2025年中考数学一轮复习：直角三角形（练习）原卷版

第四章三角形

第19讲直角三角形

口题型11赵爽弦图

模拟基础练

।□题型12利用勾股定理构造图形解决实际问题

口题型13在网格中判断直角三角形

□题型01由直角三角形的性质求解

口题型14利用勾股定理逆定理求解

口题型02根据已知条件判定直角三角形

口题型15利用勾股定理解决实际问题

口题型03利用勾股定理求解

□题型16利用勾股定理逆定理解决实际问题

口题型04判断勾股数问题

口题型17最短距离问题

□题型05以直角三角形三边为边长的图形面积

口题型06勾股定理与网格问题重难创新练

口题型07勾股定理与折叠问题

口题型08勾股定理与无理数问题

口题型09利用勾股定理证明线段的平方关系真题实战练

口题型10勾股定理的证明方法

模拟基础练।

口题型01由直角三角形的性质求解

1.（2023•山东济南・三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边力B与正方形的边CD在同

一条直线上，则NBOC的度数是

2.（2024•山西・模拟预测）如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,分别以点4,C为圆心，大于24c的

长为半径作弧，两弧分别相交于点E,F,连接EF交边BC于点。，连接力D.若BD=8,则△2CD的周长

3.（2024•河北•模拟预测）如图，在RtAABC,^BAC=90°,4D是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为

半径画弧，分别交ZB,8C于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于］MN长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线BP交4C于点E,交4。于点R下列说法不一定正确的是（）

B.7./.ABE=/.CAD

C.BF=2DFD.AF=AE

4.（2024贵州贵阳二模）如图，菱形4孔。的对角线47、8。相交于点0,过点4作4石1屋于点£,若。8=4,

S菱形4BCD=16,贝UOE的长为（）

C.2D.V5

□题型02根据已知条件判定直角三角形

5.（23-24七年级下.陕西西安・期末）在△ABC中，乙4,乙B,NC的对边分别是a,b,c,下列条件：

①NA=ZC-ZB；

②（a+6）（a—b）=c2；

③a=32,b—42,c=52；

④乙4:NB:NC=3:4:5,其中可以判定△ABC是直角三角形的有个.

6.（2024•陕西模拟预测）如图，在AABC中，。为边8C上一点，。。过点C,且与4B相切于点。，连接CD,

OD,AD=AC.

2

（1）求证：△ABC为直角三角形.

（2）延长D。与。。交于点E,连接CE,若AD=DE=6,求CE的长.

7.（2024•河北秦皇岛•一模）如图，在等边AABC中，AB=10,P为BC上一点（不与点8,C重合），过点

尸作PM18C于点P,交线段48于点将PM绕点尸顺时针旋转60。，交线段4C于点N,连接MN,有三位

同学提出以下结论：

嘉嘉：△PNC为直角三角形.

淇淇：当AM=2时，AN=7.

珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况.

下列说法正确的是（）

A.只有嘉嘉正确B.嘉嘉和淇淇正确

C.淇淇和珍珍正确D.三人都正确

口题型03利用勾股定理求解

8.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，。是坐标原点,菱形。ABC的顶点C在彳轴的负半轴上,4C=3,BO=4,

9.（2024・河南鹤壁•模拟预测）如图，P4与。。相切于点A,P。与弦4B相交于点C,OB1OP,若OB=3,

OC=1,贝/力的长为.

3

A

10.(2024•贵州・模拟预测)下面是多媒体上的一道试题:

如图，在菱形ABC。中，过点B作BE1CD于点E,点F在边48上，AF=CE,连接B。，DF.求

证：四边形BFDE是矩形.

下面是两位同学的对话:

，'小星：先证明四边形8FDE,小红：先证明与△C8E全、

t一片是平行四边形，然后利用矩等，然后利用“有三个角是直角;

；、形定义即可得证.，、的四边形是矩形”即可得证.；

、一一,、___________________________/

(1)请你选择一位同学的说法，并证明；

(2)若BE=2百，DE=2,求菱形4BCD的周长.

11.(2024四川眉山.二模)如图，在平面直角坐标系中，己知点4(1,0),B(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

点P在以。(4,4)为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足NBPC=90°,则a的最小值是().

