2025新高考数学复习专练：立体几何（30题）（解析版）

黄金冲刺大题03立体几何

1.(2024•黑龙江•二模)如图，已知正三棱柱ABC-44。的侧棱长和底面边长均为2,M是的中点，N

是A耳的中点，尸是Bg的中点.

(1)证明：肱V〃平面4CP；

(2)求点P到直线MN的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵6

【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A-孙z,设平面尸的一个法向量为万=(x,y,z),利用空间向量法

证明加工=0即可；

(2)利用空间向量法即可求解点线距.

【详解】(1)由题意知，A41_L平面ABC,ZBAC=60°,而ABu平面ABC,

所以在平面ABC内过点A作y轴，使得ABIy轴，

建立如图空间直角坐标系A-型，

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(l,0),4(0,0,2),B,(2,0,2),得“(3,3,0),N(l,0,l),P(3,@,2),

2222

所以水=(l,g,-2),郎=§,乎,0),丽=(-；,-乎,1),

设平面4cp的一个法向量为元=(x,y,z),

n•A^C=x+若y-2z=0

则一，令x=l,得y=-A/§\Z=-1所以3=（1,-疯-1）,

n^P=，+也y=0

22

所以向S3=-；xl+(-等)x(-』)+lx(-D=0,又跖V不在平面ACP内

即MN〃平面4CP；

(2)如图，连接PM,由(1)得丽=(0,0,-2),

则丽・丽=-2,西=①网=2,

,(MN-PM26

所以点尸到直线MN的距离为d=卢必一(2)=杷.

2.(2024•安徽合肥•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，/区位)=60。,加是

侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面上4£>_1_底面ABCD.

P

(1)求三棱锥M-ABC的体积；

(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(呜

(2)画.

11

【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M到平面ABCD的距离为也,

进而由锥体体积公式求出答案；

(2)证明出建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求

出线面角的正弦值.

【详解】(1)如图所示，取AD的中点。，连接尸0.

因为△R4D是正三角形，所以尸OLAD.

又因为平面底面ABCD,尸Ou平面P4D,平面E4Dc平面ABCD=AD,

所以PO,平面ABCD,且尸0=血.

又因为M是PC的中点，M到平面ABCD的距离为也，

=—x2x2xsin——

所以三棱锥ABC的体积为'/、且=!

322

(2)连接80,80,因为/84£>=冗:，

所以△ABD为等边三角形，所以BOJ_AE),

以。为原点，0Ao尻。尸所在直线分别为x轴，>轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,不),A(1,0,0),2(0,H0),。卜2,君,0),

所以M-1,，丽=(0,百,-6),初=(-2,0,0).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

PB»=OfJ3y-x/3z=0

则—，即7>7U,解得x=o,取z=l,则"1,

BC-n=O[-2x=0

所以力=(0,1,1).

设与平面P3C所成角为e,

皿一I1-2堂$(0,1,1)L

则sind=|cosAM,«|=_=LJ-------=叵.

1

口刎•同、产Lg11

V44

即AM与平面PBC所成角的正弦值为叵.

11

3.(2023•福建福州•模拟预测)如图，在三棱柱ABC-AqG中，平面相GC_L平面

ABC,AB^AC=BC^AAi^2,6B=底.

(1)设。为AC中点，证明：ACm^DB；

(2)求平面AA与与平面ACGA,夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵当

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出BDLAC,根据平面ACGA，平面ABC得出8。/平面ACC0,

BD±ArD,利用勾股定理得出ACJ.AQ,从而证明AC,平面AQB；

(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面AA用的法向量和平面ACGA的一个法向量，利

用向量求平面AA与与平面ACG4的夹角余弦值.

