2025年中考数学总复习《矩形的判定与性质》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《矩形的判定与性质》专项检测卷附答案

学校:姓名：班级：考号：

一.选择题

1.如图，在四边形A8C。中，AB=CD,AD=BC,连接AC、BD,AC与BD交于点O,若。4=。。=5,

2.已知回ABC。的对角线相交于点。，分别添加下列条件：①/ABC=90°；®AC±BD；®AC^BD；④

OA=OD.使得回ABC。是矩形的条件是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

3.如图，在RtaABC中，N8AC=90°,AB=5,AC=12,点。是上的一个动点，过点D分别作

于点M,OVLAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（）

30

D.

13

4.如图，在矩形COED中，点。的坐标是（1,3）,则CE的长是（）

A.3B.2V2C.V10D.4

5.如图，点。是菱形A8C。对角线的交点，DE//AC,CE//BD,连接OE,设AC=12,BD=\6,则OE

的长为（

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AD

A.8B.9C.10D.11

6.如图，过矩形ABC。的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为£、F、G、H,依次联结四个垂足，可

得到矩形EFGH.设对角线AC与8。的夹角为a（0<a<90°）,那么矩形与矩形面积

的比值为（）

C.tan2aD.cot2a

7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点。、F,BE，。尸交。尸的延长线于点E,若

NA=30°,BC=2,AF=BF,则下列说法错误的是（）

A.B、。之间的距离等于C、E之间的距离

B.AF=2EF

C.四边形BCDE的面积为2百

D.四边形8CDE是正方形

8.如图，在矩形A3CZ）中，AB=30cm,动点P从点A出发沿AB边以5m/s的速度向点2运动，动点Q

从点C出发沿C。边以lcm/s的速度向点。运动，点尸和点。同时出发，当其中一点到达终点时，另

一点也随之停止运动，设运动时间为。则当f=（）s时，四边形APQZ）是矩形.

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9.如图，把矩形ABC。和矩形CEEG拼成如图所示的图案，已知AB=3,BC=4,CE=6,EF=8,M是

AB的中点，则CM的长为（）

10.如图，四边形ABC。是矩形，E,尸分别是边AS,上的动点（不与端点重合），且AE=CR过点

A作直线的垂线，垂足为G,连接CG.设BC=b（a>b）,AG的最大值为d.给出下面三

个结论：@b^EF<y/a2+b2；②/+d=2屋；③cG》d.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

二.填空题

11.如图，在矩形A3。中，AB^15,BC=8,点尸是对角线AC上一个动点（点P与点A,C不重合）,

过点P分别作PE±AD于点E,PF//BC交CD于点F,连接EF,则EF的最小值

为.

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12.如图，在矩形ABC。中，点E在边上，点尸在BC边上，MBF=DE,连接EE交对角线8。于点

O,BD=5,8=3,连接CE,若CE=CF,则所长为

13.如图，四边形ABC。是个活动框架，对角线AC、8。是两根皮筋.如果扭动这个框架（BC位置不变）,

当扭动到/A'8C=90°时四边形A8CO是个矩形，AC和8。相交于点O.如果四边形OOOC为菱形,

14.如图‘四边形ABCD中，AB±BC,AB=S,BC=6,CD=5,黑=a点M,N分别在边5BC

上，AN±DM,则AD的值为

15.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BA=BC,把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点。与点B

对应，点。恰好落在AC上，过E作交8C的延长线于点R连接8。并延长交E尸于点G,

连接CE交BG于点H.下列结论：®BD=DG；②CE=V25D；③CH=EH；@FG=&EG.其中

正确的有（填正确的序号）.

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三.解答题

16.如图，在EL4BC。中，E,尸两点分别在边AB,CD±.,连接。E,BF,AF,DE±AB,且NAOE=N

CBF.

(1)求证：四边形。尸为矩形；

(2)若平分NBA。，且4D=6,AP=10,求AE的长.

17.如图，在等边△ABC中，点。是AC的中点，AF是3c边上的中线，连接B。，以BD为边作等边△

BDE,连接AE.

(1)求证：四边形AEBf1为矩形；

(2)若AC=4,求四边形4E2F的面积.

