2025年中考数学复习专项训练：正方形中的十字架模型 （含答案）

【模型攻关】2025年中考复习培优专题训练

正方形中的十字架模型

正方形十字模型详解

正方形十字模型是数学中的经典概念，涉及正方形的两组对边取点并相连,探究所得两条线段的关系。

①当两条线段垂直时，它们相等。

②当两条线段相等时，它们垂直。

1、模型展小

对I图3

（3,模型结论；

如图1,正方形ABCD中，AE±BF,则AE=BF.

如图2,正方形ABCD中，EF±MN,则EF=MN.

如图3,正方形ABCD中，AF±BE,则AF=BE.

一.选择题

1.如图，在正方形4BC。中,点E、E分别在边CQ,上，BE与Cb交于点G,若BC=4,DE=AF=1,则CG

的长是（

3V212

A.2B.V5C.—D.—

25

2.如图，点E、F、G分别是正方形ABC。的边A。、BC、A8上的点，连接DG,EF,GF.MEF=DG,DE=2AG,

NADG的度数为a,则NEPG的度数为（）

AED

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

OH

3.如图，正方形ABC。中，AE=DF,AF与BE相交于点”，点。为83中点，连结O"，若DG=OG,则一的

BH

4.如图，在正方形ABCD中，点E、尸分别在A。、CD上，S.AE=DF,连接A尸与BE相交于点G.若AG+BG

=6,空白部分面积为10.5,则AB的长为（）

A.3V2B.V19C.2V5D.V26

5.如图所示，E、F、G、”分别为正方形A8CD的边A8,BC,CD,上的点，5.AE=BF=CG=DH=^AB,

则图中阴影部分的面积与正方形ABC。的面积之比为（）

6.如图，在正方形ABC。中，E为8c的中点，尸为CD的中点，AE和8尸相交于点G,延长CG交于点H,

下列结论：

®AE=BF-,

②NCBF=/DGF；

…BH2

③­=-；

CF3

公S"HG3

S&CFG4

其中结论正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二.填空题

7.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别是8C,C。上的点，AE与2尸相交于点G,连接AC交3产于点"若

CE=DF,BG=GH,AB=2,则△CFH的面积为.

8.如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别在8C,AB上，5.DE^DF,AC分别交DE,于点M,N.设ADMN

和△AFN的面积分别为Si和S2,若S2=2SI,则tan/A。尸的值为

9.如图，E,尸分别是正方形ABC。的边CB,AD上的点，5.CE^DF,AE与3尸相交于。下列结论：①AE=

1

BF&AE1BF；②S4A05=S四边形o或m；@AD=OE；④连接0C,当后为边。。的中点时，tanNEOC值为鼻，其

中正确的结论有

10.如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD点P为边上的一点（不与点A点。重合），将正方形纸片沿

EF折叠，使点8落在尸处，点C落在G处，PG交DC于H,连结BP、BH,下列结论：

①BP=EF；

②当P为中点时，三边之比为3：4：5；

③/APB=NBPH；

④周长等于8.

三.解答题

11.如图，A,B,C,。四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库尸和。分别位于和。C上，且

=QC.问题：止匕时8尸与A。有怎样的关系？请说明理由.

12.如图，有两个动点E,尸分别从正方形A3。的两个顶点8,C同时出发，以相同速度分别沿边8C和C。移动,

问：在E,歹移动过程中，AE与8尸的位置和大小有什么关系吗？并给予证明.

13.在正方形ABC。中，尸是边BC上一动点（不与点3、C重合），£是AP的中点，

过点E作跖V_LAP,分别交AB、C。于点M,N.

（1）判定线段MV与4P的数量关系，并证明；

（2）连接8。交MN于点F.

①根据题意补全图形；

②用等式表示线段ME,EF,FN之间的数量关系，直接写出结论

14.如图1,在正方形48CD中，AB=2V3,点E在边BC上，连接AE,且/BAE=30°点/是AE的中点.

（2）过点F作直线GH,分别交AB,CD于点G,H,MGH=AE,求AG的长;

（3）如图2,过点尸作AE的垂线，分别交AB,BD,CZ）于点M,O,N,连接0E,求NAE。的度数.

