2025年中考数学总复习《重难突破》同步测试题（附答案）

2025年中考数学总复习《重难突破》同步测试题-附答案

学校:班级：姓名:考号：

重难一规律探究问题

1.[2023云南]按一定规律排列的单项式：a,V^a2,ga3,V5a4,芯05,…，第n个单项式是（）

A.-\/nB.Vn—lan-1C.y/nanD.Vnan-1

2.[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5,…，

这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前

2024个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

3.[2024长沙三模]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”

（如图），此图揭示了（。+5广（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.

例如：

（a+b）°-1；

（a+b）1—a+b；

（a+b）2-a2+2ab+b2；

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

（a+b）4-a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

请你猜想（a+5）8的展开式中所有系数的和是（）

A.2018B.512C.128D.256

4.[2023常德]观察数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数募排在第a行匕

列，则a—b的值为（）

A.2003B.2004C.2022D.2023

5.[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1

个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形，……按照此规律，第六

幅图中正方形的个数为（）

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图

A.90B.91C.92D.93

6.[2024郴州桂阳一模]如图,NMON=30°,在OM上截取=服过点&作2祝1OM,

交。N于点当，以点/为圆心，Bi。为半径画弧，交。M于点儿；过点儿作为B2，CW,

交。N于点B2，以点B2为圆心，B2。为半径画弧，交。M于点&；……，按此规律，所得

线段2202282022的长等于（）

A.22021B.22020c.22023D.22022

3

7.[2024湖北武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=%-3/+3%-1的图象，

发现它关于点（1,0）中心对称.若点

4（0.1,%）,4（02%），23（03为），…419（19月9），420（2,%0）都在函数图象上，这20个

点的横坐标从0」开始依次增加0.1,则%+为+为+-+为9+丁20的值是（）

8.[2024岳阳平江模拟]正偶数2,4,6,8,10,…，按如下规律排列，

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是—.

9.[2023山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中

有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4

个图案中有10个白色圆片，……，依此规律，第n个图案中有个白色圆片

(用含n的代数式表示).

受82as8W88W88•••

第1个第2个第3个第4个

10.[2024岳阳华容一模]在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被

称为“十天干”，它们经常和其他汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，

下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数

为一

HHHIH

——

——

——I

JCcC

H-HH--

—

——

——I—H

HHH4H

烷

烷

甲烷

乙

11.[2023衡阳蒸湘一模]如图，在平面直角坐标系久0y中，点4(2,2)在直线y=%上，过

点为作为Bi〃y轴，交直线y=于点/，以&为直角顶点，为直角边，在&当的

右侧作等腰直角三角形a/iG；再过点G作&B2〃y轴，分别交直线y=%和y=于4,

B2两点，以外为直角顶点，AB2为直角边，在的右侧作等腰直角三角形2c2；……

按此规律进行下去，点C2021的横坐标为.

12.[2023江苏宿迁]如图，AaBC是正三角形，点4在第一象限，点B(0,0)、C(l,0).将线

段以4绕点C按顺时针方向旋转120。至CP1；将线段BP1绕点B按顺时针方向旋转120。至

BP2；将线段近2绕点&按顺时针方向旋转120。至ZP3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋

转120。至CP.……，以此类推，则点P99的坐标是.

13.[2023张家界]如图，在平面直角坐标系中，四边形2B0C是正方形，点2的坐标为(1,1),

A%是以点B为圆心，为半径的圆弧；a/?是以点。为圆心，。①为半径的圆弧；

是以点C为圆心，C4为半径的圆弧；是以点2为圆心，为半径的圆弧，继续以

点B、。、C、2为圆心，按上述作法得到的曲线4412223a44…称为正方形的“渐开线”，

则点&2023的坐标是.

14.[2023怀化]在平面直角坐标系中，AZOB为等边三角形，点2的坐标为(1,0).把AZOB

按如图所示的方式放置，并将△ZOB进行变换：第一次变换将AZOB绕着原点。顺时针旋

转60。，同时边长扩大为△ZOB边长的2倍，得到△40B1；第二次旋转将△4OB1绕着

原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为△&0B1边长的2倍，得到△&0B2,…….依

次类推,得到△42023。&023，则△&023。82023的边长为，点42023的

坐标为.

15.[2024江苏盐城]发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢?

