2025年中考数学复习提升训练：二次函数综合（角度问题）含解析

2025年中考数学提升训练：二次函数综合(角度问题)

1.如图，抛物线y=tm2-[m2+3卜-(6帆一9)与x轴交于点A.B,与y轴交于点C,已知B(3,0)

备用图

(1)求机的值和直线BC对应的函数表达式;

(2)P点是对称轴上的一点，当B4+PC的值最小时，求点尸的坐标;

(3)0为抛物线上一点，若ZACQ=45。，求点。的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-尤2+6x+3与x轴交于点A、B(点A

在点3的左侧)，与了轴交于点C,联结AC,tanZCAO=3,抛物线的顶点为点O.

(1)求6的值和点D的坐标；

(2)点尸是抛物线上一点(不与点B重合)，点尸关于x轴的对称点恰好在直线上.

①求点P的坐标；

②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接如果=求点M的坐标.

3.在平面直角坐标系直力中，矩形OCDE的顶点E,C分别在x轴，y轴上，0（4,3）.抛

物线>=依2+法一312（。/0）与无轴交于4（一1,0）,3两点.

AOBEX

备用图

（2）如图2,在（1）的条件下，连接OD,尸为线段C。上一点，连接AF,若FA=FC,请

判断/CDO和NOE4是否相等，并说明理由;

⑶若抛物线y=3a（。*0）的顶点为取A//的中点则以Af,H,。为顶点

的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出。的值；若不能，请说明理由.

4.如图，抛物线y=以2+2x+c与无轴交于点A、B,与y轴交于点C,OB-OC-3.

图2

(1)求抛物线的解析式.

⑵如图1,点。是第一象限抛物线上的点，过点。分别作x轴、y轴的垂线，交BC于点E、

交y轴于点/，求DE+DF的最大值及此时点。的坐标.

(3)如图2,连接AC,抛物线上是否存在点P,使NPBC+NACO=N3CO?若存在，请直

接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

□

5.已知抛物线4：、=加+法+。的对称轴是直线1=5,与x轴交于A(-1,O),与y轴交于

点c(o,—4).

(2)如图1,点E是抛物线G上一动点，过点E作DELx轴，若/ACO=；/AED,求点。

的坐标.

3

(3)如图2,将抛物线G向左平移］个单位长度得到抛物线a.点P为抛物线G上一动点，

过P作尸轴，点。为射线尸”上一点，过点。的直线交抛物线于M,N两点,若APQM

与VPQN的面积之积为2.点0的轨迹是否确定？若确定，求出轨迹的解析式：若不确定,

请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=/+法-2的函数图象与x轴交于A(-4,0),B

两点(点A在点3的左侧)，与y轴交于点C,且OA=2OB.

(1)求抛物线的解析式；

⑵在直线AC下方的抛物线上有一动点尸，连接AP、CP,点。是点C关于x轴的对称点，

过点。作直线/〃x轴，点M为直线/上一动点，MNLx轴，垂足为N,连接PN、MB,当

△APC的面积取得最大值时，求PN+MN+MB的最小值；

(3)将抛物线y=ax?+法-2沿射线AC方向平移2逐个单位长度得到新的抛物线V,点。为

BC中点，在新抛物线了上存在一点。使得NCDQ=ZAC3,请直接写出所有符合条件的Q

点的坐标.

7.如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=1+bx-4（aW0）与x轴交于点A（-2,0）、点B（4,0）,

与y轴交于点C.

⑵点P为直线BC下方抛物线上一动点，作尸E〃y轴交BC于点E,PF〃x轴交3C于点E,

当！PEF的周长最大时，求点尸的坐标和！PER周长的最大值；

（3）将抛物线丫=加+法-4（"0）沿射线CB方向平移20个单位，得到新的抛物线》'，在

新的抛物线V上是否存在点”，使NCBH-45。=NACO,若存在，请直接写出点H的坐标；

若不存在，请说明理由.

