2023九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 实际问题与一元二次方程（1）教学设计（新版）新人教版

2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时实际问题与一元二次方程（1）教学设计（新版）新人教版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时实际问题与一元二次方程（1）教学设计（新版）新人教版设计意图同学们，今天我们要一起探索数学的奇妙世界，走进九年级数学上册第二十一章的第一节课——实际问题与一元二次方程。我要带着大家从熟悉的生活现象出发，逐步引出一元二次方程，让数学不再神秘，让数学与生活紧密相连。让我们一起期待，这节课会有哪些惊喜等着我们哦！😄💡📚核心素养目标分析教学难点与重点1.教学重点，

①理解一元二次方程的实际背景和意义，能够将实际问题转化为方程的形式。

②掌握求解一元二次方程的基本方法，包括配方法、公式法和因式分解法，并能根据方程的特点选择合适的方法。

③培养学生分析问题、解决问题的能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力。

2.教学难点，

①将实际问题抽象为一元二次方程的过程，需要学生具备较强的抽象思维能力和建模能力。

②方程解的合理性和准确性的判断，要求学生不仅会计算，还要理解方程解的物理意义。

③在实际问题的解决过程中，如何灵活选择合适的方程求解方法，这对学生的逻辑思维和策略运用能力提出了较高要求。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过讲解一元二次方程的概念和实际应用，引导学生思考。

2.设计小组讨论活动，让学生根据生活中的实例，尝试自己建立一元二次方程，并交流解题思路。

3.利用多媒体展示实际问题的图片和动画，帮助学生直观理解方程的来源和求解过程。

4.结合游戏环节，如“方程猜猜看”，让学生在轻松愉快的氛围中巩固所学知识。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，你们有没有想过，数学不仅仅存在于书本上，它其实就在我们的生活中。今天，我们就来探索一下数学如何帮助我们解决实际问题。

-回顾旧知：还记得我们之前学过的一元一次方程吗？今天我们要学习的是一元二次方程，它是方程家族中的新成员，让我们一起来看看它有什么特别之处。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：首先，我会详细讲解一元二次方程的定义、一般形式以及它的特点。我会用简洁明了的语言，结合具体的例子，让学生对一元二次方程有一个初步的认识。

-举例说明：我会通过几个简单的例子，如物体的运动轨迹、土地的面积计算等，展示一元二次方程在实际问题中的应用。

-互动探究：接下来，我会提出一些问题，让学生思考如何将这些实际问题转化为方程，并鼓励他们进行小组讨论，共同探索解决方案。

3.巩固练习（约15分钟）

-学生活动：我会给学生发放一些练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生在练习中巩固所学知识。

