2025年中考数学一轮复习：实数【八大题型】解析版

实数【八大题型】

题型梳理

题型5绝对值的非负性题型1实数的分类

题型6实数的混合运算题型2实数与数轴

--------专题01实数--------

题型7绝对值的几何意义题型3相反数和倒数的应用

题型8数轴上的动点问题题型4化简绝对值

办实基砒,建g兔整知盥体东

1实数的分类

（（正有理数）

有理数0有限小数或无限循环小数

实数JI负有理藜）

（无理数｛瞌髓｝无限不循环小数

2实数的相关概念

2.1数轴

规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴.

2.2相反数

（1）相反数的概念

像3和一3,9和一：这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的几何意义

（1）在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；贝U0的相反数是o.

（2）互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等.

（3）相反数的性质

若a,6互为相反数，则a+6=0.

2.3绝对值

(1)绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|.

(2)绝对值的代数定义

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；。的绝对值是0.

用字母表示为：

如果a>0,则|a|=a；如果a<0,贝！J|a|=—a；如果a=0,贝！l|a|=0.

即⑷={二％恐))•

2.4倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

用字母表示为：ax}=l(aK0),就是说a和5互为倒数，a的倒数是g5的倒数是a.

3科学记数法

把一个大于10的数表示成ax10”的形式(其中1<a<10,n是正整数)，这种记数法是科学

记数法.

4近似数的精确位

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

5实数的运算

5.1实数运算次序

(1)先乘方，再乘除，最后加减；

⑵同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.

5.2实数的运算律

(1)加法交换律：a+b=6+a；

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(8+c);

(3)乘法交换律：ab=ba；

(4)乘法结合律：(ab)c=a(bc);

(5)乘法分配律：a(b+c)=ab+aco

基本方法模块也号W,里造解畋饿力

【题型1】实数的分类

【典题1】-2.4,3,-2020,-y,0.1010010001...,-0.15,0,-(-30%),-|-4|

(1)正数集合：｛

(2)无理数集合：｛

(3)分数集合：｛

(4)非正整数集合：｛

【答案】(1)3,0.1010010001...,-(-30%),三

71

(2)0.1010010001...,j

10,,

⑶—2.4,——,—0.15,—(—30%)

(4)-2020,0,-|-4|

【分析】本题考查了实数的分类、化简多重符号、求绝对值，熟练掌握实数的分类是解此题

的关键.

(1)根据正数的定义即可解答；

(2)根据无理数的定义即可解答；

(3)根据分数的定义即可解答；

(4)根据非正整数的定义即可解答.

【详解】(1)解：—(—30%)—30%,—|—4|——4,

正数集合：｛3,0.1010010001...,-(-30%),柒

(2)解:无理数集合：｛0.1010010001...,当

If)

(3)解：分数集合：｛-2.4,-y,-0.15,-(-30%))

(4)解:非正整数集合：｛—2020,0,-|-4|｝.

【典题2】下列说法中，①任意一个数都有两个平方根.②府的平方根是±3.③—125的

立方根是±5.若是一个分数.⑤9是一个无理数.其中正确的有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本题考查了实数，利用平方根、立方根的意义，无理数的意义是解题关键.根据平

方根、立方根的意义，无理数的意义，可得答案.

【详解】解：①负数没有个平方根，故①不符合题意；

②质的平方根是±3,故②符合题意；

③一125的立方根是一5,故③不符合题意；

④苧是一个无理数，故④不符合题意；

小是一个无理数，故⑤符合题意；

故选：A.

【巩固练习】

1.下列实数中，有（）个有理数.

O

3兀、"、V27,9、0.01001000100001...

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】此题考查了实数的分类，把需要化简的数化简后，进行判断即可.

【详解】解：V4=2,V27=3V3,g1=一1,

在，3兀、V4,何、V』、9、0.01001000100001…中，|、四、VI、9是有理数，共4

个，

故选：C

2.在实数宗鱼、条砺、0.1010010001中，无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小

数为无理数，掌握无理数的概念是解本题的关键.

根据无理数的定义逐个进行分析即可解答.

