2025年中考数学一轮复习：解直角三角形 知识点梳理及专项练习（含解析）

专题14解直角三角形

1.锐角三角函数的定义

如图，在△ABC中,NC=90。.

4A的邻边

48的就版

⑴锐角A的对边与斜边的比叫作/A的正弦，记为sinA,即sinA=.

⑵锐角A的邻边与斜边的比叫作NA的余弦，记为cosA,即cosA=.

(3)锐角A的对边与邻边的比叫作/A的正切，记为tanA,即tanA=.

2.一些特殊角的三角函数值

a

0°30°45°60°90°

三角函数

sina

cosa

tana

3.各锐角三角函数之间的关系

(1)互余关系：sinA=,cosA=.

(2)推导关系：sin2A+cos2A=tanA=.

4.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三个______和两个_______.由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有其他元素的过程叫作解直角三角形.解直角三角形的理论依据:在RtAABC中,/C=9(T,NA,/B,NC所

对的边分别为a.b,c.

(1)三边之间的关系：.

(2)锐角之间的关系：.

(3)边角之间的关系：

sinA=,cosA=,tanA=;

sinB=,cosB=,tanB=.

5.了解测量等实际问题中的概念

⑴方位角从某个参照点看物体，视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为.

⑵仰角与俯角

视线与水平线所成的角中，视线在____的叫作仰角，在_____的叫作俯角.如图1,仰角是_______俯角是.

（3）坡度与坡角

坡面的垂直高度h和水平宽度1的比叫作或______一般用i表示；坡角a是坡面与水平线的夹角.如图

2,AB的坡度iAB=,Za叫,tana=i=.

实战演练

l.tan45。的值等于（）

A.2B.1

V2V3

c.—nu.—

23

2.如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为a,则高BC是（）

A.12sina米B.12cosa米

C.卫米D.卫米

sinacosa

3.如图,AD是^ABC的高若BD=2CD=6,tanC=2厕边AB的长为（）

X.3V2B.3V5

C.3V7O.6V2

4.图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得

到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=l,NAOB=a，则OC?的值为（）

B.sin2a+1

1

C.—^+1D.cos2a+1

cosza

5.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：⑴在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的

仰角NACE=a;⑵量得测角仪的高度CD=a笈）量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形

的知识，旗杆的高度可表示为)

B.a+bsina

C.a4----

tana

D.dd----

sina

6.如图，沿AB方向架桥修路,为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取NABC=150°,

BC=1600m,/BCD=105。,则C.D两点的距离是.m.

7.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角a为45°,C点的俯角0为58°,BC

为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m.（s讥58。«0.85,

cos58。《0.53,tan58*1.60,结果保留整数）

8.如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60。方向上;航行12nmile

到达c点,这时测得小岛A在北偏东30。方向上.小岛A到航线BC的距离是________nmile（V3〜1.73,,结果

用四舍五入法精确到0.1）.

9.一条上山直道的坡度为1：7,沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为______米.

10.2022年6月6日是第27个全国“爰眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离

桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.

如图,当张角NAOB=150。时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成

员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角/AOB=108。时（点A，是A的对应点）,用眼舒适度较

为理想.求此时顶部边缘A，处离桌面的高度AD的长.（结果精确到1cm；参考数据：sin7230.95,cos72y（）.31,tan72。

=3.08）

1L湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知

后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到

救援船上.已知C在A的北偏东30。方向上，8在人的北偏东60。方向上，目在C的正南方向900米处.

（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：V3«1.732）;

⑵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分.在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游

客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）

12.每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了

消防演习.如图1,架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m),且可绕点B转动，其底部B离地面的距

离BC为2m,当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.

(1)若/ABD=53。.求此时云梯AB的长；

(2)如图2,若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸

到险情处?请说明理由.

(参考数据:sin53°-0.8,cos53°«0.6,tan53°«1.3)

图2

13.知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足53°<a<

72°.(参考数据：sin53°~0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33,s出72°«0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08,sin66°

右;0.91,cos66°~0.4l,tan66°~2.25)

如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；

(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算NABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

14一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索

AB的长度.他们测得/ABD为30。,由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现/ACD恰好为45°,

点B与点C之间的距离约为16m.已知点B、C、D共线,ADLBD.求钢索AB的长度.(结果保留根号)

BCD

15.拓展小组研制的智能操作机器人，如图1,水平操作台为1,底座AB固定，高AB为50cm,连杆BC长度

为70cm,手臂CD长度为60cm.点B,C是转动点，且AB,BC与CD始终在同一平面内.

