2025上海高考数学二轮复习：集合、不等式、复数（15种考法）解析

2025上海高考数学二轮复习《考法全归纳》专题

专题01集合不等式复数15种考法

考法1：元素与集合关系

考法9:解不等式

考法2:集合与集合的关系

考法10：基本不等式

考法3:集合的交并补运算

考法12:复数的概念

集合不等式复数考法4：集合的新定义

考法13:复数的运算15种考法

考法6：命题的真假判断与应用

考法14:共匏复数与复数的几何意义

考法7:充分条件与必要条件

考法15:实系数一元二次方程

考法8:不等式与不等式的性质

典型解析

考法1：元素与集合关系

【例1】（2024•宝山区二模）已知集合4={2,|a+l|,a+3},且IwA,则实数。的值为一.

【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解.

【解答】解：因为集合A={2,|a+l|,a+3},且leA,

所以|a+l|=l或a+3=l,

所以a=0或。=-2,

当。=0时，A={2,1,3},符合题意，

当。=-2时，A={2,1,1）,与集合元素的互异性矛盾.

故答案为：0.

【点评】本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题.

【例2】（2023,控江中学高三练习）已知4=卜|/一依+1<0},若2©A，且3eA，则a的取值范围是（）

【答案】B

【解析】由题意，22-2°+1<0且3?-3。+120

解得

23

故选：B

【例3】（2023•全国•高三专题练习）已知集合A=k，y）t+q〈l”Z,yeZ,则，中元素的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得_2VxW2,-0<

又xeZ,yeZ,

所以集合A={（-2,0）,（2,0）,（-1,0）,（1,0）,（0,1）,（0,-1）,（0,0）,（-1,1）,（-1,-1）,（1,1）,（1,-1））

共有11个元素.

【例4】（2019•上海市金山中学高三期中）已知非空集合股满足M={0,1,2,3},若存在非负整数左（左43）,

使得对任意awM，均有,则称集合酎具有性质P,则具有性质。的集合"的个数为.

【答案】8

【分析】分左的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合"，从而得到答案.

【详解】当上=0时，M为{0}.

当上=1时,M为{1},{0,2},{0,1,2}

当上=2时，/为{2},{1,3},{1,2,3}

当上=3时，M为{3}.

所以满足条件的集合M有8个.

故答案为：8

【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与

计算能力，属于难题.

考法2:集合与集合的关系

【例5】（2023•上海高考）已知集合4={1,2},B={1,a],且A=3,贝1Ja=.

【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解.

【解答】解：集合4={1,2},B={1,a},且A=

则。=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题.

【例6】（2020•上海高考）集合A={1,3},3={1,2,a],若4屋8,贝.

【分析】利用集合的包含关系即可求出。的值.

【解答】解：,3eA,且4=3..•SeB,r.a=3,

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题.

【例7】（2022•上海•高三专题练习）集合4={小<—1或M3},3=卜版+1<0}若3=4,则实数。的取值

范围是（）

A.一；』[B.-1,1C.（f-L）u[0,y）D.一和[“0,1）

【答案】A

【分析】根据BqA,分3=0和3*0两种情况讨论，建立不等关系即可求实数。的取值范围.

【详解】解：BcA,

，①当3=0时，即改+L,。无解，此时a=0,满足题意.

②当_8w0时，即⑪+L,。有解，当。>0时，可得兀，-L

a

a>0

要使则需要1.解得。vavl.

——<-1

、a

当av0时，可得%…一,，

a

a<0

要使3=A,则需要11解得

---..33

、a

综上，实数。的取值范围是.

故选：A.

【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为0.

【例8】（2024・上海嘉定•二模）若规定集合£={0,1,2,.，科的子集{4%%,4}为E的第左个子集,其

中左=20+2丹+2%++2%,则E的第211个子集是.

【答案】{0,1,4,6,7）

【分析】正确理解左的含义，左=211时，即要先求出满足2"<211,2同>211的〃=7,即E的第211个子集

应含有的元素，计算出211-27=83,再要求满足2,<83,22>83的〃=6,即E的第211个子集应含有的元

素，如此类推即得.

【详解】因2'=128<211,28=256>211,则E的第211个子集必包含7,此时211—128=83；

又因2^=64<83,27=128>83,则E的第211个子集必包含6,此时83-64=19；

又2'=16<19,2$=32>19,则E的第211个子集必包含4,此时19-16=3；

又21=2<3,2?=4>3,则E的第211个子集必包含1；而2°=1

综上所述，E的第211个子集是{0,1,4,6,7}.