【详解】(1)证明：因为。为AC中点，S.AB=AC=BC=2,

所以在AABC中，有3DLAC,且80=6，

又平面ACQA,1平面ABC,且平面ACGAPI平面ABC=AC,BDu平面ABC,

所以应平面ACGA,

又AOu平面ACGA，则BOJL4。,

由=BD=陋,得^。二石，

因为AO=1,M=2,AD=K,所以由勾股定理，得AC，A。，

又ACLBD,A,D^BD=D,\D,BDcAtDB,所以AC,平面

(2)如图所示，以。为原点，建立空间直角坐标系。一孙z,

可得4(1,0,0),A(0,0,扬,5(0,73,0),

则丽=卜1,0,若)，丽=卜1,白,0),

设平面AA用的法向量为为=(x,y,Z),

n,AA=—x+=0r-

由＜—.「，令x=6，得y=i,z=i,

n-AB=-x+j3y=0

所以而=(6,1,1),

由(1)知，BD2平面ACGA，

所以平面ACGA的一个法向量为而=(o,-百,0),

记平面4A片与平面ACGA的夹角为。，

\n-BD\&也

贝[]cosa=----=—f=——尸=—,

\n\\BD\x735

所以平面AA片与平面ACGA夹角的余弦值为£.

4.(2024•山西晋中•三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=瓜,EC±ED,且.EC=ED=&,AB

平行于平面CDE,AE平行于平面BCD,AEYCD.

(1)证明：平面/WE2平面COE；

⑵若点A到直线CO的距离为2a，尸为棱AE的中点，求平面或)尸与平面5CD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

叵

35

【分析】(1)设平面⑷话与直线CD交于点使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；

(2)证明BE,平面CDE,然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.

【详解】(1)设平面ABE与直线CZ>交于点连接ME,MB,则平面ABE与平面CDE的交线为ME,平

面ABE与平面BCD的交线为MB,因为AB平行于平面CDE,ABu平面ABE,平面ABE和平面CDE的交

线为ME,所以的〃ME.同理所以四边形ASAffi1是平行四边形，故AB//ME.

因为CDJLAE,AE\\MB,所以COLMB,又BC=BD=®所以M为棱CD的中点

在ACDE中，EC=ED,MC=MD,所以CD_LME,由于AB〃腔，故CE>_LAfi.

而CD_LAE,ABp\AE=A,AB,AEu平面ABE,所以CDJ_平面ABE,

又CDu平面CDE,所以平面平面CDE.

(2)由(1)可知，CD_L平面ABA花，又AMu平面ABME,所以CD_LA〃.

而点A到直线8的距离为2后，故AM=20.

在等腰直角三角形CDE中，由EC=ED=^，得CD=2,MC=MD=ME=L

在等腰三角形BCD中，由MC=ME>=1,BC=BD=屈,得BM=下.

在平行四边形ABME中，AE=BM=也,AB=EM=1,AM=2也,

由余弦理得cosZMEA=-------------------------=-------,

3EM24E

所以cos/BME、］,所以BE7BM?+EM^—ZBME='

因为81+〃£2=22+12=（君『=8加2,所以BE_LME.

因为平面ABME_L平面CDE,平面ABME和平面CDE的交线为儿ZE,BE在平面ABME内.

所以平面CDE

如图，以E为坐标原点，成，而，而分别为％y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则E（0,0,0）,C（衣0,0）,。（0,也0）,B（0,0,2）,A一冬一冬2,F一字一孝,1

3、

所以加=卜0,0,0）,历=（o,-后,2）,丽=---,---,1.

44

7

m-CD=0—s/2Xj+=0

设平面3CD的法向量为庆=&,%,4）,则＜—，即

m-DB=0_+2Z]=0

则可取为=2,得用=（2,2,0）.

n-FB=0L+=。

设平面BDF的法向量为为=（X2，%，Z2），贝卜,即2

n-DB=0_^\[^丫2+2z2—0

取Z2=l,则为=卜30,痣,1）

\m'n\-30V105

设平面助m与平面BCD的夹角为6,则cosO=

|m|-|n|-VlOx^35

所以平面3£加与平面BCD夹角的余弦值为叵.

35

5.（2024•辽宁•二模）棱长均为2的斜三棱柱ABC-44。中，4在平面ABC内的射影。在棱AC的中点处,

产为棱4月（包含端点）上的动点.

B

⑴求点P到平面ABG的距离；

（2）若AP2平面a,求直线8G与平面a所成角的正弦值的取值范围.

【答案】（1）噜;

⑵[|吗.

【分析】（1）以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABG的法向量，再利用点到平面距离的向量求法

求解即得.

（2）由向量共线求出向量荏的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.

