2025年中考数学总复习《几何求解证明之圆中的最值问题》同步测试题（附答案）

2025年中考数学总复习《几何求解证明之圆中的最值问题》同步测

试题-附答案

学校:班级：姓名:考号：

一.选择题（共5小题）

1.如图，O。的圆心。与正方形的中心重合，已知O。的半径和正方形的边长

都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）

A.V2C.4+2V2D.4-2V2

2.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，=03=33点C为平面内一动

点，BC=I，连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当

线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

O

A（|遮|Vs）

612（3上的）

3.如图，。。的半径为4,将劣弧沿弦A3翻折，恰好经过圆心。，点C为优弧

A3上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）

第1页共41页

A.12V3B.12V2C.4V3D.8+8V2

4.平面直角坐标系内，已知点A（1,0）,B（5,0）,C(0,力.当t>0时,

若NAC3最大，则/的值为（)

53

A.2V2B.-C.V5D.-

22

5.如图，在△ABC中,NA=60°,BC=6V3,。是3c边上一点，CD=2BD,

线段AD的最大值为()

A.12B.6+2V3C.6+V3D.2V21

填空题（共8小题）

6.如图，在△ABC中，ZABC=90°,A3=8,点尸是A3边上的一个动点，以

BP为直径的圆交CP于点Q,若线段AQ长度的最小值是4,则AABC的面

积为.

7.如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为（5,12）,点尸是OM上的任意一

点，PA±PB,且必、P3与x轴分别交于A、3两点，若点A、点3关于原点

。对称，则A3的最小值为.

第2页共41页

8.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,0),点3(1,0),点/(3,4),

以“为圆心，2为半径作OM.若点尸是OM上一个动点，则以2+依2的最

大值为-

9.如图，OO与x轴交于点A,B,与丁轴交于点C,D,P为OO上一动点，Q

为弦AP上一点，AQ=3PQ.若点D的坐标为(0,-4),则CQ的最小值

为.

10.如图，在平面直角坐标系X0V中，O。的半径是1.过O。上一点P作等边

三角形PDE,使点D,E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围

第3页共41页

11.如图，o。的半径为2,定点P在o。上，动点A，3也在O。上，且满足

ZAPB=30°,C为P3的中点，当点A,3在圆上运动时，线段AC的最大

值为.

B

12.如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,过A、。、C作O。，

E是O。上任意一点，连结CE,BE,则CE2+BE2的最大值是.

13.如图，在RtzXABC中，已知NA=90°,AB=6,3c=10,。是线段3c上

的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E,交3C的延长线于

点F,射线BE交即于点G,则BE-EG的最大值为.

三.解答题(共6小题)

14.如图，已知半径为2的。。与直线/相切于点A,点P是直径A3左侧半圆

上的动点，过点P作尸C，/,垂足为点C,PC与O。交于点。，连接力，PB,

设PC的长为x(2<x<4).

(1)当x=3时，求弦B4,P3的长度；

(2)用含有x的代数式表示并求出当x为何值时，的值最

大？最大值是多少？

第4页共41页

15.如图，直线/：y=^x+b与y轴交于点A,与x轴交于点3(-6,0),点C

是线段。4上一动点(0<ACV:).以点A为圆心，AC长为半径作OA交线

段A3于另一点。，连接。。并延长交OA于点E.

(1)求4。43的面积；

(2)ZACD=ZAOD+ZOAD,求点。的坐标；

(3)若点C在线段。4上运动时，求OD・DE的最大值.

16.如图，半圆。的直径A3=4,以长为2的弦尸。为直径，向点。方向作半

圆时，其中P点在AQ上且不与A点重合，但。点可与3点重合.

(1)计算：劣弧PQ的长；

(2)思考：点”与A3的最大距离为,此时点P,A间

的距离为；点M与A3的最小距离为.

(3)探究：当半圆〃与A3相切时，求福的长.