8.如图,抛物线丫=加+及+3（aw0）与x轴交于点A（-3,0）和8（1,0）,与了轴交于点C,

连接AC和BC,点P在抛物线上运动，连接APIP和CP.

(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；

(2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中(点P与点AC不重合)，作点P关于x轴的

对称点匕连接A0C6,记△A"的面积为跖，记ABCP的面积为Sz，若满足*=3星，

求尸的面积；

(3)将原抛物线沿射线C4方向平移2夜个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点Q，

使得NQC4+/OC8=NC4O?若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

9.抛物线丁=炉+区+。经过点4(-3,0)和点3(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图1,过点尸作PE>_Lx轴于点。，作轴于点E,当尸£>=2PE时，求PE的长；

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得NACP=/OCB?若存在，请求出所有点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线，=。/+法+4（。*0）经过点（3,外，与无轴交于A,3

两点，与〉轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=l.

备用图

（1）求抛物线的表达式

⑵点尸是直线2C上方抛物线上的一动点，过点尸作PD〃y轴，交BC于点、D,点Af是V轴

上的一动点，连接9,。河，当线段尸。长度取得最大值时，求周长的最小值；

（3）点E坐标为E（0,-2）,将原抛物线沿射线CB方向平移2&个单位长度,得到新抛物线月,

在抛物线月是否存在点满足/3EM=/ACO,若存在，直接写出点Af的坐标，若不存

在请说明理由.

11.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(-1,12)和(4,-3).

（1）求抛物线的函数表达式;

⑵抛物线y=^+6x+c与x轴交于点A,B（点A在点8的左侧），与丁轴交于点C,如图.

①求VABC的面积；

②点0（2,加）在抛物线上，点E在线段上（不与端点3,C重合），若ZDEB=2NDCB,

求点E的坐标.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+左与无轴相交于。，A两点，顶

点P的坐标为（T,-2）,点2为抛物线上一动点，连接AP,AB,过点B的直线与抛物线交

（1）求抛物线的函数表达式；

⑵若点B在直线y=-x上，且NABC+NQ4P=45。，求点C的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与x轴相交于点。，过。作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对

称轴左侧抛物线上)，求木+康的值.

13.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线了=以2+版+3(。H0)交工轴于点4、B,交y轴

图1图2

⑴求抛物线的表达式；

⑵CD平分ZOCB交无轴于D点尸是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PELCB交

直线CB于点E,交直线C。于点F.点、M、N是无轴上两个动点，MN=2后(〃在N的左侧)，

连接CM、PN,当线段PR取最大值时，求尸N+肱V+CM的最小值；

(3)如图2,连接AC,将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过点C,且与直线

相交于另一点H.点Q为新抛物线上的一个动点."QCH=ZACO,直接写出所有符合

条件的点。的坐标.

14.如图所示，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=ox2+bx+6与x轴交于

点A、B两点，与,轴的正半轴交于点C.已知点2(—2,0),点3(6,0),连接BC.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,点P为抛物线第一象限内的一点，过点P作尸。_LBC于点。，求后£>+忘班)的

最大值及此时点P的坐标;

(3)如图2,点尸是线段OC的中点，将抛物线沿着射线CB的方向平移2a个单位得到新抛

物线，点。在新抛物线上，是否存在点。使/尸30+48。。=90。？若存在，请直接写出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

15.已知抛物线丁=渡+法+3与x轴交于A(-1,O),3(3,0)两点，与丁轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2汝口图(1),。为抛物线上第一象限内一点，^ZAQC=2ZBAQ,求点。的坐标；

⑶如图(2),P为x轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点

OH，MN千点、H,且AEM的面积是10,求线段由长度的最大值.

16.如图①，二次函数〉=加+版+或"0)的图象经过点4(-1,0),并且与直线y=；x-2相

图①图②备用图

⑴求此二次函数的表达式；

(2)如图①，连接PC,PB,设APQ5的面积为S,求S的值；

(3)如图②，过点A,C作直线，求证：VABC是直角三角形；

(4)如图②，抛物线上是否存在点。，使得ZA8Q=2NABC?若存在，则求出直线8Q的解

析式；若不存在，请说明理由.