【详解】（1）依题意，4。，平面ABC,O3LAC（底面为正三角形），且=也，

以。为原点，5反反，西的方向分别为x，％z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则0(0,0,0),A(0,-l,0),B(A/3,0,0),C(0,1,0),A(。,。,有),G(0,2,73),

AQ=(0,3,V3),BC；=(-73,2,73),丽=(0,1,®

由A31//AB,4与（Z平面ABC]，ASu平面ABG，则4月〃平面ABC1,

即点P到平面A3G的距离等于点A到平面A5G的距离,

n-AC,=3y+A/3Z=0一厂

设4=(%,y,z)为平面A3cl的一个法向量，由<-.「，取z=3,得〃=(1,一3),

n•BC［=-v3x+2y+<3z=0

„八皿一,IAA-n|2-\/32-$/39

因此点A到平面ABC1的距曷d=—^4----=—j==——

\n\屈13

所以点尸到平面ABG的距离为唯.

(2)设其尸=%44，之£[04]，

则福=丽+率=行+；1而=(0,1,6)+4(61,0)=(同1+4月),

由APLa,得互为平面a的一个法向量，设直线BG与平面a所成角为°,

\BCAP\_______|5-X|_______5-A

则sin0=|cos(BCj,AP)|=X

IBQIIAPI质、3矛+(1+田2+32下•&抬+九+2

令7=5—几，则4=5—t,te［4,5］,

.„tt11

sin(J-........................=--------------------.................-______

则2后，2(5-)2+(5—)+22-<2/-2k+5726卜子+厂2闻57(；一力+£

由法［4,5］,得于是57(二总)2+、£，11］，2后卜7(1一歹+~［等,生,则

t54t38762516'1387652

sineeg,平］,

所以直线与平面a所成角的正弦值的取值范围是［|,乎］.

6.(2024•重庆•模拟预测)在如图所示的四棱锥尸-ABCD中，已知A3〃C。，ZBAD=90°,CD=2AB,JAB

是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD〃平面AMC.

⑴证明：PM=2BM；

(2)若侧面上钻，底面ABC。，CM与底面ABC。所成角的正切值为求二面角P-AC-3的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;

⑵票

【分析】（1）连接与AC交于点连接由已知得一二",由线面平行的性质得尸。〃石M,

CDED

根据三角形相似可得笆=器=:，即尸M

EDPM2

（2）设A3的中点。,首先由已知得底面A5C0,在中过点M作叱〃尸O交A5于点尸，得叱_L

底面ABCD,则ZMCF为CM与底面ABCD所成角,在底面ABCD上过点。作OGJ_AC于点G,则/PGO

是二面角尸-AC-3的平面角，根据条件求解即可

【详解】（1）证明：连接8。与AC交于点E,连接EM,

在AEAB与AECD中，AB//CD,=,

D

由CD=2AB,得ED=2EB,又：PD//平面AMC,

而平面PBOpI平面40C=ME,PDu平面PBD,

PD//EM,

..EBBM1.

在△A尸中，-=-=..PM=2BM-,

(2)设4B的中点。，在正AXAB中，POLAB,

而侧面底面A3CD,侧面RLBc底面ABCD=AB,且POu平面上4B,

尸。人底面ABCO,

在△JyiB中过点M作MF//PO交A3于点E

•*.MF_L底面ABCD,

NMCF为CM与底面ABCD所成角，

:.世=立,设AB=6a,

CF11

MF

则=氐，，CF=lla,BF=-^=a,则在直角梯形ABCD中，AF^5a,

而CD=12a,则CD=J(lla)2-(12a-5ay=6缶,

在底面ABCD上过点。作OG_LAC于点G,

则NPGO是二面角P—AC—3的平面角，易得Q4=3〃，AC=6瓜a,

在梯形4BC力中，由色=生=口巴=坐I,得OG=6。,

OGADOG6屈a

在Rt△尸OG中，PG=^a,cosZPGO=—=.

PG10

7.(2024•安徽•模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开

积极发展特色农业，建设蔬菜大棚.如图所示的七面体

ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m,AD=4m,

ED=CF=lm,且E。，CP都垂直于平面ABCD,GA=GB=5m,HE=HF,平面ABG_L平面ABCD

(1)求点H到平面ABCD的距离;

(2)求平面BFHG与平面AG8E所成锐二面角的余弦值.