故答案为：{04,4,6,7）.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，将

文字语言转化为数学语言.

考法3:集合的交并补运算

【例9】（2024•上海闵行•二模）集合A={x|2尤+1W0},B={-2-1,0},则AB=.

【答案】{-2,-1}

【分析】根据交集的定义求解即可.

【详解】4={尤|2尤+=,

所以AB={-2,-11.

故答案为：{—2,-1}.

【例10】（2024,上海徐汇・二模）已知集合4=卜3=/+2},集合8=卜--4尤+320},那么AB=.

【答案】［3,+8）

【分析】先求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解.

【详解】因为集合4={>|了=/+2}=［2,+8）,集合2={x|x2-4x+3N0}={x|xN3或xWl},

那么Ac3=［3,+8）.

故答案为：［3,+8）.

【例11】（2024•上海虹口,二模）已知集合4={刈211%<0},2=；x-WO；,则AB=.

【答案】［瞪

【分析】先求出集合A,3,再根据交集的定义即可得解.

［详解］A={x|tanx<0}=<x--^+eZ>,

B=<x——-<0>=(x|0<x<2

x

所以AcB=x沙2

故答案为：xrx-4

【例12】（2024.上海黄浦.二模）若集合A=[l,4],3=[2,5],则—3=

【答案】[1,5]

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合&=[1,4],5=[2,5],则Au8=[i,5].

故答案为：口，5].

,x-2

【例13】（2020•上海松江•模拟预测）已知4="|尤<1},2=x|-<--0--,若AuB={x|x42},则实数a

x-a

的取值范围是（）

A.a>2B.a<2C.a>lD.<7<1

【答案】D

【解析】根据并集的结果，可得集合B,进而得到参数的取值范围；

【解析】解：:A=x\x<l^9B=x\—~~-<0>,A<JB=[X\X<2\,

B=[x\a<x<2]

a<l.

故选：D.

【例14]（上海市格致中学2023届高三三模）若全集为R集合片二<o|B-[y\y--x2+2),则

4而=

(答案)[*|2vxv3

（详解）因为al,由三<0,得到1vxv3,即A=Y*43),

I.JF-.3j»->

又&—2*易知y42,所以&餐(7[»>2],

所以：「15»『川一,

故答案为：（x|2<x<3]

【例15]（上海市金山区2023届高三上学期一模）若集合A=（（x.y）l（x♦'x♦y2<0）,

B={(x,y)|(x-a)2+(y—2a—I)1a1—1),且4c则实数a的取值范围是.

(答案)

(详解)因为4=((x,y)|(xfy)2fz-|-y-2<0)=4*♦y41],

所以集合4是被两条平行直线X-y当-2“+yw1夹在其中的区域，如图所示,

B«{(x.y)|(x-a)2+(y-2«-1)3a2-1),

其中i.rr«J*+(y-2a-I)2=a。'一』由小"120,解得a<—1或危N1,

当a+1时，6表示点(13)或

当“/T时，8表示以H.七1|为圆心，V,a?-1为半径的圆及其内部的点,

其圆心在直线y=2x•l_t,

依题意An8#0,即表示圆M应与阴影部分相切或者相交，

当a-1时，显然满足题意，当a1时，不满足题意，

当口<1时，因为A(38/0,

所以d'l,即

X*•

所以(a+4-11)<0,

所以—“<a<—1；

T

当a>1时，因为4CB*0,

所以14r,即史；：

*'*­

所以y•0,无解；

综上，头数a的取值范围足卜苫,一1]

故答案为：[

【例16】(上海市静安区2023届高三上学期一模)已知全集为实数集R,集合M=2"V2S6},N;

(xllogsCx2-4x)>1},则彳nN=

(答案),卜―r2»U(5

(详解)不等式”•1飞可整理为2-，42"42・，所以-442x48解得-2MxM4,所以

】♦

M=；*—2•「t•：4}闻=(x|x<-2或x>4),

不等式to瓯(”一。)>1可整理为log式xZ-4x)>k>gg5,所以/-4x>5,即(，一5)0+1),0,解得

黛〈-1或(>5,所以N=(x|xv-1或xA5]MOW=(―•<-2)U(5r+«).

