当xe(0,l)时，有x",则也"-1〉咪"-1，

有£—1>x"+2_1e(-1,0),贝ij他"_i>他"+2_],

则Vx"-1-"埒£+2_1>咪"_1_"也"+2_1>0,

即当x6(0,1)时，1>"也"+2一1>—],

即Vx"-1<闻x"+2_l<],

即在久e(0,1),曲线C“与曲线C„+2上横坐标相同的点,

曲线G上的点的纵坐标的绝对值都小于曲线Q+2上的点的纵坐标的绝对值,

且两者的绝对值都小于1,则sn<5,2+2<1x1=1,故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点定睛：本题最后一问关键点在于得到曲线G与x轴、了轴所围成区域为曲线G在

》《［0』的部分与》轴、了轴所围成图形，则可通过比较曲线G与曲线C+2相同横坐标情况下的纵坐标

的大小关系，得到其面积关系.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.从某小区随机抽取了100户居民进行了网费调查，将他们的网费分成6组：［50,100),［100,150),

,并整理得到如下频率分布直方图:

(2)已知该小区共2000户，估计该小区中网费落在区间［200,300)内的户数；

(3)假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值代替，估计该小区的户均网费.

【答案】(1)0.0044；

(2)960户；(3)189元.

【解析】

【分析】(1)利用频率和为1列方程求参数即可；

(2)根据频率直方图求出区间［200,300)的频率，进而求出对应户数;

(3)根据直方图确定各区间的频率，结合已知求该小区的户均网费.

【小问1详解】

1-50x(0.0012+0.0024x2+0.0036+0.0060)_

由该频率分布直方图，得》=Q0Q44

50

【小问2详解】

在样本中，网费落在区间［200,300)内的频率为(0.0060+0.0036)x50=0.48,

所以估计该小区中网费落在区间［200,300)内的户数约为2000x0.48=960户.

【小问3详解】

由⑴可知，这六个组的频率分别为0.06,0.12,0.22,0.30,0.18,0.12.

因为同组中每个数据用该组区间的左端点值代替，

估计该样本的平均值约为

50x0.06+100x0.12+150x0.22+200x0.30+250x0.18+300x0.12=189.

所以估计该小区的户均网费为189元.

17.已知圆C:x?+J?+47+4-a=0(a〉0)与x轴相切.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)直线/：2x+y—2=0与圆C交于4,B两点,求线段4B的长.

【答案】(1)圆心坐标为(0,-2),半径长为2

(2)-V5

5

【解析】

【分析】(1)首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解；

(2)首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解.

【小问1详解】

配方得C:x2+(y+2)2=a,(a>0)

由此可得圆心坐标为(0,-2).

因为圆C与x轴相切，

所以圆心到x轴的距离为2=«.

所以半径长为2.

【小问2详解】

因为直线/：2x+y—2=0与圆C交于N,8两点,

,_-2-24r

所以圆心C到直线/的距离为d=,=-A/5.

V22+l25

由(I)可知/=口=4,

cL164/-

所以14sl=2s]r2—d1=2./4---=—V5

V55

18.如图，在长方体4BCD-481G2中，DA=DC=1,DDl=2.

(1)求证：ZCL平面。84；

(2)若点尸是线段。片的中点，求平面尸4月与平面£石片的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

5

【解析】

【分析】(1)利用正方形及长方体的几何特征可证线线垂直，由此可得线面垂直.

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算两个平面的法向量，利用两平面夹角的向量公

式计算可得结果.

【小问1详解】

由题意得，四边形48CD为正方形，ZC工50.

：J.平面48C。，2。匚平面48。),；.2。，551,

,；BD,BB[u平面DBB[,BDcBB[=B,

.../CL平面。881.

【小问2详解】

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),2(1,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2),用(1,1,2),

—.---.—■11

-.Ac44=(o,i,o),尸片=(Q，3，i).

由(1)得，正是平面。BA的一个法向量.

设平面尸4片的一个法向量为。=(x,y,z),

y=o,

n-=0,

则《—即《11八

n-PB=0,—x+—y+z=0.

x、22-

令x=2,得V=0,z=-l,故1=(2,0,—1).

