2025年中考数学复习提升训练：四边形（含解析）

2025年中考数学提升训练：四边形

一、单选题

1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,E为的中点，菱形的周

长为28,则OE的长等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

3

2.如下图所示，在矩形中，DE工AC于点E,设/ADE=tz,且cosc=《，AB=4,

则AC的长为（）

3.如图，在口ABCD中，E是边C。的中点，AE交8。于点0,如果WOE的面积为1,那

4.如图，在矩形纸片A2CD中，AB=5,BC^3,将△BCD沿8D折叠到的位置，DE

交A8于点尸，则tanNAD尸的值为（）

E

c15

ABcD.—

-u-H-A17

5.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABC。（如图所示），连结

则tanN&归的值为（)

c-1D-i

6.如图，在VABC中，AB=3fAC=4,BC=5,尸为边上一动点，PELAB于E,PF1AC

于尸，以为跖的中点，则AM的最小值为（）

A.2.4B.2C.1.6D.1.2

7.如图，矩形ABC。中，点P在对角线8。上，延长转交。C于点G,过点尸作砂，AG,

分别交A。、3C于点E、F,AB=3,AD=4.如果ZAEP=NAPB,那么AP的长是（）

r6>/5

X-Z.--------------

5

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形A5C。的顶点A,8分别在y轴正半轴、x轴正半轴上,

顶点C,O在第一象限，已知。4=OB=2,BC=46,将矩形ABCD绕点。逆时针旋转,

每次旋转90。，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（）

A.（6,4）B.（T,6）C.（-6,-4）D.（4,-6）

二、填空题

9.如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点。落在点。夕处，则重叠

部分AAFC的面积为.

10.如图，在wWC。中，47,8。交于点。48=13,4?=24,。3=10,则四边形ABC。

是.

11.如图，在VABC中，正方形EFG"的两个顶点区歹在8C上，另两个顶点G、〃分别

在AC、AB上,8C=15,8C边上的高是10,则正方形的面积为.

12.如图，在平行四边形ABC。中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，ZDEF=NC,

7

若DE=4,AF=-,则AD的长是.

AFD

E

13.如图，正方形ABC。中，点区F、G分别在边极BC、A。上，&AE=BF=DG,

连接CE、FG,交于点H,如果AE:3E=1:2,那么空的值为.

14.如图，已知正方形A2CD的边长为12,BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到,

延长E尸交A3于点G,则A3£G的周长为.

15.如图，在矩形A2CZ）中，AB=3,BC=2,将VABC绕点A按逆时针方向旋转到△AEF

并使点。在AE边上时，连接CE,则CE=.

16.如图，已知矩形ABC。，AB=6,AD=8,点E为边BC上一点，连接DE,以DE为

一边在与点C的同侧作正方形DEFG,连接AF.当点E在边BC上运动时，AF的最小值

是.

三、解答题

17.已知：如图，在nABCD中，E,尸分别是A3和CD的中点.

⑴求证：四边形AE■(才是平行四边形；

(2)连接AC,当AC与3C满足怎样关系时，四边形AECT为矩形，并说明理由.

18.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,80相交于点。.

⑴求证：OA=OC,0B=0D；

⑵若对角线AC与8。的和为18,AB=6,求VA03的周长.

19.如图，将两个全等的矩形ABC。和矩形BEFG交叉重叠，重叠部分为四边形

E

(1)求证：四边形为菱形；

(2)若AB=8,BM^10,求MK的长.

20.综合与探究

问题情境

如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=IO,E为AB边上的一点,连接CE.将矩形ABCD

沿直线CE折叠，点2的对应点为产.

备用图

(1)如图1,当点尸落在AD边上时.

①求AE的长.

②如图2,连接BF交CE于点G,过点B作BNLCF于点、N,交CE于点跖试判断研，MN

与的数量关系，并说明理由.

深入探究

(2)当点F落在上方时，EP交于点P,CE交4)于点°,连接4尸.若“1PF为

等腰三角形，请直接写出的长.