【详解】由无理数的定义可知，这一组中无理数有：V2>V9,共3个

有理数有：亍、0.1010010001,共2个.

故选：B.

3.下列各数为负数的是()

A.|-3|B.0C.V2D.V^5

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值，平方根，立方根的性质，根据绝对值的性质⑷=

(-^<oy平方根的性质仿(a20),立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方

根是负数，0的立方根是0”，由此即可求解.

【详解】解：A、|-3|=3,是正数，不符合题意；

B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意；

C、鱼是正无理数，不是负数，不符合题意；

D、口是负数，符合题意；

故选：D.

4.关于实数0.5和自，下列判断中，正确的是()

A.都不是分数B.都是分数

C.0.5是分数，苧不是分数D.0.5不是分数，学是分数

【答案】C

【分析】本题考查的是有理数的定义有关知识，分数是有理数.利用有理数的定义进行判断

即可.

【详解】0.5是分数，是有理数，旁是无理数，不是分数，

故选：C.

【题型2】实数与数轴

【典题1】在数轴上表示数：0,—(+5),|-1.5|,-3|,—(—3),5.按从小到大的顺

序用“<”连接起来.

5-4-3-2T012345

【答案】数轴表示见解析，一(+5)<—3^<0<|—1.5|<—(—3)<5

【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和

多重符号，先化简绝对值和多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴

上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可.

【详解】解：一(+5)=—5,|-1.5|=1.5,-(-3)=3,

数轴表示如下所示：

Y+5)-40卜1.5|十3)5

―•▲6」---•---------------•--1♦A

-57-3-2T012345

A-(+5)<-3|<0<|-1,5|<-(-3)<5.

【典题2】如图，点4B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c,且。4+0B=0C,则下

列结论中：①abc<0；②a(b+c)>0；③a-c=b；④煤+卷+?=1•其中正确的个数

有().

CAOB

_______II1I______

c_a0b

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练

掌握.根据题意，可得c<a<0<6,|a|+b=\c\,据此逐项判定即可.

【详解】解：由图可知：c<a<0<b,

abc>0,①错误；

•M+卷+、=T+1+(T)=T，④错误;

OA+OB=OC,

•••\a\+b=|c|,

：，a—c=b,③正确；

•••b+cV0,

•••a(b+c)>0,②正确;

综上所述，正确的选项有②③，共两个,

故选：B.

【巩固练习】

1.数。和数6在直线上的对应点的位置如下图，数6可以用下列算式（）表示.

----------1----------------1--------------1——11——«1------->

-2-10al62

A.a+-B.a——C.ax—D.a+§

【答案】D

【分析】本题考查用数轴表示数，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，结合有理数的计

算法则，进行判断即可.

【详解】解：由数轴可知：□=/=•!，

,,1511111c3,

§=5，ax』，a）=3a=5=b，

.••数6可以用a+?表示；

故选:D.

2.数轴上的点M表示一2,将点M向右平移5个单位后，再向右平移3个单位到点N,那么

点N表示的数是（）

A.6B.—3C.-10D.-6

【答案】A

【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右移动是加,

计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键.

【详解】解：由M为数轴上表示-2的点，将点M沿数轴向右平移5个单位，再向右平移3

个单位到点N,此时点N所对应的数为一2+5+3=6,

因此点N所表示的数为6.

1■J1Ali

-4-3-2-I0I234567

故选：A.

3.如图，数轴上两点3所表示的数分别为一3,1.若点C在数轴上，且4B=91C,则

点C表示的数是（）

「「甲A

-3-2-101

A.8B.5C.5或-4D.5或一11

【答案】D

【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握用数轴上的点表示数.

利用数轴知识先确定线段48的长，再求出线段4C的长，确定C点表示的数.

【详解】解：•••/，8所表示的数分别为一3,I,

：.AB=4,

:点C在数轴上，且力

.\AC=2AB=2x4=8,

点C表示的数是-3+8=5,或一3—8=~11.

故选：D.