17.如图，抛物线y=-/+6x+4交尤轴于A(-1,O),3两点，与V轴交于点C,尸为抛物

3

线上的一个动点，且点尸的横坐标为机-天

(1)直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)若租>3,当抛物线在点尸和点A之间的部分(包括尸、A两点)的最高点与最低点的纵

坐标之差为m+1口寸，求加的值；

(3)在第一象限的抛物线上是否存在点P,使NP8C+/ACO=45。，若存在，请求出点尸的

坐标；若不存在，说明理由.

18.如图，抛物线丁=加+法+4。70)与无轴交于点2(—2,0),点5(3,0)，交》轴于点C(0,3).

⑵如图1,已知直线上方抛物线上有一点尸，过点尸作尸E〃y轴与交于点E,过点P

作PF〃x轴与>轴交于点F,求PE+PF的最大值和此时点P的坐标；

(3)将原抛物线沿X轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C，,点8的对应点为笈,

点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，

问在平移后的抛物线上是否存在点M,使得/MNB，=NCFN,请直接写出所有符合条件

的点的坐标.

19.如图，已知抛物线4V=加+法+3与无轴交于A,B两点，与y轴交于点c,且A(-3,0),

5(1,0).

(1)求抛物线4的解析式；

(2)若〃是抛物线上的一动点，且ZMAB=NBCO,求点M的坐标；

3

(3)点。在抛物线上，且Q的横坐标为-务，将抛物线乙沿水平方向平移得到抛物线4,抛

物线%的顶点为P，且△ACP的面积等于AAQC的面积，求点P的坐标.

20.如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(T。)和点B(4,0)，与y轴交于点C,连接BC,

(图1)(备用图)

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点。在第一象限内的抛物线上，连接8。，CD,请求出△BCD面积的最大值及

此时点D的坐标；

(3)点。在抛物线上移动，连接CO,是否存在点。，使得/DCB=ZABC,若存在求出点。

的坐标；不存在请说明理由.

《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（角度问题）》参考答案

1.（l）m=l,y=-x+3

⑵P（2,l）

⑶o

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键：

（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出C点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析

式即可；

（2）根据对称性得到上4+PC=PB+PC,进而得到当点P在线段BC上时，R4+PC的值

最小，进行求解即可；

（3）过点A作ADLAC且AD=4C,过点。作。轴，证明AACO段AD4E,求出。点坐

标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出。点坐标即可.

【详解】（1）解：把3（3,0）代入、=勿/一（病+3卜一（6机一9）,得：

9m—3^m2+3）-（6m—9）=0,

解得：根=1或根=0（舍去）；

y=X2-4x+3,

・••当工=0时，y=3,

・•・C（0,3）,

设直线的解析式为：y=kx+39把5（3,0）代入，得：k=-l,

y——x+3；

（2）'：y=x2-4x+3,

-4

对称轴为直线x=--=2,

2

：AB关于对称轴对称，

PA+PC=PB+PC>BC,

当点P在线段BC上时，R4+PC=3C最小，

:点尸在对称轴上，

••Xp=2,

才巴Xp=2代入y=-x+3,得：y=l,

，P(2,1)；

（3）Vy=x2-4.x+3,

:.当y=0时，/一4尤+3=0,

..X]=3,X[=],

A（1,O）,

OA=1,

・・・C（0,3）,

・•・OC=3,

过点A作AD_LAC且AD=AC,过点。作D£_Lx轴,

则：ZDEA=ZCOA=ZCAD=90°,ZACD=45°=ZACQ,

・・・NACO=NZXE=90。—NQ4C,点。在直线CD上，

・•・^ACO^DAE,

AE=OC=3,DE=OA=1,

・•・OE=OA+AE=^,

・・・0(4,1),

设直线CD的解析式为：y=mx+n,

1

〃二3m=—

则:,J解得:2；

4m+n=l

n=3

直线CD的解析式为:y=-x+3,

7

j=%2-4x+3x=—

;或x=0

联立1。，解得：,

y=——x+3y=3

2y=-

4

故Q

2.(1)6=2；0(1,4)

211

⑵①(-2,-5)；②

35V

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识.