《2025年中考数学一轮复习提升训练：四边形》参考答案

题号12345678

答案ADBABDCB

1.A

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形的周长可求得">=7,

再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求得答案.

【详解】解：；菱形ABCD的周长为28,

边长为AD=7,

ACJ.BD,

：.ZAOD=90°,

E为AD的中点，

OE=-AD=3.5.

2

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义.根据同角的余角相等求出

ZADE^ZACD,再根据两直线平行，内错角相等可得NR4C=NACD,然后求出AC即可.

【详解】解：AC,

:.ZADE+ZCAD^9Q°,

ZACD+ZCAD=90°,

Z.ACD=Z.ADE=cc,

;矩形A5CD中，AB//CD,

,\ZBAC=ZACD,

3

COS6Z,

AB3

•••_—―，

AC5

“统4=型，

33

故选：D.

3.B

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质.解决本题的关键是根据

相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AABO的面积.首先根据平行四边形的性质可证

血叱心）且相似比为g，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得小磔=1,

从而可求AABO的面积.

【详解】解：•.・四边形ABCD是平行四边形，

：.AB\\CDS.AB^CD,

:.AEDMAABO,

■.•点E是CD的中点，

,DE一1

••~-=一,

CD2

DE_1

••一，

AB2

••v—1

•"EDO-1，

S-ABO=4.

故选：B.

4.A

【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明△例）四AEEB,得出AF=EF,

DF=BF,设AF=EF=x,则DF=BF=5-x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程

得出尤的值，最后根据正切函数的定义求出结果即可.

【详解】解：：四边形9CD为矩形，

CD=AS=5,AD=3C=3,ZA=/C=90°,

根据折叠可知，BE=BC=3,DE=DC=5,ZE=ZC=90°,

ZA=ZE=90°

在△AFD和AEFB中■ZAFD=NEFB,

AD=BE=3

：.&4FD/曲B(AAS),

:.AF=EF,DF=BF,

^AF=EF=x,贝！|D尸=3尸=5—x,

在RtAADB中，DF2=AF2+AD2,

即（5-x）2=f+32,

解得：X=|，

,■,AF=I

8

tan4OF=竺=5故人正确•

DF315

故选：A.

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数

的定义，根据题意证明△AFD丝△EEB,是解题的关键.

5.B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、正

方形的性质，作的_LCG于由题意可得/=尸C=N/MF=90。证明

IMCM1

△ICMs^CF,得出——=——=—,设CM=a,IM=b,则3尸=3匕，CF=3a,由全等

BFCF3

三角形的性质可得5石=CF=OG=3a,由正方形的性质EF=G尸=3尸一3石=3〃一3々，证

明△"NSSPG,得出2〃=b,最后再由正切的定义求解即可.

由题意可得：NFGD=NBFC=NIMF=90。，

ZICM=ZBCF,

：.小ICMs小BCF,

.IMCMCl

**BF-CF-BC

V—=2,

IC

.IMCM

•・赤一方一

设CM=a,IM—b,则BF=3b,CF—3a,

・・,四个直角三角形全等，

:.BE=CF=DG=3a,

・・,中间为正方形，

EF=GF=BF-BE=3b-3a,

9：ZIFM=ZDFG,

：.^IFM^DFG,

.IMDG

.b_3a

2a3b-3a'

解得：2a=b^a=—b（不符合题意，舍去），

._BE3a3a1

..tanZBAE=——=——=——=一，

AE3b6a2

故选：B.

6.D

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说

明VABC是直角三角形，进而得出四边形诋£是矩形，可知当3c时，AM最小，然

后根据面积相等得出答案.

【详解】解：连接AP,如图.

AB2+AC2=BC2,

...VABC是直角三角形，且N54C=90。.

PE±AB,PFLAC,

，四边形AFPE是矩形，

AP与EF互相平分，

为EP的中点，

...点〃在AP上，且

2

...当AP最小时，AM最小,

根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即AP，3c时，AP最短，同样,

最短.

Sw=2-AB2AC=-BCAP,

即AP=W=2.4,

/.AM」AP=1.2.

2

故选：D.