4.数轴上点4、B、C、。对应的有理数都是整数，若点B对应有理数乩点C对应有理数c,且

力-3c=9,则数轴上原点应是（）

ACBD

A.2点B.B点、C.C点D.D点、

【答案】D

【分析】本题主要考查数轴及整式的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，由数

轴可知：b=c+1,因为b-3c=9,得c+1—3c=9,进而求出b=—3,c=一4,从而可以选出

答案.

【详解】解：由数轴上点8、点C对应有理数的位置，可知b=c+l,

•：b-3c=9,

将匕=©+1代入上式得：

c+1—3c=9,

c=—4,

•1•b=c+1=—4+1=—3,

.'.8点表示的数是一3,C点表示的数是一4,

.•.数轴上原点应是。点，

故选：D.

5.如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一圈，圆上一点由原点。到达点

P,这个点P表示的数为,它是数.

O...Q.一

0(0)246P8

【答案】271无理数

【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的识别，根据题意，可得圆滚动一周即为圆的周长

即为2m结合含7T的最简式子即为无理数，由此即可求解.

【详解】解：圆的半径为1,

...圆的周长为2TT,

当圆上一点由原点。滚动一周到达点P时，即滚动的距离是圆的周长，

.♦.点P表示的数是2m且是无理数，

故答案为：①2E②无理数.

6.如图，数轴上依次有4B,C三点,它们对应的数分别是a,b,c,若BC=2AB=6,

a+b+c=0,则点C对应的数为.

ABC

—1----------1-----------------------1_►

【答案】5

【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，由BC=24B=6可得4B=3,即得

AC=AB+BC=9,再根据数轴上两点间距离公式可得c—a=9,c-b=6,即得

a=c—9,b=c-6,再代入a+b+c=。即可求解，掌握数轴上两点间距离计算方法是解

题的关键.

【详解】'：BC=2AB=6,

.\AB=3,

・・・/C=/B+BC=3+6=9,

•・4B,C三点对应的数分别是a,b,c,

•\c—a=9,c—b=6,

.\a=c—9,b=c—6,

a+b+c=0,

c—9+c—6+c=0,

解得c=5,

故答案为：5.

【题型3】相反数和倒数的应用

【典题1】下列各对数中，互为相反数的是()

A._(_2)和2B.+(_3)和一(+3)

C.；和_(_2)D._(_5)和_|+5|

【答案】D

【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项

进行判断即可.

【详解】解：A.—(—2)=2,2+2=4,故A选项不符合题意；

B.+(—3)=—3,—(+3)=—3,—3+(—3)=—6,故B选项不符合题意；

C.—(—2)-2,|+2=2|,故C选项不符合题意；

D.-(-5)=5,-|+5|=-5,5+(-5)=0,故D选项符合题意；

故选：D.

【典题2】已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x是绝对值等于2的负数,则乂2—①+6+cd)

X+(a+6)2023+(—cd)2024的值为()

A.3B.7C.3或7D.无法计算

【答案】B

【分析】根据题意，a+b=0,cd=l,x=-2,计算即可，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】根据题意，a+b=0,cd=1,x=—2,

x2—(a+b+cd)x+(a+h)2023+(—cd)2024

=(—2)2-(0+1)x(-2)+0+1

=4+2+04-1=7,

故选B.

【巩固练习】

1.下列几组数中，互为相反数的是（）

A.23和一32B.（—1）2023和_12002c._（_6）和_1_6|

D.（一3）3和—33

【答案】c

【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可.

本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反

数的定义.

【详解】解：A、23=8,—32=—9,不是相反数，故A不符合题意；

B、（一1）2。23=-L,—12002=_1,不是相反数，故B不符合题意；

C、—（—6）=6,—|—6|=—6,是相反数，故C符合题意；

D、（一37=—27,—33=—27,不是相反数，故D不符合题意.

故选：C.

2.如图所示，点在数轴上，则将加、n、0、—m、—n从小到大排列正确的是（）

_____I_____I_____II_____I_____I1____

m0-n

A.—m<—n<0<m<nB.m<n<0<—m<—n

C.—n<—m<0<m<nD.m<n<0<—n<—m

【答案】D

【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是

解题的关键.

先用数轴上的点表示出一小和“再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解

即可.

