2025中考数学复习冲刺之圆的证明与计算问题（含解析）

专题10圆的证明与计算问题

1.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，以CD为直径的。0分别交AC,BC于点E,F两

点，过点F作FGLAB于点G.

(1)试判断FG与。0的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.

2.如图，AB是。。的直径，AC与。。交于点F,弦AD平分NBAC,DEXAC,垂足为E.

(1)试判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为2,/BAC=60°,求线段EF的长.

3.如图所示，在。的内接一AAW中，NM4N=90°,AM=2AN,作于点P,交(。于

另一点B,C是%0上的一个动点(不与A,M重合)，射线交线段的延长线于点D,分别连接AC

和BC,BC交MN于点匕

D

(1)求证：△CM4s△CBD.

(2)若MN=10,MC=NC，求BC的长.

3ME

(3)在点C运动过程中，当tan/MDB=-时，求——的值.

4NE

4.如图所示：)。与,的边8C相切于点C,与AC、AB分别交于点D、E,DEIIOB.DC是O

的直径.连接0E,过C作CG〃。七交。。于G,连接OG、EC,DG与EC交于点F.

(1)求证：直线与相切；

(2)求证：AE-ED=AC-EF；

(3)若所=3,1211/4。£=：时，过A作A7W/CE交小。于爪N两点(M在线段AN上)，求AN的

长.

5.如图，是；。的直径，直线40与。。相切于点A，直线BN与「>。相切于点B,点。(异于点A)

在AM上，点。在；。上，且CE>=C4,延长与BN相交于点E,连接并延长交BN于点尸•

ACM

(1)求证：CE是。的切线;

(2)求证：BE=EF；

(3)如图，连接E0并延长与。分别相交于点G、X,连接若A3=6,AC=4,求tan/BHE.

6.已知：如图，AB是O。的直径，点E为。上一点，点D是用E上一点，连接AE1并延长至点C,使

ZCBE=ZBDE,BD与AE交于点F.

(1)求证：是〉。的切线；

(2)若平分/钻石，求证：AD2=DFDB.

7.如图，在HjABC中，ZC=90°,AD平分N54c交于点D,0为AB上一点，经过点A、D的二。

分别交AB、AC于点E、F.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若BE=8,sinB=—,求：)。的半径;

13

(3)求证：AD2=ABAF-

8.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图，线段AB

是。。的直径，延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段0B的中点，DELAB交。。于点D,点P是。0上一

动点(不与点A,B重合)，连接CD,PE,PC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)小明在研究的过程中发现P器F是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加

以证明.

9.如图，AB是。。的直径，点C是。0上一点(与点A,B不重合)，过点C作直线PQ,使得NACQ=NABC.

(1)求证：直线PQ是。。的切线.

(2)过点A作ADXPQ于点D,交。0于点E,若。0的半径为2,sinZDAC=-,求图中阴影部分的面积.

2

10.如图，AB为。。的直径，C为BA延长线上一点，CD是。。的切线，D为切点，0F±

AD于点E,交CD于点F.

(1)求证：ZADC=ZAOF：

(2)若sinC=-,BD=8,求EF的长.

3

C

11.如图，在半径为5cm的。。中，AB是。。的直径，CD是过。0上一点C的直线，且ADLDC于点D,AC

平分/BAD,E是BC的中点，0E=3cm.

(1)求证：CD是。0的切线;

(2)求AD的长.

12.已知。。是，ABC的外接圆，AD为。。的直径，AD1BC,垂足为E,连接B0,延长B0交AC于点

F.

(1)如图1,求证：ZBFC=3ZCAD；

(2)如图2,过点口作。6〃防，交。，。于点G,点H为GD的中点，连接0H,求证：BE=OH；

在(2)的条件下，连接CG,若DG=£)E,AAOF的面积为述，求线段CG的长.