7.C

【分析】如图，过点A作于点Q,根据矩形的性质得BD=〃炉+A>=5，由

SAABD=^BD-AQ=^AB-ADnAQ=^,由勾股定理得=匚而7=个，证明

△AQPsAAPE得"=些，即箓=与，证明APDE^AADP^A-=—继而得到

PEAPAQAPAPAD

1_6__尤

芸=黑，设。P=x，则尸。=’一无，得启，解得：尤=2，再根据4尸=，4。2+。尸2

AQ/\L)545

y

可得结论.

【详解】如图，过点A作AQL3O于点。,

•・•矩形A5CD中，AB=3,AD=4,

BD=>JAB2+AD2=V32+42=5，

-：SAABD=^BD-AQ=^AB-AD,

ABDAQ=ABAD,即5AQ=3x4,

••.Y

在Rt"QD中，QD=』AD2-AQ2=16

y

AQ1BD,EFlAG,

ZAQP=ZAPE=90°,

XVZAEP=ZAPB,

：.AAQP^AAPE,

.QP_^Q曰n"="

••PE~AP'AQAPf

VZ1+ZA£P=9O°,N2+NDPG=90。,

XVZAEP=ZAPB=/DPG,

Z1=Z2,

又•："DE二ZADP,

APDE^AADP,

.PEPD

**AP-AD?

.QPPD

••而一茄’

设QP=x,贝|尸。=当一%,

••以二4

y

解得：x=［，

2

126

在R3AQP中,AP=y/AQ2+QP2=

AP的长是述.

5

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互

余，等积变换等知识点.掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

8.B

【分析】过点C作CELx轴于点E,连接OC,求出点C坐标，矩形A8CD绕点。逆时针

旋转,每次旋转90。,360。+90。=4,得到每循环4次与原图形重合，根据2025+4=506-1,

得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同.根据矩形绕点。

逆时针旋转1,即线段OC绕点0逆时针旋转90。，得到线段OC，其中点C'落在第二象限.求

出点C的坐标，即可得出结果.

【详解】解：如图，过点C作CE，x轴于点E,连接OC,

/A5c=90。，

:.NCBE=45。,

ZBCE=45°=ZCBE,

：.BE=CE,

CE2+BE2=BC2,

2CE2=(4扬2,

,-.CE=BE=4,

OE-6,

.-.C(6,4).

:矩形绕点。逆时针旋转，每次旋转90。，360。+90。=4,

每循环4次与原图形重合，

,/2025+4=506…1,

...第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同,

即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，

如图，过点C'作轴于点

则OC'=OC,ZCOC=90°,

ZC'OE'=ZCOE,ZC'E'O=ZCEO,

:.©OE会©OE,

:.OE'=OE=6,C'E'=CE=4,

...第2025次旋转结束时，点C的坐标为(T,6).

故选：B.

【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角

形的判定及性质.解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律.

9.10

【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定，

先根据矩形的性质和折叠的性质证明再设=贝I|AF=8-x,根据

勾股定理可求出AF,进而得出答案.

【详解】解：：四边形ABC。是矩形，

/.AD=BC=4,ZB=ZD=90°.

根据折叠可知AD=AD'=BC,ZD=ZD'=ZB=90°.

•?ZAFD'=ZBFC,

：.AAED'出Z\CFB,

­•DF=BF>

设ZXF=x,则AF=8—x,

在RMAFZ7中，(8-X)2=X2+42,

解得：x=3,

：.AF=AB-FB=8-3=5,

--S^AFC=^AFBC=10.

故答案为：10.

10.菱形

【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练

掌握菱形的判定定理是解题关键.首先根据平行四边形的性质可得Q4=12,03=5,再结

合勾股定理的逆定理证明AC人9,结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边

形ABC。是菱形即可.

【详解】解：；四边形A5CD为平行四边形，A3=13,AC=24,=10,

11

/.OA=-AC=12,OB=-BD=5,

22

又,/OA2+OB2=169=AB2,

AZAOB=90°,即ACj"

•••四边形A3CD是菱形.