A.V3B.4C.6D.2V3

口题型04判断勾股数问题

12.(2024・四川德阳•二模)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下

列勾股数：3,4,5：5,12,13；7,24,25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉

图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6,8,10；8,15,17；…若此类勾股数的勾为2m(机2

3,相为正整数)，则其股是(结果用含机的式子表示).

13.(2024•山东淄博二模)观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；...

根据上面的规律，写出第8组勾股数：.

14.(2024•河北沧州.一模)当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数.

(1)若a,6为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a,b,c为勾股数，且a=7i+7,c=n+8,n

4

为正整数，求6的值（用含"的式子表示），并直接写出符合题意的最小的6值.

（2）当w是大于1的整数时，判断2",n2-l,1+1是否是勾股数，并说明理由.

15.（2024.四川成都.模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”,

上为其面积和周长的比值.当k=2时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为；当0<kWl时,

若存在“完美勾股三角形“，贝艮=.

口题型05以直角三角形三边为边长的图形面积

16.（2024.河北唐山・三模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正

方形4、B、。的面积依次为5、13、30,则正方形C的面积为（）

17.（2024・甘肃天水•二模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提

出了“勾三、股四、弦五”这一结论.勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图，这是由两个直角三角形

和三个正方形组成的图形，若APEF的面积为6,则阴影部分的周长为—.

18.（2021•浙江金华・中考真题）如图，在等腰RM4BC中，^ACB=90°,以该三角形的三条边为边向形外

作正方形,正方形的顶点民F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为I,△28C面积为S2,则金的值是（）

S2

57r117T

A.B.3nC.57rD.

22

19.（2023•河北石家庄•模拟预测）如图所示，在Rt2kABC中，Z.BCA=90°,Nb4c=30。，分别以三条边

BC,AC,ZB为一边，在的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作Si，S2,S3,则下列结论不

5

正确的是（）

A.S1+S2=S3B.11=|C.=iD.底=苧店

»2J«JO-4

20.（2022•浙江宁波•模拟预测）如图①，分别以RtAPMN的各边为一边向外作三个三角形，使41=43=45,

Z2=Z4=Z6,再按图②的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使4B=MN,AD=PM,BF=

PN,AGFB=AA=Z2.若要求出ACEH的面积，则需要知道下列哪个图形的面积（）

N

A

①②

A.四边形CZFGB.四边形EDBCC.AGFBD.\HFD

口题型06勾股定理与网格问题

21.（2024•内蒙古包头.模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，点4、B、C、D、E都在小正方形格点

的位置上，连接ZB,CD相交于点P,根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan/BPC的值是（）

A.-B.—C.2D.V5

25

22.（2024•云南昆明•模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的8X6的网格，其中点O,A,B均在格

点上，将扇形20B围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为.

6

23.（2024・广东清远•模拟预测）如图，象棋盘中各个小正方形的边长为1.“马”从图中的位置出发，不走重

复路线，按照马走日的规则，走两步后的落点与出发点间的最远距离为.

24.（2024•陕西西安.模拟预测）如图，△ABC的顶点坐标分别为4（4,4）,2（4,1）,C（2,l）.将△ABC关于原

点0中心对称得到△

(1)画出△AiZG；

（2）点名的坐标为，点C、G之间的距离是

口题型07勾股定理与折叠问题

25.（2024・广东深圳•模拟预测）如图，在RtaABC中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,E是AB中点，F是

BC上一点，沿着E尸折叠AB'EF,若AB'=2,贝.

26.（2024.河南.模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（一5,0）,点B的坐标是（0,12）,点M

是。8上一点，将△力8M沿4M折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为（）

7

AO\

A.（0,5）B.（0,y）C.（O,2V3）D.（0,y）

27.（2024•四川绵阳•模拟预测）如图，在ATIBC中，AC=BC,zC=90°,将△28C沿EF折叠，使点2落

在北边上的点。处，若含=［，则器的值为.

28.（2024・浙江•模拟预测）综合与实践

【问题情境】

在一次数学探究课上，老师带领大家一起研究特殊三角形的性质.

圆圆小组对直角三角形进行了各种类型的折叠探究，并尝试用数学方法说明发现的结论.

类型1.如图1,沿着DE折叠，使点8与点4重合，折痕交48于点E,交BC于点。，他们发现：点。的位置

与4C和BC的长有关.

问题1.若BC=3,AC=1,贝！JBD=.