(注：结果保留TT,cos35°=坐，cos55°=第)

4.2BAqBAQB

QQ

图1备用图备用图

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点3的坐标分别是(1,0),(7,

0).

(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果NAP3=45°,那么称

点P为线段A3的“完美点”.

①设A、3、P三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是,

第5页共41页

oc的半径是；

②y轴正半轴上是否有线段A3的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐

标；如果没有，请说明理由；

(2)若点尸在y轴负半轴上运动，则当NAP3的度数最大时，点P的坐标

18.如图，已知A3是O。的直径，弦CDLAB于点E,点R是线段CD延长线

上的一点，连结阴交O。于点G,连结CG交AH于点P,连结CA.

AA三

!

BB

①②③

(1)求证：ZACG=ZF.

(2)如图②，若CA=CG,求证：AG=CD.

(3)如图③，连结DG,AE=8.BE=2.

①若tan/b=',求AP的长；

②求AG・DG的最大值.

19.如图，P是y轴负半轴上一动点，坐标为(0,/),其中-4<t<0,以P为

圆心，4为半径作OP,交y轴于A,B,交x轴正半轴于(1连接PC,BC,

第6页共41页

过点3作平行于PC的直线交x轴于。，交OP于E.

(1)当--3时，求0c的长；

(2)当△P3C与△C3D相似时，求/的值；

(3)当尸在y轴负半轴上运动时，

①试问器的值是否发生变化？若变化，请说明理由；如不发生变化，求出这

个比值；

②求3E-ED的最大值.

AA\

O

笛用图

参考答案与试题解析

答案

一.选择题(共5小题)

1.如图，O。的圆心。与正方形的中心重合，已知O。的半径和正方形的边长

都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为()

A.V2C.4+2V2D.4-2V2

【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当。、A、3三点共线时，圆上任

意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为-0A,以此即可求

解.

【解答】解：如图，点3为O。上一点，点。为正方形上一点，连接3D,

0C,0A,AB,

第7页共41页

、〜—

z、；

由三角形三边关系可得，OB-ODVBD,

是圆的半径，为定值，当点。在A时，取得最大值，

・•・当。、A、3三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小

值，最小值为03-

由题意可得，AC=4,0B=4,

•.•点。为正方形的中心，

：.0A±0C,0A=0C,

•••△A0C为等腰直角三角形，

,,6=保=专=2鱼,

・••圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB-OA=4-2V2.

故选：D.

2.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。3=3时，点C为平面内一动

点，BC=l，连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当

线段0M取最大值时，点M的坐标是（）

0\

A.

（3口）

【分析】由题意可得点C在以点3为圆心，；3为半径的03上，在X轴的负半

轴上取点。（-竽，0）,连接3D,分别过C和M作CfUOA,MELOA,垂

第8页共41页

足为F、E,先证4Ms△D4C,得—=—=从而当CD取得最大值

CDAD3

时，取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点3在线段DC

上时，CD取得最大值，然后分别证AAEM^AAFC,禾烟

相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：•••点C为平面内一动点，BD=l，

・•.点C在以点3为圆心，］为半径的03上，

在x轴的负半轴上取点。（-苧，0），

连接3D,分别过C、”作CfUOA,ME10A,垂足为RE,

"：OA=OB=3V5,

：.AD=OD+OA=^,

.OA2

••—―,

AD3

CMtMA=1：2,

.OA2CM

"'AD~3~ACJ

"：ZOAM=ZDAC,

：./\OAM^/\DAC,

.OMOA2

**CD—AD―3’

当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共

线，且点5在线段DC上时，CD取得最大值，

"：OA=OB=3V5,学

,_1q

BD=y/OB2+OD2=2，

：.CD=BC+BD=9,

..0M__2

•——,

CD3

.\OM=6,

轴，x轴，CfUOA,

AZDOB=ZDFC=9Q°,

：ZBDO=ZCDF,

第9页共41页

，△BDOS&CDF,

_15

.OBBDRn3V5—

CFCDCF9

解得cR=qi,

同理可得，Z\AE舷

.MEAM2□口ME2

・・一=——=一，即—产=一，

CFAC318「3

5

解得ME=喈，

0E=VOM2-ME2=誓

当线段0M取最大值时，点M的坐标是（--X/SJ—Vs

3.如图，O。的半径为4,将劣弧沿弦A3翻折，恰好经过圆心。，点C为优弧

A3上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（）

【分析】如图，过点C作C7UA3于点T,过点0作0HLA3于点H,交。。

于点K,连接A。，AK.解直角三角形求出A3,求出CT的最大值，可得结

论.