故答案为：菱形.

11.36

【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题,

作辅助线，构造三角形相似是解题的关键.过点人作4。垂直于于点。，交用于点

则可证明△AHGSAABC,进而求出HG的长，即可解决问题.

【详解】解：过点A作AD垂直于3c于点。，交用于点/，则NADC=90。,

■.・四边形EFGH是正方形

:.HG\\EF

ZAHG=ZB,ZAMG=ZADC=90°

•••ZA=ZA

.△AHGs^ABC

:.AM:AD=HG:BC

设HG=尤贝(JAM=1O—x

•・・BC=15,AD=10

「.x:15=(10-x):10

解得：x=6

・••正方形EFGH的面积为6x6=36，

故答案为:36.

【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得

出AD=5C,ZA=ZC,结合已知得出△。尸ESADE4,利用相似三角形的性质结合题意

求出AD的长度即可.

【详解】解：・・•四边形ABC。是平行四边形,

；・AD=BC,ZA=ZC,

9：ZDEF=ZC,

・•・ZDEF=ZA,

■:ZEDF=ZADE,

:./\DFEc^ADEA,

.DEAD

''~DF~~DE'

7

VDE=4,AF=-,

3

7

・•・DF=AD-AF=AD一一，

3

4AD

*,*AD--4'

3

/.42=^AD-1^AD,

=?或AD=—3（舍去），

•••AD的长是g,

故答案为：—.

13.-

4

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长ZM、CE交于点P,设

AE=a,贝|AE=5尸=DG=a,BE=2AE=2a,由正方形的性质可知AD=3C=AB=3a,

3

AD//BC,故AG=CF=2a,^APE^BCE,根据相似三角形的性质求出=，贝|

□7RHPC1

PG=2〃+立=彳〃，最后证明△PGHs<FH,根据相似三角形的性质力=:二即可求解,

22HFCF

掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，延长04CE交于点P,

设AE=a,

•：AE=BF=DG,AE:BE=l:2f

：.AE=BF=DG=a,BE=2AE=2a,

四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB=3afAD//BC,

：.AG=CF=2a,^APE^^BCE,

.APAE1AP1

.・==—,艮RnJ=——,

BCBE23a2

337

・・A,P=-a,・.PG=2QH—ci——a,

222

■:PG//CF,

入PGHsCFH,

7

AGHPG2aJI,

HF~CF~2a~l

7

故答案为：—.

4

14.24

【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键

是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质.

连接GD,证明AADG丝AEDGCffi）得出AG=fG,设AG=RJ=x,贝i]EG=x+6,

BG=n-x,勾股定理求得X=4,则AG=G/=43G=8,进而勾股定理求得GE,即可求

解.

【详解】解：连接GO,如图所示，

由折叠可知，DF=DC=DA,

ZDFE=ZC=90°,

:.ZDFG=ZA=90°,

RaADG注RtJDG(HD,

AG=FG,

正方形边长是12,

:.BE=EC=EF=6,

^AG=FG=x,则EG=x+6,

5G=12—%,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(%+6/=6。+(12-x)2,

解得：x=4,

,-.AG=GF=4fBG=8,

GE=JBE。+BG?=A/62+82=10，

/\BEG的周长为BE+EG+GB=6+8+10=24,

故答案为：24.

15.710

【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理,根据矩形的性质可得AB=CD=3,

BC=AD=2,ZADC=ZCDE=90°,根据旋转的性质得出AB=AB=3,则可求

DE=AE-AD^\,然后在Rt^CDE中，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：：矩形ABC。中，AB=3,BC=2,

：.AB=CD=3,BC=AD=2,ZADC=ZCDE=90°,

,/将VA3C绕点A按逆时针方向旋转到△AEF并使点。在AE边上，

AE=AB=3,

：.DE=AE-AD=1,

CE=VCD2+DE2=V10，

故答案为：y/10.

16.10A/2

【分析】过点E作EH_LAD于点过点/作交BE的延长线于点K,交AB的

延长线于点M,利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形

的判定与性质得到狂=团=6,KE=HD,设AH=x,则印)=EK=8—x,MH=x,

利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论.