【详解】解：将力—6用数轴上的点表示如图所示，

mn0-n—m

.\m<n<0<—n<—m.

故选：D.

3.若5%与2—3%互为相反数，贝卜等于（）

11

A.1B.-1C.-D.-

【答案】B

【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的解法，利用互为相反数两数之和为0,

列出方程，求出方程的解即可得到X的值，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】与2-3x互为相反数，

/.5x+2—3%=0,解得：x=—1,

故选：B.

4.已知0,6互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m,〃互为倒数，则—+c3—3nm的值

为()

A.2B.-2C.4D.—4

【答案】D

【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1,

绝对值最小的负整数为—L得到a+b=0,c=-l,mn=1,整体代入代数式进行计算即可.

【详解】解：由题意，得：a+b-0,c--l,mn-1,

+c3-3mn=0+(-l)3-3X1=-1-3=-4；

故选D.

5.若a,b(a4O,b40)互为相反数，〃是正整数，则()

A.a2n和廿几互为相反数B.a2n+l和/>2n+l互为相反数

C.a?和炉互为相反数D.〃和6n互为相反数

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键;

有理数的乘方法则：正数的任何次塞都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；

0的任何正整数次幕都是0；然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进

行分析，即可得出正确答案.

【详解】解：A、•••a2n>0,b2n>0,

...和炉几不是相反数，选项结论错误，不符合题意；

B、•・,a,b(a0,bW0)互为相反数，2九+1为奇数，

...十九+1和入2九+1互为相反数，选项结论正确，符合题意；

C、a2>0,b2>0,

.•・层和炉不是相反数，选项结论错误，不符合题意;

D、•••a,b(a0,bH0)互为相反数，

当门为偶数时，葭和〃不是相反数，选项结论错误，不符合题意；

故选：B.

【题型4】化简绝对值

【典题1】已知三角形的三边长为4、无、10,化简：氏一5|+|x—15|=.

【答案】10

【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出

6<%<14,再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：二•三角形的三边长分别是4、X、10,

6<%<14,

•*.x—5>0,x—15<0,

|x—5|+|x-15|=x-5+15—%=10,

故答案为：10.

【典题2】已知a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，

cb0a

⑴判断下列各式与0的大小：

①b+a0；②a—b0；@bc0；

(2)化简式子：\a\—\a+b\+\c—b\+\a+c\.

【答案】(1)<;>;>

(2)a+2b—2c

【分析】(1)根据图形可知：c<b<0<a,\a\<\b\<\c\,然后根据有理数的加、减、

乘运算法则进行判断即可；

(2)根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并即可得.

【详解】(1)解：由mb,c在数轴上对应点的位置可知：

c<b<0<a,\a\<\b\<\c\,

@b+a<0,②a—b=a+(—b)>0,③be>0,

故答案为：V；>;>;

(2)\a\—\a+b\+\c—b\+\a+c\

=Q+(a+b)—(c—Z7)—(a+c)

=a+a+b—c+b—a—c

=a+2b—2c.

【点睛】本题考查绝对值、相反数、数轴表示数以及整式的运算.理解绝对值、相反数的定

义以及数轴表示数的方法是解题的关键.

【巩固练习】

1.已知表示有理数a,b的点在数轴上的位置如图所示，则高+看的值是()

1-----1-----1--->

a0b

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】本题考查了数轴和去绝对值，根据数轴分别判断a<0,b>0,然后去掉绝对值即

可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负.

【详解】由数轴可得，a<0,b>0,

.ab

,面+而

_a,b

=二+『

=—1+1=0,

故选：c.

2.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简一|a|+J(a—匕产的结果是()

--111-->

a----0---b

A.—aB.aC.—bD.b

【答案】D

【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值性质和实数与数轴，正确得出各项符号

是解题关键.直接利用数轴上a,b的位置，进而得出QVO,a-b<0f再利用绝对值以及

二次根式的性质化简得出答案.

【详解】解：由图可知：a<0,a—h<0,

一|a|+J(a——J

=—(—a)—(a—h)

=CL—a+b

=b.

