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文档简介

微专题20遇到角平分线如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一过角平分线上的点作一边的垂线

原理:1.角平分线上一点到角两边的距离相等;

2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

作法:如图,过点P作尸5L0N于点B.

V

〃HV

名吉论:AP=BP;RtARtABOP

情形二过角平分线上的点作角平分线的垂线

原理:1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等;

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三

线合一”)

作法:如图,过点尸作尸5J_0尸,交ON于点B.

OH\

结论:是等腰三角形

情形三1.过角平分线上的点作边的平行线;

2.过边上的点作角平分线的平行线

原理:(1)两直线平行,内错角相等;

(2)两直线平行,同位角相等;

(3)等角对等边.

作法:(1)过点P作尸。〃ON,交于点。;

第1页共11页

(2)过点P作PQ//OB,交NO的延长线于点Q.

QON

结论:△。尸。为等腰三角形

情形四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段;

2.延长被平分的角的短边至与长边相等

原理:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

作法一:截长法

在AC上截取连接。E,

HDC

结论:AABD名AAED;

作法二:补短法

延长45至点/,使4F=AC,连接。尸,

结论:△4尸△AC。

方法一遇角一边的垂线,考虑运用角平分线定理

[6年3考:2024.17(3),2021.7,2020.22]

例1(北师八下例题改编)如图,在R3A5C中,ZA=90°,平分N4C5交

A5于点。.若AZ)=3,SABCD=15,则5C=.

第2页共11页

C

例1题图

例2(人教八上习题改编)如图,ZAO5=45°,0。平分NA05,点。是0。上

一点,过点。作。4的垂线,交。4于点E,交0B于点F,若。石=1,则

的长为.

I

/C

•^^^********

()RH

例2题图

方法二遇角平分线的垂线,考虑构造等腰三角形

例3(人教八上习题改编)如图,△45。的面积为16,4。平分/晟4。,且4。_1_5。

于点。,则△4CD的面积为.

Aa,

例3题图

例4如图,在△人台。中,ZC=90°,AC=BC,4。平分N5AC交于点石,

BDLAD,若5。=2,则4E的长为.

H

AC

例4题图

方法三遇角平分线(或边)上一点,考虑作平行线构造等腰三角形

第3页共11页

例5如图,在△ABC中,A5=3,8c=6,点。在AC边上,且平分NA8C,

则穿的值为.

例6如图,在△A8C中,ZABC=30°,8。平分NABC交AC于点。,过点。

作的垂线,垂足为点E,若DE=2,则5E的长为.

例6题图

方法四截长补短构造轴对称图形

例7如图,在四边形A5C。中,AD^CD,ZA=120°,BD平分/ABC.

若A5+AO=8,则6。的长为.

A

例7题图

例8(人教八上习题改编)如图,在△ABC中,平分NA5C交AC于点。,点

E是的中点,^AB=2BC,AD=5,求”的长.

解法一(截长法):

C

RA

例8题图

解法二(补短法):

第4页共11页

二阶综合应用

1.如图,在R3A5C中,ZC=90°,5。平分NA5C交AC于点。,若AL>=

4,ZCBD=15°,则45的长为.

2.如图,在△A5C中,5。平分N45。交AC于点。,点E为A5上一点,ZAED

=ZC,若AZ)=4,AE=5,DE=6,则5C的长为.

第2题图

3.在Rtz\A5C中,ZACB=90°,A。平分NR4C交5C于点D.

(1)如图①,E为4。边上一点,连接即,已知/4即+/3=180°.求证:DB

=DE;

(2)如图②,△ABC的外角NCBP的平分线5尸与延长线交于点尸,连接CF,

求N5C/的度数.

第3题图

第5页共11页

一阶方法训练

例110【解析】如解图,过点。作。于点E平分NACBDELBC,

ZA=90°,:.DE=AD=3.,:SABCD=15,:.^BCDE=15,BP|BC=15,解得5C

=10.

Z\j)

cN"\

例1题解图

例2V2【解析】如解图,过点。作。GL05于点G,.,.NZ)GF=

90°.DELOA,OC平分NA05,:.DG=DE=1,VZAOB^45°,EF±OA,

.二△石。尸是等腰直角三角形,•..NMO=45°,••.△DG/是等腰直角三角形,

:.DF=&DG=yPL

4

0/C

r>GFa

例2题解图

例38【解析】如解图,延长5。交4C于点石,;4。平分乙BAE,ADA.BD,

:.ZBAD=ZEAD,ZBDA=ZEDA=90°,在^BAD和^EAD中,

^BAD^\EAD

AD=AD,*'•△BAD=/\EAD(ASA),.,.BD=ED,:•S&ABD=SAAED,SABDC

国BDA=057)4

I=S&CDE,•••SAA8D+SABDC=SAAE£)+SACDE=SAAC。,ACD=|5AABC=|X16=8.