【变式探究】

类型2.如图2,点。为CB上一点，沿着4。折叠，2C恰好落在4B上，点C的对称点为C',折痕交BC于点D.

问题2.①若震=|，则詈=_.

②请猜测案与篙有何关系，并证明.

8

【拓展思考】

方方小组对等腰三角形进行了各种折叠探究.如图3,在等腰三角形4BC中，BC为底边，乙4为钝角，点。为

边4C上一点，将44BD沿直线BD翻折得到4A'BD.

问题3.若AD=CD=4,A'C=6,求BD的长.

口题型08勾股定理与无理数问题

29.（2024・陕西西安・模拟预测）如图，在数轴上点2表示原点，点B表示的数为2,AB1BC,垂足为B,且

BC=3,以点4为圆心，AC长为半径画弧，交数轴正半轴于点。，则点。表示的数为.

-1012345

30.（2024.甘肃天水.一模）如图，在数轴上，OB=1,过。作直线11。8于点O,在直线/上截取。4=2,

且A在。C上方.连接以点8为圆心，4B为半径作弧交直线OB于点C,则C点对应的数为.

31.（2020•山西・三模）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无

理数的点.如图，数轴的原点为O,RtAAOB中，Z.OAB=90°,边4。在数轴上，AB=3,以点。为圆心，

0B长为半径作弧，交数轴负半轴于点C,则点C所表示的数介于（）

9

B

B.—2和一3之间

C.一3和一4之间D.一4和一5之间

32.（2023・广东深圳•二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较e+1与店的大小时，可以通

过如图所示几何图形解决问题：若要比较加+3与旧的大小，以下数形结合正确的是（）

口题型09利用勾股定理证明线段的平方关系

33.（2024.安徽合肥.模拟预测）如图，四边形48CD的两条对角线相交于点O,/.BAD=乙BCD=90°,

48=2。，则下列结论错误的是（）

A.4C平分N8CDB.BC+CD=近AC

C.OA2+OC2=OB2+OD2D.AC2-AB2=BC-CD

34.（2024・河北.模拟预测）如图1,正方形4BCD与斜边为BC的Rt△48C按如图所示的方式放在同一平面

内，使点4与A重合，点。在上，BCWA'C,其中4C=4L=6,正方形4夕C:D固定不动.

10

(1)求a'。的长和NC的度数.

(2)将ABAC绕点A按顺时针方向旋转，当4C与4C'重合后，立刻沿射线4C'方向平移，点。在边上时停

止.

①求边力B旋转结束时扫过的面积；

②求平移结束时，正方形力'9LD与RtAABC重叠部分的面积S.

(3)如图2,若将(2)中的旋转和平移同时进行，设边48与边4D的交点为边力C与边的交点为N,4M=a,

AC=VkAA',直接写出在运动过程中DM?+DN2的值.(用含°,左的式子表示)

35.(2024•江苏盐城•三模)【阅读发现】

小明在阅读数学课外读物时，读到了海伦一一秦九韶公式.他了解到海伦公式和秦九韶公式分别是由古希

腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的.这两个公式有什么关系呢？于是小明进行了下列思

考：

两个公式：

海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=：(a+b+c),那么这个三角形的面积5=

Jp(p-a)(p-b)(p-c)；

秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b,C,那么这个三角形的面积s=Jipirrpi+piyj.

图1图2

【尝试应用】

(1)已知一个三角形的三边长分别4,5,6.请任选一个公式算出这个三角形的面积为；请用学过

的知识来解这个三角形的面积.

(2)己知一个三角形的三边长分别为a,b,c,试求出这个三角形面积的一般表达形式.(用a,b,c表示)

【发现关联】

思考关联：请你由秦九韶公式S=4式2—(竺17)2]推导到海伦公式:s=dp(p-a)(p-b)(p-c),

p=[(a+b+c).

口题型10勾股定理的证明方法

11

36.（2022.河北邯郸.三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案:

甲乙

如图是两个全等的直角三角板ABC和直角三角板

如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形

DEF,顶点尸在BC边上，顶点C,。重合，通过用两

ABOE和四边形CF均是正方形，通过用两种方法

种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明.

表示正方形ABDE的面积来进行证明.

E

-A

C（D）F

对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（）

A.甲、乙均对B.甲对、乙不对C.甲不对，乙对D.甲、乙均不对

37.（2023・辽宁阜新•二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧!

