2025年中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系（3大模块知识梳理+9个考点+5个重难点+1个易错点）（原卷版）

专题15与同有关的位置关系

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）

知识模块一：与圆有关的位置关系

知识模块二：与切线有关的知识

知识模块三：三角形的外接圆与内切圆

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）

考点一：点与圆的位置关系

考点二：直线与圆的位置关系

考点三：圆与圆的位置关系

考点四：利用切线的性质求解

考点五：切线的性质与判定综合

考点六：应用切线长定理求解或证明

考点七：由三角形外接圆求值

考点八：由三角形内切圆求值

考点九：三角形外接圆与内切圆综合

04破，重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）

重难点一：证明某直线是圆的切线（有明确的交点）

重难点二：证明某直线是圆的切线（无明确的交点）

重难点三：直线与圆的最值问题

重难点四：胡不归问题

重难点五：阿氏圆问题

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点）

易错点1：讨论与圆有关位置关系时漏解

耀

与圆有关的位置关系

有明确交点，连半径,证直线与半径垂直

证明直线与圆相切

无明确的交点，过圆心乍垂线段，证其等于半径

盒基琳如识、

知识模块一：与圆有关的位置关系

知识点一：点与圆的位置关系

点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示:

已知。O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,

点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系

点在圆内点P在圆内gd<r3)

P

点在圆上点P在圆上Od=r3

点在圆外点P在圆外Od>r

【注意】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半

径的关系，可以确定该点与圆的位置关系.

知识点二：直线与圆的位置关系

直线和圆共有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，如下表所示:

设。0的半径为r,圆心。到直线1的距离为d

直线和圆的位置关系相交相切相离

直线和圆有两个公共点直线和圆只有一个公共点直线和圆没有公共点时，

定义

时，叫做直线与圆相交时，叫做直线与圆相切叫做直线与圆相离

图示

事/5------1

公共点个数2个1个无

圆心到直径的距离d与

圆半径r之间的大小关d<rd二rd>r

系

公共点名称交点切点无

直线名称交线/割线切线无

直线1与。0相交Od〈r直线1与。。相切Od=r直线1与00相离Od>r

结论从左端推出右端是直线与圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线与圆的位置

关系的判断.

知识点三：圆与圆的位置关系

设的半径分别为「、R（其中R>r）,两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:

位置关系图形公共点个数性质及判定

外离无两圆外离=d>R+r

外切1个切点两圆外切=d=R+r

相交两个交点两圆相交=R—r<dVR+r

内切1个切点两圆内切=d=R—r

内含无两圆内含"OWd<R—r

两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心

线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

知识模块二：与切线有关的知识

知识点一：切线的性质定理与判定定理

切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点.

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过

切点与圆心的直线）

【补充】1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；

2）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.

切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

用切线的判定定理时，两个条件缺一不可：1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径.

知识点二：切线长定理

切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

【解题技巧】切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角二角形来求解.

知识模块三：三角形的外接圆与内切圆

知识点一：三角形的外接圆与外心

三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交

点.

三角形的外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等，等于外接圆半径.

知识点二：三角形内切圆与内心

三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.

三角形的内心：内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条内角平分性的交点.

三角形的内心的性质：内心到三角形各边的距离相等.

考点一：点与圆的位置关系

1.（2024・广东广州•中考真题）如图，。。中，弦2B的长为4百，点C在。。上，0clAB,^ABC=30°.O

。所在的平面内有一点P,若。P=5,则点P与。。的位置关系是（）

AB

A.点P在。。上B.点P在。。内C.点P在O。外D.无法确定

2.（2022.吉林.中考真题）如图，在AABC中，ZXCB=90°,4B=5,BC=4.以点4为圆心，r为半径作

圆，当点C在04内且点B在外时，r的值可能是（）

C.4D.5

3.（2024•江苏宿迁•模拟预测）已知。。的半径为1,点4到圆心。的距离为a,若关于x的方程/一2x+a=0

不存在实数根，则点4与。。的位置关系是（）

A.点力在。。外B.点力在。。上

C•点4在。。内D.无法确定

考点二：直线与圆的位置关系

1.（2020・广东广州•中考真题）如图，RtZMBC中，ZC=90°,AB=5,cos4=£以点B为圆心，r为半径

作OB,当r=3时，08与4C的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

2.（2024•湖北•模拟预测）A/IBC的三边48,AC,BC的长度分别是3,4,5,以顶点A为圆心，2.4为半径

作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

3.（2023・湖北孝感•一模）已知O。的半径是一元二次方程/一3%-4=0的一个根，圆心。到直线/的距

离d=6,则直线I与。。的位置关系是（）

A.相切B.相离C.相交D.相切或相交

4.（2021・四川遂宁•中考真题）已知平面直角坐标系中，点尸（x0，yo）和直线Ax+2y+C=0（其中A,B

不全为0）,则点尸到直线Av+8y+C=0的距离d可用公式d=M寒货。来计算.