,一।\n-AC|-2|_V10

设平面尸4瓦与平面。8片的夹角为。，则cos。=|cos(H,AC)\=

-

\n\L4C?72x755

平面尸4片与平面DBBX的夹角的余弦值为眄.

5

19.已知数列｛4｝满足：/+。3=3,a2+a4=9.

(1)若数列｛%｝是等差数列，求｛%｝的通项公式以及前〃项和5“；

(2)若数列｛%｝是等比数列，求｛%｝的通项公式.

93

【答案】(1)a=3n——，S,=-/-3〃(〃eN*)

22

3"

⑵an=一

10

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的性质和公式求首项和公差，即可求通项公式和前〃项和公式，即可求解;

(2)根据等比数列的公式和性质求首项和公比，即可求通项公式.

【小问1详解】

因为数列｛4｝是等差数列，

所以2d=(tz2+a^)-(ax+03)=6.

所以d=3.

所以%+%=2%+2d=3,

即2%+2x3=3,

3

解得ax——.

2

3

所以数列｛%｝的通项公式%=-万+(〃—1)・3,

9

即—3〃—,

2

[31

所以数列｛%｝的前n项和Sn=nax+——V)d=——/?+——1),3,

3

2

即Sn=—n-3n(neN*).

【小问2详解】

因为数列｛%｝是等比数列，

所以

ax+%

由+。3=3,

得囚+a1q2=3,

即可+9q=3,

3

解得力=而.

3V

所以a=2.3〃T=

“1010

数列｛%｝的通项公式为%=土.

22

20.已知椭圆。：三+云=l（a〉b〉0）的离心率为并且经过点（2,0）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/：歹=左0—3）（左/0）与椭圆C交于不同的两点48,点M是线段48的中点，直线/］过点

M,且与直线/垂直.记直线t与y轴的交点为N.请问：是否存在直线/,使得|48|=|九的？若存在，

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）工+匕=1

43

（2）存在，后x—4y—3指=0或后x+4y—3指=0

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；

（2）首先将直线/的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长|48|,再求点M的坐标，根据直线4的

方程求点N的坐标，表示|〃M，根据14gl=MM，求直线/的方程，即可求解.

【小问1详解】

22

由题意椭圆C:01=l（a〉b〉0）的离心率为7,并且经过点（2,0）,

ab

cl

可知一=—,a=2,所以。=1.

a2

所以62—a1—c2=4-1=3.

22

所以椭圆C的标准方程为—+^-=1.

43

【小问2详解】

设/（%，%），^（马，%），M（x0,y0）.

y=k{x-3）

联立<整理得（4公+3）x2-24k2x+36k2-12=0,

3x2+4/=12'

3

A=242左4_4（4左2+3）（36左2-12）=-240k2+144〉0,F<-.

24k2_36左2—12

从而

X1+x24左2+3'“I%-4左2+3•

/24k2Y4x（36左2—12）

|幺回=\lk~+1XX]+—J=J1+左~

4X%2、止+3J4左2+3

4^-15k2+9

=J1+'2X----------

4r+3

%1+%2_12左2

因为M是线段48的中点，所以飞=

2-4左2+3'

9斤’12k29k、

则为=左(％-3)=-P故M

74左2+3'—4左2+3,

19左1(12左2

直线4的方程为了一％=—3、一％),即〉+“节=一不卜一瓦和

1f12k2、9k3k

令x=0,得>=_：0-

4左2+3,4左2+3442+3{4F+3

9k3k丫

所以pw|=4左2+3—4左2+3J-432+3

欲使|4g|=MM，只需护不义4，T5、+9=12用"2+i,

442+34左2+3

解得d|,满足要求/<|.所以』手

故存在满足要求的直线/,其方程为y=土手（X—3），

即y[6x-4y-3A/6=0或^6x+4y-3A/6=0.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标表示弦长，利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦

长.

21.设〃为正整数，集合4={a|a=（廿2,…，图）46QI），（左=1，2,…，必，对于集合4中的任意元

素a=（再,》2,…%）和#=（九%，…,以），记[*夕=西然+》2州一1+…+X”％.设纥是4的子集，且满

足：对于8“中的任意两个不同的元素a,p,都有a*£=0,则称集合8“具有性质尸（〃）.

（1）当"=4时，若a