故答案为：仆―「—2>15产：/.f.

【例17】(2023七宝中学高三模拟)已知集合0=&A={巾=71=1+而1},B={X|X-X2<0),则

A;(AB)=()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-oo,0]u(l,+oo)D.(-^o,0)u[l,+oo)

【答案】B

【解析】因为函数y=k+G的定义域为{1},

所以函数yQ值域为榭，

所以A={0},

不等式％-/<0的解集为{巾<0或x〉l},

所以3={x|x<0或x>l},

4D8={尤|犬40或》〉1},

则a(Au3)={x[0<x41}.

故选：B.

【例18】(2024上行知中学高三期末)已知集合4={X，一犬-220},8=例y=l词，则(等4)cB=(

A.1x|0<x<l|B.{x[0<x<2}

C.{x|-l<尤<2}D.{x|x>2}

【答案】B

【解析】因为A={x|》2一%一220}={#22或％4-1},

则gA=如-1<尤<2},又B={尤|y=lux}={尤|x>0},

所以(gA)cB={尤|0<x<2}.

故选：B

【例19】（2023上海中学高三模拟）已知集合出=3x（x-2）<0},N={x|x-l<0},则下列Venn图中阴影

部分可以表示集合{x|lWx<2}的是（）

【解析】％（无一2）<000<%<2,无一1<00_1<1,

选项A中Venn图中阴影部分表示MAf=（0,1）,不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示说（MN）=[l,2）,符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示乐（MN）=（-oo,0],不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示MN=（-oo,2）,不符合题意，

故选：B

考法4:集合的新定义

【例20】（2019•上海市市北中学高三期中）设集合NT是R的两个非空子集如果存在一个从S到T的函数

y=/（x）满足：a）T={/（x）|xeS};㈤对任意占,％eS,当再时，恒有/⑷<〃电）,那么称这两个集合“保

序同构以下集合对不是“保序同构”的是

A.J=.VS=.V

B.A={x\-1<x<3],B={x\x=-8^<0<x<10}

C.A={x|0<x<5},5=R

D.A=N,B=Q

【答案】D

*log哂（尤+2）,XG（-1,3]

试题分析对于集合A,存在y=/（x）=九-l,xwN,/（%）wN/对于集合B,存在y=/（九）={

-8,x=-l

对于集合C,存在y=/(%)=tan(yx-^),xe(0,5)

因此选D.

考点：函数单调性，新定义

【例21】(2024•上海静安•二模)如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算

*构成一个群.

(1)封闭性，即对于任意的有。*力eG；

(2)结合律，即对于任意的a,6,ceG,有(a*b)*c=a*(A*c)；

(3)对于任意的“,6eG,方程x*a=A与。*y=6在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于

任意的名柄Z,方程x+a=人与a+y=6都有整数解；而实数集R关于实数的乘法(工)不构成群，因为方

程Oxy=1没有实数解

以下关于“群”的真命题有()

①自然数集N关于自然数的加法(+)构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法(义)构成群；

③平面向量集关于向量的数量积卜)构成群；

④复数集C关于复数的加法(+)构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个

【答案】B

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

【详解】对于①，x+3=2,在自然数集中无解，错误；

对于②，Oxy=L在有理数集中无解，错误；

对于③，。力是一个数量，不属于平面向量集，错误；

对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，

且对任意的a,beC,方程尤+“=b与a+y=人有复数解，正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3

个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.

【例22】(2020•上海高三专题练习)向量集合5=„=(尤,田,羽〉6.,对于任意.滔€5,以及任意4€(0,1),

都有-冷力eS,则称S为“C类集"，现有四个命题:

①若S为“。类集"，则集合”=｛闻。€5,〃€号也是“C类集"

②若S,7都是‘（类集”，则集合河=｛。+他€邑6©7｝也是“C类集”；

③若A，&都是"C类集"，则4口4也是“C类集”；

④若a，&都是“。类集”，且交集非空厕4r^4也是“C类集”.

其中正确的命题有（填所有正确命题的序号）

【答案】①②④

【解析】因为集合5=｛中=（尤,力羽”尺｝对于任意名小5,且任意/1«0,1）,都有然+（1-4匹5,可以把

这个“C类集”理解成，任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上，因此可以理解它的

图象成直线，逐项判断，即可求得答案.