15.问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第(1)题是这样一个问题:

如图1,在正方形48C。中，点E、尸分别在边BC、CD上，且A及L8F,垂足为那么AE与时相等吗？

(1)直接判断：AEBF(填“=”或“W”)；

在“问题情境”的基础上，继续探索：

问题探究：

(2)如图2,在正方形A8CQ中，点E、F、G分别在边BC、CD和ZM上，J.GELBF,垂足为根那么GE

与2尸相等吗？证明你的结论；

问题拓展：

(3)如图3,点E在边8上，＞MNLAE,垂足为当X在正方形ABC。的对角线20上时，连接AN,将

△AHN沿着AN翻折，点〃落在点”'处.

①四边形是正方形吗？请说明理由；

②若AB=6,点尸在2。上，BD=3BP,直接写出刊+零4N的最小值为.

16.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题:

①②③⑷⑤

①如图1,在正三角形A8C中，M,N分别是AC,A8上的点，与CN相交于点O,若/BON=60°,则

=CN；

②如图2,在正方形48CD中，M,N分别是CD,上的点，与CN相交于点O,若NB0N=9Q°,则

=CN.

然后运用类比的思想提出了如下命题；

③如图3,在正五边形A8CDE中，M,N分别是CZ),上的点，与CN相交于点。，若/B0N=108°,

则8M=CN.任务要求：

(1)请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；

(2)请你继续完成下面的探索：

①如图4,在正〃(〃。3)边形A8COEF…中，M,N分别是CO,OE上的点，8M与CN相交于点。，试问当

NBON等于多少度时，结论8M=CN成立；(不要求证明)

②如图5,在正五边形A8CDE中，M,N分别是OE,AE上的点，与CN相交于点。，若/BCW=108°时，

试问结论8M=CN是否还成立.若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

参考答案

一.选择题

1.解：:四边形ABCO为正方形，BC=4,

：.ZCDF=ZBCE=90°,AD=DC=BC=4f

又,.・DE=AF=1,

:.CE=DF=3,

在△口)/和ABCE中，

CD=BC

Z.CDF=乙BCE,

JDF=CE

:・ACDF•ABCE(SAS),

・•・NDCF=NCBE,

*：ZDCF^ZBCF=90°,

：.ZCBE+ZBCF=90°,

ZBGC=90°,

在RtzXBCE中，5C=4,CE=3,

：.BE=VBC2+EC2=5,

:・BE・CG=BC・CE,

.BC-CE_4x3_12

・・CG=BE=~=T,

故选：

2.解：・・•四边形A5CO为正方形，

：.AB=BC=CD=ADfZA=ZB=ZC=ZADC=90°,

如图，过点尸作尸A。于点凡

则四边形CDHb为矩形，

:.FH=CD,DH=CF,ZFHE=90°,

:・FH=AD,

在RtAFHE和RtADAG中，

(FH=AD

IFF=DG'

ARtAF/fE^RtADAG(HL),

：・EH=AG,NHFE=NADG=cc,

*：DE=AGf

：.DE=2EH,即点。为OE中点，

:・EH=DH=AG=CF,

：.AB-AG=BC-CF,即BG=BF,

•••△BbG为等腰直角三角形，/BFG=45：

：.ZEFG=9Q°-ZBFG-ZHFE=90°-45°-a=45°-a.

故选：C.

3.解：・・,四边形A5CO是正方形，

：.AD=ABfZADC=ZDAB=90°,

又•：DF=AE,

\^DAF^AABE(SAS),

\BE=AF,/EBA=/EAH,

：ZEAH+ZHAB=90°,

•・NEBA+NHAB=9U°,

\ZAHB=90°,

••点。为中点，DG=OG,

DG1

----

GB3

9：AB//CD,

:.ADFGS^BAG,

9DFDG1

AG~GB~3

设DF=k,则A3=3Z,

.\AE=k,

在RtZ\AE8中，EB=VlOfc,

3,

：.V10k-AH=AE-AB,解得A”=7Tok,

在RtZVIHB中，根据勾股定理J(3fc)2-(^=fc)2

过点。作。尸，AB于点尸，过X作HNLAB于点N,过。作。交的延长线于点M,如图:

则四边形。MNP为矩形,

13

：.OM=NP,OP=MN=^AD=2

3,9,

在Rt2\AHB中，3k・HN=AH・BH=

9

：.HN=^k,

393

MH=2fc—k=弓k,

又,：/EBA=/AHN,/HNA=/EAB,

:AHNAsABAE,

.BNEA1

,・HN~AB~39

3

**•AN=k,

oo

**•NP=0M=qk-k=弓k,

根据勾股定理可得OH=^k,

.OH|V5kV2

BH*3

Vio

故选：A.