【答案】⑴4

喔

【分析】(1)取AB,CD的中点M,N,证得平面ADE//平面肱阳G,得到AE7/GH,再由平面ABG//平

面CDEHG,证得AG//EH,得到平行四边形AGHE,得到GH=AE,求得HN=4,结合HN工平面ABCD,

即可求解；

(2)以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面3b“G和平面AGHE的法向量

■=(1,3,4)和莉=(1,-3,4),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)如图所示，取的中点连接GM,MN,HN,

因为G4=G3,可得GM_LAB,

又因为平面ABG_L平面ABCD,且平面ABGc平面ABCD=AB,GMu平面ABG,

所以GM_L平面ABC。，同理可得：HN_L平面ABCD,

因为平面ABCD,所以EDUHN,

又因为ED<Z平面肱忸G,HNu平面MNHG,所以ED//平面MNHG,

因为MN//AD,且相>《平面相VHG,MNu平面MNHG,所以">〃平面初VHG,

又因为AZ)cZ)E=。，且A3OEu平面ADE,所以平面ADE〃平面MNHG,

因为平面AE"G与平面ADE和平面MVHG于,可得AE//GH,

又由GMUHN,AB//CD,且ABAGAf=M和C£>n〃V=N,

所以平面ABGH平面CDEHG,

因为平面AE77G与平面A3G和平面CDEHF于AG,EH,所以AG//EH,

可得四边形AG"E为平行四边形，所以GH=AE,

因为AE=jAZy+DE?='42+俨=后,所以GH二历,

在直角AAMG,可得GM=也2_《)2=,52—42=3,

在直角梯形GMZVN中，可得削=3+J17-42=4，

因为罚V，平面ABCD,所以点H到平面ABCD的距离为4.

(2)解：以点N为原点，以M7,NC,M/所在的直线分别为羽y,z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，则E(0,-4,1),F(0,4,1),G(4,0,3),H(0,0,4),

可得麻=(0,-4,-3),HF=(0,4,-3),HG=(4,0,-1),

万.HG—4x—z—0

设平面屏HG的法向量为方=(x,y,z),则_,

n-HF=4y-3z=0

取z=4,可得尤=l,y=3,所以3=(1,3,4),

一m-HG=4a-c=0

设平面AGHE的法向量为m=(a,4c),贝IJ一，

m•HE=-4b-3c=0

取c=4,可得。=1,。=一3,所以证=(1,一3,4),

f-m-n1-9+164

则侬几"丽=Ji+9+i6.Ji+9+16=ii'

4

即平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值7T.

8.(2024•重庆•模拟预测)如图，ACL也为菱形，AC=BC=2,NAC3=120。，平面ACDEL平面ABC,点

N分别在直线CD,AB上.

(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若NE4c=60。，MN为直线CD,

AN

AB的公垂线，求方的值;

(3)记直线8E与平面ABC所成角为a,若tana＞应，求平面BC。与平面CFD所成角余弦值的范围.

7

【答案】(1)证明见解析

⑵1

⑶18，5J

【分析】(1)先通过余弦定理及勾股定理得到CF，AC,再根据面面垂直的性质证明；

(2)以C为原点，C4的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C-孙z,利用向量的坐标运算

MNCD=0

根据,列方程求解即可;

MN-AF=0

⑶利用向量法求面面角，然后根据tan”修列不等式求解.