第10页共41页

【解答】解：如图，过点C作C7UAB于点T,过点0作0HLA3于点H,

交O。于点K,连接A。，AK.

由题意AB垂直平分线段0K,

：.AO=AK,

"：OA=OK,

：.OA=OK=AK,

：.ZOAK=ZAOK=6Q°.

/.AH=OA*sin60°=4x.=2技

'JOHLAB,

：.AH=BH,

：.AB=2AH=443,

'：OC+OH^CT,

：.CTW4+2=6,

CT的最大值为6,

AABC的面积的最大值为:x4A/3X6=12V3,

故选：A.

4.平面直角坐标系内，已知点A(1,0),B(5,0),C(0,力.当t>0时,

若NACB最大，则/的值为()

C

oABx

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L5cL3

A.2V2B.-C.V5D.一

22

【分析】先确定过A、3两点的OM与y轴相切于点C时/AC3最大，再利

用圆的有关知识求出OC的长即可.

【解答】解：如图①，作过A、5两点的OM与y轴相切于点C,

ZACB<ZAPB,

ZAPB=ZACB,

：.ZACB<ZACB,

•••OM与y轴相切于点C时，NAC3最大.

如图②，作连接。M、MA,MB,

:。”与y轴相切于点C,

：.ZOCM=90°,

VA(1,0),B(5,0),

：.AB=4,

'：MH±AB,

：.AH=^AB=2,

：.OH=l+2=3,

：.MC=MA=MB=3,

：.MH=V32-22=V5,

：.OC=V5,

t=V5,

故选：C.

第12页共41页

图①

5.如图，在△ABC中，ZA=60°,BC=6®。是边上一点，CD=2BD,

线段AD的最大值为（）

A.12B.6+2V3C.6+V3D.2何

【分析】作△ABC的外接圆，连接OA,OB,OC,0D,过。作OELBC,

利用圆周角定理和垂径定理，求出利用勾股定理求出根据AO+OD

^AD,得到当A,0,。三点共线时，AD最大，即可得解.

【解答】解：作△A3C的外接圆，连接。4,OB,OC,0D,过。作。EL3C,

VZA=60°,

AZBOC=120°,

ZBOE=60°,

：.ZOBE=30°,

：.OB=2OE,

'：BC=6V3,CD=2BD

：.BE=3V3,BD=2V3,

第13页共41页

"：OB2=OE2+BE2,

：.40£2=0£2+21,

'：OE>0,

：.0E=3,

.'.0B=6,

"：DE=BE-BD=痘,

：.OD=VD£2+OE2=V3T9=2V3,

\'AO+OD^AD,

.•.当A,O,。三点共线时，AD最大，

即：AD=。4+。。=6+2V3；

故选：B.

二.填空题（共8小题）

6.如图，在△ABC中，ZABC=90°,A3=8,点P是A3边上的一个动点，以

BP为直径的圆交CP于点Q,若线段AQ长度的最小值是4,则△ABC的面

【分析】如图，取3c的中点T,连接AT,QT.首先证明A,Q,T共线时,

△ABC的面积最大，没QT=TB=x,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，取3C的中点T,连接AT,QT,BQ.

是O。的直径,

第14页共41页

：.ZPQB=ZCQB=90°,

••.。7=义3。=定值，AT是定值，

'：AQ^AT-TQ,

...当A,Q,T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x,

在Rtz\ABT中，则有（4+x）2=^+82,

解得x=6,

.\BC=2x=12,

.".SAABC^^AB'BC^Ix8X12=48,

故答案为：48.