(3)如图3,

5

13.如图，在AA5C中，ZC=90°,AD平分44c交5c于点。，过点A和点。的圆，圆心。在线

段AB上，，。交AB于点E,交AC于点尸.

(1)判断8C与1。的位置关系，并说明理由;

(2)若AD=8,AE=10,求BD长.

14.如图，在，ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交6C于点。，过点。作DE_LAC,垂足为

(1)求证：△ABD乌ZkACD；

(2)判断直线DE与(。的位置关系，并说明理由.

15.如图，00是△ABC的外接圆，AD是。0的直径，F是AD延长线上一点，连接CD,CF,且/DCF=/

CAD.

(1)求证：CF是。0的切线；

(2)若COSB=3,AD=2,求FD的长.

5

16.如图，。。与等边AABC的边AC,AB分别交于点D,E,AE是直径，过点D作DFLBC于点F.

(1)求证：DF是。0的切线；

(2)连接EF,当EF是。0的切线时，求00的半径r与等边AABC的边长a之间的数量关系.

专题10圆的证明与计算问题(解析版)

1.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，以CD为直径的。0分别交AC,BC于点E,F两

点，过点F作FGLAB于点G.

(1)试判断FG与。0的位置关系，并说明理由.

(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.

【答案】见解析。

【解析】(1)如图，连接0F,根据直角三角形的性质得到CD=BD,得到NDBC=NDCB,根据等腰三角形

的性质得到NOFC=/OCF,得到N0FC=/DBC,推出N0FG=90°,于是得到结论；

(2)连接DF,根据勾股定理得到BC={AB2_AC2=4,根据圆周角定理得到NDFC=90°,根据三角函数

的定义即可得到结论.

【解答】(1)FG与。0相切，

理由：如图，连接0F,

,/ZACB=90°,D为AB的中点，

；.CD=BD,

.".ZDBC=ZDCB,

V0F=0C,

.\Z0FC=Z0CF,

.".Z0FC=ZDBC,

，OF〃DB,

.,.Z0FG+ZDGF=180°,

VFG±AB,

；.NDGF=90°,

：.Z0FG=90°,

；.FG与。0相切;

(2)连接DF,

VCD=2.5,

，AB=2CD=5,

"BC=VAB2-AC2=4,

〈CD为。。的直径，

・・・NDFC=90°,

AFDXBC,

VDB=DC,

；.BF=LBC=2,

2

VsinZABC=^-^fl,

AB-FB

即

52

,,.FG=A.

5

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出

辅助线是解题的关键.

2.如图，AB是00的直径，AC与。0交于点F,弦AD平分NBAC,DE±AC,垂足为E.

(1)试判断直线DE与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。的半径为2,ZBAC=60°,求线段EF的长.

【答案】见解析。

【解析】(1)欲证明DE是。。的切线，只要证明/0DE=90°即可;

(2)过。作OGLAF于G,得到AF=2AG,根据直角三角形的性质得到AG=LOA=1,得到AF=2,推出四

2

边形AODF是菱形，得到DF〃OA,DF=0A=2,于是得到结论.

解：(1)直线DE与。。相切，连结0D.

VAD平分/BAC,

；.NOAD=NCAD,

VOA=OD,

.\Z0AD=Z0DA,

.\ZODA=ZCAD,

二OD〃AC,

VDE±AC,即NAED=90°,

AZODE=90°,即DE_LOD,

；.DE是。0的切线；

(2)过。作OG_LAF于G,

.\AF=2AG,

VZBAC=60°,0A=2,

，AG=LOA=I,

2

.\AF=2,

；.AF=OD,

...四边形AODF是菱形，

；.DF〃OA,DF=0A=2,

.\ZEFD=ZBAC=60°,

.\EF=1.DF=1.

2

【点拨】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

属于中考常考题型.

3.如图所示，在(0的内接中，NM4N=90°,AM=2AN,作于点P,交。Q于

另一点B,C是为w上的一个动点(不与A,M重合),射线交线段朋的延长线于点D,分别连接AC

和8C,BC交MN于点、E.

