安徽省亳州市2024-2025学年高三年级上册期末质量检测数学试卷（含答案解析）

安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合人={刃一2<%<3},B={x|y=log2(x+1)},则()

A.{x|-l<x<3}B.{x|x>-l}

C.|x|—2<x<—1|D.{x|-2<x<3}

6-2i

2.的虚部为（）

复数z=71T+=17

A.-6B.-3C.-2D.3

3.四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对

刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检,记录下了8筐耙耙柑中

残次品的个数为5,7,6,3,9,4,8,10,则该组样本数据的第30百分位数为（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.下列函数中为偶函数的是（）

A.=ln(x-l)+ln(x+l)B.y=|sinx-cosx|

C.y=x-3D.y=(X-2『+(2X+1)2

5.已知抛物线C:9=4x的焦点为F，直线2x-y-4=0与C交于P,。两点，则△々Q的

面积为（）

A.2B.3C.6D.8

6.已知a>0,且2是关于X的方程尤2+法一8=0的一个根，则6+9的最小值是（）

aa

A.2B.4C.4A/2D.8

:的取值范围卜石,q,则圆心c（

7.若当动点尸（加,〃）在圆C上运动时,）

A.一定在直线>=-且x上

B.一定在直线>=一%上

3

C.一定在直线y=（道-2卜上D.一定在直线y=（l-6）无上

8.已知四面体PQWN的棱PQ,分别是同一个圆柱上、下底面的直径，若圆柱的体积

为6兀，则四面体PQWN体积的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

9.关于。彳-：［6的展开式，下列结论正确的是（）

A.展开式共有7项B.每一项中x的指数都是偶数

C.各项系数的和为64D.常数项为540

10.若双曲线。：〃*-丁=1（加＞0）的渐近线方程为1=±［尤，且C与直线元=2交于4,8两

点，贝I（）

A.m=2B.|AB|=2

IT

c.C在A,8两点处的切线倾斜角互补D.C在A,8两点处的切线夹角为彳

2

11.已知函数/（x）=2sin（0x+e）-1（0＜夕音］的图象关于点（与,a）中心对称，〃0）=a+l,

〃x）的最小正周期为T,且2兀＜T＜4兀，贝IJ（）

A./（0）=0

D./（无）在区间（0,2冷内最多存在两个极值点

三、填空题

12.已知向量£,方为两个相互垂直的单位向量，则,%-曰=.

13.已知数列｛4｝的奇数项按原来的顺序构成一个以%=3为首项，2为公比的等比数列，

偶数项按原来的顺序构成一个以％为首项，3为公差的等差数列.若｛凡｝的前10项和%=148,

试卷第2页，共4页

贝Ua2=•

14.已知函数=f+依+》，若关于x的方程*”x))=x有唯一解尤=0,则a+6=.

四、解答题

15.如图，在平面四边形ABCD中，AD±AC,AB±BC,AC平分/BCD.

jr

⑴若ZACD=z，CD=2,求8D；

6

Q)若BD=CD,求sin/BCD

16.已知函数%)=lnjr-a(x-1),(2GR.

⑴讨论“X)的单调性；

⑵若“X)在区间(1,e)内存在零点，求a的取值范围.

17.如图，在六面体ABCDEF中，£>尸1平面A3C£>,CE_L平面ABC。，四边形ABC。为

B

(1)证明：平面AD打〃平面3CE；

(2)求直线AF与平面BEF所成角的正弦值.

18.信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X的所有可能取值为1,2,…eN*),

且P(X=i)=Pi>0(z=1,2,.-•,«),fp,=1,定义X的信息燧H(X)=-七pjog?P,.

z=li=\

(1)证明：当且仅当H=1时，H(X)=0；

(2)若〃=3,且必住=1,2),比较“(X)与1的大小；

(3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且

抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为X,求“(X).

19.已知曲线E上任意一点到点川M。)的距离与到直线x=2指的距离之比为1.

(1)求E的方程.

⑵若点尸在圆C:/+(y—1)2=4上，PM,PN为E的两条切线，M,N是切点.