(1)点C的坐标为(0,3),得到OC=3在RMAOC中，tan/C40=而=3,得到AO=1,

点A的坐标为(—1,0),得至110=-12-6+3,解得6=2；

(2)①点B的坐标为(3,0),求出直线8C的解析式为y=-x+3,设点P的坐标为

(f,-t2+2f+3),则点P关于x轴的对称点为Pr(t,t2-2t-3),得到P(4-2—3)在直线BC

上，得至lJ/-2-3=T+3,解方程即可得到答案；②设8河交抛物线的对称轴于点H,过点

H作HNLBD于点、N,证明/ABC=45。，求出直线3尸的解析式为V=》-3,得到

ZABC=ZABP=45°,得到tanNBD"=：,证明NABP==45。，在ARDH中,

tanNBDH=；,NDBH=45。设NH=x=NB,则ON=2无，则=右x,得到

BD=BN+DN=3x,由BQ=J(3—1)，+(0—4『=2占得至[3工=2右,贝l]x=竿，得至U

DH=0=*则点”的坐标是求出直线社的解析式为y=-；x+i,与抛物线

解析式联立得到-;X+1=-炉+2x+3求出点M的横坐标,即可得到点"的坐标.

【详解】(1)解：当尤=。时，y=-x2+bx+3=3,

・,•点。的坐标为(0,3),

・・・OC=3

在RIAAOC中，tanZ.CAO==3,

AO

：.AO=1

；•点A的坐标为(—1,0),

:抛物线y=-尤2+6尤+3与x轴交于点A,

0=-12-/>+3，

解得6=2,

，抛物线的表达式为、=-/+2尤+3=-(》-1)2+4,

•••0(1,4)；

(2)①当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x=-l或x=3,

•••点B的坐标为(3,0),

设直线BC的解析式为y=履+加

.j3A:+m=0

**jm=3

[k=—l

解得，

[m=3Q

直线BC的解析式为y=T+3,

设点尸的坐标为«,-『+2共3),

则点尸关于X轴的对称点为P'(t,t2-2t-3),

•••P(•—2—3)在直线8C上，

***/—2/-3=—，+3,

解得看=-2或，=3(不合题意，舍去)

—t2+2/+3=—4—4+3=—5，

•••点尸的坐标为(-2,-5)；

②设RW交抛物线的对称轴于点H,过点X作于点N,

'：OB=OC=3,ZBOC=90。,

・•・ZABC=45°

设直线BP的解析式为y=nx+d,

f3〃+d=0

贝'J_2〃+d=_5

［n=l

解得“2，

［a=-3

，直线BP的解析式为y=%-3,

・•・ZABC=ZABP=45°,

・・・5（3,0）,00,4）,且点。在抛物线对称轴直线％=1上，

3-11

AtmZBDH=——

42

,:ZMBP=ZABD

：.ZABP=NDBM=45°,

在AB力H中,tanZBDH=1,ZDBH=45°

设NH=X=NB,则£W=2羽贝、DH=1HN2+DN?=氐，

:.BD=BN+DN=3x,

BD=^（3-l）2+（0-4）2=2A/5,

***3x=2A/5,则x=

：.DH=45x=—,

3

则点H的坐标是［1,4即［1，1］，

设直线BH的解析式为y=px+e,

3〃+e=0

则2

[p+”g

1

p---

解得3,

e=l

直线的解析式为y=-gx+l,

与抛物线解析式联立得到-gx+1=+2x+3

2

解得汨=-§,%=3（不合题意，舍去）

3.（1）y=—X2+2x+3

⑵NCD。和NOE4相等，理由见解析

（3）q=—2或a」或-3+后或°\-3一后

288

【分析】（1）根据矩形的性质先求解C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求解解

析式即可；

（2）如图，连接AC,求解tanNCDO=]|=j结合4（一1,0）,C（0,3）,^AF=CF=m,

u/八…OA13

可得OB=3-1=wA，tan=OF=4=7,从而可得答案；

33i

（3）先求解》=—2a,可得〃（l,Ta）,M（0,-2a）,W=42+（3+2a）2,

HM2=l2+（-4o+2a）2=4cr+l,HD2=（4-l）2+（3+4G）2,再分三种情况讨论即可.