D

(1)求证：ACM4sACBD.

(2)若MN=10,MC=NC，求BC的长.

(3)在点C运动过程中，当=a时，求丝目的值.

4NE

3

【答案】(1)证明见解析(2)6拒(3)-

2

【解析】【分析】(1)利用圆周角定理得到/CMA=NABC,再利用两角分别相等即可证明相似；

(2)连接0C,先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COESLBPE，利用相似三角形

的性质求出0E和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先过C点作CGLMN,垂足为G,连接CN,设出GM=3x,CG=4x,

再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出ME

和NE,算出比值即可.

【详解】(1)M：VAB1MN,

.,.ZAPM=90°,

：.ZD+ZDMP=90°,

又：/DMP+/NAC=180°,ZMAN=90°,

ZDMP+ZCAM=90°,

.\ZCAM=ZD,

VZCMA=ZABC,

ACMAs^CBD.

(2)连接OC,

,//肪W=90°，

二MN是直径，

'：MN=1Q，

.•.OM=ON=OC=5,

,/AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，

AAN=2A/5,AM=45

-：S^AMN=^AM-AN=^MN-AP,

AP=4，

.••6F=AP=4，

；•NP=yjAN2-AP2=2，

：.OP=5-2=3,

MC=NC，

.\OC±MN,

.\ZC0E=90°,

VAB±MN,

.\ZBPE=90°,

...NBPE=NC0E,

又：NBEP=NCE0,

△COEsdBPE

.COOECE

''~BP~~PE~~BE'

5OECE

m即一=---=----

4PEBE

由OE+PE=OP=3,

54

/.OE=-,PE=—,

33

•••CE=4℃2+OE2=卜2+百=?6

BE=yjBP2+PE2=/2+百=，

・・.BC=—V3+-A/3=6^.

33

(3)过C点作CGJLMN,垂足为G,连接CN,

〈MN是直径，

AZMCN=90°,

AZCNM+ZDMP=90°,

VZD+ZDMP=90°,

・•・ZD=ZCNM,

3

VtanZMDB=-,

4

3

tanZCA^M=—,

4

设GA/=3x,CG=4x,

CM=5x,

：.CN=^,

3

:.NG=3,

....25x

：.NM=——

3

：.0M=0N=,

6

AM=2AN，且折+d=膈,

....5A/5IO，?

••AN=-----x,AM=-x，

33

SZA-XA/iiMtzNV=-AM-AN=-MN-AP,

:.AP=—x=PB,

3

：.NP=-x,

3

16511

PG=—x—x——X

333

VZCGE=ZBPE=90°,ZCEG=ZBEP,

...ACGEsABPE,

.CGGECE

"BP-PE-BE?

4xGECE

即~^E~~BE

：.GE=2x,PE=-x

3

ME=5x,NE=----,

3

，ME:NE=3:2,

ME,,..3

——的值为一.

NE2

D

【点睛】考查圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题,

解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题.

4.如图所示：)。与,A6c的边6C相切于点C,与AC、A3分别交于点D、E,DEHOB.DC是一。

的直径.连接0E,过C作CG〃OE交I。于G,连接。G、EC,DG与EC交于点F.

(1)求证：直线与。。相切；

(2)求证：AEED=ACEF；

(3)若EF=3,tanNACE=g时，过A作AN〃CE交」。于M、N两点(M在线段AN上)，求AN的

长.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)10+2B

【解析】(1)由两组平行条件推出NDEO=NBOE,即可利用SAS证明ABOE四△BOC,进而推出AB是圆的切线;

⑵将DG与0E的交点作为H,根据直角的性质得出AE//DF,可得△AECs/iDFC,得出——=——，再根据圆

ACDC

DFFFAFFF

周角定理求出NECD=NEDF,再由一组公共角可得△FEDs\DEC,得出——=——，进而推出——=——，即

ZDCEDACED

AEED=ACEF;

⑶先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,

延长B0到I,连接ON,根据垂径定理可得01垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN.