（1）如图，两个边长分别为小爪c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两

种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式，

请你写出来：面积等式为,结论为；

（2加边形有n个顶点，在它的内部再画小个点，以（爪+九）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多

可以剪得y个这样的三角形.当n=3,爪=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7.

①当?1=4,爪=2时，如图，y—；

当n=5,m=时,y=9；

②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=（用含加、n的代数式表示）.

38.（2022・江苏盐城•三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本

还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将

图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形48CD.

12

（1）请你利用图2证明勾股定理;

⑵如图3,以MN为直径画圆。，延长CF交DM于点E,判断直线CE与。。的位置关系，并说明理由;

（3）若b=3a,则图3中阴影部分的面积为（用含a的式子表示）

39.（2022•广东佛山•三模）几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代

数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理.如图，四边形4BCD,四边形DEFG,四边形

CG”/均为正方形，EF交BG于点、L,DG交IH于点、K,点、B,L,C,G在同条直线上，若S“DE=16,S.HK=9,

记四边形DELC的面积为£,四边形CGK/的面积为S2,则引的值为（）

37716

A.D.

4459

40.（2024.陕西西安.模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”

经修饰后的图形，四边形48CD与四边形EFG”均为正方形，点”是DE的中点，阴影部分的面积为27,贝

的长为

41.（2024.广东清远.模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角

三角形拼成如图所示“弦图RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面积

=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2=c2.

13

（1）若b=2a,则S小正方形：S大正方形=_；

（2）如果大正方形的面积是13,a=2,求小正方形的面积.

□题型11赵爽弦图

42.（2024・河北.模拟预测）如图1,嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形48CD

的面积为25,小正方形EFGH的面积为1.

图I

（1）如图2,连接DG,CF,BE,得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为

（2）如图3,连接AC,交8G于点P,交DE于点M,则SUFP-SACGP=.

43.（2024•山东济南•二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”.将

两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10

的正方形ABCD,则空白部分面积为

44.（2024•浙江杭州•一模）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.

14

（1）连接BF,若F恰为4G中点，则N8FG的度数为°；

（2）连接CF,若AABF与AFEC的面积相等，DF=2,则4F的长为

口题型12利用勾股定理构造图形解决实际问题

45.（2023・四川泸州•一模）我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角

三角形，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成.若a=6,b=8,则该矩形的面积为（）

c-VD.90

46.（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试.大摆锤从

高为9m的房屋A处，划过90。到达与房屋A水平距离为17m,高为2m的房屋2处，求大摆锤的长度。N=_

m.

47.（2024・贵州・模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直

线FD剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形4FEG,四边形CDBG与四边形均为正方

形，若图1中空白部分面积为37,线段的长为7,则图2中两个直角三角形的面积和为（）

15

图1图2

A.6B.12C.15D.25

48.(2022.江西九江.二模)俊俊和霞霞共同合作将一张长为鱼,宽为1的矩形纸片进行裁剪(共裁剪三次)，

裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形(无纸张剩余).霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：

“有一个等腰三角形的腰长是应-1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是.

口题型13在网格中判断直角三角形

49.(2024.黑龙江哈尔滨.三模)如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB,CD的端点均在小正

(1)在图中画出以4B为斜边的等腰直角△ABE,点E在小正方形的顶点上；

(2)在图中画出以CD为腰的等腰ACDF,其△CDF的面积为4,点尸在正方形的顶点上；

(3)连接EF,请直写出线段所的长.

50.(23-24九年级下.吉林.阶段练习)图①、图②、图③均是6义6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格

点，△力BC的顶点均在格点上.在图①、图②、图③给定的网格中,只用无刻度的直尺，按要求画图，保留

作图痕迹，不要求写出画法.

m

BBB

图①图②图③

(1)图①中，ANBC的形状是..

(2)图②中，在AB边上取一点D,连接CD,使CD=之力B.

(3)图③中，在AB边上取一点E,连接CE,使CE为N4C8的平分线.

16

51.（2024.江苏无锡•一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1）,点4、B、C,。均为格点，给出

下列三个命题：

①点a到点8的最短距离为VTU；

②点a到直线CD的距离为W；

③直线ZB、CD所交的锐角为45。；

其中，所有正确命题的序号为.（填序号）

52.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在7x5的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4B,C都在格点

上，4D是BC边上的中线，则4D的长为（）

口题型14利用勾股定理逆定理求解

53.（2024・湖南.模拟预测）如图，在AABC中，AB=AC,4。，8c交BC于点。，CE||AD,交B4的延长线

于点E.