例如：求点尸（1,2）到直线y=2x+l的距离，因为直线y=2x+l可化为2%—丁+1=0,其中A=2,B=

-bc=l,所以点P（l,2）到直线y=2x+l的距离为：d==%=1.

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0,3）到直线y=Ex+9的距离；

（2）在（1）的条件下，的半径厂=4,判断与直线y=旧久+9的位置关系，若相交，设其弦长

为小求〃的值；若不相交，说明理由.

考点三：圆与圆的位置关系

1.（2024・上海・中考真题）在△ABC中，AC=3,BC=4,4B=5,点P在△4BC内，分别以4、B、P为圆

心画，圆4半径为1,圆B半径为2,圆P半径为3,圆4与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

2.（2022.内蒙古鄂尔多斯.中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆O。/与。。2的半径为3

米，且0O/经过。。2的圆心。2.已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）

A.4兀米B.6兀米C.8兀米D.12兀米

3.（2023・湖北恩施・中考真题）如图，等圆O01和。。2相交于48两点。1经过O4的圆心。2,若。1。2=2,

考点四：利用切线的性质求解

1.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，直线1与。。相切于点D,4B为。。的直径，过点4作2E12于点E,

延长4B交直线/于点C.

（2）如果=1,DC=3,求O。的半径.

2.（2024・北京・中考真题）如图，AB是。。的直径，点C,D在。。上，OD平分N40C.

（2）延长。。交O。于点£,连接CE交。B于点尸，过点B作O。的切线交DE的延长线于点P.若%[PE=1,

BF6

求O。半径的长.

3.（2024•四川乐山・中考真题）如图，。。是AZBC的外接圆，AB为直径，过点C作O。的切线CD交B4延

长线于点。，点£为CB上一点，且=

⑴求证：DC||AE；

（2）若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.

考点五：切线的性质与判定综合

1.（2023・湖北随州•中考真题）如图，是。。的直径，点E,C在。。上，点C是方E的中点，AE垂直于

过C点的直线DC,垂足为。，4B的延长线交直线DC于点E

D

C

E.

(1)求证：DC是。。的切线;

(2)若AE=2,sinNAFD=%①求。。的半径；②求线段DE的长.

2.(2023・湖南怀化•中考真题)如图，4B是。。的直径，点P是。。外一点，P4与。。相切于点4点C为。。

上的一点.连接PC、AC,oc,且PC=pa.

(1)求证：PC为o。的切线;

(2)延长PC与2B的延长线交于点。，求证：PDOC=PA-0D-,

(3)若NC4B=30°,OD=8,求阴影部分的面积.

考点六：应用切线长定理求解或证明

1.(2022・四川眉山・中考真题)如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿P4PB分别相切

于点力，B,不倒翁的鼻尖正好是圆心。，若NOAB=28。，则乙4PB的度数为()

A.28°B.50°C.56°D.62°

2.(2024•山西•模拟预测)如图，是。。的直径，点C是。。上的一点，射线BDVAB,AB=10,AC=6.CP

与O。相切时，连接CP,求8P的长.

3.（2024・湖南长沙.模拟预测）在△28C中，为。。的直径，AC为过C点的切线.

（1）如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交4B于点M,连结CM,若NABC=66。，求N4CM的大小；

（2）如图②，过点。作。。的切线DE交4C于点E,求证：AE=EC；

⑶如图③，在⑴（2）的条件下，若tan2=£求SMDE：SA4cM的值.

考点七：由三角形外接圆求值

1.（2023.山东泰安.中考真题）如图，。。是AABC的外接圆，半径为4,连接08,OC,OA,若"4。=40°,

乙4cB=70°,则阴影部分的面积是（）

A

2.（2023•内蒙古•中考真题）如图，。。是锐角三角形4BC的外接圆，。。14B,OE1BC,OF1AC,垂足

分别为O,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5八ABC的周长为21,贝!]EF的长为（）

C.3.5D.3

3.（2022•广西玉林•中考真题）如图，在5x7网格中，各小正方形边长均为1,点O,A,B,C,D,E均

在格点上，点。是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△48C外把你认为外心也是。的三角

形都写出来.

考点八：由三角形内切圆求值

1.（2023•四川攀枝花•中考真题）已知△ABC的周长为I,其内切圆的面积为兀产，贝以4BC的面积为（）

11

A.-rlB.-TirlC.rlD.irrl

22

2.（2024•四川内江•中考真题）如图，在△ABC中，乙48c=60。，BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,

点/是AABC的内心,B/的延长线交4C于点D,P是BD上一动点，连接PE、PC,则PE+PC的最小值为.