【详解】-集合5=｛江口=（苍5）,羽丫€7?｝,对于任意以户€5,

且任意2e（0,1）渚R有4a+（1—乃广eS

，可以把这个“C类集”理解成任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上，因此可以理

解它的图象成直线

对于①,M=｛〃布eS,〃eR｝向量"整体〃借还是表示的是直线，故①正确；

对于②，因为S,T都是“C类集''，故M=｛a+"aeS,beT｝还是表示的是直线，故②正确；

对于③，因为A，&都是“C类集”，可得A是表示两条直线，故③错误；

对于④,4,&都是“C类集”，且交集非空，可得Ac&表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.

综上所述，正确的是霹④.

故答案为:①②④.

【点睛】本题考查了集合的新定义，解题关键是要充分理解新定义，结合向量和集合知识求解，考查了分析能力

和计算能力，属于难题.

考法6:命题的真假判断与应用

【例23】（2016•上海师大附中模拟预测）已知命题“*eK|x-a|+|x+l|<2”是假命题，则实数。的取值范

围是.

【答案】（f,-3）u（l,+8）

【分析】命题“玄€闾龙-4+归+1|42”是假命题,等价于“VxeR,|x-a|+|x+l|>2”是真命题，

利用绝对值三角不等式求得|x-4+|x+l|的最小值，进而可得结果.

【解析】命题a|+|%+l|<2"是假命题，

等价于"VxeR|x-a|+|x+l]>2"是真命题，

因为—+|x+l]>[x—a）—（尤+1）|=|。+1],

所以，|。+1|>2=。>1或°<-3,

则实数。的取值范围是（V,-3）"1,口），

故答案为（7）,-3）"1,+8）.

【点睛】本题主要考查特称命题与全称命题的判断，考查的绝对值三角不等式的应用，属于中档题.

【例24】（2020.上海市七宝中学模拟预测）已知。、6、c是任意实数，能够说明“若a>b>c,则a+6>c”

是假命题的一个有序整数组（“力,。）可以是

【答案】（-1,-2,-3）（答案不唯一）

【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解

【解析】根据题意，要说明其为假命题，可以令a=T,b=-2,c=-3,此时满足a>>>c,但a+8=—3>c=-3

不成立，故原命题为假命题.

故答案为：（-1,-2,-3）（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题.

【例25]若命题“VxeR,（a+Dd+x+l'O”是真命题，则实数a的取值范围为.

3

【答案】a>--

4

【解析】因为命题"VxeR,（a+l）x2+x+l>0"是真命题，

当a+l=0,即0=-1时，不等式为x+l»0,显然不满足题意，；

a+1>03

当。+1力0,即aw—1时，所以<]4（«+1）<0,解得.

3

故答案为：a>.

4

【例26】（2024・上海崇明・二模）已知函数>=/（尤）的定义域为D和々wD.

命题P：若当/（占）+/（%）=0时，者陌所+片0,则函数y=/（x）是。上的奇函数.

命题4：若当〃占）</。2）时,都有士气,则函数y=/（x）是。上的增函数.

下列说法正确的是（）

A.p、g都是真命题B.夕是真命题，。是假命题

C.夕是假命题，(7是真命题D.p、q都是假命题

【答案】C

【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解.

【详解】对于命题P,令函数“X)=(fi)5L+?

U，x=l

则〃1)+〃T)=O,此时1+(T)=O,当函数y=〃x)不是奇函数，

所以命题。为假命题，

对于命题4,当于占)</(%)时,都有为<尤2，即吃<2,不可能人占一/(%,),

即当为<3时，可得/(网)</(々)，满足增函数的定义，所以命题q为真命题.

故选：C.

考法7:充分条件与必要条件

【例27】(2024上海闵行二模)设OCR,则"/>一是々>1”的()

A.充分非必要条件B,必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】判断“/>1”和73>1”之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】当/>1时，。>1或。<—1,不能推出有成>1成立；

当。3>1时,则。>1,必有/>1成立，

故"a2>l"是Z3>i”的必要非充分条件,

故选：B

【例28】(2021•上海市崇明中学模拟预测)"sinx=0"是"COSAI”的()

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要不充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据三角函数的基本关系式和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【解析】因为sinx=0,根据三角函数的基本关系式，可得cosx=±l,

反之：若cosx=l,根据三角函数的基本关系式，可得sinx=0,

所以"sinx=0"是"cosx=l"的必要不充分条件.