7.如图，OM的半径为4,圆心般的坐标为（5,12）,点P是OM上的任意一

点，PALPB,且以、尸3与》轴分别交于A、3两点，若点A、点3关于原点

。对称，则A3的最小值为18.

【分析】由RtAAPB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小

值，连接OM,交OM于点P,当点尸位于P位置时，OP'取得最小值，

据此求解可得.

【解答】解：连接。P,

'JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

•：AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM,交O”于点P',当点P位于P位置时，OP'取得最小值，过

点M作MQ.Lx轴于点Q,

则OQ=5,MQ=12,

第15页共41页

：.0M=13,

又,：MP'=4,

：.0P'=9,

：.AB=20P'=18,

8.如图，在平面直角坐标系中，点A(-1,0),点3(1,0),点M(3,4),

以“为圆心，2为半径作OM.若点尸是OM上一个动点，则以2+0序的最

【分析】设点P(x,y),表示出以2+p§2的值，从而转化为求OP的最值,

画出图形后可直观得出。尸的最值，代入求解即可.

【解答】解：设P(x，y)，

22

VFA2=(X+1)+y,PB2=(x-1)2+y2,

：.P^+PB1==2(召+V)+2,

,.,。产=/+,2,

：.PA1+PB2=2OP2+2,

当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，如图，

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.•.OP的最大值为0P=0M+P'M=V42+32+2=7,

・•.必2+PB2最大值为2X72+2=100.

故答案为：100.

9.如图，。。与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D,P为。。上一动点，Q

为弦AP上一点，AQ=3PQ.若点。的坐标为(0,-4),则CQ的最小值为

V17-3__.

【分析】连接P。，过。作QM〃OP,交A。于以M为圆心，MA为半径

作圆，连接交O”于Q',得到AM：AO=AQ：AP,求出AM的长，推

出MQ=AM=3,由勾股定理求出CQ'的长即可.

【解答】解：连接P。，过。作QM〃OP,交A。于以“为圆心，为

半径作圆，连接交OM于。'，

：.AM：AO=AQ：AP,

'：AQ=3PQ,

：.AQ：AP=3：4,

•.•。的坐标是(0,-4),

：.OA=OD=4,

：.AM=IAO=1X4=3,

'：OA=OP,

第17页共41页

ZMAQ=ZP,

,JQM//PO,

：.ZMQA=ZP,

：.ZMAQ=ZMQA,

.".MQ=MA=3,

••.Q在OM上，

・••当。与Q‘重合时，CQ最小，

OM=AO-AM=4-3=1,OC=4,

MC=y/OM2+OC2=V42+I2=V17,

：.CQ'=CM-MQ'=V17-3,

：.CQ的最小值是g-3.

故答案为：V17-3.

10.如图，在平面直角坐标系x0y中，。。的半径是1.过。。上一点P作等边

三角形PDE,使点D,E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是—遮-1<

PD<43+1—.

【分析】找到最大值与最小值的位置，分别求出取值范围的临界值即可解答.

【解答】解：如图，过点P作尸于点连接

第18页共41页

设DP=DE=a,

,.♦△PDE为等边三角形，PM±DE,

：.ZDPE=6Q°,ZDPM=30°,M为DE中点，

DM=a,0M=a,

根据勾股定理可得PM=7DP2-DM2=Ja2_la2=象,

以此可得PM+OAfNl,

V31

即Hn一a+-a>1,

22

解得：a>V3-1;

如图，过点P作尸MLDE于点M,连接。M,

设DP=DE=a,

同理可得，OM=a,PM=孚a

根据图象可得，PM-OM^l,

V31

BHnJ——a--a<1,

22

解得：a<V3+1；

第19页共41页

综上，V3-l<cz<V3+l,

：.PD的取值范围是百一1WPD<V3+1.