【详解】(1)AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=12,42=2后，AF=2FB,

J.A/Q—►1—►2—►—.21—>24—*24—►—.4

所以4尸二3，CF=-CA+-CB,CF=-CA+-CB+-CACB=-f

3339993

416i

AC02+CFo2=4+-=—=AF2,贝l]CF_LAC,

又因为平面ACDE_L平面ABC,-T®ACDECl5p®ABC=AC,CFu面ABC,

故C5_L平面ACDE；

(2)以C为原点，C4的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C-孙z,

由/E4c=60。，可得NZ)CA=120。，DC=2,

所以C(0,0,0),代),4(2,0,0)1。，三,0

I3J

所以赤=-2,*-,0,CD=(-1,0,A/3),

I§J

___(2n、(2n、

^AN=AAF=-2A,^—A,0,贝IJN2-22,1^2,0,

、3JI3,

CM=/uCD,则M卜〃,0,也〃)，MN=f2-22+//,~~~—,

22-2—//—3/z=0

MN-a)^0

由题知，*______=>4

MN-AF=Q42-4-2//+-2=0

(3)网-1,"。)，设/£4c=d,

贝UE(2-2cosa0,2sin。)，8E=(3-2cos0,-迅,2sin。)，

可取平面ABC的法向量行=（0,0,1）,

n-BE\12sin0\

Ijlllsina=cosn,BE=-J~~；——L

同•阿J(3-2cos6»y+3+4sin2eJ"3cos0

Jd-Scosd-sin?0

COS。=

,4一3cos6

sin®A/21

贝|tana=>---，

^4-3cos^-sin207

整理得lOcos?9—9cos8+2<0,故cos6G14)1

,0,CD=(-2cos6>,0,2sin6>),屈=卜1,6,0),

-2xcos0+2zsin6=0

n^CD=0

记平面CO尸的法向量为4=(x,y,z),则有＜n<

n[-CF=0

可得勺=(sina0,cos6),

n•CD=0-2acos0+2csin0=0

记平面C2£)的法向量为%=(a,6,c),则有，2=><

n2cB=0—a+y[3b=0

可得〃2=(gsin6,sin0,用cos8),

记平面BCD与平面CED所成角为九

I―►—Ayfi

贝Ucosy-cos,n=.=,cos0G

121V3+sin200

321(7154#]

所以sit?。£,,3+sin」9G

452525J

7

9.(2024•安徽•二模)将正方形ABCD绕直线AB逆时针旋转90°,使得8到石尸的位置，得到如图所示的

几何体.

(1)求证：平面ACFJ_平面BDE；

(2)点M为0歹上一点，若二面角C-AM-E的余弦值为：，求NM4D.

【答案】(1)证明见解析

⑵NMAE）=45°

【分析】(1)根据面面与线面垂直的性质可得3D，AF,结合线面、面面垂直的判定定理即可证明;

(2)建立如图空间直角坐标系，设/MW=a,AB=1,利用空间向量法求出二面角C-AM-E的余弦值，

]_smcccosCJCI

建立方程J?=a,结合三角恒等变换求出a即可.

A/1+sin-aA/1+cos-a-)

【详解】(1)由已知得平面平面MET,AF_LAB,平面ABCDc平面AB£F=AB,AFu平面ABEF,

所以AF_L平面ABCD,又3Z)u平面ABC。，故3£>_LAF,

因为ABCD是正方形，所以3D，AC,

AC,AFu平面ACT,ACcAF=A,所以皮)工平面ACF,

又5Du平面3DE,所以平面ACF_L平面

(2)由(1)知AD,AF,AB两两垂直，

以AD,AF,AB所在直线分别为无，,，z轴，建立空间直角坐标系，如图.

设Z.MAD=a，AB=1,

则A（0,0,0）,M（cosa,sina,0）,C（l,0,l）,E（0,1,1）,

故AM=(cosa,sin/0),AC=(1,0,1),AE=(0,1,1)

设平面AMC的法向量为庆=(%，X，zJ,则玩.恁=0，m-AM=0

(x,+z,=0

故＜,，取玉=sina,贝I%=.cosa,4=-sina

[x1cosa+yxsina=0

所以桃=(sina,-cosa,-sina)

设平面4WE的法向量为为=(*2，%，22)，加费=0，n-AM=0

[y2+z2=0

故〈.，取兄2=sma,贝1]%=-cosa,z2=cosa

[x2cosa+y2sina=0

所以为=(sin%-cosa,cosa),

1一sinacosa

所以cosm,n=

Vl+sin2cifVl+cos2a

1-sincrcosa1

由已知得Jl+sin%Jl+c°s%=§'

,7

化简得：Zsin?2a—9sin2a+7=0，解得sin2tz=1或sin2c=不(舍去)

故a=45°,BPZMAD=45°.

10.（2024•安徽黄山•二模）如图，已知AB为圆台下底面圆。।的直径，C是圆。।上异于的点，。是圆

台上底面圆。2上的点，且平面D4CL平面ABC,DA=DC=AC^2,BC=4,E是8的中点，BF=2FD-

⑴证明：DO2HBC.

（2）求直线与平面A斯所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

6\/85

【分析】（1）取AC的中点O,根据面面垂直的性质定理，可得平面ABC,即可求证。O?//。。一进

而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.

（2）建系，利用向量法，求解法向量方=（1,-3,6）与方向向量而=（-1,4,-豆）的夹角，即可求解.