-教师指导：在学生练习的过程中，我会巡视课堂，观察他们的解题过程，对于遇到困难的学生，我会及时给予个别指导。

4.深入探讨（约10分钟）

-我会引入一些复杂的一元二次方程问题，让学生尝试独立解决，并鼓励他们使用不同的方法来求解。

-通过这个环节，我希望学生能够体会到一元二次方程的多样性和解决问题的策略。

5.总结与反思（约5分钟）

-总结：我会让学生回顾本节课的主要内容，强调一元二次方程在实际问题中的应用。

-反思：我会引导学生思考，如何将数学知识应用到未来的学习和生活中，激发他们对数学学习的兴趣。

6.作业布置（约2分钟）

-我会布置一些课后作业，包括一些难度适中的练习题，以及一些开放性的问题，让学生在课后继续思考和探索。

7.课堂小结（约2分钟）

-在课程的最后，我会简要回顾本节课的重点内容，并鼓励学生在课后继续学习和练习，期待他们在下一节课上展示他们的进步。知识点梳理一、一元二次方程的定义

1.定义：一般形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数，a≠0。

2.特点：未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。

二、一元二次方程的解法

1.因式分解法：

-方法：将一元二次方程左边因式分解，右边化为0，求出未知数的值。

-条件：方程左边可以进行因式分解。

-步骤：先找出方程左边的公因式，然后分组分解，最后利用等式性质求出未知数的值。

2.配方法：

-方法：将一元二次方程左边化为完全平方的形式，然后根据等式性质求出未知数的值。

-条件：方程左边可以进行配方。

-步骤：先将一元二次方程左边的二次项和一次项提取出来，然后加上适当的数使其成为完全平方，最后求出未知数的值。

3.公式法（求根公式）：

-方法：利用一元二次方程的求根公式直接求出未知数的值。

-条件：方程满足ax^2+bx+c=0，且a≠0。

-公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-步骤：将方程的系数代入求根公式，求出两个根。

4.迭代法：

-方法：利用迭代公式求解一元二次方程的近似解。

-条件：方程满足一定条件，如可转化为x=φ(x)的形式。

-步骤：从某个初始值开始，代入迭代公式，不断迭代求出近似解。

三、一元二次方程的应用

1.优化问题：

-通过建立一元二次方程模型，求出最优解，解决实际问题，如最短路径、最大面积等。

2.动态问题：

-利用一元二次方程描述物理现象，如物体运动、曲线运动等，研究物体的动态变化。

3.模型构建：

-将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程解决问题，提高数学素养。

四、一元二次方程的性质

1.方程的根的性质：

-根与系数的关系：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

-根的判别式：Δ=b^2-4ac。

2.根的个数与判别式的符号关系：

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

-当Δ<0时，方程无实数根，有两个共轭复数根。

五、一元二次方程的实际应用案例

1.抛物线问题：

-求抛物线与x轴的交点，求抛物线与直线y=k的交点。

2.最大面积问题：

-求在给定周长下矩形的最大面积。

3.最短路径问题：

-求两点之间在给定约束条件下的最短路径。课后作业1.实际问题应用题

**题目**：一个长方形的周长是20厘米，要使面积最大，长和宽各应该是多少厘米？

**答案**：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则有2x+2y=20。根据面积公式A=xy，我们需要最大化A。由周长公式可得y=10-x，代入面积公式得A=x(10-x)=-x^2+10x。这是一个开口向下的抛物线，其顶点为最大值点。顶点的x坐标为-x的系数的一半，即10/2=5。因此，长和宽都应该是5厘米。

2.方程求解题

**题目**：解方程3x^2-12x+9=0。

**答案**：这是一个可以通过因式分解求解的一元二次方程。将方程左边因式分解得(3x-3)^2=0，解得x=1。

3.实际问题与方程结合题

**题目**：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，从A地出发前往B地。如果汽车以每小时80公里的速度行驶，它将提前1小时到达。A和B两地相距多少公里？

**答案**：设A和B两地相距x公里。根据速度和时间的关系，我们有x/60-x/80=1。解这个方程得x=240。因此，A和B两地相距240公里。

4.应用配方法解题

**题目**：解方程x^2-6x+9=0。

**答案**：这是一个可以通过配方法求解的一元二次方程。将方程左边配方得(x-3)^2=0，解得x=3。

5.应用公式法解题

**题目**：解方程2x^2-4x-6=0。

**答案**：这是一个可以通过公式法求解的一元二次方程。根据求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，我们有a=2,b=-4,c=-6。代入公式得x=(4±√(16+48))/4=(4±√64)/4=(4±8)/4。因此，解得x=3或x=-1。内容逻辑关系1.一元二次方程的定义与特点