【详解】解：过点E作于点过点尸作交8E的延长线于点K,交AB

的延长线于点

M

8

G

AHD

•・,四边形ABC。为矩形，

.*•AB=CD=6,AD=BC=8,Z.C=ZADC=90°,

•；EH工AD,

・•・四边形CDHE为矩形，

・•・EH=CD=6,

・・,四边形。£FG为正方形，

AEF=ED,/FED=90。,

:・NKEF+NHED=90。,

■:FKLBE,

：.NKFE+NKEF=90°,

・•・NKFE=ZHED,

在△KFE和△/£££>中，

NFKE=ZEHD=90°

<NKFE=ZHED,

EF=DE

：.△仔E%HED（AAS）,

；.KF=EH=6,KE=HD，

•・•ZBAH=ZAHE=ZMKH=9Q0,

：.四边形AEKM为矩形，

；・AH=MK,AM=HK,ZM=90°,

设=则HD=EK=8—x,MH=x,

：.AM=HK=HE+EK=\A-x,MF=KF+MK=6+x,

222

在RtZWM中，AM-^MF=AF9

・•・AF=^（14-X）2+（6+X）2=^2（X-4）2+200,

V2（X-4）2>0,

，当尤=4时，,取得最小值为血而=100，

AF的最小值是100,

故答案为：10匹.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值,

全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些性质.

17.(1)见解析

(2)当AC=BC时，四边形AEC尸为矩形，理由见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与

判定，矩形的判定是解题的关键.

(1)利用平行四边形的判定即可得证；

(2)补充条件为AC=BC,结合点E为AB的中点，利用三线合一性质可得CE1AB,由

(1)得四边形AEW为平行四边形，利用矩形的判定即可得证.

【详解】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD.

■.E,尸分别是AB和CD的中点，

11

AE=-AB,CF=-CD,

22

：.AE=CF,

又：AE〃Cr,

.,・四边形AECP为平行四边形.

(2)解：当AC=3C时，四边形AEC尸为矩形，理由如下：

如图，

­.AC=BC点E为AB的中点,

:.CE±AB,

:.ZAEC^90°,

由(1)得，四边形MC尸为平行四边形,

，四边形AEW为矩形.

18.(1)见解析

⑵15

【分析】本题考查了平行四边形的性质；

(1)根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论；

(2)根据平行四边形的性质求出。4+03=gAC+g8。=9,然后即可计算NA0B的周长.

【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AOA^OC,OB=OD；

(2)由题意得AC+3D=18,

由(1)知ft4=0C,OB=OD,

：.OA+OB=-AC+-BD=-(AC+BD}=-x18=9,

222、72

...VA03的周长为：OA+OB+AB=9+6=15.

19.(1)见解析

(2)475

【分析】(1)根据题意得到KN〃的W,BK//MN,AB=EB,推出四边形平行四

边形，根据全等三角形的性质得到KB=MB,根据菱形的判定定理得到结论；

(2)过点于X,根据矩形的性质得到/四=钻=8,根据菱形的性质得到

BK=BM=10,根据勾股定理得BH=《BK-HK。=6到，求得碗=10-6=4,根据勾股定理

得到MK=y)HK2+HM2=7§2+42即可求解.

【详解】(1)证明：两个全等的矩形A3C。和矩形BEFG交叉重叠,重叠部分为四边形BMNK,

:.KN〃BM,BK//MN,AB=EB,ZABC=ZGBE=ZA=90°,

：.四边形及3K平行四边形，

EB=AB,^EBM=ZABK=90°-ZKBM,ZE=ZA=90°,

/.△ABK%ERM(ASA),

KB=MB,

.•.四边形的K是菱形；

(2)解:过点K作姐，3c于H,

G

Ay\y^D

B\H/MC

E

则NBZ/K=NABC=NA=90。，

，四边形是矩形，

HK=AB=8,

:四边形及3K为菱形，

BK=BM=10,

在Rt^BHK中，BH=4BK2-HK2=V102-82=6

府