【详解】(1)VDE//OB,AZBOC=ZEDC,

VCG//OE,.,.ZDEO=ZBOE,

又•.•NDEO=NEDC,Z.ZDEO=ZBOE,

由题意得：EO=CO,BOBO,

.".△BOE^ABOC(SAS),

.•.ZBE0=ZBC0=90°,

；.AB是。0的切线.

如图所示DG与0E交点作为H点，

VE0//GC,

.\ZEHD=ZDGC=90°,

又由⑴所知NAE0=90°,

AE//DF,；.AAEC<^ADFC,

.AE_DF

"AC-DC'

由圆周角定理可知NEDG=/ECG,ZE0D=2ZECD,

VD0//GC,

ZEOD=ZGCD=ZGCE+ZECD,ZECD=ZGCE=ZEDF,

又：ZFED=ZDEC,

.".△FED^ADEC,

.DFEF

"~DC~~ED'

AEEF

••---=---,即AE-ED=AC-EF.

ACED

EF=3,tanNACE=J，与ZACE相等角的tan值都相同.

2

AED=6,则EC=12,

根据勾股定理可得CD=y]ED2+EC2=V36+144=645-

.".E0=D0=C0=3-x/5.

一、〜AEEF1

由（2）可得——=——=-,

ACED2

22

在Rt^AEO中，可得AO?=AE^+EO\即（AC—OCT=AE+EO,

：.（2AE-2=AE2+（3A/5）\

角星得AE=475,贝UAC=875,A0=5石.

连接ON,延长BO交MN于点I,根据垂径定理可知01，MN,

VAN//CE,ZCAN=ZACE.

在RtAAIO中,可得AO2=AI'+IO~,即2+OI2,

解得01=5,则AI=10,

在Rt^OIN中，ON2=IN2+IO1,即（3&『=/N?+52,

解得IN=2遍.

.\AN=AI+IN=10+2>/5.

【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题

目给出的条件.

5.如图，是I。的直径，直线AM与「。相切于点A，直线与_>。相切于点3,点C（异于点

A）在40上，点。在。。上，且CD=C4,延长CD与BN相交于点E,连接AO并延长交5N于点尸.

ACM

（1）求证：CE是。的切线；

（2）求证：BE=EF；

（3）如图，连接E0并延长与。分别相交于点G、X,连接若A3=6,AC=4,求tan/BHE.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）-

3

【解析】（1）连接0D,根据等边对等角可知：ZCAD=ZCDA,Z0AD=Z0DA,再根据切线的性质可知NCA0=

ZCAD+Z0AD=ZCDA+Z0DA=90°=Z0DC,由切线的判定定理可得结论；

（2）连接BD,根据等边对等角可知NODB=/OBD,再根据切线的性质可知NODE=N0BE=90°,由等量减等

量差相等得NEDB=NEBD,再根据等角对等边得到ED=EB,然后根据平行线的性质及对顶角相等可得NEDF=

ZEFD,推出DE=EF,由此得出结论；

（3）过E点作EL_LAM于L,根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tan/BOE的值，再利用倍角公式即

可求出tanNBHE的值.