(i)求点尸的纵坐标的取值范围；

(ii)求APMN的面积S的最大值.

附：若曲线反+q=1的两条切线相交于点(%,%),则两侧切点所在直线的方程为

mn

V+3V=1

mn

试卷第4页，共4页

《安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期期末质量检测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ABADBDCBABCBCD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】求出集合3,利用交集的定义可求得集合

【详解】因为集合3=词y=log2(x+1))={x|x+l>O)={x|x>-1},A=1x|-2<x<31,

因止匕，Ac5={%卜1<x<31.

故选：A.

2.B

6-2i

【分析】化简复数2=即可求解.

6-2i6-2i6-2i

z==-l-3i

【详解】，所以Z二1F的虚部为-3.

(M2i1+1

故选：B

3.A

【分析】把给定的数据组由小到大排列，再利用第30百分位数的定义求出结果.

【详解】残次品的个数由小到大排列为：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得该组样本数据的第30百分位数为5.

故选：A.

4.D

【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行判定即可.

【详解】对于A,由x-l>0且x+l>0可得y=ln(x-l)+ln(x+l)的定义域为(1,内)，所以

函数y=ln(x—l)+ln(x+l)为非奇非偶函数，A错误；

对于B,函数y=binx-cos,的定义域为R,令/(x)=binx-cosx|,

f(-x)=|sin(-x)-cos(-x)|=|-sinx-cosx|w〃尤)，:.函数ygsinx-cos,不是偶函数，B

错误；

答案第1页，共13页

对于C函数y=x-3的定义域为(F,O)U(O,M),令〃X)=X-3,则

f(-x)=(-x)-3=-x-3=-/(%),所以函数>为奇函数，C错误；

对于D,函数y=(x-2y+(2x+l『的定义域为R,令/(X)=(x-2)~+(2x+l)~=5工2+5,

/(-x)=5(-x)2+5=/(x),

.,•函数y=(x—2)2+(2x+l)2为偶函数，D正确.

故选：D.

5.B

【分析】将直线方程与抛物线方程联立，解方程可得忸0,然后结合点到直线距离公式可得

答案.

>4'=>（2尤一4）~=4x=>x?-5无+4=0.

【详解】

2x-y-4=0'7

解得：尤=1或x=4,由图，P(4,4),2(l,-2),则|尸@=,32+62=3小.

|-2|9

又由题可得尸(1,0),则点尸到PQ距离为d=~^==忑.

则△FPQ的面积为g|尸。|•d=gx3A/5X-^=3.

【分析】由韦达定理得到b=4a-42,得到6+6?=44+4?,由基本不等式求出最小值.

aaa

【详解】d+6x-8=0中，A=b2+32>0,故方程Y+法-8=0有两个不等实根,

设/+陵-8=0另一个根为机，

答案第2页，共13页

27

-+m=-b

a

由题意得

2

—•m=-8

由一=—8得机=—4a,故4〃=-Z?,即b=4〃—,

aaa

476、2644

故b-i--=4。---1--=4。-1——,

aaaa

因为a>0,由基本不等式得6+9=4a+±22j4a-3=8,

aaxa

4

当且仅当4Q=—,即〃=1时，等号成立.

a

故选：D

7.C

【分析】分析可知，直线y=-J£、y=为圆C的两条切线,设圆心。（。力），数形结

=走了的距离都相等，可

合可知，直线OC的斜率为负数，利用圆心C到直线y=-gx、y

3

求得士b的值，由此可得出结论.

a

rj

【详解】如下图所示：k=~,

OPm

因为己的取值范围-6,坐，

m3

-兀］（2兀"

所以，直线OP的倾斜角的取值范围是0,-U—,71,

L6」I3」

由题意可知，直线y=-6x、y=^x为圆C的两条切线,

即直线+y=0、x-6y=0为圆。的两条切线，

答案第3页，共13页

b

由图可知，直线oc的斜率为负数，则一＜0,

a

设圆心C（a,b）,则因+）上屏|,整理可得（耳+6『一,一.『=0,

即a。+26ab-/=0,可得化］-2A/3•--1=0,

\a）a

因为2＜。，解得"百-2,因此，圆心C一定在直线y=（g-2）尤上.