故选：D

3.若迎WawVi,则化简\a2—2a+1-|a—2］的结果是()

A.2a—3B.—1C.—ctD.1

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键.先利用

完全平方公式，二次根式性质而=|可，绝对值的性质，结合四WaW旧进行化简，再合

并同类项即可得解.

【详解】解：l<V2<a<V3<2,

CL—1>0,CL—2V0,

Va2—2a+1—\a—2\

=J(a—1)2—(2—a)

=|a—1|—(2—a)

=CL—1—(2—a)

=2a—3.

故选A.

4.若氏+4|=7,则%的值是()

A.3B.-11C.3或一11D.3或11

【答案】C

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值后，解方程即可.

本题考查了绝对值方程，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键.

【详解】解：|%+4|=7,

故％+4=7或久+4=—7,

解得久=3或%=—11.

故选C.

5.a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，且|可=|可.

___ii।।»

cb0a

(1)比较a,—Q,—c的大小；(用>连接)

(2)化简\CL+b\—\ct—b\+\CL+c\—\b—c\.

【答案】⑴-c>a>—a

(2)-2a

【分析】(1)观察数轴，可知a>0>b>。且@=—仇由此可知一aVO,—c>a>0,便

可解决；

(2)结合a,力，c的大小关系分别判断出绝对值符号内各式的正负，然后去掉绝对值符号

进行化简即可.

【详解】⑴解：根据数轴上a,b,c三个数的位置，可得a>O>b>c,

Va>0>h,\a\=\b\,

,•CL=—bta>—a,

•：b>c,

**•一bV—c,

••CLV—Cj

•-c>a>—a；

(2)解："."a=—b,a>b,—c>a,b>c,

.'.a+b=0,a—b>0,a+c<0,b—c>0,

•\\a+b\—\a—b\+\a+c\—\b—c\—0—ci+b—a—c—b+c——2a.

【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值以及有理数比较大小，熟练掌握绝对值的代

数意义是解本题的关键.

【题型5］绝对值的非负性

【典题1】若|y+2024|+(%—2023)2+|2022—z|=0,则(久+丫口的值是.()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方等知识.熟练掌握绝对值的非负性，有

理数的乘方是解题的关键.

由题意得，y+2024=0,x-2023=0,2022—z=0,可求y=—2024,x=2023,

z=2022,根据(x+y)z=(2023—2024产22,求解作答即可.

【详解】解：V|y+2024|+(x—2023尸+|2022—z|=0,

.'.y+2024=0,x—2023=0,2022—z=0,

解得，y=-2024,x=2023,z=2022,

(%+y)z=(2023-2024)2022=1；

故选：B.

【巩固练习】

1.已知|;c+y+2|+(2x—3y—l)2=0,贝丘、的值分别是()

3As

A.1fgB.1,—gC.-1,——D.-1,-1

【答案】D

【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于X、

y的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值.

【详解】解：•；|x+y+2|+(2x—3y—1)2=0,

解得:上=，

故选：D.

2.如果|a+2|与(b—1尸互为相反数，那么代数式(a+6)2。17的值是()

A.1B.-1C.±1D.2008

【答案】B

【分析】本题主要考查了非负数的性质、相反数、代数式求值等知识，根据相反数的定义以

及非负数的性质确定a、b的值是解题关键.根据非负数的性质可得|a+2j>0,(b-I)2>0,

结合“0的相反数为0”可得a+2=0,b-l=0,解得a、b的值，然后代入求值即可.

【详解】解：：|a+2|20,(6—20,

又：|a+2|与(6-互为相反数，

a+2=0,b—1=0,

a=-2,b=1,

：.(a+b)2°i7=(-24-1)2017=(-l)2017=-1.

故选：B.

3.若Q—2)2+内不G+|z+1|=。，贝1kyz的值是()

A.10B.-10C.3D.-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算

术平方根的非负性是解题的关键.

根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得x=2,y=-5,z=-1,再代入，即可求

解.

【详解】解：(%—2日+Jy+5+|Z+1|=0,

•••(x-2)2>0,Vy+5>o,|z+1|>o,

x—2=0,y+5=0,z+1=0,

解得：x=2,y=-5,z=-1,

・•・xyz=2x(—5)x(—1)=10,

故选：A.