【详解】（1）解：•矩形OCDE的顶点E,C分别在X轴，y轴上，£＞（4,3）,

.-.C（0,3）,

V抛物线y=ax2+bx-3a（a^0）与x轴交于A（-l,0）,C（0,3）,

f—3a=3

[a—h—3a=0

a=-1

解得:

b=2

抛物线的表达式为y=-尤之+2尤+3；

(2)解：如图，连接AC,

;矩形OCDE的顶点上，。分别在天轴，>轴上，£>(4,3),

・・・OC=3,CD=4,

OC3

AtanZC£>O=——=-,

CD4

VA（-1,O）,C（0,3）,^AF=CF=m,

：.AO=lfOF=OC-CF=3-m,

•・•在RMAO尸中，AF2=AO2+FO\

m2=12+（3—m）2,

解得：〃?=:

54

・・・OF=3——=-,

33

/八〜OA13

.tanZOFA==—=—

・・O尸d4，

3

tanZCDO=tanZOFA,

・•・NCDO和NOE4相等；

（3）解：：抛物线>=凉+笈一3”（aw。）与x轴交于A（-l,。）,

••CL—b—3a—0,

b=—2a,

••.抛物线为y—ax2—2ax—3a=。（尤—1）"—4a,

顶点为"（l,Ta）,

:M为AH的中点,

M（0,-2a）,

1/0（4,3）,

MD2=42+（3+2a）2=16+（3+2a）2,

HM2=l2+（^/+2a）2=4a"+l,

HD2=（4-l）2+（3+4<2）2=9+（3+4O）2,

如图，^\HM-+MD-=则△AffiD为直角三角形;

.,.l+4/+16+（3+2a）2=32+（3+4<7）2,

解得：a=-2或a=g；

当府2+印>=加7y时，则为直角三角形；如图,

1+4/+9+（3+甸2=16+（3+2a）2,

8

^MD2+HD2则△AffiZ）为直角三角形；

16+（3+2。丫+9+（3+4O）2=1+4/,

整理得：8f?+18。+21=0，

A=18?—4x8x21=-348<0,

该方程无解；

综上：AMHD为直角三角形，则a__2或或a=-3+屈或-3一后.

288

【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与角

度问题，直角三角形问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.

4.（1）y=—x2+2x+3；

（2）/汨+。尸取最大值4,此时0（2,3）；

⑶点Q的坐标为（2,3）或1

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二

次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键.

（1）利用待定系数法即可求解；

（2）先求出直线8C的解析式为y=r+3,设网，-/+2。+3）,则E（p,_p+3）,可得

DE+DF=-（p-if+4,利用二次函数的性质即可求解；

（3）分点。在BC上方和点。在8C下方两种情况，画出图形解答即可求解.

【详解】（1）解：：O3=OC=3,

.•.3（3,0）,C（0,3）,

把3(3,0),C(0,3)代入>=依2+2彳+,得,

Jc=3

|9«+6+c=0?

a——1

解得

b=2

，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：解方程一丁+2%+3=0可得，%=一1,%2=3,

1,0),

设直线BC的解析式为y=kx+n,

把5(3,0)、C(0,3)代入得,

[0=3左+〃

[3=n'

[k=-l

解得2，

[n=3

・•・直线5C的解析式为y=f+3,

设。(p,”2+2p+3),贝！JE(p,-p+3),

DE+DF=-p2+2.p+3-(-p+3)+p=-(p-2f+4,

,/-l<0,

当p=2时，即£>(2,3),DE+D尸取最大值4；

(3)解:存在.