（1）试判断线段CE与线段4D之间的数量关系，并说明理由.

（2）若4。=2,AE=2V2,请证明△2EC是等腰直角三角形.

54.（2024•广东广州•一模）如图，点E为菱形2BCD的边2D上一点，且力E=3,DE=2,点尸为对角线4C上

一动点，若ADEF的周长最小值为6,贝卜inNBCD=

17

55.（2023•贵州铜仁•三模）如图，平行四边形4BCD中以点B为圆心，适当长为半径作弧，交B4BC于F,G,

分别以点F,G为圆心大于［FG长为半作弧，两弧交于点”，作交4。于点E,连接CE,若AB=10,DE=

6,CE=8,贝UBE的长为（）

A.2V41B.40V2C.4V5D.8V5

56.（2023・山东济宁•一模）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸

片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片

ABCD,其中N4=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是

喧鳄③1。或其中正确的序号是

口题型15利用勾股定理解决实际问题

57.（2024・河南周口•模拟预测）如图，A,8两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需

要绕行C地，严重阻碍了A,B两地间的区域经济发展.为促进区域经济发展，A,B两地准备通过开挖隧

道的方式修建一条直通4B两地的公路.已知4C=60km,BC=90km,zC=60°,求48的长.（结果保留

根号）

58.（2024•福建三明•三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题.

任务：如图1,现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）.

18

工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）.

李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：

测量过程：

步骤1：测得多出一小段绳子的长度为a（m）；

步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A,测得A点到旗杆底部C点距离4C=b（m）.

部分求解过程：

设旗杆高度BC=h,

•.,在RtAABC中，AACB=90°,

BC2+AC2=AB2.

"."AC=b,AB=h+a,

h2+b2=（h+a）2

（1）根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度h=—（用含a,b的代数式表示）；

（2）李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是—；

（3）请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程.（测量得到的长

度用字母”表示）

59.（2024.安徽.一模）甲、乙两船同时从4码头开出，45分钟后，甲船到达B码头，乙船到达C码头；己知

甲船航行的速度是12海里/时.乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向是北偏东40。，乙船航行的方

向是南偏东50。，求甲、乙两船之间的距离BC.

19

B

60.（22-23八年级上•广东深圳•期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60。的方向航行100km到达8

港口，然后再沿北偏西30。方向航行100km到达C港口.

（1）求A,C两港口之间的距离；（结果保留根号）

（2）C港口在A港口的什么方向.

口题型16利用勾股定理逆定理解决实际问题

61.（2024・广东清远.二模）综合与实践

主题：检测雕塑（下图）底座正面的边力。和边BC是否分别垂直于底边4B.

素材：一个雕塑，一把卷尺.

步骤1：利用卷尺测量边4D,边BC和底边4B的长度，并测量出点8,D之间的距离;

步骤2：通过计算验证底座正面的边4D和边BC是否分别垂直于底边力B.

图1图2

解决问题：

（1）通过测量得到边力D的长是60厘米，边4B的长是80厘米，BD的长是100厘米，边力D垂直于边力B吗？为

什么？

20

（2）如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边4。是否垂直于边48吗？如果能，请写出

你的方法，并证明.

62.（23-24八年级下.河北衡水.阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地4BCD,AB=15m,CD=8m,

AD=17m.从点A修了一条垂直BC的小路4E（垂足为E）,E恰好是BC的中点，且4E=12m.

⑴求边8c的长；

（2）连接2C,判断AADC的形状；

（3）求这块空地的面积.

□题型17最短距离问题

63.（2024・广东•模拟预测）综合与实践

“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.为了让同学们探究

“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：

问题情境：

如图1,一只蚂蚁从点a出发沿圆柱侧面爬行到点c,其最短路线正是侧面展开图中的线段ac,若圆柱的高

48为2cm.底面直径BC为8cm.

O

图1图2

问题解决：

（1）判断最短路线的依据是；

（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线4C的长（结果保留根号和it）；

拓展迁移：

如图2,。为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是。M的中点，母线。M=8,底面圆半径为2,粗线为

蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹.

（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离.