故选：C.

8.B

【分析】先说明点M，N到平面尸。。的距离相等都为d,再应用圆柱体积公式计算，结合不

等关系即可求得三棱锥体积最大值.

【详解】设圆柱。。的底面圆半径为「，圆柱的高为〃，点“到平面尸。。的距离为“，

因。是的中点，故N到平面尸。。的距离也为d,

由圆柱。。的体积为兀//?=6兀，可得，〃=6,

+

故Vp-QMN=^M-POQ=gX2dXS^p0Q

=­x—x2rx/?=—drh＜—r2h=4.

3233

当且仅当d=r时取最大值4.

故选：B.

【点睛】思路点睛：解题思路是转化四面体的体积为两个三棱锥的体积和，进而结合距离范

围求解.

9.ABC

【分析】根据二项式展开式的特征即可求解A,根据通项的特征即可求解BD,利用赋值即

可求解C.

【详解】对于A,根据〃=6,即可得展开式共有7项，故A正确，

答案第4页，共13页

对于B，13x-J的展开式的通项为C；(-l)r36-rx6-rx-r=q(-l)r36-rx6-2\r=0,1,2,3,4,5,6,

由于6-2r为偶数，因此每一项中x的指数都是偶数，故B正确，

对于C,令x=l,则系数和为(3=2，=64,故C正确，

对于D,令6-2r=0,故r=3,故常数项为33=-27x20=-540,故D错误，

故选：ABC

10.BCD

【分析】选项A,由渐近线方程可得7〃=：；选项B,联立C与直线x=2,得A8坐标，进

而可得；选项CD,联立切线方程和双曲线方程，由△=(),求得在A,8两点处的切线斜率，

进而可得.

【详解】由双曲线的渐近线方程y=±等x,可得故A错误；

双曲线的方程为万=1,当尤=2时，＞=±1,

故A(2,l),5(2,-1),故|明=2,故B正确；

设双曲线在点A处的切线方程斜率为k,则切线方程为y=k(x-2)+l,

联立］_y2=］可得0_2左2)X?+4左(2左_l)x_2(2左_1)2_2=0,、

则A=14k(2k-1)?-4(1-2阴/2(2左-1『-2)=0,得左=1,

故切线方程为：y=x-i,

同理可得双曲线在点8处的切线斜率为-1,方程为y=-x+l,

故C在A3两点处的切线倾斜角为:手故CD正确，

44

故选：BCD

11.ACD

答案第5页，共13页

【分析】A由三角函数对称中心性质可判断选项正误;B由A分析结合〃0）=。+1可得夕=F，

6

8兀

然后由2兀＜7＜4兀结合周期计算公式可判断选项正误；C由B分析可计算了,结合图

象关于点（午,

中心对称可判断选项正误；D由B分析，^—+-=-+kjt,keZ,可得

862

x关于左的表达式，然后由工£（。,2兀）可判读极值点个数.

4mI1八

【详解】对于A,由/（x）图象关于中心对称，可得2sin丁+。=0,

a=-l,贝U/（0）=a+l=0,故A正确;

1兀

对于B,由A分析，2sine—l=0nsin0=—n0=一

26

…（4^71兀）八4^71兀713k

则sin------+—=0=>------F—=左兀=>co------F—,ksZ.

36）3684

2兀1

又/（X）的最小正周期为T，且2兀<7<4兀，贝|2兀<网<4兀=>5<网<1.

113,,1,3„71

则nl展<一^+了“<k<

Zo42Z62

则取左=±1满足题意，得或5。=-7（，故B错误；

OO

对于C,由B分析，/（x）=2sin^|x+^-l^/（x）=2sin^-1x+^-l.