【详解】（1）连接0D,

•：CD=CA,

：.NCAD=NCDA,

VOA=OD

ZOAD=N0DA,

・・•直线AM与：。相切于点A,

JZCA0=ZCAD+Z0AD=90°

ZODC=ZCDA+Z0DA=90°

ACE＞（。的切线；

ACM

(2)连接BD

VOD=OB

，ZODB=ZOBD,

•・・CE是(。的切线,BF是的切线,

Z0BD=Z0DE=90°

・•・ZEDB=ZEBD

AED=EB

VAM±AB,BN±AB

，AM〃BN

・•・ZCAD=ZBFD

NCAD=NCDA=NEDF

JZBFD=ZEDF

・・・EF=ED

.\BE=EF

(3)过E点作ELLAM于L,则四边形ABEL是矩形,

设BE=x,则CL=4-x,CE=4+X

A(4+X)2=(4-X)2+62

9

解得「二

9

tanZBOE=—==-

0334

VZB0E=2ZBHE

…尸2tanNBHE3

tanZBOE=--------------=一

1-tan2ZBHE4

解得：tanNBHE=—或-3(-3不和题意舍去)

3

1

tanZBHE=—

3

ALCM

H

\V\i\1/

\\W）

BE：-

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数

/,勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键.

6.己知：如图，AB是的直径，点E为。上一点，点D是片后上一点，连接AE并延长至点C,使

ZCBE=ZBDE,BD与AE交于点F.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若平分/4SE，求证：ACr=DFDB.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）利用A6为直径，得出NBE4=90。，利用NBDE=NBAE,NCBE=NBDE得出

4BAE=/CBE,从而得出NEB4+NEBC=90°,进而得出结论；

（2）证出CEJMS.,ADB即可得出结论.

证明：（1）QAB为直径，

.-.ZBEA=90°.

在RNBEA中,ZEBA+ZBAE=9Q°,

又•ZBDE=NBAE/CBE=ZBDE,

：.ZBAE=ZCBE,

.-.ZEBA+ZCBE=90°,即NABC=90°,

.-.BC±AB,

又QAB为（。的直径，

.•.3C是。。的切线；

（2）QBD平分ZABE，

:.ZEBD=ZDBA，

又・ZEBD:/EAD，

:.ZDBA=ZEAD，

又・NFDA=ZADB.

..^FDA^^ADB，

ADFD

"~BD~~AD'

:.AD2=DFDB-

【点睛】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定和性质；证明切线有两种情

况（1）有交点，作半径，证垂直；（2）无交点，作垂直，证半径.

7.如图，在中，NC=90°,AD平分N54c交于点D,0为AB上一点，经过点A、D的0

分别交AB、AC于点E、F.

（1）求证：是的切线；

（2）若BE=8,sinB=—,求。。的半径；

13

（3）求证：AD1=ABAF-

【答案】（1）见解析（2）8（3）见解析

【解析】（1）连接0D,由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得

到内错角相等，进而得到0D与AC平行，得到0D与BC垂直，即可得证；

（2）连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值，利用锐角三角函数定义即可求出r的值；

（3）先判断出/AEF=/B.再判断出NAEF=NADF,进而得出NB=/ADF,进而判断出△ABDs/\ADF,

即可得出结论.

【详解】（1）如图，连接0D,则OA=OD,

.\ZODA=ZOAD,

TAD是NBAC的平分线,

・・・NOAD=NCAD,

・・・NODA=NCAD,

・・・OD〃AC,

.,.Z0DB=ZC=90°,

•・•点D在。0上，

・・・BC是。。的切线；

(2)由(1)知，0D1BC,

.,.ZBD0=90°,

设。0的半径为R,则OA=OD=OE=R,

•・・BE=8,

・・-0B=BE+0E=8+R,

在Rtz^XBDO中，sinB=—,

13

ODR5

sinB=------=--------=—

OBH+813

・・・R=5;

(3)连接OD,DF,EF,

TAE是。。的直径,

・・・NAFE=90°=NC,

・・・EF〃BC,

・・・NB=NAEF,

VZAEF=ZADF,

AZB=ZADF,

由(1)知，ZBAD=ZDAF,

AAABD^AADF,

.AB_AD

AD-AF?

••・AD2=AB・AF.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三

角函数，求出圆的半径是解本题的关键.

8.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图，线段AB

是。。的直径，延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段0B的中点，DELAB交。0于点D,点P是。0上一

动点(不与点A,B重合)，连接CD,PE,PC.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)小明在研究的过程中发现P急F是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加

以证明.