故选：c.

22

【例29】已知集合4=卜三|<0卜B={x\x-2ax+a-l<o\,若“xeA”是“xeB”的必要非充分

条件，则实数a的取值范围是.

【答案】{a|-l<a<3}

【解析】由题意可得4=”?!<0,={尤卜2<无<2

B={%卜2-2ax+a-lvO}={x|a-lvx<Q+l},

若“xeA”是“xeB”的必要非充分条件，则集合8是集合力的真子集,

\a-l>-2

则〃+"4'且等号不能同时成立，解得*公,

所以实数a的取值范围是{a|-l<«<3}.

故答案为：{。|一14。43}.

【例30】（2022・上海•高三专题练习）若不等式（尤-a?<1成立的充分不必要条件是1<无<2,则实数“的取

值范围是.

【答案】[L2]

【分析】计算不等式（x-a）2<l,然后得出"+]>2且等号不能同时取得，计算即可.

【详解】由（尤一a）?<1得。一1<尤<a+l,

因为1<无<2是不等式（尤-a）2<l成立的充分不必要条件,

,满足卜二且等号不能同时取得，即解得14。42

故答案为：[，2]

考法8:不等式与不等式的性质

【例31】（2024•崇明区二模）若a>b,c<0,则下列不等式成立的是（）

A.ac1>be2B.—>—C.a+c<b+cD.a>b-c

cc

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误.

【解答]解：a>b,c<0,

ac2>be2,3与2大小关系不确定，a+c>b+c,a与b-c的大小关系不确定.

则下列不等式成立的是A.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

【例32】（2023秋•浦东新区校级期末）若a,b,ceR,a>b,则下列不等式成立的是（）

A.-<-B.C.a2>b2D.a\c\>b\c\

abc2+lc2+l

【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出.

【解答】解：A.1>-2,工〈:不成立，

B.C2+LI,根据不等式的基本性质，故吕正确

C+1C+1

C.1>-2,a2>b2,不成立，

D.c=0时，0=〃|°|=0,不成立.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题.

【例33］（上海市2023届高三上学期二模暨秋考模拟1）已知居y€R,且％,y>0,则

A.>0B.sinx—siny>0C.（1）x—（1）y<0D.Inx+Iny>0

（答案）C

（详解）试题分析：A：由、>1>0,得即A不正确；

xyxy

B：由戈>\>0及正弦函数的单调性，可知必—甄贮中闻不一定成立；

c：由Ovg<l,X>J>0,得喘升，故蚊硼，C正确；

2二£二2

D：由：，>0,得二i>0,但xy的值不一定大于1,故In久+Iny=Inxy>0不一定成立，故选C.

考法9:解不等式

【例34］（上海市金山区2023届高三二模）若实数x满足不等式/-3x+2<。,则x的取值范围是

（答案）（1,2）

（详解）不等式/—3刀+2<0,即0—1）0—2）<0,解得则%的取值范围是（1,2）.

故答案为：（L2）.

【例35】（2023•全国•高三专题练习）不等式浸-（a+2）x+2ZO（0<O）的解集为（）

「2jr,r

A.—,1B.1,一

aa

u[l,+oo）D.（-00,1]U—,+8

_a）

【答案】A

【解析】原不等式可以转化为：（x-1）（办-2）三0,

72

当。<0时,可知（x--）（x-l）V0,对应的方程的两根为L

aa

根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为:[-,1].

a

故选：A.

【例36]（上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4）设关于比的不等式/-ax+b<0的

解集为（一1,2）,则a+b=.

（答案）-1

（详解）因为关于％的不等式/一ax+6<0的解集为（一1,2）,

所以一元二次方程/-ax+b=。的两个根为—1,2,

所以根据韦达定理可得]解得a=1,6=-2,

所以a+b=-1,

故答案为：-1.

【例37】（2023•全国,高三专题练习）不等式的二12>。的解集是

x-2

【答案】：（-3,2）53,+8）

2-a

【解析】-r---->0=（x+3）（x-3）（x-2）>0贝IJ-3<x<2或x>3

x-2

【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法

【例38】（2020•上海高考）不等式工>3的解集为.

【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由工1>3得L1—±>0,

XX

贝x（l-3x）>0,BPx（3x-1）<0,解得0<x<!，

3

所以不等式的解集是（0,g）,

故答案为：（0,g）.

