2025年中考数学压轴题二轮复习：面积比分析（含解析）

第6讲面积比分析

前言：除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，且比求面积要复杂得多，

常见面积比处理策咯⑴计算；⑵转化.

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化比例为计算

探究两个三角形之间比例关系时，若已知其中一个面积，则可通过比值求出另一三角形面积，即可将比例问题

转化为定值问题.

弓I例1：综合与探究：如图，抛物线yax2+bx+6经过点A(-2,0)、B(4,0)两点与y轴交于点C,点D

是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(l<m<4).连接AC、BC、DB、DC.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)ABCD的面积等于△AOC的面积的|时，求m的值；

解析：(1)设解析式为交点式：y=a(x+2)(x-4),

展开得：y=ctx2—2ax—8a,

常数项对应相等，-8a=6,

解得：a=

4

•••抛物线解析式为：y=-；%2+|%+6.

(2)考虑△AOC和小BCD在位置上无明显关系，且^AOC是确定的三角形，可通过面积比推导△BCD的面积.

由题意得S40C=5*2x6=6,

过点D作DQLx轴交BC于点Q,

则SBCD=SCDQ+SBDQ=$08,DQ,

设点D坐标为(m，-+|m+6)

由题意得直线BC解析式为y=-1%+6,

・••点Q坐标为(m，-|m+6)

37

DQ=--m+3m,

SBCD=j><4-(-|m2+3m)=1

解得:m1=l(舍),m2=3,

综上，m的值为3.

2化面积比为线段比

化面积比为底边比：SABD'ACD=BD:CD.

推广：对于共边的两三角形△ABD和4ACD,连接BC交AD于点E,则SAABD:SAACD=BM:CN=BE:CE.

引例2：已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛

物线上的动点.

⑴抛物线的解析式为抛物线的顶点坐标为；

(2)如图，连接OP交BC于点D,当SCPD0PD=1：2时，请求出点D的坐标.

解析：(⑴y=-X2-2x+3;顶点坐标为(-1,4).

⑵根据SCPD：SBPD=1：2,可得CD:BD=1:2,

D点是线段BC靠近点C的三等分点，

又..项々,。)、C(0,3),

过点D作x轴的垂线构造相似，

可得D点坐标为(-1,2).

3构造相似转化比例

在坐标系中，若三角形底或高与坐标轴不平行，可构造相似，将底或高之比转化为与坐标轴平行线段的比值.

2+2x+c(a<0)

与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图，连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD.0D交BC于点F,当SC0F:SCDF=3:2

时，求点D的坐标.

解析：⑴解析式：y=-久2+2%+3.

⑵考虑△COF和4CDF共高，将面积之比化为底边之比.OF:。尸=SC0F-.SCDF=3:2.

思路1:转化底边比为“A”字型线段比

在y轴上取点E(0,5),过点E作BC的平行线交x轴于G点，EG与抛物线交点即为所求D点,

根据平行线分线段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直线EG解析式为：y=-x+5,

与抛物线联立方程，得：—/+2x+3=—%+5,

解得：%1=1,%2=2.

.•.D点坐标为(1,4)或(2,3).

思路2:转化底边比为“8”字型线段比

过点D作DG//y轴交BC边于点G,则£=号又0C=3,/.点G满足DG=2即可.设出点D坐标可解.答案

同思路1.

弓例4:如图.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3以点C为圆心作。C与直线BD相切，点P是。C上一个动点，

连接AP交BD于点T,则空的最大值是______.

；•当PN最大时，得的值最大.如

图，当PN过点C时，PN取到最大值2x£=k

此时上="=2,丝=3,

ATAM1AT

.•写的最大值为3.

真题演练

1.把两个含30。角的直角三角板按如图所示拼接在一起点E为AD的中点连结BE交AC于点F.则芸=

2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,ZABC=ZDAC=90°,tanZACB=B-D=&则皿=

203SCBD

3.如图，抛物线.y=ax2+bx{aH0)过点4(,，-3)和点B(3臼，0)..过点A作直线AC〃x轴，交y轴于点

(1)求抛物线的解析式；

⑵抛物线上是否存在点Q，使得S40c=^SAOQ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A(-l,0)、点C(0,3),且OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点P在抛物线上，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标.