3.【多选】（2022•山东潍坊・中考真题）如图，ANBC的内切圆（圆心为点。）与各边分别相切于点。，E,

F,连接EF,DE,DF.以点8为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G,H两点；分别以点G,H为

圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP.下列说法正确的是（）

A

A.射线BP一定过点。B.点。是△DEF三条中线的交点

C.若△ABC是等边三角形，贝=D.点。不晕ADEF三条边的垂直平分线的交点

考点九：三角形外接圆与内切圆综合

1.（2024.福建南平.模拟预测）如图，以RtZkABC的直角边力B为直径的。。交斜边力C于点D,过点。作。。

的切线与BC交于点E,弦。M与A8垂直，垂足为H.

（2）若。。的面积为12兀，两个△2"。和ABMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形

OBED的外接圆面积52的比.

2.（2023糊北武汉•模拟预测）如图，。是AABC的外心，/是AABC的内心，连接力/并延长交BC和。。于D,

E.

(1)求证：EB=Eh

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求力/的长.

3.(2024・上海.模拟预测)已知△ABC的内心为。，AO=V3.

(1)如果AABC的外心也为O,求证：△ABC为等边三角形,并尺规作线段40；

(2)延长4。交边BC于£,求证：—.

©t点晦点

重难点一：证明某直线是圆的切线(有明确的交点)

1.(2023・四川资阳・中考真题)如图，已知O。的圆心。在△ABC的边4C上，与AC相交于A、E两点，且

与边BC相切于点。，连结DE.

(1)若B2=8D,求证：4B是。。的切线；

(2)若CD=4,CE=2,求。。的半径.

2.(2024・山东济南・中考真题)如图，48,CD为。。的直径，点E在励上，连接点G在BD的延长

线上，AB=AG,AEAD+AEDB=45°.

(1)求证：4G与。。相切；

(2)若BG=4V5,sinzD71E=求。E的长.

3.(2024・湖北・中考真题)如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，点E在AC上，以CE为直径的。0经过4B上

的点D,与。B交于点尸，且BD=BC.

B

(1)求证：4B是。。的切线；

(2)若4。=V3,AE=1,求)1的长.

重难点二：证明某直线是圆的切线(无明确的交点)

1.(2024・湖北武汉•中考真题)如图，△ABC为等腰三角形，。是底边8C的中点，腰AC与半圆。相切于点D,

底边8c与半圆。交于E,F两点.

(1)求证：与半圆。相切；

(2)连接04.若CD=4,CF=2,求sin丑。4c的值.

2.(2023•湖北襄阳•中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,。是BC的中

点，。。与48相切于点0,与交于点E,F,DG是。。的直径，弦GF的延长线交2C于点H,5.GH1AC.

(1)求证：4C是。。的切线；

(2)若OE=2,GH=3,求DE1的长2.

3.(2024•黑龙江绥化•中考真题)如图1,。是正方形4BCD对角线上一点，以。为圆心，OC长为半径的。。

与4。相切于点E,与4C相交于点F.

(1)求证：力B与。。相切.

⑵若正方形48CD的边长为e+1,求。。的半径.

（3）如图2,在（2）的条件下，若点M是半径0C上的一个动点，过点M作MN10C交CE于点N.当CM:FM=1:4

时，求CN的长.

重难点三：直线与圆的最值问题

1.（2024•山东烟台・中考真题）如图，在团48CD中，ZC=120°,4B=8,BC=10.E为边CD的中点，F

为边力D上的一动点，将ADEF沿EF翻折得△Z/EF,连接BD',则面积的最小值为.

2.（2024・四川凉山・中考真题）如图，OM的圆心为M（4,0）,半径为2,P是直线y=久+4上的一个动点,

过点P作OM的切线，切点为Q,贝UPQ的最小值为

3.（2023・陕西・中考真题）（1）如图①，在AOaB中，。4=。8,AAOB=120°,AB=24.若。。的半

径为4,点P在。。上，点M在4B上，连接PM,求线段PM的最小值；

（2）如图②所示，五边形4BCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交

通枢纽.已知：Z/4=^ABC=AAED=90°,AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区的自然

环境及实际需求，现要在矩形4FDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道。。；过圆心。，作0M1

AB,垂足为M,与。。交于点N.连接2N,点P在O。上，连接EP.其中，线段BN、EP及MN是要修的三

条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道。。的圆心。到A2的

距离。M的长.

图②

重难点四：胡不归问题

1.（2023・湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE14C于

点E,点尸为线段BE上一动点（点P不与8,£重合），贝UCP+^BP的最小值为.

重难点五：阿氏圆问题

1.（2023•江苏盐城•模拟预测）如图，点尸在y轴上，OP交无轴于A,B两点,连接BP并延长交。P于C,

过点C的直线y=2久+6交无轴于。，交y轴于点E,且O