⑴转动连杆BC,手臂CD,使NABC=143o,CD〃l,如图2,求手臂端点D离操作台1的高度DE的长(精确到1

cm,参考数据：sin53°«0.8,cos53°~0.6);

(2)物品在操作台1上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC,手臂CD，手臂端点D能否碰到点

M?请说明理由.

压轴预测

1.如图,R3ABC中,/BAC=9（F,AD_LBC于点D,若AD:CD=4:3,则tanB的值为（）

2.某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡CD,坡角ZDCE=42。，斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面

BC的一个平台.小华想利用所学知识测量古塔的高度AB,她在平台的点G处水平放置一平面镜，她沿着GQ方

向移动，当移动到点N时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离MN=1.5

米,GN=2米,BC=16米,DG=8米，已知AB，BC,MN，DQ,根据题中提供的相关信息，古塔的高度AB约为(参考数

据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90)()

A.19.5米

B.19.7米

C.21.3米

D.22.1米

3.如图C岛在A岛的北偏东45。方向.在B岛的北偏西25。方向.

⑴直接写出/ACB的度数是____;

⑵测量发现NBAC=2（T,A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离.（结果精确到0.1海

里）（参考数据：sin20°«0.34,cos20°~0.94,tan200~0.36）

4.某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D,再连通到山顶点A处，测得山顶A

的高度AC为300米，从山脚B至仙顶A的水平距离BC是500米斜面BD的坡度i=l:2（指DF与BF的

比），从点D看向点A的仰角为45°.

⑴斜面AD的坡度i=;

⑵求电线AD+BD的长度（结果保留根号）.

参考答案

,~、乙A的对边

1.(1J---------=-a

斜边c

的邻边

⑵------=-b

斜边C

C、N』的对边

1-NA的邻边一彳

2,当西,i,i,冬乐鼻虚,3,不存在

2222223

3.(l)cos(90°-4)s讥(90。-A)

(2)1也

cosA

4边角(1)&2+/=c2

⑵互余

ababab

d，一，7,一，，

ccbcca

5.⑴方位角

(2)水平线上方水平线下方ZAOBZAOC

⑶坡度坡比hl坡角hl

1.B【解析】本题考查特殊角的三角函数值31145。=1,故选B.

2.A【解析】本题考查解直角三角形的实际应用在RtAABC中,NACB=90。,所以sina=箓=工，所以BC=1

2sina米，故选A.

3.D【解析】本题考查解直角三角形.：BD=2CD=6,

,>.CD=3.VtanC=2,AD是仆ABC的高券=2,；.AD=6.在RtAABD中,.AB=y/BD2+AD2=6遮故选D.

4.A【解析】本题考查三角函数的应用、勾股定理.由题意得sina=喘=焉则OB=工.由勾股定理得(OU

OBOBsina

=BC2+OB2=BC2+(―V=1+故选A.

\sina/sinza

5.A【解析】本题考查三角函数的实际应用.过点C作CFXAB于点F,由题意得CF=DB=b,VtanZACF=AF,

/.AF=tanZACFxCF=btana,AB=AF+FB=AF+CD=a+btana,故选A.

A

6.8OOV2【解析】本题考查解直角三角形.如图，过点C作CELBD于点E.VZABC=150°,ZBCD=105°,

乙DBC=30°,ZXDC=180°-30°-105°=45°.vBC=16GBe=800(m),.-.EC=—=簧=800V2(m).

A

7.16【解析】本题考查解直角三角形的实际应用.如图，过点D作DHXAB于点H.易知四边形BCDH为

矩形厕DH=BC,BH=CD=6m.由平行线的性质可知/人口k(1=45。,/人©8=忏58。在RtAADH中,设AH=xm,则D

H=xm,所以BC=xm,AB=AH+BH=(x+6)ni在RtAABC中,tan/ACB=tan58°=—=—«1.60,解得xFO,则甲

BCx

建筑物的高度AB约为16m.

8.10.4【解析】本题考查解直角三角形的实际应用作AD±BC于点D很！J/ABC=3(r,NACD=60o,/BAC=30。.

设CD=a，在RtAACD中,AD=V3a,AC=BC=2a=12,.­.a^6,AD=6V3-10.38~10.4.

9.10V2【解析】本题考查解直角三角形的应用.设上升的高度为x米，二.上山直道的坡度为1：7,.•.水平距

离为7x米，由勾股定理得%2+(7x)2=io。?,解得打=io让,和=-10/(舍去)一，.每前进100米所上升的高度

为10注米

10.19cm

先在RtAAOC中，求出AO的长.再在RtAA'OD中,利用锐角三角函数即可求出A'D的长.