„,A871>1c.（11兀、1c.兀1,（8兀）c.（13兀）1c.兀1c

则/1三）=2$1口［-^_）_］二_251117_］=_2或4后厂201111--—l-l=-2sin--l=-2,

又由题可知"X）图象关于点［与,-1］对称，则］手卜-1=271?）=-2,故c正确;

r_L十c5i人5%兀兀78兀8E7r

D,co——r日l寸，1———Fku=^>x=--1------,左£Z,

8862155

8兀8kli_1.11

由0<%=—+——<2兀=>一一<k<—

155312

则左=0时，“X）在区间（0,2兀）内有一个极值点;

7r_L人7%兀兀78兀8kli7r

co=——时，令----F—=—+E=>x=--------------，keZ,

8862217

由。＜“一包一鲍＜2兀n.”〈心一L

217123

则A=-1或左=-2时，〃x）在区间（0,2兀）内有两个个极值点；综上，〃x）在区间（0,2兀）内

最多存在两个极值点，故D正确.

故选：ACD

答案第6页，共13页

【分析】由向量夹角公式可得答案.

/___\a\a-b\

【详解】由题，cos(a,a-b)=,।,

又0%=0,卜|=W=1,=7+片-2£-5=2=卜-5卜点

/、aAa-b}]^2/\

则cos(a,£-6)=^^=*=三，又@,£一方)40,可，

则(痴_3)=£

故答案为：—

4

13.5

【分析】由等比数列和等差数列的前〃项和公式可得.

【详解】由题意可知

3(]—25)

%+/+%+%+"9=3+3X2+3X22+3x嗯+3x2，=----------=93，

1—2

。2+%+%+4+4o=%+(%+3)+(%+3x2)+(%+3x3)+(%+3x4)=5a?+30

由S10=5a2+30+93=148得%=5,

故答案为：5

14.1

【分析】根据判别式A=(a—Ip—4〃=0,结合零点为0即可求解.

【详解】由于关于X的方程/(〃x))=x有唯一解，

且/⑺=_?+依+》=彳有唯一的实数根，故公=(。-1)2-46=0,

故又零点为尤=0,故/(0)=6=0,

因止匕a=1,

故a+b=l,

故答案为：1

答案第7页，共13页

⑵手

【分析】(1)根据条件求AC,BC的长，在△BCD中，由余弦定理可求20.

(2)^ZACD=eU<0<^,CD=BD=a,表示BC,在△38中利用余弦定理结合同

角三角函数基本关系可求cos〃和sin。，由此可得结果.

TT7T

【详解】(1)vACWZBCD,AZACB=ZACD=~,故N3CO=2ZACO=—,

63

VADLAC,AB^BC,

3

AAC=CDcosZACD=73,BC=ACcosZACB=-,

2

____________________________内

在公BCD中，由余弦定理得BD=VBC2+CD2-IBCCDcosZBCD=—.

2

(2)设/ACD=«0<e<3，则NBCD=2"

设CD=BD=a,贝!JAC=acos0,BC=acos20,

在△3CD中，由余弦定理得cos26=优+“-=lcos2e,

la•acos02

,**cos26=2cos20—19**•-cos20=2cos20—1,

2

・n_&•n_石

••cosu=—，sinu——9

33

sinZBCD=sin20=2sin6cos6=2忘.

3

16.(1)答案见解析

【分析】（1）利用导数分类讨论单调性；

（2）结合函数单调性和零点存在定理求。的取值范围.

【详解】（1）/（无）=:一。，

若&V0,则尸（尤）＞0,所以“X）在（0,+8）上单调递增.

若4＞0,令［（尤）=。，得X=L

a

当0＜x＜，时，/,（x）＞0,当x＞,时，f,（x）＜0,

aa

所以/（x）在上单调递增，在［j,+s］上单调递减.

综上所述，当aWO,f（x）在（0,+e）上单调递增；

答案第8页，共13页

当a>0,〃尤)在上单调递增，在上单调递减.

(2)当aWO时，/(X)在(0,+8)上单调递增，

故/(x)有唯一的零点x=l,不满足题意.

当。>0时，”外在(。,£|上单调递增，在(：,+，!上单调递减，

故〃尤)的极大值为/]4/⑴=。，

;1

\一<e,

要使“X)在区间(Le)内存在零点，须a.