【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题.

2r+S

【例39】（2021•上海高考）不等式士?<1的解集为

x-2

【分析】由已知进行转化=Y+<70,进行可求.

x-2

々n2%+5y2x+5y八x+7八

【解答]解：--<1=>—7一l<On--<0,

解得,-7<x<2.

故答案为：（-7,2）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

【例40】（2023•上海高考）不等式|x-2|<l的解集为.

【分析】原不等式可化为-l<x-2<1,从而求出x的范围.

【解答】解：由lx-2|<1可得,-Kx-2<1,

解得l<x<3,

即不等式的解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.

【例41】（2023.上海浦东新.统考三模）不等式归+2|+归-2归4的解集是

【答案】[-2,2]

【解析】当％<-2时，-x-2+2_xV4,解得》2-2,此时解集为空集，

当-2Wx«2时，X+2+2-XV4,即4W4,符合要求，此时解集为卜2,2],

当x>2时，x+2+x-2M4,解得xV2,此时解集为空集，

综上:不等式的解集为卜2,2].

故答案为：[-2,2]

【例42】（2024•上海虹口•二模）已知集合4={肘皿<0},3=x^<ol,则AB=

（答案）X^<x<2

（分析）先求出集合48,再根据交集的定义即可得解.

（详解）A={x|tanx<0}XI5+kn<x<E,左eZ卜

所以Ac5=

故答案为：

【例43］(上海交通大学附属中学2023届高三三模)已知函数/O)=a/+|乂+。+1|为偶函数，则不等式

f(x)>0的解集为()

A.0B.(-l,0)U(0,l)

C.(-1,1)D.(-oo,-l)u(1,+8)

(答案)B

(详解)因为/(x)为偶函数，所以=即a+|a+2|=a+|a|

解之得a=-1,经检验符合题意.则f(x)=-x2+|x|

由一X2+|x|>0,可得x6(—1,0)11(0,1)

故f(x)=-%2+|x|>。的解集为(-L0)U(0,l),

故选:B.

考法10:基本不等式

【例44】(2024・上海静安二模)在下列关于实数以6的四个不等式中，恒成立的是.(请填入全部

正确的序号)

①a+；②2ab；③I一|6区I。一勿；④a?+6?226-1.

［答案］②®④

【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证Ia|-|6区l。-切即证2时同22仍可判断③.

【详解】对于①，取a=7,6=1,故①错误；

-.1/a+6、，ci~+b~+2ab—4aba~+b~—2ab(ci—b、_L»丁以

对于②，-----ab=------------------=-----------=|---->0,故②正确，

对于③，当以可，要证lal-g区1“一切，即证(同一团飞侬一例)二

即,『+向2一2同网4/+62-2岫，即证2M

而2时阿N2而恒成立,

当问<同时，|4一咏。明一切。，所以|。|一附附4-切，故③正确.

对于④，a2+£>2-2Z?+l=a2+(Z?-l)2>0,所以/+廿226-1,故④正确.

故答案为：②0④.

【例45】下列结论正确的是（）

149

A.当％v2时,x+--->4B.当x22时，x+—的最小值是2夜

x-2X

4X+-^=>4

C.当无>0时,D.当％>0时，xH----的最小值为1

y/XX+1

【答案】C

；,故A错误，

【解析】对于A,当x=0时，x+u

对于B,当%>0时，x+->2V2,当且仅当尤=0时等号成立，故B错误，

x

当且仅当五=吃即x=4时等号成立，故C正确,

对于C,当兀>0时，+—j=>4

y/X

对于D,当JV>-1时，X+1H---^-122-1=1,当且仅当1+1=^即x=0时等号成立，故D错误,

X+lX+1

故选：C

【例46】（2024・上海普陀•二模）若实数。，。满足a-2b2则2。+t的最小值为.

【答案】2

【分析】由已知2。>0,}>0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.

【详解】因为2">0,-4>0,a-2b>0,

4。

所以2"+，=2"+52=25/^^22万=2,

当且仅当2"=5,即。=>=0时等号成立，

所以2+好的最小值为2.

故答案为：2.

【例47】（2024•上海徐汇•二模）若正数以6满足工+：=1,贝1j2a+b的最小值为_____.

ab

【答案】3+2V2/2V2+3

【分析】根据基本不等式求解.