5.在平面直角坐标系中，过点A

(3,4)的抛物线y=a久2+6%+4与x轴交于点B(-1,O),与y轴交于点C,过点A作ADLx轴于点D.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,连接PD交AB于点Q,连接AP,当SAQD=ZS叱Q时,

求点P的坐标.

6.如图，抛物线y=ax2-3ax-4a的图像经过点C(0,2),交x轴于点A、B(点A在点B左侧)，连接BC,直

线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与BC交于点F.

(1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

(2)黑是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

DF

7在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/+版+。与x轴交于A(-l,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,

-2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点，连接AD,BC交于点E,连接BD,记4BDE的面积为Sx,AABE

的面积为S2,求金的最大值.

8.在平面直角坐标系中，抛物线丫=a/+次+。过点人(-1,0).B(3,0),与y轴交于点C,连接AC、BC,

将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC,连接OD.

(1)用含a的代数式表示点C的坐标.

⑵设AOB。的面积为SM04C的面积为S2,若||=|,求a的值

BX

9.如图，二次函数y^-x2+bx+3的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D

为OC的中点点P在抛物线上.

(1)b=;

(2)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ1BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且.SPQB=2SQRB，求

点P的坐标.

10.如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,

(1)求该二次函数的表达式；

(2)试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得△ADG的面积是4BDG的面积的|?若存在，求出点G的

坐标；若不存在，请说明理由.

第6讲面积比分析

解析：分别过点B、E作BM、ENXAC,设CD=2a,

贝！jAC=2V3a,BC=V3a,EN=a,BM=-a,CM=—a,

易证〜翳=

B

解析：过点B作BHLAC交AC于H点，

贝"=毁=吆=2又H=2BH,BH=2AH,

OAADODC

AO=-BH,CO=^BH,.-.^=—=

147SCBDCO32

••・比值为I

3.解析：⑴将A、B两点坐标代入即可求得解析式：y=12一手用

⑵取点M（0,9）,连接AM,则SA0C=过点M作MN〃OA,与抛物线交点即为所求Q点

由题意可知直线MN解析式：y=-V3%+9,

联立方程：|%2-呼x=-V3%+9,

解得：%】=3-\/3,%2=—2V3,

故Q点坐标为（3百,0）或（-2遍,15）.

取点N（0,-9）,过点N作OA的平行线，显然与抛物线无交点，故这种情况不存在对应的点Q.

综上所述，Q点坐标为（3遍,0）或（-2遍,15）.

4.解析：⑴解析式为y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=l.

⑵连接CP,可将四边形CBPA分为△CAP和4CBP.

=

即SCAP；SCBP3：5或SCAP:SCBP=5:3.

考虑△CAP和4CBP共底边CP,记CP与x轴交于点M厕SCAP-.SCBP=AM-.BM.

①AM:BM=5:3,点M坐标为(2,0),

根据C、M坐标求解直线CM解析式：y=-2x+3,联立方程：-好+2*+3=-2%+3,解得：x[=0倍)及=4.

故P点坐标为(4,-5).

②AM:BM=3:5,点M坐标为|(.0).

根据C、M坐标求解直线CM解析式为：y=-6x+3,联立方程：—/+2x+3=-6x+3,解得：卬=0(舍)，x2

=8.故P点坐标为(8,-45).

综上，P点坐标为(4,-5)或(8,-45).

5.解析：(1)抛物线解析式为y=—必+3x+4

(2)转化面积比为底边比:Q:PQ=SAQD-.SAPQ=2:1,考虑P、Q均为动点，可转化底边之比为“A”字型线段比：

；BD=4,...取E(-3,0)满足BE=2,

过点E作AB平行线，由题意得解析式为：y=x+2,

联立方程得：一/+3x+4=x+2,

解得：X[=1+VX%2=1—企，

代入得点P坐标为(1+V2<4+应)或(1-/，4-V2).