【详解】（1）证明：取AC的中点为。，连接。0,OOitOtO2,

QDA^DC,。为AC中点，:.DOLAC,

又平面ZMC_L平面A3C,且平面ZMCc平面ABC=AC,DOu平面ZMC,

:.£>0_L平面ABC,:.DO//OtO2,DO=Ofl2,故四边形为矩形，

DO2//OOt,又O,。1分别是AC,A2的中点，

OO,/IBC,

DO2/IBC；

(2)是圆&上异于A,8的点，且AB为圆。I的直径，

：.BC±AC,.'.00,1AC,

•••如图以。为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO=Q,

/.A(1,0,0),B(-l,4,0),C(-l,0,0),1)(0,0,E(--,0,

2

设尸(x,y,z),~BF=(x+l,y-4,z),TD=(-x,-y,-j3-z),

由丽=2而，得尸（T。竽），，弁=（T*竿），

：.DB=(-1.4-73),AE=(--,O,

2

设平面AER法向量为为=Oi，X，Zi）,

ri-AE=--X.Z[=0

921l

则「,取为=(L-个百)，

-4J2^32

n-AF=--xl+—yi+—^-zx=0

设直线BD与平面AEF所成角为0,

sin6=|cos<n,DS>|=-----.——=-

则26年85

二直线8。与平面他所成角的正弦值为近.

85

11.（2024嘿龙江哈尔滨•一模）正四棱台ABCD-ABGR的下底面边长为2a,A片M为BC中

点，已知点P满足衣=（1-2）通+g心正+彳跖，其中4e（0,l）.

32

（2）已知平面AMC,与平面ABCD所成角的余弦值为1•，当人=§时,求直线。尸与平面AMQ所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

e24对

---

91

【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.

方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.

【详解】（D方法一：

VA5i=2AB,•••福・丽=丽•砺=2虚X芋=2.

"：D^A=-^AD-AA^

：.D^=D^A+AP=（1-A）AB+^A-^AD+（A-1）A^

：.D^PAC=（1叫通而+（2-1）招通+珂

22

=（1-2）AB+I^A-|jAD+（A-l）AB-A4i'+（2-l）AD-X41-

=8(l-2)+8^2-1j+4(2-l)=0.

D^PLAC,即。尸_LAC.

方法二：以底面ABC。的中心。为原点，以方向为y轴，过。点平行于A。向前方向为无轴,

以过点。垂直平面ABCO向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为九则有

(V2,-72,0),B(衣应,0),C(-V2,A/2,0),

一g,“，C,

27i22j

Di-,~,h\,M(0,V2,0),AC=(-25/2,272,0)

I22J

AP=(l-2)(0,2V2,0)+-2(-2^,0,0)+2—,0=--2,272--2,2/z

\7

麻=型+而，还人述，-述人述，M

[2222J

故衣•印=0,所以。尸，AC.

(2)设平面ABC。的法向量为万=(0,0,1),

3A/23A/2八

设平面AMG的法向量为访=(x,y,z),W=(-72,272,0),AC,

-y/2x+2近y=0

AM-m=0

则有＜，即J3A/2372

AG•沅=0-------X+2y+hz=0

2

令x=2亚h，贝I］沅=倒&41h,3).

33

又题意可得|cos沆，司=',可得力=2.

J8/+2/+9

VfV22

因为

x=2'2，-

将〃=2代入，可得平面AMQ的法向量沅=(4A/2,2A/2,3).

设直线DP与平面所成角的为e

12.(2024•辽宁•三模)如图，在三棱柱ABC-A耳G中，ACQA,ABC,AC=AAl=2,

AB=LBC=g,点E为线段AC的中点.

“k-----

⑴求证：AB1〃平面BEG;

TT

(2)若/AAC=求二面角A-2石-Q的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

⑵一日

【分析】(1)连接8G，交瓦C于点N,连接AE,利用线面平行的判定定理证明；

(2)由已知可知，AA41c为等边三角形，故AELAC,利用面面垂直的性质定理可证得底面A3C,

进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.