【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质.(1)连接OD,DB,由已知可得DE垂

直平分0B,于是DB=DO,而OB=OD,所以DB=DO=OB,即AODB是等边三角形，于是/BD0=60°,再由

等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得NCDB=30°,从而可得N0DC=90°,所以OD±CD,所以CD

是。。的切线；(2)连接0P,由已知条件得OP=OB=BC=2OE,再利用“两组边成比例，夹角相等”证明

△OEP^AOPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论.

【详解】解：(1)如答图，连接OD,DB,：点E是线段0B的中点，DELAB交。。于点D,，DE垂直平分

OB,；.DB=DO.：DO=OB,，DB=DO=OB,二△ODB是等边三角形，NBD0=NDB0=60。.；

BC=OB=BD,且NDBE为ABDC的外角，NBCD=NBDC=上NDBO.VZDB0=60°，：.ZCDB=30°.

2

Z0DC=ZBD0+ZBDC=60°+30°=90°，.\OD±CD,；.CD是OO的切线;

^⑵这个确定的0值是?

0EOP1

证明：如答图，连接OP,V0P=0B=BC=20E,/.—=——=一,又^.^/C0P=/P0E,.^.△0EPs△0PC,

OPOC2

.PEOP1

【点拨】考查切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

9.如图，AB是。0的直径，点C是。0上一点（与点A,B不重合），过点C作直线PQ,使得NACQ=NABC.

（1）求证：直线PQ是。0的切线.

（2）过点A作ADLPQ于点D,交。。于点E,若。。的半径为2,sin/DAC=g,求图中阴影部分的面积.

2

27r/—

【答案】（1）见解析；（2）-j--y/3-

【解析】（1）连接03由直径所对的圆周角为直角，可得/ACB=90。；利用等腰三角形的性质及已知条

件NACQ=/ABC,可求得/0CQ=90°,按照切线的判定定理可得结论.

（2）由sin/DAC=,，可得/DAC=30°,从而可得/ACD的度数，进而判定AAEO为等边三角形，则

2

NAOE的度数可得；利用S阴影=S扇形-SAAB。，可求得答案.

【详解】解：（1）证明：如图，连接0C,

0

TAB是。。的直径,

.•.ZACB=90°，

VOA=OC,

AZCAB=ZACO.

・.・NACQ=NABC,

・・・NCAB+NABC=NAC0+NACQ=N0CQ=90°,即OC_LPQ,

・•・直线PQ是。。的切线.

(2)连接OE,

VsinZDAC=—,AD±PQ,

2

・・・NDAC=30°,NACD=NABC=60°.

AZBAC=30°,

AZBAD=ZDAC+ZBAC=60°,

又・.,OA=OE,

/.△AEO为等边三角形，

AZA0E=60°.

S阴影=S扇形-SAAEO

=S扇形—-0A*0E*sin60°

2

607r

------x22-IX2X2XT

360

On

图中阴影部分的面积为千-百.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，求弓形的面积和扇形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的

判定和性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.

10.如图，AB为。。的直径，C为BA延长线上一点，CD是。。的切线，D为切点，0FLAD于点E,交CD于

点F.

(1)求证：ZADC=ZAOF；

(2)若sinC=』，BD=8,求EF的长.

3

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】（1）连接0D,根据CD是。。的切线，可推出NADC+N0DA=90°,根据OF_LAD,ZA0F+ZDA0=90

0,根据OD=OA,可得N0DA=NDA0,即可证明；

（2）设半径为r,根据在RtZkOCD中，sinC=-,可得。D=r,OC=3r,AC=2r,由AB为。。的直径，

3

OEOA1

得出NADB=90°,再根据推出OF,AD,OF〃BD,然后由平行线分线段成比例定理可得一=—=-,求

BDAB2

OFOC3

出0E,——=——=—,求出OF,即可求出EF.