图1

分析问题.某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那

么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交

错规律排列，每行有ri个籽，每列有人个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n,/c

均为正整数，n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

•--•--•-----•--•

•--•--•——•■•-.--•

•--•--•…——•--•Thbhhl-

•--•--••••——•--•

•--•--•——…-•--•1中：叫L.

图2图3图4

方案1:图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为—__________,共铲_________行，则

铲除全部籽的路径总长为

方案2:图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为;

方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题.在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程，并对销售员的

操作方法进行评价.

重难二新定义问题

1.[2023山东苗泽]若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如：4(1,3),

B(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍点”.在一3<%<1的范围内，若二次函数y=—％2一%+。

的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()

A.--<c<1B.-4<c<-3

C.--<%<6D.-44c<5

2.[2024湖南模拟]定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于％轴

对称，则称这两个函数是“有关系的”.若一次函数y=久+1与二次函数y=-x2+3x-t

是“有关系的''，则t的值为.

3.[2023四川乐山]定义：若%,y满足％2=4y+t,/=4%+t且％0y(t为常数)，则

称点MQy)为“和谐点”.

(1)若P(3,Wl)是“和谐点”，则771=;

(2)若双曲线y=：(—3<%<—1)存在“和谐点”，则上的取值范围为..

4.[2024长沙一模]已知四边形有两组对角，我们把有一组对角互余的四边形叫做“对余

四边形

(1)若四边形2BCD是“对余四边形”，则其一组对角乙4+

乙C=；

(2)如图1,MN是。。的直径，点4B,C在O。上，AM,CN相交于点D,求证：

四边形ZBCD是“对余四边形”；

图1

(3)如图2,在“对余四边形”4BCD中，AB=BC,乙4BC=60。，探究线段ZD,和

BD之间有怎样的数量关系，写出猜想，并说明理由.

D

A

BC

图2

5.[2024长沙湘江新区一模]新定义：如果实数犯n满足=-2,则称P(m,n)为“立

足点”，称Q(m-1,5-n)为“制高点”.例如，P(l,3)是“立足点”,Q(0,2)是“制高点”.

(1)求正比例函数y=为图象上“制高点”的坐标；

(2)若点2是反比例函数y=：图象上唯一的“立足点”，点B,C是反比例函数y=:图象上

的"制高点''，点M是反比例函数y=3图象上的动点，求当△MBC的面积与44BC的面积相

等时点M的坐标；

(3)已知点。(%”1)£(%2，)2)是抛物线y=ax2+(2b-l)x+3c+2上的“制高点”，若

a+b+c=0,且a>2b>3c,求出—亚1的取值范围.

6.[2024娄底娄星一模]定义：在平面直角坐标系中，图形G上点PQ,y)的纵坐标y与其横

坐标久的差y-久称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G

的“特征值”.

图1图2

(1)

①点4(4,7)的“坐标差”为；

②抛物线y=-%2+3%+6的“特征值”为..

(2)某抛物线y=--+b%+c(cH0)的“特征值”为-1,且b+c=l,求此抛物线的

解析式.

(3)如图，二次函数y=-/+p%+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象

上，四边形DEF。是矩形，点E的坐标为(7,3),点。为坐标原点，点。在%轴上，点F在y轴

上，当二次函数y=-产+p%+q的图象与矩形的边只有三个公共点时，求此二次函数

的解析式及其图象的“特征值”.

重难三圆的综合问题

L[2024益阳沅江一模]

(1)如图，是O0的直径，2C与O。交于点F,弦4。平分ZB2C,点E在4C上，连

接DE、DB,,求证：.从①DE与。0相切；②DE14C中选择一个

作为已知条件，余下的一个作为结论(填写序号)，并完成证明过程.

(2)在(1)的条件下，若EF=1,DE=2,求ZB的长.

2.[2024常德一模]如图，为。。的直径，点P为半径。4上异于点。和点2的一个点，

过点P作与直径垂直的弦CD,连接4。，作BELAB,连接ZE、DE,4E交CD于点F,

且DE与O。相切于点D.

(1)求证：OE”AD；

(2)若O。的半径为5,tanNP4D=3,求CD的长；

(3)已知PF=%，PD=y,求y与％之间的函数关系.

3.[2024娄底娄星一模]如图，在等腰△ABC中，ZB=BC,点。是2C上一点，以CD为直

径的O。过点B,连接BD,且ZG4B=ZDB4NDBC的平分线BE交O。于点E,交2C于点

F,连接。E.