•••3(3,0),C(0,3),

OC=OB=3,

：.Z.OBC=ZOCB=45°,

ZPBC+ZACO=ZBCO=45°,

当点。在BC上方时，作点4(-1,0)关于〉轴的对称点A'(LO),过点8作3T〃AC交抛物线

于点。，

：A与A，关于y轴对称,

ZACO=ZArCO,

又：BT//AC,

：.ZQBC=ZBCA',

ZA'CO+/3C4'=45°,

ZACO+ZOBC=45°,

VC(0,3),A(1,O),

同理可得直线CA1解析式为y=-3%+3,

设直线8T解析式为y=-3尤+/,将3(3,0)代入得，0=-9+t,

：.t=9,

y——3x+9,

1y=-尤2+2x+3

由《，

[y=-3x+9

fx=2fx=3

解得[或

[y=3[y=0

Q(2,3)；

当点。在2C下方时，作点。(0,1),直线80与抛物线交于点

V0(0,1),3(3,0),

同理可得直线8。解析式为>=-gx+l,

AO=OD=1

•：<ZCOA=ZBOD=90°,

OC=OB=3

・・・△COA之△5OZ)(SAS),

・・・ZACO=ZDBO9

：.ZCBQf+ZACO=45°,

y=—x+2%+3

y=——x+1

3

x=3

解得

y=o

211

Q'3,~9

211

综上，点。的坐标为或

(2,3)3'V

5.(1)抛物线为:y=x2-3x-4

(2)。的坐标为:

(3)点。的轨迹是抛物线，解析式为"=:

233ID_p.DI

m———

〔4I22；

【分析】(1)由抛物线G：y=3?+bx+c的对称轴是直线X=1,与x轴交于4(-1,0),与y

轴交于点C(0,-4),再建立方程组解题即可；

(2)如图，在》轴上取点K,使AK=CX,可得NA70=2NACO,延长转交抛物线于E,

ZAKO=AAED=2ZACO,满足/ACO=工/AED,如图，当E在x轴的上方时，取K关于

2

无轴的对应点K',直线AK'与抛物线的交点为E,ZAKK'=ZAK'K=ZAED,再进一步解

答即可；

395

(3)将抛物线G向左平移;个单位长度得到抛物线。2.可得为：y=f-3；再分两种

24

情况讨论：如图，设/(％,%),N(x2,y2),Q(m,n),当年机,时，可

2252525

PQ=n-m+—f令—机)+〃=f一~—,可得％i+%2=左，\x2=km-n——,结合

△PQM与VPQN的面积之积为2,可得gpQ(〃LxJxgpQ(x2r〃)=2,再整理即可，当

根＞2或相＜一2时，同理可得结论.

22

【详解】(1)解：•••抛物线c尸加+云+c的对称轴是直线―三与X轴交于4(-1,0),

与y轴交于点。(0,-4).

c=-4

ra-1

b3

-，解得：匕=-3,

2a2

.c=—4

a-b+c=0ni

，抛物线为：J=X2-3X-4.

(2)解:如图，在了轴上取点K,使AK=CK,

ZACO=AKAO,

：.ZAKO=2ZACO,

延长AK交抛物线于E,

■/轴，

，OE〃y轴，

ZAKO=ZAED=2ZACO,满足ZAC。=工ZAED,

2

设AK?=CK=m,而4（—1,0）,C（0,—4）,

OK=4—m,

m2=（4—m）2+12,

17

解得：m=—,

o

设直线KE为y

8

：.-k--=0,解得：k=--

8O

1515

，直线KE为:y=-----x------,

88

^--X--=X2-3X-4,

88

-0,

88

._17

•・Xp—,

8

・••鸣

如图，当E在x轴的上方时，取K关于龙轴的对应点K',直线AK'与抛物线的交点为E,

ZAKK'ZAK'K=ZAED,

同理可得：AK'为y=岸，

OO

x+—=X2-3X-4,

88

旦-±=0,

88

39

：.xE-l=—

“不，

8

W，o],

综上：£）的坐标为：|可，°）或，

（3）由窣：y=%2-3x-4=一总，

3-

将抛物线G向左平移|■个单位长度得到抛物线G.