/(e)<0,

fl,

-<a<l,1

即e解得

lne-di(e-l)<0,e

故”的取值范围是(士,11

17.(1)证明见解析

⑵！

【分析】(1)利用面面平行的判定定理可得答案；

(2)连接AC,BD交于点0,取所的中点G,以。为坐标原点，OB,OC,OG所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出而坐标、平面时的法向量，再由

线面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)因为。尸工平面A8CD,CEL平面458,

所以DF//CE.

又分u平面ADF,CE不在平面AD尸内，

所以CE〃平面

因为3C〃AD,A£>u平面ADF,8c不在平面ADF内，所以3c〃平面ADF.

又CEC3c=C,CE,BCu平面BCE，所以平面ADFH平面BCE；

(2)如图，连接AC,BD交于点0,取8尸的中点G,

因为G、。分别为哥"、BD的中点，所以OG//DF,

又£)尸1平面A3CD,所以0G_L平面ABC。，

又因为ABCZ)为菱形，所以OBLOC,

故以。为坐标原点，OB,OC,OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴

答案第9页，共13页

建立如图所示的空间直角坐标系，

则电-后0),5(1,0,0),£(0,73,1),广(-1,0,2),

所以丽=(-2,0,2),BE=(-1,^,1),AF=(-1,V3,2).

设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),

m-BF=0—2%+2z=0

则即r-,取沆=(1,0,1).

m-BE=0—兀++z=0

设直线AF与平面BEF所成的角为。,

I—.I|AF-m|1-1+211

则sin0=1cosAF,m=\——j--=-L=——=—

府悯V8XV24

即直线反与平面圆所成角的正弦值为;.

18.(1)证明见解析

⑵H(X)>1

⑶〃(X)=2一*

【分析】(1)当"=1时，H(X)=-log2l=0,当心2时，由0<己<1可得"(X)>。，由

此可说明结论成立.

(2)根据条件可计算0,P2,幺的值，由此可计算”(X),进而比较大小.

(3)根据题意表示口«=1,2,…,20),利用错位相减法计算”(X).

【详解】⑴若"=1,则R=l,所以X(X)=—pJog20=-log21=O.

当此2时，因为0<P,Y1,所以-pJogzPj所以“(X)=-fpJogzPi>0.

Z=1

综上可知：当且仅当“=1时，H(X)=0.

答案第10页，共13页

(2)由P2-P1=R得P2=2”,由P3-02=Pl，得R=3R.

因为PI+02+P3=1，所以6Pl=1,解得R=,，于是。2=<，A=7.

o32

口I"1"I"D"乙"-2"Q

”(X)二一71Og27+71OS2-+-log2-=710^6+-10§23+-=-+-10§23.

oJJ2Zyo3Z3Z

21

因为log?3>l,所以》(x)>]+j>L

(3)由题意知，X="i=l,2,…,19)表示前(7-1)次都正面朝上，第i次反面朝上，X=20表

示前19次都正面朝上，

贝|」月=P(X=l)=g,2=P(X=2)=gx：=J,a=P(X=3)=，xg=J,

09=尸。”六导9击,%=P(X=2O)=

II19

所以-pjog2Pi=^?log22,二要(1w，w19),-P20log2220=萍.

23181919

所以"(乂)=5+球+百■+…+/+源+源.

、几01231819rMic1231819

设5=1——---1——7^fJKy-S=-r--\—z-H—r-*---1—TT-H—^7，

222232182192222324219220

曰1cli1119.119.21

两式相减何/S=]+^+梦+•••+源-*=1-萍一更=1-旃，

21

所以S=2--^-,

故"")=5+7=2—马+鼠=2一』.

19.(1)—+^=1

63

⑵(i)(1,3](ii)4

【分析】(1)设(x,y)是曲线E上任意一点，根据题意得到方程，化简得到E的方程；

(2)(i)点P在圆上，得到又点尸在椭圆E外，求出圆和椭圆交点坐标，数形

结合得到答案；

(ii)设由题可知直线MV的方程为>=-―-彳+』，设％=-白，b=—,联

立直线MN和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到求出点P到直

线