2025年中考数学总复习学案：遇到角平分线如何添加辅助线（含答案）

微专题20遇到角平分线如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一过角平分线上的点作一边的垂线

原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；

2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

作法：如图，过点P作尸5L0N于点B.

V

〃HV

名吉论：AP=BP；RtARtABOP

情形二过角平分线上的点作角平分线的垂线

原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三

线合一”）

作法：如图，过点尸作尸5J_0尸，交ON于点B.

OH\

结论：是等腰三角形

情形三1.过角平分线上的点作边的平行线；

2.过边上的点作角平分线的平行线

原理：（1）两直线平行，内错角相等；

（2）两直线平行，同位角相等；

（3）等角对等边.

作法：（1）过点P作尸。〃ON,交于点。；

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(2)过点P作PQ//OB,交NO的延长线于点Q.

QON

结论：△。尸。为等腰三角形

情形四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段;

2.延长被平分的角的短边至与长边相等

原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

作法一：截长法

在AC上截取连接。E,

HDC

结论：AABD名AAED；

作法二：补短法

延长45至点/，使4F=AC,连接。尸，

结论：△4尸△AC。

方法一遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理

[6年3考：2024.17(3),2021.7,2020.22]

例1(北师八下例题改编)如图，在R3A5C中，ZA=90°,平分N4C5交

A5于点。.若AZ)=3,SABCD=15,则5C=.

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C

例1题图

例2（人教八上习题改编）如图，ZAO5=45°,0。平分NA05,点。是0。上

一点，过点。作。4的垂线，交。4于点E,交0B于点F,若。石=1,则

的长为.

I

/C

•^^^********

（）RH

例2题图

方法二遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形

例3（人教八上习题改编）如图，△45。的面积为16,4。平分/晟4。,且4。_1_5。

于点。，则△4CD的面积为.

Aa,

例3题图

例4如图，在△人台。中，ZC=90°,AC=BC,4。平分N5AC交于点石,

BDLAD,若5。=2,则4E的长为.

H

AC

例4题图

方法三遇角平分线（或边）上一点，考虑作平行线构造等腰三角形

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例5如图，在△ABC中，A5=3,8c=6,点。在AC边上，且平分NA8C,

则穿的值为.

例6如图，在△A8C中，ZABC=30°,8。平分NABC交AC于点。，过点。

作的垂线，垂足为点E,若DE=2,则5E的长为.

例6题图

方法四截长补短构造轴对称图形

例7如图，在四边形A5C。中，AD^CD,ZA=120°,BD平分/ABC.

若A5+AO=8,则6。的长为.

A

例7题图

例8（人教八上习题改编）如图，在△ABC中，平分NA5C交AC于点。，点

E是的中点，^AB=2BC,AD=5,求”的长.

解法一（截长法）：

C

RA

例8题图

解法二（补短法）:

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二阶综合应用

1.如图，在R3A5C中，ZC=90°,5。平分NA5C交AC于点。，若AL>=

4,ZCBD=15°,则45的长为.

2.如图，在△A5C中，5。平分N45。交AC于点。，点E为A5上一点，ZAED

=ZC,若AZ)=4,AE=5,DE=6,则5C的长为.

第2题图

3.在Rtz\A5C中，ZACB=90°,A。平分NR4C交5C于点D.

(1)如图①，E为4。边上一点，连接即，已知/4即+/3=180°.求证：DB

=DE；

(2)如图②，△ABC的外角NCBP的平分线5尸与延长线交于点尸，连接CF,

求N5C/的度数.

第3题图

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一阶方法训练

例110【解析】如解图，过点。作。于点E平分NACBDELBC,

ZA=90°,：.DE=AD=3.,：SABCD=15,：.^BCDE=15,BP|BC=15,解得5C

=10.

Z\j)

cN"\

例1题解图

例2V2【解析】如解图，过点。作。GL05于点G,.,.NZ)GF=

90°.DELOA,OC平分NA05,:.DG=DE=1,VZAOB^45°,EF±OA,

.二△石。尸是等腰直角三角形，•..NMO=45°,••.△DG/是等腰直角三角形，

:.DF=&DG=yPL

4

0/C

r>GFa

例2题解图

例38【解析】如解图，延长5。交4C于点石，;4。平分乙BAE,ADA.BD,

：.ZBAD=ZEAD,ZBDA=ZEDA=90°,在^BAD和^EAD中,

^BAD^\EAD

AD=AD，*'•△BAD=/\EAD(ASA),.,.BD=ED,:•S&ABD=SAAED，SABDC

国BDA=057)4

I=S&CDE，•••SAA8D+SABDC=SAAE£)+SACDE=SAAC。，ACD=|5AABC=|X16=8.