64.（2023•湖北十堰•一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去

21

掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘48==20m（边缘的宽

度忽略不计），点E在CO上，CE=4m.一滑板爱好者从/点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）

A.28mB.24mC.20mD.18m

65.（2023・湖北十堰•三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒

子的顶点C'处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C'处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为

均为20cm,高为30cm,则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm.

66.（2024・四川德阳•二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm,底面周长为12cm,

在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处,

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是—cm.

重难创新练

1.（2024•江苏常州•中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定

的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关

联图形”.

22

-G

c

图1图2图3

(1)如图1,B、C、D是线段4E的四等分点.若4E=4,则在图中，线段AC的“平移关联图形”是,

d=(写出符合条件的一种情况即可)；

(2)如图2,等边三角形力BC的边长是2.用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2(保

留作图痕迹，不要求写作法)；

(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中，点。、E、G的坐标分别是(—1,0)、(1,0)、(0,4),以点G为圆心，「为

半径画圆.若对OG上的任意点心连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d23,

直接写出r的取值范围.

2.(2024•江苏徐州•中考真题)在△ABC中，点。在边上，^CD2=ADDB,则称点2是点C的“关联点”.

⑴如图(1),在AABC中，若NACB=90。，CD1AB于点D.试说明：点。是点C的“关联点”.

(2)如图(2),已知点D在线段4B上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使其同时满足下列条件：①点。

为点C的“关联点”；②乙4cB是钝角(保留作图痕迹，不写作法).

(3)若AABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点设力。=爪，DB=n,用含小、n的代数式表示力C的取

值范围(直接写出结果).

3.(2024•江苏镇江•中考真题)图1、2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主

视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=2C,sinNBAC〜点点、D、F、

G、/在48上，DE、FM,GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm,DF=FG=GJ=

30cm.点N在AC上，AN、MN的长度固定不变.图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时2B、4C重合，

点E、M、H、N、K、。在48上的位置如图所示.

【分析问题】

(1)如图5,用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD-；

(2)如图4,sin乙MENa,由力N=EN+2E=EN+AD,且AN的长度不变，可得MN与EN之

23

间的数量关系为

【解决问题】

（3）求MN的长.

4.（2024.吉林长春.中考真题）【问题呈现】

小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①,在等边△48C中，48=3,点M、N分别在边4C、

BC上，且4M=CN,试探究线段MN长度的最小值.

【问题分析】

小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而

解决上述几何问题.

【问题解决】

如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线,并交于点P,作射线4P.在【问题呈现】的条件下，完成下

列问题:

图③

（1）证明：AM=MP；

（2）N01P的大小为一度，线段长度的最小值为

【方法应用】

某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③.小明收集了该房屋的相关数据，并画出了

示意图，如图④，AABC是等腰三角形，四边形8CDE是矩形，2B=AC=CD=2米，N2CB=30。.MN是

一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在4C上，点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时，其长度

也随之改变，但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为多少米.

5.（2024•河南•中考真题）综合与实践

24

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

（1）操作判断

用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有

（填序号）.

（2）性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.

如图2,四边形4BCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线.

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC=m,DC=n,乙BCD—26,求2C的长（用含m,n,。的式子表示）.

（3）拓展应用

如图3,在Rt△4BC中，乙8=90。，AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形4BMN是

邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.

真题实战练

1.（2024.山东济宁•中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,£是AB的中点，连接OE.若

OE=3,则菱形的边长为（）

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A.6B.8C.10D.12

2.（2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，A4BC内接于。。，4。是直径，若=25。，贝吐C4D

3.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，等腰AABC中，AB=AC=2,^BAC=120°,将A/IBC沿其底边中线

4。向下平移，使4的对应点A满足44'则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

4.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点4为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展

览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”.已知NBAC=60°,ABCA=45°,AC=1640m.求“彭城风华”观演

场地与“水族展览馆”之间的距离4B（精确到1m）.（参考数据：V2~1.41,V3-1.73）

5.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在RtAABC中，AACB=90°,AB=2瓜AC=2,分别以点A,B

为圆心，大于14B的长为半径画弧，两弧分别交于点加和N,作直线MN分别交4B,BC于点D,E,连接

CD,AE.

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⑴求CD的长；

⑵求△ACE的周长.

6.（2024•山东淄博•中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问户高、

广各几何？其大意为：己知矩形门的高比宽多6尺