故答案为：V3-1<PD<V3+1.

11.如图，O。的半径为2,定点P在o。上，动点A,3也在o。上，且满足

NAPB=30：C为P3的中点，当点A,3在圆上运动时，线段AC的最大

值为_遮+1—.

P

【分析】如图，连接。4,OP,0B,延长3A到使得AH=3A,连接PH.证

明AC=扔求出PH的最大值即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。4,OP,0B,延长A4到H,使得AH=A4,连接

PH.

"：BA=AH,BC=CP,

J.AC//PH,AC=#H,

・,.当PH的值最大时，AC的值最大，

VZAOB=2ZAPB=6Q°,OA=OB,

：.△A03是等边三角形，

：.AO=AH=AB,

：.ZH0B=9Q°,

：.OH=V3OB=2V3,

'：PH^OH+OP,

:.PHW2W+2,

.•.当P、0、8共线时，PH最大,PH的最大值为28+2,

1

...AC的最大值为5(2V3+2)=V3+1.

故答案为：V3+1.

第20页共41页

H

B

12.如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,过A、0、。作O。,

E是O。上任意一点，连结CE,BE,则CE2+BE2的最大值是6.

【分析】连接AC,OD,DE,设E(x,y),利用90°的圆周角所对的弦是直

径可得，AC是O。的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出

CE2+BE2=2(f+y2)+2,0^=^+^,可得当OE为OD的直径时，OE最大，

C/+BE2的值最大，然后进行计算即可解答.

【解答】解：连接AC,OD,DE,

设E(x,y),

VZAOC=90°,

•'.AC是。。的直径，

'：AO=BO=CO=1,

：.A(0,1),C(1,0),B(-1,0),

AC=V2,

CE2=(X-1)2+y2,

5E2=(X+1)-+y2,

2(》

：.CE+BEr=(x-1)2+V+(x+i)2+y2=22+,2)+2,

第21页共41页

,：OE2=x1+y2,

当OE为O。的直径时，OE最大，CE2+BE2的值最大，

：.OE2=AC2=(V2)2=2,

CE2+BE2的最大值=2X2+2=6,

故答案为：6.

13.如图，在RtZXABC中，已知NA=90°,AB=6,BC=10,。是线段3c上

的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E,交的延长线于

点F,射线BE交航于点G,则BE-EG的最大值为32.

【分析】如图，过点C作CHLEG于点H.利用相似三角形的性质证明EB-

EG=2AE*EC,设EC=x,在Rt/XABC中，AC=<BC2-AB2=V102-62=8,

推出EB・EG=2x<8-x)=-2(x-4)2+32,利用二次函数的性质求解即可.

【解答】解：如图，过点C作CHLEG于点H.

■:CHLEG,

：.EH=GH,

VZA=ZCHE=9Q°,ZAEB=ZCEH,

：.AABEsAHCE,

.AE_

••—,

EHCE

：.BE'EH=AE'EC,

:.BE・2EH=2・AE・EC,

：.EB*EG=2AE*EC,

设EC=x,

在RtAABC中，AC=yjBC2-AB2=V102-62=8,

:.EB・EG=2xY8-x)=-2(x-4)2+32,

：-2<0,

第22页共41页

・..x=4时，3E・EG的值最大，最大值为32,

故答案为：32.

三.解答题(共6小题)

14.如图，已知半径为2的。。与直线/相切于点A,点P是直径A3左侧半圆

上的动点，过点P作尸C，/,垂足为点C,PC与O。交于点。，连接力，PB,

设PC的长为x(2<x<4).

(1)当x=3时，求弦B4,P3的长度；

(2)用含有x的代数式表示并求出当x为何值时，的值最

大？最大值是多少？

CAI

【分析】(1)根据切线的性质得A3，/,则A3〃PC,所以再

根据A3为。。的直径得到NAP3=90°,则可判断4s利用相

似比可计算出AP,然后利用勾股定理可计算出尸3；

(2)如图，过。作OELPD,垂足为E,根据垂径定理得到PE=ED,易得

四边形OECA为矩形，则CE=Q4=2,所以PE=ED=x-2,接着表示出PD

和8,然后根据二次函数的性质求解.