(1)求证：ZB与O。相切；

(2)求证：△DEF-ABED；

(3)已知D4=2,求的值.

4.[2024郴州二模]如图，△^鸟^:内接于。。，为直径，0F14C于点凡延长。F交。。

于点E,过E作O。的切线ED,与BC的延长线交于点。，连接EB交ZC于点G,连接CE.

(1)求证：四边形EFC。为矩形；

(2)求证：CE2=EG-EB-,

(3)若崂=2(m为常数)，求sinzCEB的值(用含m的代数式表示).

GFm

5.[2023长沙浏阳一模]如图，是O。的直径，C是O。上的一个动点，延长至P,

使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点B,点。在PC上.

(1)当PC与。。相切时，求NPCB的度数.

(2)芳芳观察后发现，片的值为j点点说黑的值随动点C的变化而变化，你认为谁的

结论是正确的？请给予证明.

(3)^tanzPCB=x,tan(|zPOC)=y,求y与久之间的函数关系式.

6.[2024长沙三模]如图，AB^AD,ZB为O。的直径，C在O。上且为BD的中点，过点

2作2F//BD,连接CF,。尸14。于点瓦

AF

——D

(1)求证：CF为O。的切线；

I

(2)记△ZEF,^AEC,△CEO的面积分别为S，S2,S3,若士匹=3,求(tanB)2的值；

$3

(3)若O。的半径为1，设BC=%,AE-DE'/—^―+-y＞试求y关于％的函数

vCECFDEAD“

解析式，并写出自变量》的取值范围.

重难四二次函数压轴题

1.[2024岳阳一模]如图，抛物线y=|%2一2%-6与％轴相交于点2、点B,与y轴相交于

点C.

(1)请直接写出点4B,C的坐标.

(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当APBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△

PBC面积的最大值.

(3)点F是抛物线上的动点，作EF〃2C交%轴于点E,是否存在点F,使得以4C、E、

F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在,

请说明理由.

2.[2024怀化一模]如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-%2+b%+c与％轴交于4

B两点(点4在点B的左侧)，与y轴交于点C,OB=OC=S,顶点为。，对称轴交%轴于

点E.

图1图2图3

(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点。的坐标.

(2)如图2,点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时Q2+QC的值最小？求

出此时Q点的坐标，并求出此时AQAC的周长.

(3)如图3,在对称轴左侧的抛物线上有一点M,在对称轴右侧的抛物线上有一点N,

满足ZMDN=90。.求证：直线MN恒过定点.

3.[2023湖北武汉]抛物线Q：y=/一2%—8交X轴于4B两点(4在B的左边)，交y轴

于点C.

图①图②

(1)直接写出4B,C三点的坐标.

(2)如图①，作直线％=t(0<t<4),分别交％轴，线段BC,抛物线G于。，E,F三点，

连接CF,若ABDE与ACEF相似，求t的值.

(3)如图②，将抛物线G平移得到抛物线。2,其顶点为原点，直线y=2%与抛物线C2交

于。，G两点，过。G的中点”作直线MN(异于直线。G)交抛物线。2于M,N两点，直线M。

与直线GN交于点P,问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请

说明理由.

4.[2024长沙一模]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=巳%2+匕％+。与％轴交于

4B两点，与y轴交于C点，且。B=OC=2。4

(1)求该抛物线的解析式.

(2)连接BC,抛物线上是否存在点M,使乙4BC=NBCM?如果存在，求点M的坐标；

如果不存在，说明理由.

(3)若点。是抛物线上位于第二象限的一动点，过点。作DF1%轴于点F,过点的

圆与。尸交于点E,连接4E,BE,求AZBE的面积.

5.[2024长沙宁乡模拟]定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两

点关于直线久=n(n为常数)对称，则称该函数为“X(n)函数”.

(1)在下列函数中，是“X(n)函数”的有(填序号).

(f)y—x；@y-2024%+1；③y=%@y-x2.

(2)若关于久的函数)/=(%-九)2+k是，%(0)函数”，且图象与直线y=4相交于4B两

点，函数y=(久一九/十k图象的顶点为P,当乙PBA=45。时，求九，左的值.

(3)若关于％的函数y=ax2+bx+4(a丰0)是“X(l)函数”,且过点(3,1),当t一1£%W

t时，函数的最大值为与最小值力的差为2,求t的值.