【题型6】实数的混合运算

【典题1】⑴10+(-15)-(-17)；

(2)(+0.125)-(-31)+(-31)-(+1.75)；

(3)(-3)2-60-22x|+|-2|；

(4)-32X+(|-|+|)x(-24).

【答案】(1)12；(2)-1；(3)8；(4)-24

【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方

的有理数的混合运算.

(1)去括号后进行加减运算即可；

(2)利用有理数加法运算律计算即可；

(3)先计算乘方，然后进行乘除法运算，最后进行加减运算即可；

(4)利用乘法运算律计算求解即可.

【详解】解：⑴解：10+(-15)-(-17)

=10-15+17

=-5+17

=12；

⑵(+0.125)-(-3J+(-30-(+1.75)

=g+3|+(—33+(一1|)

=1+(-3目+3|+(—1|)

=-1;

(3)(-3)2-60^22X|+|-2|

1

=9—60-J-4X—+2

1

=9-15x-+2

=9-3+2

=8；

22

⑷-3x(-1)+g-l+1)x(-24)

1313

=-9xq+7x(-24)--X(-24)+-X(-24)

V4Oo

=—1+(—18)+4+(—9)

=-24.

【巩固练习】

1.下列运算正确的是()

4

A.(一3尸x(-2)+(—6)=9B.-(-1)200x(-2)=-8

C.(―8)x3+(—2产=12D.12—7x(—4)+8+(—2)2=42

【答案】D

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是熟练掌握先乘方，再乘除，最后算

加减的运算顺序和各运算法则，是解决问题的关键.利用有理数混合运算的顺序和法则对各

项进行运算，判断，即得.

【详解】A、(-3尸x(—2)+6)

=-27X(-2)+(-6)

=54+(-6)

=—9,故A不符合题意；

B、-(-1)200X(-2)4

=-1X16

=—16,故B不符合题意；

C、(-8)X34-(-2)2

=—24+4

=—6,故C不符合题意；

D、12-7x(-4)+8^(-2)2

=12+28+8+4

=40+2

=42,故D符合题意.

故选：D.

2.定义新运算“㊉”如下：当a2b时，a®b=ab-a；当时，。㊉人二必+/其算符

号意义不变，按上述规定计算(—2)㊉(—9()

A.—1B.—2C.—5D.—4

【答案】A

【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，理解新运算的计算规则，掌握有理数

的混合运算法则是解题的关键.

【详解】解：・・,一2〈一支

(—2)㊉(-3=(—2)X(—。—2)=1—2=—1,

故选：A.

3计算

(1)10+(-14)-(-18)-13

⑵(-24)、6号+0

32

(3)(-78)--+(-12)M-

(4)-16-|X[2-(-3)2]

【答案】(1)1

(2)6

(3)-60

【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先

算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”.

(1)根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；

(2)根据乘法分配律进行计算即可；

(3)逆用乘法分配律进行计算即可；

(4)根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可.

【详解】(1)解:10+(-14)-(-18)-13

=-4+18-13

=14-13

=1;

⑵解：(-24)x+

131

=_24x—_(_24)X—+(_24)X—

346

=—8+18—4

二6；

,22

(3)解：(一78)十万+(—12)

22

=(-78)x-+(-12)x-

2

=[(-78)+(-12)]x-

2

=(-90)x-

=—60；

(4)解：-l6-|x[2-(-3)2]

1

=-l--x(2-9)

7

=-1+3

_4

=3'

4.计算

⑴-32+(—2?弓+G-意X24；

2

⑵2"(—1)9—(一吟)+(—0.9)2.

【答案】(1)一惇；

⑵一4.

【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解

题的关键.

(1)直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可；

(2)直接运用含乘方的有理数乘除混合运算法则计算即可.

【详解】⑴解：-32+(-2i)-|+(|_±)x24

=-9+(，)X|+(—1)X24

=_9+(_,+(T)

23

⑵解：21x(-l)9-(-l|)\(-0.9)2

203681

=VX(-1)-25^T00

2036100

=---------x----

92581

2016

=————

=—4.