【解答】解：(1):。。与直线/相切于点A,A3为。。的直径，

：.ABM,

又"CL,

：.AB//PC,

：.ACPA=ZPAB,

•..AB为O。的直径，

APB=90°,

：.ZPCA=ZAPB,

.'.△PG4s△APB,

:.PC：AP=AP：AB,

第23页共41页

'：PC=x=3,

，3：AP=AP：4,

：.AP=2y[3,

在RtAAPB中，PB=7AB2-AP2=2；

(2)如图，过。作OELPD,垂足为E,

是O。的弦，OE_LPD,

：.PE=ED,

在矩形OECA中，CE=Q4=2,

:・PE=ED=x-2,

：.CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x,

：.PD'PC=2(x-2)*(4-x)=-2^+12%-16=-2(x-3)2+2,

V2<x<4,

・•.当x=3时，的值最大，最大值为2.

15.如图，直线/：y-^x+b与y轴交于点A,与x轴交于点3(-6,0),点C

是线段。4上一动点(0<AC<^).以点A为圆心，AC长为半径作OA交线

段A3于另一点。，连接。。并延长交OA于点E.

(1)求△。43的面积；

(2)ZACD=ZAOD+ZOAD,求点。的坐标；

(3)若点C在线段上运动时，求的最大值.

第24页共41页

【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式，再求出点A坐标即可求解；

(2)利用辅助线先证明利用圆的半径从而得出。£),

OC,的关系，即可求解；

(3)利用勾股定理求出A3,再利用辅助线OG证明△DERS^DG。，最后

利用半径厂表示。D,DE,DR和DG的关系即可求解.

【解答】解：(1)•••直线/：y=%+0与x轴交于点3(-6,0),

.•.将(-6,0)代入，得：

4、

-x(-6)+Z?=0,

3

/.Z?=8,

「・y=3+8,

当x=0时，y=8,

AA(0,8),

SAOAB=|XOAXOB=1X8X6=24；

(2)如图，过点。作于点H,

ZACD=ZAOD+ZOAD,ZACD=ZAOD+ZODC,

：.ZOAD=ZODC,

：.AOCD^AODA,

・OCOD

••—,

ODOA

：.OD2=OC'OA,

设AH=4m，DH=3m,则：

AH=AD=5m,

：.OH=OA-AH=8-4m,OC=8-5m,

第25页共41页

/.D(-3m,8-4m),

：.OD1=OH1+DH2=(8-4m)2+(3m)2,

"：OD1=OC'OA,

：.(8-4m)2+(3m)2=(8-5m)«8,

解得：m=

./72104、

・・D(—五,)；

2525

(3)如图，过点。作。G,A3于点G,A3交OA于点。，F,连接EE

"：OB=6,OA=8,

：.AB=y/OA2+OB2=10,

.,AGOA

"OA~ABJ

.OA18232

''AG=^B=W=T'

设AC=AD=r,则：

32

DMG=qf

•..DR为直径，

：.DF=2r,ZDEF=9Q°,

ADEFsADGO,

.ODDG

••—__.,

DFDE

：.OD*DE=DF・DG=2r・q—r)=-23+*=-2(r-^)2+娶,

当厂=当时，OD・DE取得最大值，

最大值为6差12.

第26页共41页

16.如图，半圆。的直径A3=4,以长为2的弦PQ为直径，向点。方向作半

圆”，其中P点在AQ上且不与A点重合，但Q点可与3点重合.

(1)计算：劣弧PQ的长；

(2)思考：点〃与A3的最大距离为_旧_,此时点间的距离为2；

点”与A3的最小距离为4.

(3)探究：当半圆M与相切时，求成的长.