4

例3题解图

例44【解析】如解图,延长5。,4C交于点尸,YA。平分NA4C,BDA.AD,

,八ABF为等腰三角形,:.BD=FD,BPBF=25D=4.":ZACB=90°,:.ZBCF

第6页共11页

=90°,ZAEC+ZEAC=90°,\'AD±BD,:.ZBED+ZFBC=90°,':ZAEC

=ZBED,:./EAC=/FBC.又*:AC=BC,ZACE=ZBCF,

:.△ACE^A.BCFCASA),石=5/=4.

H

例4题解图

例52【解析】如解图①,过点D作DE//AB交BC于点E,则ZABD=ZBDE,

•/5。平分N45C,Z.ZABD=ZDBC,:.ZBDE=ZDBE,:.DE=BE,设。E

=BE=x,则CE=6—%,':DE//AB,/.ACDE^ACAB,.•."二竺,BP-=—,

ABCB36

解得:

x=2,.CE=4,.*.A—D=—BE=-2=2.

4

R£r

例5题解图①

一题多解法

如解图②,过点。作。尸〃5C交A5于点尸,•:5。为N45C的平分线,.,.NA5。

AF

=ZCBD,'JDF//BC,:.ZFDB=ZDBC,:.ZFBD=ZFDB,:.BF=DF,':—

AB

=火,即竺=上竺,解得A尸=1,/=2,.•.空="=々=2.

BC36ADAF1

A

HI:

例5题解图②

例64+2V3【解析】如解图,过点。作。尸〃A5交于点尸,•二5。平分

ZABC,:.ZABD=ZCBD,":DF//AB,ZABC=30°,:.ZABD=ZBDF,ZDFC

=ZABC=30°,:.ZBDF=ZABD,:.ZBDF=ZCBD,C.BF^DF,':DE±BC,

.•.△DE/是直角三角形,下=2DE=4,E尸=-^=2g,尸=。尸=4,...BE

tan30°

=BF+EF=4+2V3.

第7页共11页

例6题解图

例78【解析】如解图,延长BA至点F,使得BF=BC,连接DF.':BD是N45C

(BF=BC

的平分线,在△尸5。和△中,hFBD^\CBD,

[BD=BD

?.△F5D^ACfiD(SAS),:.FD=CD,\'AD=CD,:.AD=FD,VZBAD=120°,

ZDAF=6G°,.•.△A。尸是等边三角形,:.AF^AD,:.BC=BF=AB+AD=

8.

f

K/\

例7题解图

例8解:如解图①,在5A上截取5G=5。,连接GE,

•/5。平分N45C,

:.ZCBE=ZGBE,

,:BC=BG,BE=BE,

:.△CBEQ△GBE(SAS),

:.CE=GE,

':AB^2BC,

:.AB^2BG,

•••点G是A5的中点,

:点E是的中点,

;.GE是△45。的中位线,

15

:.GE=-AD=~,

22

第8页共11页

Z.CE=~.

2

C

AC,

例8题解图①

一题多解法

如解图②,延长5C至点尸,使得。尸=5。,连接。尸,

VAB=2fiC,BF=2BC,

:.BF=BA,

•/5。平分N45C,

ZFBD=ZABD,

":BD=BD,

.*.△SDF^ABDACSAS),

:.DF=DA=5,

•••点E是的中点,

:.CE是X下的中位线,

,CE=-1DF=~5.

22

例8题解图②

二阶综合应用

1.8+4V3【解析】:台。平分NA5C,ZCBD=15°,ZABC=2ZCBD=

30°,如解图①,过点。作。石〃5C交45于点石,则乙4。石=NC=90°,ZAED

=ZABC=30°,:.AE=2AD=S,ED=WAD=4W,\"DE//BC,:.ZEDB=

ZCBD=ZEBD,:.BE=DE=4V3,:.AB=AE+BE=S+4A/3.

第9页共11页

第1题解图①

一题多解法

如解图②,过点。作。ELA5于点石,:班)平分NA5C,ZCBD=15°,:.ZABC

=2ZC5D=30°,VZC=90°,AZDAE=60°,,:AD=4,:.AE=2,DE=

2V3,:.CD=DE=243,.,.AC=4+2V3,.\AB=8+4V3.

AC.

第1题解图②

2.12【解析】如解图,在5C上截取5尸=5石,连接。尸,•15。平分N45C,

ZABD=ZCBD,又•:BE=BF,BD=BD,:.ABED之△BFDISAS),:.DE=

DF,ZBED=ZBFD,:.ZAED=ZCFD,VZAED=ZC,:.ZCFD=ZC,

:.DF=CD=DE^6,':ZA=ZA,:.^ADE^AABC,即竺二^±^£,

DEBCDEBC

••J=誓,解得5C=12.

ODL

A

-

第2题解图

3.(1)证明:如解图①,过点。作。尸L45于点尸,

•/4。是NR4C的平分线,Z

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