4

例3题解图

例44【解析】如解图，延长5。，4C交于点尸，YA。平分NA4C,BDA.AD,

，八ABF为等腰三角形，：.BD=FD,BPBF=25D=4."：ZACB=90°,：.ZBCF

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=90°,ZAEC+ZEAC=90°,\'AD±BD,：.ZBED+ZFBC=90°,'：ZAEC

=ZBED,:./EAC=/FBC.又*：AC=BC,ZACE=ZBCF,

：.△ACE^A.BCFCASA),石=5/=4.

H

例4题解图

例52【解析】如解图①,过点D作DE//AB交BC于点E,则ZABD=ZBDE,

•/5。平分N45C,Z.ZABD=ZDBC,：.ZBDE=ZDBE,：.DE=BE,设。E

=BE=x,则CE=6—%,'：DE//AB,/.ACDE^ACAB,.•."二竺，BP-=—,

ABCB36

解得：

x=2,.CE=4,.*.A—D=—BE=-2=2.

4

R£r

例5题解图①

一题多解法

如解图②，过点。作。尸〃5C交A5于点尸，•:5。为N45C的平分线，.,.NA5。

AF

=ZCBD,'JDF//BC,：.ZFDB=ZDBC,：.ZFBD=ZFDB,：.BF=DF,'：—

AB

=火，即竺=上竺，解得A尸=1,/=2,.•.空="=々=2.

BC36ADAF1

A

HI：

例5题解图②

例64+2V3【解析】如解图，过点。作。尸〃A5交于点尸，•二5。平分

ZABC,：.ZABD=ZCBD,"：DF//AB,ZABC=30°,：.ZABD=ZBDF,ZDFC

=ZABC=30°,：.ZBDF=ZABD,：.ZBDF=ZCBD,C.BF^DF,'：DE±BC,

.•.△DE/是直角三角形，下=2DE=4,E尸=-^=2g,尸=。尸=4,...BE

tan30°

=BF+EF=4+2V3.

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例6题解图

例78【解析】如解图，延长BA至点F,使得BF=BC,连接DF.'：BD是N45C

(BF=BC

的平分线，在△尸5。和△中，hFBD^\CBD,

[BD=BD

?.△F5D^ACfiD(SAS),：.FD=CD,\'AD=CD,：.AD=FD,VZBAD=120°,

ZDAF=6G°,.•.△A。尸是等边三角形，：.AF^AD,：.BC=BF=AB+AD=

8.

f

K/\

例7题解图

例8解：如解图①，在5A上截取5G=5。，连接GE,

•/5。平分N45C,

：.ZCBE=ZGBE,

,:BC=BG,BE=BE,

：.△CBEQ△GBE(SAS),

：.CE=GE,

'：AB^2BC,

：.AB^2BG,

•••点G是A5的中点，

:点E是的中点，

；.GE是△45。的中位线，

15

：.GE=-AD=~,

22

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Z.CE=~.

2

C

AC，

例8题解图①

一题多解法

如解图②，延长5C至点尸，使得。尸=5。，连接。尸,

VAB=2fiC,BF=2BC,

：.BF=BA,

•/5。平分N45C,

ZFBD=ZABD,

"：BD=BD,

.*.△SDF^ABDACSAS),

：.DF=DA=5,

•••点E是的中点，

:.CE是X下的中位线，

，CE=-1DF=~5.

22

例8题解图②

二阶综合应用

1.8+4V3【解析】:台。平分NA5C,ZCBD=15°,ZABC=2ZCBD=

30°，如解图①，过点。作。石〃5C交45于点石，则乙4。石=NC=90°,ZAED

=ZABC=30°,：.AE=2AD=S,ED=WAD=4W,\"DE//BC,：.ZEDB=

ZCBD=ZEBD,：.BE=DE=4V3,：.AB=AE+BE=S+4A/3.

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第1题解图①

一题多解法

如解图②，过点。作。ELA5于点石，:班)平分NA5C,ZCBD=15°,：.ZABC

=2ZC5D=30°,VZC=90°,AZDAE=60°,,：AD=4,：.AE=2,DE=

2V3,：.CD=DE=243,.,.AC=4+2V3,.\AB=8+4V3.

AC.

第1题解图②

2.12【解析】如解图，在5C上截取5尸=5石，连接。尸，•15。平分N45C,

ZABD=ZCBD,又•：BE=BF,BD=BD,:.ABED之△BFDISAS),：.DE=

DF,ZBED=ZBFD,：.ZAED=ZCFD,VZAED=ZC,：.ZCFD=ZC,

：.DF=CD=DE^6,'：ZA=ZA,：.^ADE^AABC,即竺二^±^£,

DEBCDEBC

••J=誓，解得5C=12.

ODL

A

-

第2题解图

3.(1)证明：如解图①，过点。作。尸L45于点尸，

•/4。是NR4C的平分线，Z