18.如图，等腰△A8C中，AB=AC,A。，8c交于。点，E点是AB的中点，分别过。，E两点作线

段AC的垂线，垂足分别为G,尸两点.

(1)求证：四边形。跖G为矩形；

(2)若AB=10,EF=4,求CG的长.

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19.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,2。交于点。，过点A作AEL8C于点E,延长8C到点R使

得CF=BE,连接DE

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接0E,若AB=6,CE=2,求。£的长.

20.如图，在四边形中，ZABC=90°,AD//BC,AD=BC.

(1)求证：四边形ABC。是矩形；

(2)点E是AO上一点，点尸是BC的中点，连接BE,CE,EF,若B£=12,CE=5,BC=13,求

21.如图，在菱形ABC。中，。为AC,8。的交点，P,M,N分别为CD,OD,0c的中点.

(1)求证：四边形0MPN是矩形；

(2)连接AP,若AB=4,ZBAD=60°,求AP的长.

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D

22.如图，菱形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,过点。作。E〃AC,MDE=^AC,连接CE.

(1)求证：四边形OCEZ)为矩形；

(2)连接AE.若BD=4,AE=2V10,求菱形ABC。的面积.

23.如图，平行四边形ABCZ)中，P是A8边上的一点(不与点A,8重合)，CP=CD,过点尸作尸。,

CP,交AO于点Q,连接CQ.

(1)若NBPC=/AQP,求证：四边形ABC。是矩形；

(2)在(1)的条件下，当AP=2,AD=6时，求A。的长.

参考答案

一.选择题

题号12345678910

答案CDCCCBDCCC

一.选择题

1.解：".'AB^CD,AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形,

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：.OA=OC,OD=OB,

U：OA=OD=5,

：.AC=2OA=10f30=200=10,

：.AC=BD,

・•・四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

VAB=6,

：.BC=y/AC2-AB2=V102-62=8,

.'.S四边形ABCD=BOA。=8义6=48,

故选：C.

2.解：①：四边形ABC。是平行四边形，ZABC=90°,

13ABe。是矩形；

②：四边形是平行四边形，ACLBD,

：.13ABe〃是菱形；

③：四边形ABC。是平行四边形，AC=BD,

...EUBCO是矩形；

④：四边形ABCD是平行四边形，

04=0C=-AC,0B=0D=^BD,

"：OA=OD,

J.AC^BD,

EL4BCZ）是矩形；

综上所述，使得回ABC。是矩形的条件为①③④，

故选：D.

3.解：VZBAC=90°,且BA=5,AC=12,

:.BC=^JBA2+AC2=13,

'：DM±AB,DN1,AC,

：.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90°,

.•.四边形。MAN是矩形，

：.MN=AD,

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，当AD±BC时，AD的值最小,

11

此时，Z\A3c的面积=》3><AC=^CXA。，

.«AB-AC60

••AD=_Cfi-=13,

60

；.MN的最小值为一；

13

故选：C.

4.解：•••四边形COED是矩形，

:.CE=OD,

:点。的坐标是（1,3）,

/.OD=Vl2+32=V10,

?.CE=V10,

故选：C.

5.解：'：DE//AC,CE//BD,

四边形OCED为平行四边形，

,四边形ABC。是菱形，AC=12,BD=16,

11

：.AC±BDfOA=OC=^AC=6.05=00=押9=8,

：.ZDOC=90°,CD=y1OC2+OD2=V62+82=10,

・•・平行四边形OCED为矩形，

OE=CD=10f

故选：C.

6.解：设矩形A3C0的对角线交于点O,如图,

,/四边形ABCD和四边形EFGH为矩形，

：.OA=OB=OC=OD,OE=OF=OG=OH,

S矩形A3CO=4SZ\O43，S矩形EFGH=4SAOEF,

：.矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值=2维,

、〉OAB

'：EF//AB,

:.△OEFs^OAB,

.SOEF_OE2

SLOABOB

'：BF±OA,OE=OF,

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cosa=OB=OBf

：.矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值=cos2a.

故选：B.