6.[2024安徽]已知抛物线y=-%2+bx(5为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-%2+2x

的顶点横坐标大1.

(1)求b的值.

22

(2)点4(久1，%)在抛物线y=-x+2%上,点B(%i+t,y1+九)在抛物线y=-%+b%上.

(i)若九=3t,且打>0,t>0,求九的值；

(ii)若%1-t-1,求九的最大值.

7.[2024重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+加;+4(aH0)经过点

(—1,6),与y轴交于点C,与％轴交于4B两点(4在B的左侧)，连接aC,BC,tanzCB4=4.

yt

(i)求抛物线的表达式.

(2)点P是射线ca上方抛物线上的一动点，过点P作PEIX轴，垂足为瓦交ac于点D

点M是线段DE上一动点，MNly轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接2M,NF.当线

段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值.

(3)将该抛物线沿射线C2方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大

值时的点。，且与直线ac相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当"DK=^ACB

时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.

8.[2024江苏苏州]如图①，二次函数yx2+bx+c的图象心与才以向下的二次函数图象

。2均过点a(—l，0),B(3,0).

(1)求图象G对应的函数表达式；

(2)若图象C2过点C(0,6),点P位于第一象限，且在图象C2上，直线，过点P且与无轴平行，

与图象C2的另一个交点为Q(Q在P左侧)，直线，与图象G的交点为(N在M左侧).

当PQ=MP+QN时，求点P的坐标；

(3)如图②,分别为二次函数图象QG的顶点，连接4。,过点2作2F12。,交图象C2

于点F,连接EF,当EF〃2。时，求图象。2对应的函数表达式.

重难五几何压轴题

1.[2024张家界桑植一模]如图，O。的直径垂直于弦CD,垂足为点瓦=10,CD=6,

点P是CD延长线上异于点。的一个动点，连接2P交O。于点Q,连接CQ交于点F,则点F

的位置随着点P位置的改变而改变.

图1图2

(1)如图1,当DP=4时，求tanP的值.

(2)如图2,连接2C,DQ.

①求证：乙4CQ=ACPA;

②在点P运动的过程中，设DP=",沁=y,求y与久之间的函数关系式.

S^QDC

2.[2024常德安乡一模]问题提出：如图①，△ABC中，ABAC,。是AC的中点，延长

BC至点E,使DE=DB,延长交ZB于点F,探究空的值.

图①

问题探究：.

(1)先将问题特殊化，如图②，当NBZC=60。时，直接写出空的值;

图②

(2)再探究一般情形，如图①，证明(1)中的结论仍然成立.

问题拓展：.如图③，在△ABC中，AB^AC,。是AC的中点，G是边BC上一点，四=工(n<

BCn

2),延长BC至点E,使DE=DG,延长ED交ZB于点F.直接写出党的值(用含n的式子表

示).

A

D

BGCE

图③

3.[2023湖北武汉响题提出如图①,E是菱形4BCD边BC上一点，△2EF是等腰三角形,

AE=EF,^AEF=^ABC=a{a>90°),4F交CD于点G,探究ZGCF与a的数量关系.

问题探究.

(1)先将问题特殊化，如图②，当a=90。时，直接写出ZGCF的大小;

(2)再探究一般情形，如图①，求ZGCF与a的数量关系.

问题拓展.将图①特殊化，如图③，当a=120。时，若卷=%求胃的值.

4.[2024永州东安一模]在4ABC^ACDE中，乙4cB=乙CDE=90°,AC=BC,CD=DE,

点F是ZB的中点，连接4瓦。/，将ACDE绕点C旋转一周，试判断4E和DF的关系.

图①图②备用图

(1)如图①，当点E在2C上时，2E和DF的数量关系为，直线2E和直线DF

相交所成的锐角的度数为.

(2)如图②，当点E不在2C上时，(1)中的关系是否仍然成立？如果成立，请证明；

如果不成立，请写出新的关系，并说明理由.

(3)若CD=5,BC=13,将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当D,E,B三点共线

时，直接写出DF的长.

5.[2024重庆A卷]在AZBC中，ZB=4C,点。是BC边上一点(点。不与端点重合)点D

关于直线的对称点为点E,连接2。,。氏在直线上取一点F,使ZEFD=NBZC,直线EF

与直线2C交于点G.