解：由题意可知，

在RtAAOC中,/-AOC=180°-150°=30°,AC=10cm,

,>.AO=2AC=20cm.

在RtAA'OD中，乙A'OD=180°-108°=72°,A'O=AO=20cm,

A'D=A'O-sin72°«20X0.95=19(cm),即顶部边缘A处离桌面的高度A'D的长约为19cm.

559米(2)能,理由略

(1)过点A作ADLCB,交CB的延长线于点D,根据题意可得/CAB,NBAD的度数，再由平行线的性质及等

腰三角形的判定可得AB,BD的长，进而得CD的长，结合锐角三角函数的定义即可求出答案；(2)分别求出快艇

和救援船5分钟内行驶的路程和以及实际行驶的路程和，进行比较即可得解.

解:⑴如图，过点A作ADMB,交CB的延长线于点D,则NADC=90。.

由题意得NNAC=30O,NNAB=60。.

ZCAB=30°,ZBAD=30°.

：NA〃CB,

ZC=ZNAC=30°.

/.AB=BC=900.BD=450.

->.CD=900+450=1350.

•.•在RtAACD中.cosC=与,

AC=2=筹=900V3-1559.

cosC在

2

答:湖岸A与码头C的距离约为1559米.

⑵在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.理由如下：

快艇和救援船5分钟一共可行驶的路程为

5x150+5x400=2750,

快艇和救援船实际行驶的路程和为

1559+900=2459.

；27502459,

・••在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.

12.(1)15m⑵能,理由略

⑴在RtAABD中，利用锐角三角函数即可求解；

⑵结合已知条件先求出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长，比较大小即可作出判断.

解:⑴在RtAABD中,NABD=53o,BD=9,

•••AB=———=——-——«—=15(m).

COSZ.ABDcos53°0.6

答：此时云梯AB的长为15m.

(2)VAE=19,BC=2,

；.AD=19-2=17.

在RtAABD中,BD=9,

•••AB=VXD2+BD2="72+92=V370(m).

•••V370<20,

在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处.

13.(1)3.8米(2)NABO=66。,能

⑴根据a的取值范围，确定AO取最大值时所对应a的值，在RtAAOB中，由正弦的定义即可求解；(2)在R

tAAOB中.由余弦的定义求出cos/ABO再结合已知条件求出/ABO,即可判断.

解：(l)53°<a<72。,,当a=72。时,AO取最大值.

在RtAAOB中，sinzXBO=笫

.\AO=ABsinZABO

=4sin72°

=4x0.95

=3.8,

所以梯子顶端A与地面的距离的最大值3.8米.

⑵在RtAAOB中.cos^ABO=

cosZABO=1.64+4=0.4l,cos66°~0.41,

：.ZABO=66°.

•••53°<cr<72。，

..•人能安全使用这架梯子.

14.(1)(1673+16)m

设AD=x,根据三角函数构造关于AD的方程，解方程进而求得AB.

解:解法一:在仆ADC中，设AD=x.

VAD±BD,ZACD=45°,

CD=AD=x.

在4ADB中,AD_LBD,NABD=30。，

.,.AD=BDtan30°,

即x=彳(16+x).

解之，得x=8百+8,

•••AB=2AD=16V3+16.

钢索AB的长度约为((16g+16)m.

解法二:在△ADB中，设AB=x.

•.•AD±BD,ZABD=30°,

BD=71BCOS30°=—x,AD=-AB=

222

•••CD=BD-BC=-x-16.

2

在^ADC中,ADJ_BD,NACD=45。，

二•AD=CD,

即'=渔'一16.

22

解之，得X=16V3+16.

.••钢索AB的长度约为((16V3+16)m.

15.(1)106cm⑵能,理由略

⑴作CPLAE于点P.BQXCP于点Q,由CQ+PQ计算CP得至[]DE即可；⑵根据题意画出图形，根据图形

运用勾股定理求解AD,从而即可判断.

解:⑴过点C作CPJ_AE于点P,

过点B作BQXCP于点Q,如图1,

,/ZABC=143°,.\ZCBQ=53°,

，在RtABCQ中，

CQ=BC-sm53°《70x0.8=56cm.

CD//1,・・・DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.

⑵当点B,C,D共线时，如图2,

BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在RtAABD中,AB2+AD2=BD2,

AD=120cm>110cm.

.♦.手臂端点D能碰到点M.

压轴预测

1.C【解析