6.解析:⑴将点C(0,2)代入得：-4a=2,/.a=

，抛物线解析式为y=—巳/+|%+2,令一巳/+|%+2=0,

角驯导：X]--1,%2-4,

.♦.点A坐标为(-1,。)，点B坐标为(4,0);

⑵过点E作EHLx轴交BC于点H,则EH〃CD,

ACFD^AHFE,.\EF=HHD,VCD=1,A当EH最大时,居最大,设点E坐标为(m--^m2+^m+2),由

DF\22/

B、C坐标可得直线BC解析式为y=-|%+2,

点H坐标为(m，-如+2),E”=-如2+2m,当m=2时EH取到最大值2,(・•.的最大值为2此时点

\2/2DF

E坐标为(2,3).

7.解析：⑴设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-4),将点C(0,-2)代入得：a=:

•••抛物线的函数解析式为y=|x2-|x-2；

(2)由题意可得：合器过点D作DNJ_x轴交BC于点N,过点A作AMLx轴交BC延长线于点M,；.AM

〃DN,.♦.△AEMS^DEN,；.DEAE=DN,由题意得直线BC解析式为y=1-2,又点A坐标为(-1,0),...点M坐

AM

标为(T，-习，即=:若要•皂S2取到最大值，DN最大即可，设点D坐标为-2),

则点坐标为(m-^m-2),.-.DN=-1m2+2zn,当m=2时，DN取到最大值2,.手器嚼=内；

N\2/2SiAEAM25

2

ASS的最大值是|

8.解析：⑴设解析式为y=a(x+l)(x-3),

化简得y=CLX2—2ax—3a,BPc=-3a..*.C点坐标为(0,-3a).

(2)S2=IX40XOC=10C过点D作DM_Lx轴交x轴于M点，S1=1xOBxDM=|0M,

-D--M--=—2,

OC9

接下来的问题便是如何将DM与OC联系起来？考虑对称的性质，记AD与BC交于点E,E为OD中点且E为垂

足，过点E作ENLx轴交x轴于点N.

转化DM:EN=»M,故翳=*

BN=l，0N=/射影定理可求：EN=手,

OC=9EN=6vxa=-2V2.

9.解析：⑴将A(-1,0)代入得:b=2；

Q)SPQB=2SQRB转化为PQ=2QR,但这里PQ与QR均不易表示，所以继续转化线段比.

过P点作PFLx轴.交BD于E点，交x轴于F点.

APF:PE=6:5,解得P点坐标为(2,3).

当P点在y轴左侧时，同理.过点P作PMLx轴分别交x轴、BD延长线于M、N两点，此时.

=正，££=2V5m：2pyv=1：2

PM2PNV52V5

化简得：PN:PM=5:2,解得P点坐标为W)

综上，P点坐标为(2,3)或

10解析：(1)设顶点式y=a{x-I/+3,代点B(5,0),解得：a=-白,故抛物线解析式为

lo

y=-总(%-1)2+3.

(2)当点G在x轴下方时，如图所示，记DG与x轴交点为M点，化面积比为线段比：SRDG:SBDG=AM:BM考

虑AM=8,当AM:BM=3:5时，M点坐标为(0,0)又D点坐标为(1,3),故直线DM解析式为：y=3x,

与抛物线联立方程：-+9+各=3%

loo16

解得.Xi=-15,X2=1(舍)

故第1个G点坐标为(-15,-45).

当点G在x轴上方时，如图所示，此时△ADG和4BDG共底边DG，但高并不易求，可用铅垂法分别算两三

角形面积.

过点G作x轴的垂线分别交AD、BD延长线于M、N两点,^DG=1X4XGM=2GM（A、D两点之间水平

距离为4）,SBDG=1X4XGN=2GN（B、D两点之间的水平距离为4）,SADG-.SBDG=3:5,即GM:GN=3:5,

设G点坐标为（小，一2苏+|7n+1|）,