(1)如图1,若NB2C=60°,BD<CD/BAD=a，求乙4GE的度数(用含a的代数式表

示)；

(2)如图1,若NBZC=60°,BD<CD,用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证

明；

(3)如图2,若ZB2C=90。，点。从点B移动到点C的过程中，连接Z瓦当△2EG为等腰三

角形时，请直接写出此时靠的值.

6.[2024江西]综合与实践

如图，在Rt^ZBC中，点。是斜边上的动点(点。与点2不重合)，连接CD,以CD为直角

边在CD的右侧构造Rt△CDE/DCE=90。，连接BE笠==m.

特例感知

图1图2图3

（1）如图1,当m=1时，BE与4。之间的位置关系是,

数量关系是.

类比迁移

（2）如图2,当mA1时，猜想BE与2。之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点F与点C关于。E对称，连接DF,EF,BF,如图3.已知4C=6,设

AD=%,四边形CDFE的面积为y.

①求y与久的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF=2时，请直接写出的长度.

参考答案

重难突破

重难一规律探究问题

1.[2023云南]按一定规律排列的单项式：61,7^（22,8（13,75£14,芯125,...,第72个单项式是（）

A.y/nB.yjn—la71-1C.y/nanD.y/nd11-1

【答案】C

【解析】观察排列的单项式，发现第n个单项式的系数为迎，字母a的指数为人所以第n

个单项式为迎a”,故选C.

2.[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,123,5,•••,

这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前

2024个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【解析】这列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，可以发现每3个数为一组，每

一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，

•••2024+3=674……2,即前2024个数中共有674组,且余2个数,•••奇数有674X2+

2=1350（个），故选D.

3.[2024长沙三模]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”

（如图），此图揭示了（a+5产（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.

例如：

(a+b)0=1；

(a+b)i—a+b；

(a+b}2—a2+2ab+b2；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4-a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

请你猜想（a+5）8的展开式中所有系数的和是（）

A.2018B.512C.128D.256

【答案】D

【解析】（a+5）。的展开式中所有系数的和为2。=1；

（a+b）i的展开式中所有系数的和为21=2；

（a+5）2的展开式中所有系数的和为22=4；

（a+b尸的展开式中所有系数的和为2%

（a+5）8的展开式中所有系数的和是28=256.故选D.

4.[2023常德]观察数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数孤排在第a行匕

列，则a—b的值为（）

1

T

12

27

j_23

IIT

1224

4121

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【解析】观察数表可知，第n行从左到右的每一个分数的分母依次为n,(n-1),(n-2),

(n—3),…，1,分子依次为1,2,3,4,…，n.

显然分数建在第a行20列，

即匕=20.观察数表发现行数=分子+分母-1,

a=20+2023—1=2042,

；.a-b=2042-20=2022,故选C.

5.[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1

个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形，……按照此规律，第六

幅图中正方形的个数为()

【答案】B

【解析】第一幅图中正方形的个数为M；

第二幅图中正方形的个数为#+22=5；

第三幅图中正方形的个数为M+22+32=14；

第六幅图中正方形的个数为12+22+32+42+52+62=91.

6.[2024郴州桂阳一模]如图,NMON=30。，在。M上截取=低过点儿作2祝1OM,

交ON于点4，以点名为圆心，Bi。为半径画弧,交。M于点儿；过点儿作为B21OM,

交。N于点B2，以点为为圆心，B2。为半径画弧,交。M于点公；,按此规律，所得

2022

A.22°21B22020c.22°23D2

【答案】A

【解析】•••4/11OM,AMON=30°,OAr=V3,B[。=^|^=2,

，

v0B1=B]&,42。=30°,：•Z-A2B1B2=60°.

VA2B21OM,：.B2A2B1=60°,.•.△BI&B?是等边三角形，•••A2B2=2.

2

同理△B2&B3是等边三角形，・•.A3B3=2X2=4=2.

同理△B2021&2022B2022是等边二角形，二&20224022=22°21.故选A.

2

7.[2024湖北武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=炉_3%+3%-1的图象，

发现它关于点（1,0）中心对称.若点

4（0.1,yi）/2（0Z乃）,4（03丫3），“・419（19'19）/20（2,乃。）都在函数图象上，这20个

点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则yi+y2+y3+•••+y19+为0的值是（）

【答案】D

【解析】•••这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,

.0.1+1.9_0.2+1.8__0.9+1.1_

222

函数y=%3-3%2+3%-1的图象关于点（1,0）中心对称，

为+%9=°，％+y18=°，...，%+yn~°，

•'171+y-i+y-iH-----Hy9+yriH--------1-yi9=0,

Vl+>2+'3++719+720=710+>20'&10（1，°），二y10~°,

将％=2代入y—x3—3x2+3x—1,

得旷20=L

1­•Vl+>2+>3■!----H719+720-710+720-0+1-1-

8.[2024岳阳平江模拟]正偶数2,4,6,8,10,…，按如下规律排列，

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是—.