(注：结果保留71,cos35°=亭，cos55°=*)

图1备用图备用图

【分析】(1)连接。P,0Q,得△OPQ为等边三角形，根据圆心角的度数求

出弧长即可；

(2)过点M作于点C,当C点与。点重合时，〃与A3的距离最

大，当。点与3点重合时，〃与A3的距离最小，分别求出所需数据即可；

(3)当半圆M与A3相切时，此时MC=1,且分以下两种情况讨论，当C

点在线段上和C点在上，分别计算出而即可.

【解答】解：(1)连接。尸，OQ,

"：AB=4,

：.OP=OQ=2,

,:PQ=2,

••.△OPQ是等边三角形,

：.ZPOQ=60°,

•pn-60°兀x2_2

,,PQ-180°-3K,

第27页共41页

(2)过点M作MCLA3于点C,连接。M,AP,

由C点的位置可知，当C点与。点重合时点”与A3的距离最大，如图:

A0(C)B

此时AP=2,PM=1,

0M=7Ap2—PM?=V3,

•;OM±AB,

：.ZAOP=6Q°,

"：OA=OP,

：.△AOP是等边三角形，

：.AP=2,

由C点的位置可知，当Q点与3点重合时，M与A3的距离最小，如图:

AOcB(Q)

,：ZOBP=60°,BM=1,

：.MC=BM*sm60°=孚，

故答案为：V3,2,—；

2

(3)当半圆“与A3相切时，此时MC=1,且分以下两种情况讨论:

①当C点在线段。4上时，

ACOB

O-------

在Rt^OCM中，由勾股定理得,

OC=70M2_CM2=V2,

•,.cosNAOM=^=亭,

第28页共41页

/.ZAOM=35°,

"：ZPOM=30°,

AZAOP=ZAOM-ZPOM=35°-30°=5°,

•%n_507TX2_TT

=^80s-=18,

当点C在线段03上时，此时N3OM=35°,

,：ZPOM=3Q°,

AZAOP=180°-ZPOM-ZBOM=115°,

.亦115°TTX223

''AP=1800=187r；

综上，当半圆M与A3相切时，成的长为二TT或至22兀.

1818

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点3的坐标分别是(1,0),(7,

0).

(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果NAP3=45°,那么称

点P为线段A3的“完美点”.

①设A、B、尸三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是(4,3)或(4,

-3),QC的半径是3V2；

②y轴正半轴上是否有线段A3的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐

标；如果没有，请说明理由；

(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当NAPB的度数最大时，点P的坐标为

(0,-V7)

第29页共41页

【分析】（1）①过点C作CDLA3于点D,利用圆周角定理和垂径定理计算

CD,AD的长度，进而得到线段的长度即可得到点C坐标；利用勾股定

理即可求得AC的长度，则OC的半径可求；

②设OC交y轴于点D,E,连接CD,CE,过点C作CGLCD于点G,CF

LAB于点F,利用（1）①的结论和垂径定理计算线段EG的长度，则线段

0E,的长度可求，结论可得；

（2）设OC与y轴切于点P,在y轴上任取一点Q（与点P不重合），连接

BQ,AQ,3Q与OC交于点。，连接AD,利用圆周角定理和三角形的外角大

于任何一个不相邻的内角，得到当点P为OC与y轴的切点时，当NAPB的

度数最大，利用切割线定理求出线段0P的长即可得出结论.

【解答】解：（1）①•••点A与点3的坐标分别是（1,0）,（7,0）,

.♦.04=1,OB=1.

.".AB=6.

过点C作CDLAB于点。，如图,

第30页共41页

：.0D=A0+AD=4.

'：ZAPS=45°,

AZACB=2ZAPB=9Q°,.

'JCDLAB,CA=CB,

：.CD^^AB=3.

：.C（4,3）.

同理：根据对称性，在第四象限也存在符合条件的点（4,-3）.

AC=VXD2+CD2-3V2,

•••OC的半径是3V2.