BDBC4

【详解】（1）证明：连接0D,

VCDMOO的切线，

.\OD±CD,

ZADC+Z0DA=90°,

VOF±AD,

ZA0F+ZDA0=90°,

V0D=0A,

Z0DA=ZDA0,

.\ZADC=ZA0F；

(2)设半径r,

cA,ft

在RtzXOCD中，sinC=-,

3

OD1

——=-,

OC3

OD=r,OC=3r,

：0A=r,

.".AC=0C-0A=2r,

VAB为。0的直径，

.\ZADB=90°,

XV0F±AD,

.,.0F/7BD,

•OE_OA_1

"BD~AB^1'

；.0E=4,

..OFOC_3

'BD~BC~4'

OF=6,

：.EF=OF-OE=2.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°,

灵活运用知识点是解题关键.

11.如图，在半径为5cm的。。中，AB是。。的直径，CD是过。0上一点C的直线，且ADLDC于点D,AC

平分/BAD,E是BC的中点，0E=3cm.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)求AD的长.

【答案】见解析。

【解析】（1）连接03由AC平分/BAD,OA=OC,可得/DAC=/OCA,AD〃OC,根据AD_LDC,即可证明

CD是。0的切线；

（2）由0E是AABC的中位线，得AC=6,再证明△DACs/\CAB,得期即&□=_§_,从而可得AD

ACAB610

=殁

V

【解答】（1）证明：连接OC,如图：

VAC平分/BAD,

.\ZDAC=ZCAO,

：OA=OC,

.,.ZCAO=ZOCA,

.\ZDAC=ZOCA,

AAD/70C,

VAD1DC,

ACO±DC,

ACDMOO的切线；

(2)YE是BC的中点,且OA=OB,

...0E是aABC的中位线，AC=2OE,

V0E=3,

.\AC=6,

：AB是。0的直径，

.\ZACB=90o=ZADC,

又NDAC=NCAB,

.,.△DAC^ACAB,

•AD—AC即AD=6

**ACAB5T元’

;加=里

5

15.已知。。是，ABC的外接圆，AD为。。的直径，AD1BC,垂足为E,连接B0,延长B0交AC于点

F.

(1)如图1,求证：ZBFC=3ZCAD；

(2)如图2,过点D作。G〃防，交。，。于点G,点H为GD的中点，连接0H,求证：BE=OH

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG,若DG=DE,AAO下的面积为述，求线段CG的长.

5

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)CG=2四.

3

【解析】(1)先推出NBAD=/CAD,然后根据圆周角定理可得出/B0D=2NBAD=2/CAD,根据NBOD=/AOF,

可得出NA0F=2NCAD,根据NBFC=NAOF+NCAD,即可证明结论；

(2)连接0G,证明△OBEg^DOH,即可证明结论；

(3)连接AG,过A点作AM_LCG于点M,过F点作FN_LAD于点N,先推出DE=20E,设0E=m,则DE=2m,

BEO5

0B=0D=0A=3m,AE=4m,根据勾股定理得出CE=BE=2"n，再求出tan/BOE=——=、加=20，tan/

OEm

EAC=—=———=—^~,根据tanNA0F=tan/B0E=2V^，得出^^=2及，设0N=a,贝！JNF=2«a,可

得tanZ

EAC=—=^^-=^1,解出AN,根据AN+NO=AO,解出a=3m,再根据・0A-FN=2也，可求

ANAN2525

出m=l,可得出DH=1,0D=3,BE=CE=OH=20，AE=4,根据勾股定理可得AC=2#,根据OD=OA,DH=HG,

得出AG=20H=4后，推出cosZADG=cosZACM,即可求出CM=2^S,利用勾股定理可得人\1='叵，GM=^^,

333

即可得出答案.