【题型7】绝对值的几何意义

【典题1】阅读材料:因的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即㈤=|%-0|,

也可以说因表示数轴上数X与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|比1—久2|表示数

轴上数句与数万2对应点之间的距离，根据材料的说法，试求：

(l)|x+3|=4；

(2)若x为有理数，代数式3-|x+2|有没有最大值？如果有，求出这个最大值及此时x的值

是多少？如果没有，请说明理由；

(3)若x为有理数，则|x—l|+|x—3|有最值(填“大”或“小”)，其值为.

【答案】(l)x=-7或x=1

(2)3—|x+2|有最大值是3

⑶小；2

【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝

对值是解题的关键.

(1)根据绝对值是数轴上某个数与原点的距离解答；

(2)根据绝对值的非负性解答；

(3)根据绝对值的意义解答.

【详解】(1)解：：|x+3|=4,

；•=4,

根据材料所求为x与一3之间的距离，

①x在一3左侧的数轴上时，x=-7,

即|x+3|=—(x+3)=4,%=—7,

②x在一3右侧的数轴上时，x=l,

即|%+3|=4,x+3=4,尤=1；

(2)解：代数式3—比+2|有最大值，

V|x+2|>0,

|x+2|=0,

即x=—2时，

此时：3—|%+2|有最大值是3；

(3)解：根据绝对值的定义可知：|x—l|+|x—3|表示点x到1与3两点距离之和，

|3-1|=2,

...点X在1与3之间时，

|x—1|+|x—3|有最小值，其值为2.

故答案为：小；2.

【巩固练习】

1.先阅读下列解题过程，再解答问题：解方程：|x+3|=2.

解：当x+320时，原方程可化为x+3=2,解得x=—1；

当x+3<0时，原方程可化为久+3=—2,解得x=—5.所以原方程的解是x=—l或

x=—5.

(1)解方程：|3x-l|-5=0；

(2)若|x—a|+|x+1|的最小值为4,求a的值.

4

【答案】(l)x=2或x=—了

(2)a=3或a=—5.

【分析】本题考查了绝对值方程的解法，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的定义是解

答本题的关键，对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系.

(1)根据题中所给解法求解即可；

(2)根据|x—a|+|x+l|的最小值为4,得出表示a的点与表示一1的点的距离为4,求解即

可.

【详解】(1)解：|3x—1|—5=0,

移项，得|3x-1|=5,

当3比一120,即久2：时，原方程可化为：3x—1=5,解得：x—2,

当3比一1<0,即久<：时，原方程可化为：3x—1=—5,解得x=—g.

.••原方程的解是：乂=2或%=-，

(2)解：「IK—a|+|x+l|的最小值为4,

・•・表示a的点与表示一1的点的距离为4,

•・•—1+4=3,—1—4=—5,

•••a=3或a=—5.

2.数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合.我们知道，|a|

表示数轴上a所对应的点与原点之间的距离.这个结论可推广为：若4B在数轴上分别表示

有理数a、b,则4、B两点之间的距离可表示为距离48=|a—6|.例如，数轴上表示2和3的

两点之间的距离为|2—3|=1,表示一2和一3的两点之间的距离为|(一2)—(-3)|=1.利用

数形结合思想回答下列问题：

(1)数轴上表示2和-1的两点之间的距离为

(2)若m表示一个有理数，数轴上表示小和一1两点之间的距离可表示为一(用含血的式子表

示).

(3)若x表示一个有理数，且一4cx<2,则|x-2|+二+4|=_.

(4)若%表示一个有理数，且+1|+|x—3|=5,贝!1%=.

【答案】(1)3

⑵依+1|

(3)6

(4)-1峭

【分析】(1)根据两点间距离的列式计算即可得解；

(2)依据点2与点B两点之间的距离表示为AB=|a—勿，即可得到表示m和一1的两点之间

的距离；

(3)当尤在表示数一4与2的两点及两点之间时，利用绝对值性质化简|x—2|+|x+4|即可；

(4)根据“|x+l|+|x—3|=5”的意义，对”的取值范围进行分类讨论，进而求出答案.