【答案】744

【解析】由题意知，第72行有几个数，第九行的最后一个偶数是几何+1）,

•••第27行的最后一个数，即第27个数为27X28=756,

・•・第27行的第21个数与第27个数差6个数，756-2X6=744.

故答案为744.

9.[2023山西]如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中

有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4

个图案中有10个白色圆片，……，依此规律，第八个图案中有个白色圆片

（用含n的代数式表示）.

受8W888W8•••

第1个第2个第3个第4个

【答案】（2+2n）

【解析】第1个图案中有2+2x1=4个白色圆片；

第2个图案中有2+2x2=6个白色圆片；

第3个图案中有2+2x3=8个白色圆片；

•••第n个图案中有（2+2n）个白色圆片.

10.[2024岳阳华容一模]在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被

称为“十天干”，它们经常和其他汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，

下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“H”的个数

为一

HHHIH

——

——

——I

JHCHHcCH

---一

——

—

——I

HHH1HI

烷

烷

甲烷

乙

【答案】20

【解析】甲烷分子结构图中“H”的个数是2+2x1=4；

乙烷分子结构图中“H”的个数是2+2x2=6；

丙烷分子结构图中“H”的个数是2+2x3=8；

壬烷分子结构图中“H”的个数是2+2X9=20.

11.［2023衡阳蒸湘一模］如图，在平面直角坐标系无。y中，点4(2,2)在直线y=%上，过

点儿作轴，交直线y=：%于点名,以4为直角顶点，4/1为直角边，在Z/i的

右侧作等腰直角三角形a/iCi；再过点Q作4台?〃、轴，分别交直线y=%和丁=［为于4，

B2两点，以外为直角顶点，久多为直角边，在&B2的右侧作等腰直角三角形2c2；

按此规律进行下去，点C2021的横坐标为.

【答案］2X(|)2021

【解析】•••点4(2,2),4tBi〃y轴交直线y=：久于点Bp

:.8式2,1),:.力/i=2—1=1,即力IG=1,

点G的横坐标为3=2x|；

过点a作①殳〃、轴，分别交直线y=%和y=［%于&,4两点,

•••4(3,3),B2(3,-),A&B2=3-|=?.-.A2C2^I，

・・•点C2的横坐标为幸=2X©)2；

以此类推，A3B3=p即43c3=P

・・•点C3的横坐标为？=2x弓＞，AB^即24c4=2，

424488

・・•点C4的横坐标为羡=2x©)4,

.••点G的横坐标为2XG)n,

点。2。21的横坐标为2X^)2021

12.[2023江苏宿迁]如图,ALBC是正三角形，点71在第一象限，点8(0,0)、C(l,0).将线

段C4绕点C按顺时针方向旋转120。至CP1；将线段BP】绕点B按顺时针方向旋转120。至

BP2；将线段近2绕点&按顺时针方向旋转120。至北3；将线段CP3绕点C按顺时针方向旋

转120。至CP”……，以此类推，则点P99的坐标是.

【答案】(―49,50b)

【解析】如图，画出前4次旋转后点Pi，P2,P3,P4的位置，

由图象可得，点Pi，P4在％轴正半轴上，

・•・旋转3次为一个循环，

99+3=33,•••点P99在射线C2上，点Pioo在％轴正半轴上，

•••△ABC是正三角形，

由旋转的性质可得，AC=CP1=1,ABP1=OC+CP1=2,Pi(2,0),

・•・BP2=BP】=2,・•.AP3=AP2=BP2+AB=3,

:.CP4=CP3=CA+AP3=1+3=4,

・•.BP4=BC+CP4=5,・,・旦(5,0),

同理可得P7(8,0)，P1O(11,O),Ploo(lOl,O),BP100=101,

CP100=101-1=100,由旋转的性质可得，CP99=100,

如图，过点「99作P99E1X轴于点E,

vZ.ACB=60°,乙EP99c=30°,

i

:.EC=5P99c=50,

EO=EC—OC=49,P99E=JP99c2—EC?=50V3,

・••点P99的坐标是(一49,50g).