【详解】由已知2a+6=（2a+6）d+!）=3+字+223+2收，当且仅当学=2,即°=1+=1+应时等

abbaba2

号成立，故所求最小值是3+2立.

故答案为：3+2近.

【例48】（2024•上海徐汇二模）若正数以6满足，+：=1,则2a+b的最小值为_____.

ab

（答案）3+2V2/2V2+3

（分析）根据基本不等式求解.

（详解）由已知2。+6=（2。+6）（工+：）=3+字+223+2拒，当且仅当学=2,即.=1+1,匕=1+应时等

abbaba2

号成立，故所求最小值是3+20.

故答案为：3+20.

【例49】（上海市崇明区2023届高三4月二模）已知正实数a、。满足m=1,则a,4b的最小值等

于.

（答案）4

（详解）：•-4b/：-2\4*4,当。1;'；,即a2,b:时等号成立，

则a.4。的最小值为4.

故答案为：4.

【例50】（上海市金山区2023届高三二模）已知正实数。"满足'，.1,则2a-。的最小值为.

（答案）B

（详解）因为正实数满足14；1,

■•

所以2a+b=（2@+。卜（±十冷=4+1+电24/2叵？=&

当且仅当".一；，.…，即b「4.a2时等号成立，

/（1

所以2a,b的最小值为8.

故答案为：8.

【例51］（上海市复兴高级中学2023届高三适应性练习）已知a.bcR\则」的最小值为.

（答案）4

（详解）由2+二_=三/+，!_=二竺+》_一222B•上一2=4

当且仅当竺上、“，即ab时等号成立，故最小值为4,

故答案为：4.

【例52］（上海市西外外国语学校2023届高三预测）已知定义在R上的偶函数入门I，，，；-1-2,若正

实数a、。满足nt贝丫+:的最小值为.

（答案）"

s

（详解）因为“幻是定义在R上的偶函数，

所以7（-x）-{-X—m+1）-2®f（x）£|x-m+1|-2,即m—1.

所以"XI=|x|2

因为若正实数a、b满足&a）十f（就）s1,

所以沁）-f:（2b）=aT+-2=1,即u♦2b=5,

当且仅当=即<1=加寸，等号成立，

s«u

故答案为J.

【例53]（上海市南洋模范中学2023届高三三模）已知1<a<4,贝卜；的最小值是

（答案）2

（详解）•••1<a<4,

4.-a.>“a-l>0,

当且仅当出1•即a2时等号成立，

+,的最小值是2.

・r•—1

故答案为：2

【例54】（2024•上海金山・二模）已知平面向量°、b、c满足：|a|=|6|=l,a-c=bc=l,则°2+旨的最小

值为.

（答案）272-1

（分析）根据条件推理得到c在。方向上的投影数量等于c在6方向上的投影数量，且等于|a|=|b|=l,

〈a,c〉=〈b,c），故可以作出图形，设出〈a,c〉=6,将所求转化成关于，的函数形式，利用基本不等式即可求得.

（详解）因|a|=|b|=l,由4."=。.0=1可得|<?|。05伍,<?〉=[0忖0$〈6,£:〉=1,

即c在a方向上的投影数量等于c在6方向上的投影数量，且等于|。|=|6|=1,

又由cos〈a,c）=cos〈6,c）可得（a,c）=（b,c）,不妨设〈a,c〉=6,

1---211

则a・Z?=cos2e,kl=——-,于是〃•。+c=cos28+——=2cos26>+—7--I,

cosacosecos6

因ee[0,7T],PllJo<cos2^<l,因2cos2e+220,当且仅当cos?6=变时，等号成立，

cos-e2

即当cos2夕=变时，a-b+c2取得最小值2行-1.

2

故答案为：2点-L

（点睛）关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解。，“C的相互关系，设出

夹角区将所求化成关于夕的函数形式.

考法12:复数的概念

【例55】（2024•上海青浦•二模）已知复数2=；^，则Imz=____________

1-1

【答案】|/2.5

【分析】根据复数的运算法则求出z,再写出复数的虚部即可.

5i5i（l+i）55.

【详解】z=----=------------——--F—1

1-i（l-i）（l+i）22

Imz=—,

2

故答案为：

【例56】（闵行2023二模）已知复数z满足z（l-i）=i（i为虚数单位），则z的虚部为

答案：-

2

【例57】（2023.上海杨浦统考二模）复数”的虚部是_____