7.解：连接BD,

YOE是AC的垂直平分线,

ZADF=ZCDE=90°,AD=CD,

*：AF=BFf

・・・。/为△ABC的中位线，

J.DF//BC,

：.ZACB=ZADF=90°,

VBE1DF,

：.NDEB=90°,

・•・四边形BCDE是矩形，

：.BD=CE,

故A不符合题意；

•・•四边形8CQE是矩形，

J.AC//BE,

：./A=NEBF,

VZADF=ZDEB=90°,AF=BF,

：./\BEF(AAS),

：.DF=EF,

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VZA=30°,

：.AF^2DF,

：.AF=2EF,

故3不符合题意；

VZA=30°,ZACB=90°,BC=2,

.,.AB=2BC=4,

：.AC=7AB2-BC2=V42-22=2V3,

CD==V3,

，四边形BCDE的面积=5C-CD=2xV3=2V3,

故C不符合题意；

;BC=2,CD=V3,

:.BC羊CD,

四边形BCDE不是正方形，

故。符合题意；

故选：D.

8.解：由题意得，CQ=fcm,AP—5tcm,

•.•四边形A8CD是矩形，

/.CD=AB=30cm,

DQ=(30-t)cm,

当四边形AP。。是矩形时，DQ^AP,

30-t=5t,

：.6t=30,

.9.t=5,

故选：C.

9.解：VAB=3,BC=4,CE=6,EF=8,

：.AB：CE=BC：EF=1：2,

矩形ABCD和矩形CEFG,

：.ZB=ZE=90°,

・•・矩形ABCD和矩形CEFG相似，

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/.ZACB=ZCFE,

VZFC£+ZCFE=90",

：.ZFCE+ZACB=90°,

?.ZACF=9Q°,

是AF的中点，

CM=|AF,

如图，延长A。交EF于点H,得矩形CE/m,矩形。即G,

:.CD=EH=AB=3,CE=DH=6,

.•.AH=AD+DH=4+6=10,FH=EF-EH=8-3=5,

：.AF=7AH2+F"2=Vioo+25=5V5,

；.CM=竽.

：.AB=CD=a,AD=BC=b,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,AB//CD,AD//BC,

如图所示，连接AC,交EF与点、H,取AH的中点为O,连接OG,

：.AC=7AB2+BC2=y/a2+b2,

,；E、厂分别是边AB,CO上的动点（不与端点重合），且AE=CF,

：.EF<AC,即EF<Va2+炉,

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当点E在A3中点时，则点/在CQ中点，

；・AE=BE=CF=DF,且AB〃CD,ZADC=ZBAD=90°,

・••四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，

：.EFLAB,EF=BC=b,

:.b<EF<y/a2+b2,故①正确；

'JAE//CF,

.\Z1=Z4,

在△?!£；〃和△CbH中，

21=Z4

z.2=z3,

CF=AE

：.△AE"也△CFH(AAS),

:.AH=CH,EH=FH,即点H是AC,EF的中点，

VAGXEF,

AZAGH=9Q°,

当点£、尸运动时，点G在以AH为直径，点。为圆心的O。上运动，

当点G与点X重合时，AG为。。的直径，此时AG的最大值为d=4H==

：.a2+b1=4d2,故②错误；

在O。中，AG^AH,即dWAC,

11

YOG=OH=^AH=^AC

Z4f

0C=CH+OH=|AC+%C=1AC,

在△COG中，OC-OG<CG<OC+OG,

3113

即一AC--AC<CG<-AC+-AC,

4444

：.AC<CG<AC,

当点C,O,G三点共线时，取到等号，

1

.•TCWCGWAC,

2

:.CG'd,故③正确；

综上所述，正确的有①③，

故选：C.