故答案为：（4,3）或（4,-3）；3V2；

②y轴正半轴上有线段A3的“完美点”，理由：

设OC交y轴于点D,E,连接CD,CE,过点C作CGLCD于点G,CF±

A3于点R如图，

则ZAEB=ZADB=ZAPB=45°.

：.D,E为y轴正半轴上线段A3的“完美点”.

第31页共41页

'：CG±DE,CF±AB,ZO=90°,

・•.四边形ORCG为矩形.

：.CG=OF=4,OG=CF=3.

在RtACGE中，

'：EG2=CE2-CG2,

:.EG=VCE2-CG2=V2.

：.GE=DG=V2.

：.OE=OG-GE=3-V2,OD=OG+DG=3+V2.

：.E(0,3-V2),D(0,3+V2).

・”轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为(0,3+V2)或

(0,3-V2)；

(2)设OC与y轴负半轴切于点P,在y轴负半轴上任取一点Q(与点P不

重合)，

连接3Q,AQ,3Q与OC交于点。，连接AD,如图，

第32页共41页

,?ZADB>ZAQB,

：.ZAPB>ZAQB.

•••当尸运动到OC与y轴相切时，/APB的度数最大.

连接尸C并延长交OC于点E,连接AE,如图，

：.CP±OP,

：.ZOPA+ZABE=9Q°.

•..PE为OC的直径，

：.ZPAE=9Q°,

ZAPE+ZE=9Q°,

：.ZOFA=ZE,

：.ZE=ZOBP,

：.ZOFA=ZOPB,

,：ZAOP=ZPOB=90°,

第33页共41页

:•丛OAPs丛OPB,

.OAOP

••—,

OPOB

：.OP-=OA*OB.

：.0P=Vox-OB=VT3?7=V7.

：.P(0,-V7).

解法二：过点。作。于点H,如图,

'：C(4,-3),

：.CP=CA=4,AH=3,

C'H=V42-32=V7,

：.OP=CH=中,

：.P(0,-V7).

故答案为(0,-V7).

18.如图，已知AB是OO的直径，弦CDLAB于点E,点R是线段CD延长线

上的一点，连结刚交O。于点G,连结CG交AH于点P,连结C4.

(1)求证：ZACG=ZF.

第34页共41页

(2)如图②，若CA=CG,求证：AG=CD.

(3)如图③，连结DG,AE=8.BE=2.

①若tanN/^T，求AP的长；

②求AG・DG的最大值.

【分析】(1)连接BG,利用垂径定理和圆周角定理解答即可；

(2)连接AD利用垂径定理和在同圆或等圆中等弦对等弧，等弧对等弦解

答即可；

(3)①过点P作于点连接3C,0C,利用勾股定理和直角三角

形的边角关系求得tan/C4E=器另；设PH=3k,贝I]CH=4左，利用垂径定

理求得AH的长度，再利用平行线的性质得出比例式即可求得结论；

②利用AG-DG与AADG的面积的关系，当△ADG的面积取最大值时，AG-

DG最大;利用△ADG的面积的值解答即可求得结论.

【解答】(1)证明：连接3G,如图，

•.•A3是O。的直径，

AZAGB=90°.

：.ZABG+ZBAG=90°.

•弦CDLAB于点E,

：.ZF+ZBAG=9Q°.

：.ZABG=ZF.

'：ZACG=ZABG,

：.ZACG=ZF.

(2)证明：连接AD,如图,

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,•.AB是O。的直径，弦CDLA5,

：.AC^AD.

'：CA=CG,

：.AC=CG.

：.AD=CG.

：.AD-DG^CG-DG.

即前=AG.

：.AG=CD.

(3)解：①过点P作尸HLAC于点H,连接3C,OC,如图,

VAE=8,BE=2,

：.0A=0C=5,0E=3.

CE=VOC2—OE2=4.

•弦CDLA3于点E,

：.DE=CE=4.

AC=yJCE2+AE2—4y/5,tanCAE=罪=g.

由(1)得