4.解：・・,四边形A5CZ)为正方形，

：.ZD=ZBAD=90°,AD=AB,

在△AOF和△A4E中，

AD=AB

Z.ADF=Z-BAE,

DF=AE

：.AADF^ABAE(SAS),

SAADF=S^BAE,ZDAF=NABE,

VZBAG+ZZ)AF=90°,

：.ZBAG+ZABE=90°,

・・・NAG8=90°,即BG_LAG,

,**S/\ADF=S/\BAE,

S/\ADF-S/\AEG=S/^BAE-S/\AEG,BPS四边形DEGF=Sz\A5G,

'：AG+BG=6,

：.(AG+BG)2=AG2+BG2+2AG-BG=36,

'：SMBG=|XG-BG,AB1=AG1+BG1,

AR2

**•AB+4SAABG—36,即=9-,

AB2

•:S空白=S正方形ABC。-S四边形OEGb-S^ABG=S正方形A5CD-2S^ABG=AB2—2(9^―)=10.5,

解得：AB=V19(负值已舍去).

故选：B.

5.解:

H_D

BFC

•••四边形ABC。是正方形，

・・・5C=A5=AO,/DAB=/ABF=90°,

U：AE=BF=

(SAS),

・・・ZADM=/BAN,

*：ZBAN+ZDAM=90°,

ZADM+DAM^90°,

AZAMD=90°,

同理：ZANB=90°,

ZAMD=/ANB,

：./\DAM^AABN(AAS),

:・AM=BN,

同理可以证明△BC尸，△CO。，△QAM,AAaV是全等的直角三角形，它们的面积相等,

VBE=|AB,DG=1/)C,AB//DC,

・・・四边形EBGD是平行四边形，

：.ED//BG,

：.AM：AN=AE：AB=1：4,

令正方形ABC。的边长是mAM=b,贝ij3N=。，AN=4b,

1

・•・正方形ABC。的面积是d,AABN的面积是一。・4。=2廿，

2

,:Aa=Bm+AV,

a2=b2+16b2=17b2,

•・•阴影的面积=〃2-4义2■=17廿-8■=9贬，

9b29

・・・阴影部分的面积与正方形A5CD的面积的比是「方=一.

17匕217

故选：A.

6.解：；四边形A5CO是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AB//CD,

・「E为的中点，尸为co的中点，

11

:・BE=$C,CF=^CD,

:・BE=CF,

:•△ABEQABCF(SAS),

：.BF=AE,NBAE=NCBF,

故①正确，

'：ZCBF+ZABF=90°,

AZABF+ZBAE=90°,

AZAGB=180°-(NBAE+NABF)=90°,

：.AELBF,

：.ZAGF=90°,

延长BF交AD的延长线于点M,

VZMDF=ZBCF=90°,DF=CF,ZDFM=ZBFC,

・••△BF8/\MFD(ASA),

:,DM=BC,/M=NMBC,

：.AD=DMf

:,DG=DM=

・•・ZDGM=NM,

：.NCBF=NDGF,

故②正确；

设BE=CF=a,贝!|AB=BC=2m

：.AE=7AB2+BE2=耳，

.\BF=AE=V5tz,

•；AABE的面积=%B・BE=%E・BG,

.“2V5

・・BG=~g—4，

:・FG=BF-BG=*a,

\9AB//CD,

:.NABG=NBFC,NBHG=NHCF,

：・4BHGs/\FCG,

.BHBG

・*CF~FG

.BH2

••——9

CF3

故③正确；

BH2

一,CF=3a,

CF3

：.BH=2a,

：.AH=AB-BH=4a,

.AH4

••=一,

CF3

•••△AHG中AH边上的高与AGCb中CT边上的高不相等,

.S^AHG

..------工,一4,

S&CFG3

故④不正确；

综上所述：正确的结论是：①②③，

故选：A.