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二.填空题（共5小题）

11.解：如图，过点。作。P于P,连接斯，DP,

:四边形A8C。是矩形，AB=15,BC=8,

：.CD=AB=15,AD=BC=8,ZADC=90°,

：.AC=VXD2+CD2=V82+152=17,

,JPF//BC,

：.ZPFD+ZADC^180°,

：.ZPFD=9Q°,

'：PE±AD,

：.ZPED=ZEDF=NPFD=90°,

...四边形。EPF是矩形，

：.EF=DP,

要使EF最小，只需。尸最小，当。尸，AC时，OP最小，最小值为QP'的长,

11

■:S&ADC=%。-CD=jAC-DP',

・・DP=F~=h=W

故EF的最小值为

17

故答案为：

17

•・•四边形A8C0为矩形，BD=5,C0=3,

：.AD=BC=5,/CDE=/BCD=9S,

第14页共24页

，四边形CDEH为矩形，BC=y/BD2-CD2=4,

:・EH=CD=3,ED=HC,

•：BF=DE,CE=CF,

CE=CF=x,贝！J3尸=DE=4-

9：CD1+DE1=CE1,

32+(4-x)2=x2,

解得久=与，

257

E-H-4-----

rFc888

9

Fc”c

---T,

：.EF=y/EH2+FH2=J32+4)2=冬

15

故答案为：一.

4

13.解：由题意得，CD'=CD,

・・•四边形。。7)C为菱形，

：.DD'=CD,

：.CDf=DD'=CD,

：.ACDDr是等边三角形，

：.ZDCD'=60°,

：.AD'CO=60°,

,/四边形ABC。是个矩形，

：.ZBCD'=90°,

・・・NAC8=30°,

故答案为：30.

Dr

14.解：如图，过点D作平行于AB的直线，与交过点A且平行于BC的直线交于R,交BC的延长线于S,

过点D作DELAB于E,

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则四边形ABSR是平行四边形，

•・,四边形ABCZ)中，ABXBC,

ZABC=90°,

・・・四边形A3SR是矩形，

同理四边形AEDR是矩形，

：・NABC=/S=NR=NDEM=9U°,

U：AN±DM,

：.ZEDM=90°-ZDFN=90°-NAFE=NBAN,

9：ZDEM=ZABN=90°,

AEDMsABAN,

.DEDM

AB~AN'

ttDM5

9AN~4

tDEDM5

99AB~AN~4

VAB=8,AB=8,BC=6,CD=5,

.*.DE=7X8=10,RS=8,

：.AR=BS=DE=W,

・・・SC=4,

：.DS=7s2_42=3,

£)7?=8-3=5,

在直角三角形ARD中，由勾股定理得：AD=V52+102=5V5,

故答案为：5V5.

15.解：连接。尺HF,如图所示：

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AE

一

BCF

VZABC=90°,BA=BC,

：.ZBAC=ZBCA=45°,

由旋转得：△ABC之△AOE,

：.AD=ABfZADE=90°,ZDEA=ZDAE=45°,

180°—45°

：./-ABD=乙ADB=%=67.5。，ZBAE=9Q°,

9：EF//AB.

：.ZAEF=90°,

・・・四边形A3也是矩形，

：.ZGFB=9Q°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-/AED=45°,

：.ZGBF=90°-ZABD=22.5°,

9：ZEDC=ZEFC=90°,ED=EF,EC=EC,

•••△EDgdEFC(//£),

：.CD=CF,

1

：.Z.CFD=Z.CDF=^Z-ACB=22.5°=乙GBF,

：.ZGFD=90°-ZCFD=67.5°=NFGD,

:・BD=FD=GD,

・,•点。是BG的中点，

即8O=DG,故①正确；

VZGDC=ZADB=67.5°,

：.ZEDG=90°-ZGDC=22.5°,

,:△EDCWAEFC,

1

:•乙DEH=(FEC="DEF=22.5°=乙EDG,

:・DH=EH,

VZHDC=ZHCD=67.5°,

：.DH=CH,

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:・CH=EH=DH,故③正确；

■:CH=EH,ZEFC=90°,

1

：.HD=HF=^CE,

,：ZHDF=ZDBF+ZDFB=45°,

AHDF是等腰直角三角形，

：.DF=V2DH,

;CE=2DH,BD=DF,

：.CE=V2BD,故②正确；

设。P交CE于。，

;△电加是等腰直角三角形，/DHC=NFHC=45°,

.'.△DOH和都是等腰直角三角形，

：.OD=OH=OF,

设OD=OH=OF=a,

:.DG=DF=2a,DH=HF=EH=V2a,

：.HG=DG-DH=2a-V2a,EO=OH+HE=a+V2a,

GF2=HG2+HF2=(2a-V2a)2+(V2a)2=(8—4>/2)a2,

EF2=OE2+OF2=(a+V2a)2+a2=(4+2V2)a2,

.EF2(4+2V2)a22+V22

"GF2-(8-4V2)a2一(2)'

EFV2

—=1+—,

GF2

：.EF=(1+孝)GF,

?.GE=EF-FG=*FG

即FG=V^EG,故④正确；

综上所述，正确的有①②③④；

故答案为：①②③④.