【详解】(1)连接交于点N,连接AE,

因为侧面BCC1耳是平行四边形,

所以N为与C的中点，又因为点E为线段AC的中点,

所以NE//AB],

因为A8iU面BEC、,TVEu面BEC、,

所以A耳〃面BEC一

冗

(2)连接AC,\E,因为/A|AC=w，AC=AA,=2,

所以41c为等边三角形，AC=2,

因为点E为线段AC的中点,

所以AELAC,

因为侧面ACG4J■底面ABC,平面ACC】Afi平面ABC=AC，平面ACC；A，

所以AE_L底面ABC,

过点E在底面ABC内作班1AC,如图以E为坐标原点，分布以丽，EC，瓯的方向为轴正方向

建立空间直角坐标系,

G(0,2,⑹,

所以丽=¥，-；，。［，星=(。,2，⑹,

设平面BEC1的法向量为m={x,y,z),

令x=1,贝!Jy=-73,z=-2,

所以平面BEQ的法向量为成=(1,73,-2),

又因为平面ABE的法向量为为=(0,0,1),

贝Ucosm,n=,2,=-YE,

Jl+3+42

经观察，二面角A-BE-G的平面角为钝角，

所以二面角A-BE-C,的余弦值为一变.

2

13.(2024•广东广州•一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三

7E

角形，/DCB=/PCB=1点、M,N分别为。尸和AB的中点.

(1)求证：〃平面P3C；

(2)求证：平面尸BC/平面ABCD；

(3)求CM与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析；

【分析】(1)取PC中点E,由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.

(2)过尸作PQL8C于点。，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.

(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.

【详解】(1)取PC中点E,连接ME,BE,由M为。尸中点，N为A3中点，得ME//DC,ME=)C,

又BNUCD,BN=LCD,则ME"BN,ME=BN,因此四边形成MN为平行四边形，

2

于是MNUBE,而MNu平面平面P3C,

所以MN〃平面P3C.

(2)过P作于点Q,连接。。，由NDCB=NPCB=巴,CD=PC,QC=QC,得AQCD丝AQCP,

4

则NOQC=NPQC=',ipDQ±BC,\^PQ=DQ=41,PQ2+DQ2=4=PD2,

因此PQ_LOQ,又。。08。=。,。。,以^<=平面43。，则尸。工平面ABC。，PQu平面PBC,

所以平面P3C1平面ABCD.

(3)由(2)知，直线。CQZQP两两垂直，

以点。为原点，直线QCQD,QP分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，

则C(在0,0),尸(0,0,V2),0(0,y/2,0),M(0,孝,誓,A(-2,60),

CM=(-V2,曰”[),通=(2,0,0),DP=(0,四)，

n-AD=2x=0

设平面PAD的一个法向量为=(x,y,z),贝"—令'=1,得〃=(。』,1),

n.DP=-J2y+J2z=0

设CM与平面PAD所成角为e,sin。=|cos(CM,力|=里,矶==也

\CM\\fi\V3-V23

所以CM与平面板所成角的正弦值是且.

3

14.(2024•广东梅州•二模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,

△E4D为等边三角形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=2BC=2.

(1)求证：ADLPC；

(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；

⑶点M为必的中点，在棱PC上找一点Q,使得AM〃平面2。。，求黑的值.

【答案】(1)证明见解析

⑵酒

7

⑶4

【分析】(1)取AD的中点H,连接PH,CH,依题意可得四边形ABCfZ为矩形，即可证明

再由PH_LAD,即可证明AD_L平面尸”C,从而得证；

(2)连接AC交3。于点G,连接MC交BQ于点尸，连接FG,即可得到*=[,再根据线面平行的性质

AG2

CF1MK

得到三=:，在APBC中，过点M作MK〃尸C，即可得到7^7=2,最后由尸Q=2MK即可得解・

FM2CQ

【详解】(1)取AD的中点7/,连接P〃，CH,贝ijAH〃台C且A71=8C,又AD_LAB,

所以四边形ABCH为矩形，

所以Cf/LAD,又为等边三角形，

所以P//LAD,PHCCH=H,PH,CHu平面尸HC,

所以平面PHC,

又PCu平面P”C,

所以ADJ_PC.

(2)连接HN,由AD，平面尸

又HNu平面PHC,

所以ADLMV,所以S«ADH=；AD^HN=HN，

要使△ADN的面积最小，即要使HN最小，

当且仅当HN_LPC时HN取最小值，

因为平面R4Z)_L平