【详解】⑴：AD为。。的直径，ADLBC,

:,BD=CD，BE=CE,

JZBAD=ZCAD,

ZB0D=2ZBAD,

AZB0D=2ZCAD,

ZBOD=ZAOF,

・・,NA0F=2NCAD,

•・・NBFC=NAOF+NCAD,

JNBFO2NCAD+NCAD=3NCAD；

(2)连接OG,

•・•点H为GD的中点,OG-OD,

.*.DH=GH,OH±DG,

VADXBC,

AZAEB=Z0HD=90°,

VDG//BF,

AZB0H=Z0HD=90°,

即NDOH+NBOD=90°,

VZB0D+Z0BE=90°,

・•・ZOBE=ZDOH,

又二OB=OD,

AAOBE^ADOH,

/.BE=OH；

(3)如图，连接AG,过A点作AMLCG于点M,过F点作FNJ_AD于点N,

A

由（2）可知DH=OE,

VDG=2DH=20E,DG=DE,

Z.DE-20E,

设OE=m,则DE=2m,

A0B=0D=0A=3m,

AE=4m,

在Rt^OBE中，BE=y]oB2-OE2=242m，

CE-BE=2，tanNBOE=----------二2J2,tanZ^EAC-——=------=---，

OEmAE4m2

VtanZAOF=tanZBOE=2^/2，

NF「

•••犷2。

设0N=a,则NF=2A/2a，

.十_NF_2缶_V2

••ta.n/pAErAC---=----------,

ANAN2

AN=4a,

VAN+NO=AO,

・・4a+a=3m,

3

・・a=—m，

5

FN=2^2X—m=$忘m,

55

19\/2

VSAAOF=--OA•FN=^^,

25

.£&6x/2_972

••,3m,----mm------，

255

/.m2=l,

m=±l,

Vm>0,

••m=1,

/.DH=1,0D=3,由（2）得BE=CE=0H=2&，AE=4,

在RtAAEC中AC7AE2+CE2=2娓，

VOD=OA,DH=HG,

・・・AG=20H=4五，

VZADG+ZACG=180°,ZACM+ZACG=180°,

・•・NADG=NACM,

cosNADG=cosNACM,

.PH_CM

"~DO~~AC'

.1-CM

"3-2V6'

.RY2A/6

3

在RtZ\ACM中,AM==半,

在Rt.AGM中，GM=JAG?—AM2，

2[2

；.CG=GM-CM=1.

3

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形性质和判定，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，掌握

知识点灵活运用是解题关键.

16.如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分44c交8C于点。，过点A和点。的圆，圆心。在线

段AB上，，。交AB于点E，交AC于点尸.

(1)判断与］。的位置关系，并说明理由；

(2)若AD=8,AE=10,求BD长.

120

【答案】(1)BC与。相切.证明见解析；(2)——.

7

【解析】(1)利用角平分线的定义证明=ZCAD,结合等腰三角形的性质证明ZODA=ZCAD,从

而证明O£>//AC,结合ZC=90°可得答案；

(2)连接DE,先利用勾股定理求解DE的长，再证明「BDES-BA。，利用相似三角形的性质列方程

组求解即可得到答案.

【详解】解：(1)与C。相切.

理由如下：

如图，连接OD,

AD平分44C,

ZOAD=ACAD,

QOA=OD,

ZODA=ZOAD,

ZODA=ACAD,

:.OD//AC,

-ZC=90°,

:.NODB=NC=90。,

Q。在0。上,

.♦.BC是o。的切线.

(2)连接DE,

,:AE为二。的直径，

.-.ZADE=9Q°,

AD=8,AE=1Q,

DE=A/A£2-AD2=6,

ZODB=ZADE=90°,

ZBDE+NODE=ZADO+NODE=90°,

:.ZBDE^ZADO,

OD=OA,

ZADO=ZDAO,

:.ZBDE=ZDAO,

ZB=ZB,

:._BDEs3BAD,

BDDE_BE

"BA^AD~