二.填空题

7.解：如图：过点〃作垂足为M,

;四边形A5CO是正方形,

：.AB=BC^CD=2fAB//CD,ZABC=ZBCD^90°,NACO=45°,

：.AC=V2AB=2V2,

•；CE=DF,

：.BC-CE=CD-DF,

；・BE=CF,

:.△ABEQBCF(SAS),

.\Z1=Z2,

VZABC=Z2+Z3=90°,

.,.Zl+Z3=90°,

ZAGB=180°-(Z1+Z3)=90°,

•：BG=GH,

；.AG是的垂直平分线，

：.AB^AH=2,

：.Z3=ZAHB,CH=AC-AH=2a一2,

'：AB//CD,

：.Z3=ZCFH,

'：NAHB=NCHF,

：.ZCFH=ZCHF,

:.CH=CF=2正-2,

CH_2HL2__后

在RtZXHMC中，HM=互=飞­=2-/，

11

•••△。尸〃的面积=为尸・印0=>(2V2-2)X(2-V2)=3近一4,

故答案为：3立一4.

8.解：过N作N〃_LA5于如图:

■:NFHN=/FAD=90°,

：.HN//ADf

：./ADF=/HNF,

设tanZADF=tanZFNH=k,设NH=AH=b,贝！JFH=kb,

:.AF=b+kb,

AU

・・・tanNAZ)b=饴，

.sb+bkl+/c.

..AD=­；—=—；—b,

kk

11c11+ZCc11+/C

S2=gF、HN=(1+攵),SI=S^ADC-2sAADN=q(kb)2-2x.kb，b,

VS2=2SI,

111+Zc0i1+Zc

—tr9(1+Z)=2*[_(-----b)2-2x------b・b],

22k2k

整理得：F+2Z-2=0,

解得：仁百-1或-遍-1(舍弃)，

tanZADF=%=V5—1,

故答案为：V3—1.

9.解：・・•四边形A5CD是正方形，

：.AB=ADfZBAF=ZADE=90°.

・.•CE=DF,

：.AF=DE.

在AAB尸和△ZME中，

AB=AD

/-BAF=乙ADE,

AF=DE

：.AABF^ADAE(SAS).

：.AE=BFf故①正确.

,/AABF^ADAE,

・•・ZAFB=ZAED.

VZAED^-ZDAE=90°,

ZAFB+ZDAE=90°,

AZAOF=90°,BPAELBF,故①正确.

・.•AABF^ADAE,

・・S^ABF=SAADE.

AS^AOB=SAABF-SAAOF,S四边形QEOF=SZV4£>E-S^AO尸,BPS^AOB=S四边形OEO尸,故②正确.

如图过点E作交于点连接OM,

在正方形ABCD中，

ZBAD=ZADE=ZAME=90°,

・•・四边形ADEM为矩形，

AD=EM,

在中，

TNEOM为钝角，

.♦.△EOM不是以点£为顶点的等腰△,

：.OEWEM,

即AD^OE,

故③错误.

如图，连接。C,延长AE使A£=EG,交BC延长线于点G,过点。作“LAG交于点H,

是边DC的中点，

：.ED=EC,

在△ADE和△GCE中，

DE=CE

^AED=乙GEC,

AE=GE

：.AADE^AGCE{SAS),

所以/ECG=/EZM=90°=ZBCE,

...点8、C、G共线，

：.ZG=ZGAD

设边AD=DC=2a,

'.AF=DE=a,

一门OFOD1

twZGAD=Jo=AD=r

cp1

tanXCGA=

AE=y/AD2+ED2=45a,

：.AG=2AE=2乘a,

'：CG=AD,

CG=2a,

在△CEG中，CH=缗a,HG=^a,

ofc

在AAO厂中，AO=等〃，

4/5

・•・OH=AG-HG-AO=等〃，

「H1

在RtZ\a/O中，tanZEOC=

故④正确.

故答案为：①②④.