三.解答题(共8小题)

16.(1)证明：四边形ABCZ)是平行四边形，

：.AD=CB,ZDAE=ZC,

在△AOE与△CBF中，

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Z.ADE=乙CBF

Z-DAE=乙C,

AD=BC

：.AADE^ACBF(A4S),

：.AE=CF,

:・DF=BE,

'：DF//BE,

・・・四边形DEBF为平行四边形，

DELAB,

：.ZDEB=90°,

・•・四边形。班尸为矩形；

(2)解：TA/平分NBA。，

：.ZDAF=ZBAF,

'：AB//CD,

：.NAFD=NBAF,

ZDAF=ZAFD,

：.AD=DFf

•:DF=BE,

：.BE=6,

VDE±AB,BF//DE,

：.BFLAB,

：.ZAHD=ZABF=90°,

・・•四边形DEBF为平行四边形，

:・DE=BF,

,.・AZ)2-AE2=Z)E2,AF2-4解=3卢,

.'.AD2-AE2=AF2-AB2,

.9.62-AE2=102-(AE+6)2,

7

：.AE=^.

17.(1)证明：•「△ABC是等边三角形,

A60°,

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:点。是AC的中点，AF是BC边的中线，

C.AF^BD,ZCBD=30°,AF±BC,

：.ZAFB=ZAFC=90°,

•.•△BDE是等边三角形，

:.BE=BD,/DBE=60°,

:.AF=BD=BE,NEBF=6Q°+30°=90°,

：.ZEBF=ZAFC=90°,

J.AF//BE,

四边形AEBF是平行四边形，

又•.,/AFB=90°,

：.平行四边形AEBF是矩形；

(2)解：：AC=4,AABC是等边三角形，

：.BC=AC=AB=4,

尸是8C边的中线，

J.^AFB=90。，BF=^BC=2,

在RtzXABF中，由勾股定理得：AF=7AB2一BF2=V42-22=2次,

又：四边形是矩形，

:，S矩形AEBF=AF-BF=2^3X2=4V3.

18.(1)证明：'：AB=AC,AD±BC,

点。是8c的中点.

点是的中点，

DE是AABC的中位线.

J.DE//AC.

'：DG±AC,EF±AC,

：.EF//DG.

/.四边形DEFG是平行四边形.

又;•/EFG=90°,

...四边形。EFG为矩形；

(2)交BC于。点，£点是的中点，AB=10,

第20页共24页

1

：.DE=AE=^AB=5.

由(1)知，四边形QETG为矩形，贝!JGb=。£=5.

在直角△AEF中，EF=4,AE=5,由勾股定理得：AF=y/AE2-EF2=V52-42=3.

VAB=AC=10,FG=ED=5,

：.GC=AC-FG-AF=10-5-3=2.

19.(1)证明：・・•四边形ABC。是菱形，

・・・A0〃8C且A0=3C,

•；BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD=EF,

'：AD//EF,

・•・四边形AEFD是平行四边形，

\9AE.LBC,

：.ZAEF=90°,

・・・四边形是矩形；

(2)解：:四边形A5CD是菱形，AB=6,

：.AD=AB=BC=6,

,:EC=2,

・・・8£=6-2=4,

在RtAABE中，AE=7AB2-BE2=V62-42=2遍,

：.DF=AE=4,

在RtAAEC中，AC=yjAE2+EC2=,20+4=2跖

・・•四边形ABC。是菱形，

第21页共24页

：.OA=OC,

0E=^AC—A/6.

20.(1)证明：\'AD//BC,AD=BC,

：.四边形ABCD是平行四边形.

：NABC=90°,

四边