①定义：一元二次方程是一类特定形式的方程，其标准形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

②特点：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，且方程中只含有一个未知数。

2.一元二次方程的解法

①因式分解法

①关键词：提取公因式、分组分解、等式性质

②关键句：利用等式性质，将方程左边因式分解，右边化为0，求出未知数的值。

②配方法

①关键词：配方、完全平方、等式性质

②关键句：将一元二次方程左边化为完全平方的形式，然后根据等式性质求出未知数的值。

③公式法（求根公式）

①关键词：求根公式、判别式、系数

②关键句：利用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)直接求出未知数的值。

④迭代法

①关键词：迭代公式、近似解、约束条件

②关键句：利用迭代公式求解一元二次方程的近似解，适用于特定条件下的方程。

3.一元二次方程的应用

①优化问题

①关键词：方程模型、最优解、数学建模

②关键句：通过建立一元二次方程模型，求出最优解，解决实际问题。

②动态问题

①关键词：物理现象、曲线运动、动态变化

②关键句：利用一元二次方程描述物理现象，研究物体的动态变化。

③模型构建

①关键词：实际问题、数学模型、数学素养

②关键句：将实际问题转化为数学模型，运用一元二次方程解决问题，提高数学素养。

4.一元二次方程的性质

①根的性质

①关键词：根与系数的关系、判别式

②关键句：根与系数的关系为x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a；根的判别式为Δ=b^2-4ac。

②根的个数与判别式的符号关系

①关键词：判别式符号、实数根、共轭复数根

②关键句：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根，有两个共轭复数根。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的应用：在讲解一元二次方程时，我会引入一些贴近学生生活的实际案例，如建筑、运动、经济等领域的问题，让学生在解决实际问题的过程中，理解和掌握一元二次方程的应用。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体技术，展示一元二次方程的动态变化过程，帮助学生直观理解方程的性质和解法，提高学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异较大：由于学生来自不同的学习背景，对一元二次方程的理解程度存在较大差异，部分学生在理解和解题过程中遇到困难。

2.教学方法单一：在讲解一元二次方程时，主要采用讲授法，缺乏互动和探究，导致学生学习兴趣不高，参与度较低。

3.评价方式单一：主要依靠课后作业和考试来评价学生的学习成果，缺乏对学生学习过程的关注和反馈。

反思改进措施（三）改进措施

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将采用分层教学的方法，为不同层次的学生提供相应的学习材料和辅导，确保每个学生都能有所收获。

2.丰富教学方法：在教学中，我将结合讲授、讨论、实验等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。例如，在讲解因式分解法时，可以让学生通过小组合作，共同完成一个实际问题，从而加深对知识的理解。

3.多元化评价方式：除了课后作业和考试，我还将采用课堂表现、小组合作、学生自评等多种评价方式，全面了解学生的学习情况，并及时给予反馈。同时，鼓励学生自我反思，提高自主学习能力。

4.加强与学生的沟通：在教学中，我将更加注重与学生的沟通，了解他们的学习需求和困惑，及时调整教学策略，确保教学效果。此外，我还将鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维能力。

5.拓展课外资源：为了帮助学生更好地理解和应用一元二次方程，我将推荐一些相关的课外阅读材料和在线资源，让学生在课余时间进行自主学习，提高他们的数学素养。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本练习题：

-P.121题目1至题目3，要求学生运用因式分解法解一元二次方程。

-P.121题目4至题目6，要求学生运用配方法解一元二次方程。

-P.121题目7至题目9，要求学生通过公式法求解一元二次方程。

2.应用题：

-设计一个实际问题，如“一个工厂生产的产品，成本为每件20元，售价为每件30元。若每天生产x件，总利润为多少？”要求学生建立一元二次方程模型，并求解最大利润时的生产量。

3.综合题：

-分析以下案例，并建立相应的一元二次方程模型：

“一个物体以初速度v0水平抛出，在重力作用下做平抛运动。求物体落地时的水平位移和垂直位移。”

作业反馈：

1.批改作业时，首先检查学生是否完成了所有作业，是否按要求使用了不同的解法。

2.对学生的解答进行逐题批改，重点关注以下几点：

-学生是否正确理解并应用了因式分解法、配方法、公式法等解方程的方法。

-学生在建立方程模型时，是否能够准确地描述实际问题，并正确地列出方程。

-学生在求解方程时，是否考虑了方程解的合理性和准确性