10.解：如图，过点尸作引于点

P

•・•四边形A3CO为正方形，

AZA=ZABC=90°,AB=BC,

'：FM±AB,

・•・四边形b为矩形，

；・MF=BC=AB,N尸ME=90°,

由折叠可知，EFLBP,

:・/PBE+/BEF=90°,

*：ZPBE+ZAPB=90°,

：.ZBEF=ZAPB,BPZMEF=AAPB,

在△A5P和中，

Z.APB=乙MEF

乙BAP=ZFME,

AB=MF

:・AABPQ丛MFE(AAS),

：.BP=EF,故①正确；

由折叠可知，BE=PE,

设BE=PE=x,贝！)AE=4-x,

・・・尸为AD中点,

・・・AP=2,

221

在RtAiRlE中，AP+AE=PE9

22+(4-x)2=/,

解得：％=趣,

35

：.AE=4-x=I，PE=|,

35

：.AE：AP：PE=*2：-=3：4：5,

22

即△B4E三边之比为3：4：5,故②正确；

由折叠可知，BE=PE,NEBC=NEPG=90°,

:・/PBE=/BPE,/BPE+/BPH=90°,

VZPBE+ZAPB=90°,

:・/APB=/BPH,故③正确；

如图，过点5作BNLPH于点N,

NBAP=/BNP=9U

在AABP和△N5P中，

2BAP=乙BNP

乙APB=乙NPB,

PB=PB

：.^ABP^ANBP(AAS)，

:・AB=BN,AP=PN,

:・BC=BN,

在RtABAW和RtABCH中，

BN=BC

BH=BHf

：.RSNH沿RtdBCH(HL),

：・NH=CH,

：.CAPDH=PD+PN+NH+DH=PD+AP+CH+DH=2AD=8,故④正确.

综上，正确的结论有①②③④.

故答案为：①②③④.

三.解答题

11.解：如图所示：

8P与AQ互相垂直且相等，理由如下：

:四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD=CD,ZBAP=ZADQ=90°,

'：PD=QC,

：.AD-PD=CD-QC,即AP=DQ,

在△A2P和△ZMQ中，

AB=AD

/.BAP=/.ADQ,

AP=DQ

...△ABPdZM。(SAS),

：.BP^AQ,ZABP^ZDAQ,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,ZABC=90°,

ZAPB=ZPBC,

；NABP+NPBC=NABC=9Q°,

ZDAQ+ZAPB=90°,

「ZDAQ+ZAPB+ZAOP=180°,

ZAOP=180°-CZDAQ+ZAPB)=90°,

J.BPLAQ,

：.BP与A。互相垂直且相等.

12.解：AE与BE的位置关系是：垂直；大小关系是：相等.

证明：•••四边形ABCO为正方形，

：.AB^BC,ZABC=ZBCD=90°,

又动点E,尸分别从正方形ABC。的两个顶点8,C同时出发，以相同速度分别沿边8C和CD移动,

：.BE=CF,

在△A3E和△BC/中，

AB=BC

Z.ABC=乙BCD=90°,

BE=CF

:•△ABEmABCF(SAS),

；・NEAB=/FBC,AE=BF,

'：ZCBF+ZABO=90°,

：.ZEAB+ZABO=90°,

在AABO中，ZAOB=180°-(ZEAB+ZABO)=90°,

：.AE±BF.

13.解：(1)MN=AP.

证明：过点M作MGLCO于点G,则四边形AMGO是矩形,

图1

：.MG=AD,ZMGN=90°,

•・•四边形ABC。是正方形，

AZABP=90°,AB=BC=AD,

；.MG=AB,NABP=/MGN,

又,.・MN_LA尸，

AZAEM=90°,

AZAME+ZBAP=90°,

又・・・NNMG+NAA/£=90°,

・•・ZNMG=NBAP,

:•△ABPQAMGN(ASA),

：.AP=MN；

（2）①补全图形如图2,

②如图3,过点尸作尸修〃A3交MN于点”，交BD于点K,过点M作MGLC0于点G,

图3

'：AM//PH,

:・/MAE=/EPH,

・・・E为AP的中点，

：.AE=EP,

又•.・NAEM=/PEH,

:•△AMEWXPHE(ASA),

；.ME=EH,AM=PH,

・・•四边形AMG。是矩形，

・・・AM=OG,

:.DG=PH,

•・・NC5O=45°,NBPK=90°,

:./PBK=/BKP=45°,

:・BP=PK,

由(1)知△A5Pg/\MGM

:,BP=NG,

:.PK=NG,

:・HK=DN,

又,：NK//DN,

：.ZHKF=ZNDF,

:.△HKFQ4NDF(A4S),

:,HF=NF,

：.EF=EH+HF=EM+FN.