13.[2023张家界]如图，在平面直角坐标系中，四边形2B0C是正方形，点2的坐标为(1,1),

4%是以点B为圆心，为半径的圆弧；4二I2是以点。为圆心，。&为半径的圆弧；A^A3

是以点C为圆心，C&为半径的圆弧；4工4是以点2为圆心，为半径的圆弧，继续以

点B、0、C、2为圆心，按上述作法得到的曲线44122a344…称为正方形的“渐开线”，

则点&2023的坐标是.

【答案】(—2023,1)

【解析】•••点a的坐标为(1,1),且4为a点绕B点顺时针旋转90°所得，.•.点4的坐标为

(2,0),

又•••4为4点绕。点顺时针旋转90°所得，；•点4的坐标为(0,-2),

又•••4为4点绕C点顺时针旋转90°所得，；•点4的坐标为(-3,1),

又•••4为4点绕4点顺时针旋转90。所得，・・•点儿的坐标为(1,5)，

由此可得出规律：B、。、C、2四点作为圆心依次循环，An顺时针旋转90。，且半径为1、

2、3、…、n,每次增加1.

•••2023+4=5053,

•••&023为4022绕点C顺时针旋转90°，以2023为半径所得，

・••点4023的坐标为（一2023,1）.

14.[2023怀化]在平面直角坐标系中，AZOB为等边三角形，点2的坐标为（1,0）.把AZOB

按如图所示的方式放置，并将AaOB进行变换：第一次变换将AZOB绕着原点。顺时针旋

转60。，同时边长扩大为AZOB边长的2倍，得到△40B1；第二次旋转将AaiOBi绕着

原点。顺时针旋转60°,同时边长扩大为△&OB1边长的2倍，得到△&0B2，…….依

次类推,得到△42023。82023,则△42023。82023的边长为，点&2023的

坐标为.

【答案】22。23；02。22,_22。22x遮）

123

【解析】由题意得。4—1—2°,OAr=2=2,OA2—4—2,OA3=8=2,,OAn-

2n,

42023°B2023的边长为22°23.

360°+60°=6,.,.每6次一■循环，

•••2023+6=337……1,

.•・4023在第四象限，坐标为（22°22,—22022义百）.

15.[2024江苏盐城」发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

4:・•・

图1

分析问题.某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那

么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交

错规律排列，每行有n个籽，每列有人个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为

均为正整数，n>k>3,d>0),如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

图2图3图4

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则

铲除全部籽的路径总长为;

方案2:图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为.；

方案3:图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题.在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程，并对销售员的

操作方法进行评价.

【解析】

分析问题方案1：(n-l)d；2k；2(n-l)dk.详解：根据每行有n个籽，行上相邻两籽的

间距为d,•••每行铲的路径长为(n-l)d,v每列有k个籽，呈交错规律排列，有2k行，

即共铲2k行铲除全部籽的路径总长为2(n-l)dk.方案2：2(k-l)dn.详解：根据每列

有k个籽，列上相邻两籽的间距为d,每列铲的路径长为(k-l)d,；每行有n个籽，呈

交错规律排列，有2n列，・•・纵向铲除全部籽的路径总长为2(k-l)dn.方案3：由题图

4得斜着铲时路径上每相邻两个点之间的距离为由尹=子.沿着斜着铲籽的路径展开菠

萝侧面，由每行有n个籽可知，斜着铲除全部籽所需路径为n条线段，由共有2k行可知每

条线段长为日(2k-l)d,••・斜着铲除全部籽的路径总长为亨(2k-l)nd.

解决问题2(n—l)dk—2(k—l)dn=2ndk—2dk—2ndk+2dn=2d(n—k)>0,:.方

案1的路径总长大于方案2的路径总长;2(k-l)dn-yx(2k-l)dn=[(2-V2)k-

2+dn,n>k>3>(2-V2)k-2+，>(2-V2)x3-2+，—4—>0,

•••2(k-l)dn-yx(2k-l)dn>0,•••方案2的路径总长大于方案3的路径总长.•••方

案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是最短的路径，减少了对菠萝的损耗.

重难二新定义问题

1.[2023山东苗泽]若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：2(1,3),

B(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍点”.在一3<久<1的范围内，若二次函数y=—/—%+c

的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的