【详解】⑴解：|2-(-1)|=3,

•••数轴上表示2和一1的两点之间的距离是3.

故答案为：3.

(2)解：|山一(一1)|=|m+1|.

故答案为：|巾+1|.

(3)解：表示一个有理数，且一4cx<2,

|x—2|+|x+4|=2—%+%+4=6.

故答案为：6.

(4)解：“|x+l|+|x—3]”所表示的意义为：数轴上表示数x的点到表示数一1和数3的距离

之和，

因为表示数一1的点和表示数3的点之间的距离为4,

又因为|x+1|+|x-3|=5>4,

所以表示数万的点在表示数-1的点的左边或在表示数3的点的右边.

当工<—1时，

—x—1—%+3=5,

解得X=-|.

当x>3时，

x+1+x—3=5,

解得X=

综上所述，X的值为—|或？

故答案为：—5或

【点睛】本题主要考查了列代数式、绝对值、数轴及有理数，熟知数轴上两点之间距离的求

解公式及巧用数形结合的数学思想是解题的关键.

3.我们知道一个数万的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点(表示数0)

的距离，在数轴上表示两个数x,y的点之间的距离可以表示为—如|x+2|+|x—1|

可以表示点久与点1之间的距离跟点x与一2之间的距离的和，根据图示易知：当点x的位置

在点/和点8之间(包含点/和点3)时，点X与点”的距离跟点X与点8的距离之和最小,

且最小值为3,即|x+2|+|x—1|的最小值是3,且此时的x的取值范围为一2WxW1.请

根据以上阅读，解答下列问题：

AXB

I11■»

-2x0I

(1)表示3的点与一1的点之间的距离表示为「

(2)|x+2|+|x|+|x—1|的最小值是此时x的值为」

(3)当|x+1|+|x|+\x—2\+\x—可的最小值是4.5时,求出a的值及x的值.

【答案】(1)4

(2)3,0

(3)a=1.5且0<x<1或a=—1,5且—1<%<0

【分析】本题考查了绝对值的应用.

(1)根据绝对值的几何意义，得出3的点与一1的点之间的距离为4.

(2)根据绝对值的几何意义，得出|%+2|+团+|%—1|的最小值；

(3)画出数轴，分两种情况进行讨论：当。=1.5且0式尢31或。=—1.5且一13工30时,

|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是4.5.

【详解】(1)解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与一1的点之间的距离为

3-(-1)=4.

(2)解：根据绝对值的几何意义可得，当％=0时，|尤+2|+|x|+|x—1|的最小值是3,

故答案为：3,x=0.

(3)解:由图可得，

a

-।------1-----<~~♦，1-----1->

-10J23

a

—।।------1--------1------1—>

-2-I0I2

只有当a=1.5J.0<x<1或a=—1,5且-1<x<0时，|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是

4.5,

...当|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是4.5时，a=1.5且0<%<1或a=—1.5且

-1<x<0.

【题型8】数轴上的动点问题

【典题1】【阅读理解】

定义：点4B,C为数轴上三点，若点C到N的距离是点C到8的距离2倍，我们就称点

C是有序点对巴团的乐点.例如：如图1,点N表示的数为一1,点8表示的数为2,点C

表示的数为1,则点C到点/的距离C4=2,点C到点8的距离C8=l,那么点C是有序

点对［4B］的乐点；但点C不是有序点对［B,川)的乐点.

ADCBXSY

111

-j------,------,__((__(__«_I--L_>,—I~~'-------'------------------'---------------~~»>

-4-3-2-101234-4-3-2-10123456

图1图2

?与£_

H0―02555~*

图3

【知识运用】

⑴判断，如图1,点。有序点对［B,C］的乐点，点。有序点对［C,B］的乐点(两空

均填“是”或“不是”)；

⑵如图2,x、y为数轴上两点，点x所表示的数为一3,点y所表示的数为6.数轴上的点S

在线段盯上，点S所表示的数是多少时的点是有序点对［x,y］的乐点；

(3)如图3,E、尸为数轴上两点，点E所表示的数为2