故答案为：EF=EM+FN.

14.解：⑴*：ZBAE=30°,

:・AE=2BE,

设则AE=2x,

在RtZkABE中，/+(2代产=(2x)2,

解得x=2或-2(舍去)，

・・・AE=4；

(2)如图，过点3作切?〃GH,交CD于R,

■:GH//BR,AB//CD,

・・・四边形BRHG是平行四边形，

:・GH=BR,NBGH=NBRH,

■:GH=AE,

；・BR=GH=AE.

又•：AB=BC,

：.RtAABE^RtABCR(HL),

・・・/BAE=/CBR=30°,

：.ZBRC=60°=/AEB,

：.ZBRH=120°=/BGH,

：.ZAGH=60°,

/.ZAFG=180°-60°-30°=90°,

9：ZBAE=30°,

：.AG=2GFf

：.AG2=GF2-AF2,

；.3G产=4.

.…_2V3

••GF——~q~,

.…4V3

..AG=—;

如图，过点A作AR〃GH,交CD于R,过点G作GOLAE于点O,

同理可证：AABE^AADR,

：.ZDAR=ZBAE=30°,

：.ZEAR=30°,

■:AR//GH,

：.ZRAF=ZAFG=30°,

：.ZBAE=ZAFG,

：.AG=GFf

'：GO±AF,

：.AO=FO=\,

'：ZBAE=30°,

：.AG=2GO,

222

.'.AG-GO=AOf

・・・3GO2=1,

・・・GO=卓,

2/3

：.AG=

3

4A/32\/3

•・•AG的长为亏或可;

(3)如图，连接AO,过点。作0QLA2于点。，OPLBC于点尸,

・・•四边形A5CO是正方形,

ZABD=ZCBD=45°,

VOQLAB,OPLBC,

：.OQ=OP,

■:MNLAE,AE=EF,

：.AO=OE,

：.ZOAE=ZOEAf

•：OA=OE,OQ=OP,

ARtAAOe^RtAEOP(HL),

：.ZOAQ=ZOEP,

VZBEA^-ZAEO+ZOEP=180°,

.*.60°+ZAEO+ZOAE+300=180°,

AZAEO=45°.

15.解：(1)9：AE±BF,

：.ZEMB=90°,

：.ZFBC+ZBEM=90°,

・・•四边形A5CO是正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

：.ZFBC+ZBFC=90°,

ZBEM=ZBFC,

在△ABE和△3CF中，

/.ABC=乙C

乙BEM=乙BFC,

AB=BC

:•△ABE/XBCF(A4S),

：.AE=BF.

故答案为：=；

(2)GE=BF,理由如下：

如图2,过点A作AN〃GE,交BF于点H,交BC于点、N,

图2

AZEMB=ZNHB=90°,

：.ZFBC+ZBNH=90°,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,AB=BC,ZBAD=ZABC=ZC=90°,

9：AD//BC,AN//GE,

・•・四边形ANEG是平行四边形，

:・AN=EG,

VZC=90°,

；・/FBC+NBFC=9U°,

・•・NBNH=ZBFC,

:・AABN咨ABCF(A4S),

:・AN=BF,

•：AN=EG,

：.GE=BF.

•..四边形ABCD是正方形，8。是正方形的对角线,

/.ZABD=ZCBD=45°,AB=BC,

：.AABH^ACBH(SAS),

:./BAH=/BCH,AH=CH,

由折叠可知，AH=AH',NH=NH',

■:/ABN+/AHN=180°,

：.ZBAH+ZBNH=180°,

"：ZBNH+ZHNC=180°,

ZBAH=ZHNC,

：.ZHNC=ZNCH,

：.NH=CH,

：.NH=CH=AH=AH'=NH',

四边形AHMT是菱形，

VZAHN=90°,

:.菱形AHN印是正方形；

②如图4,作H'8c交C8的延长线于点Q,作于点M,

/.ZH'QN=ZHFB=9O°,

由上