75

；・。2为：y=J一二；

4

如图，当-白屋5时，设"（外,%）,N（%2，%），尸［九病-4

ZNI今

:.Q（m,"）,

PQ=n—m2+等，

令左（1一根）+〃=%2一^,

.25

••x2—kx+krn—YI-----=0,

4

・

..%]+%2—化,，玉兀？—k7m—n---2--5,

VAPQM与YPQN的面积之积为2,

（加_X]）x；PQ（%2_根）=2,

•*•^[n-m2+~^\x[M%+々）-%入2一疗]=2,

,225「

・・〃—mH-----2,

4

・••点。的轨迹是抛物线，解析式为〃=疗-

xQ=m,

设直线脑V为：y=k[x-m）+n,

25

PQ=m2———n,

令左（兄一根）+〃=%2一点,

.25

»•x2—kx+kin—YI------=0,

4

・7=725

..%+%2—k,一〃—~,

VAPQM马YPQN的面积之积为2,

■^PQ^m—xl^x^PQ^m—x2^=2,

・■j_

4

・,•点。的轨迹是抛物线，解析式为〃=病-亍.

f217(5V<5、

综上：点。的轨迹是抛物线为“=口4〉(2.2)一

255(D_p.D।

m~-----m>—Bx,m<——

〔4I22j

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合,

角度问题，二次函数与一元二次方程的关系，本题的计算量很大，熟练的利用数形结合的方

法，细心的计算是解本题的关键.

6.(1)y——兀2")—%—2

42

(2)4亚+2

(3)Q点的坐标为12+一呼3

【分析】(1)利用待定系数法解答即可；

(2)利用二次函数解析式可得C(0,-2),进而可得直线AC的解析式为y=设点

过点P作轴，交直线AC于点G,可得G%--2,即

42J

^GP=-m2+—m-2

42

iii9

S-APC=-GPOA=--rn2-2m=--(/n+2)+2，可知当〃?=一2时，△APC的面积取最大值，

即得P(-2,-2),P'(-2,0),作点B关于直线/的对称点连接交直线/于点则

B'M=BM,又可知四边形PPMN是平行四边形，得PM=PN,即得到

PN+MN+MB=P'M+B'M+MN=P'B'+MN,由两点之间线段最短，可知此时

的值最小，利用勾股定理求出PE即可求解；

1,1-

(3)由题意可得抛物线y=：尤2+无一2沿射线AC向下平移2的单位长度，再向右平移4的

42

1Q117

单位长度得到新的抛物线y',即得y'=；(x+l-4)02-1-2=；(x-3)02—7,再分两种情况,

4、'44V74

画出图形解答即可求解.

【详解】⑴解：,••A(T,O),

OA=4,

•・•OA=2OB,

：.OB=2,

：.5(2,0),

把/(一4,0),5(2,0)代入y=♦+"一2得,

J16a-4Z?-2=0

144+25-2=0'

.1

ci——

解得:4,

b=-

2

・・・抛物线的解析式为y=!炉+1％―2；

42

(2)解：由丁=1X2+耳%—2,得。(0,—2),

设直线AC的解析式为丁=履+。，把4(一4,0)、。(0,-2)代入得,

0=-4k+b

-2=b

k=--

解得2,

b=-2

直线AC的解析式为y=-gx-2,

办；/+1-2),过点尸作PPL*轴，交直线AC于点G,如图，则点

设点夕

Glm-^m-2],

1c门121c

：.GP=-—m+—m-2

2424

1]“

S=S+S=—GP-OA=———m2-mx4=—

AArpCr£^ArA(jprACrrGpr??

4J2

:S.APC一：〃/—2m=—++2,

...当m=-2时，的面积取最大值,

P（-2,-2）,

P'(-2,0),

作点3关于直线/的对称点8',连接3'产交直线/于点M,则=

:点。是点C关于x轴的对称点，

OD=OC=2,

:点M为直线/上一动点,MNLx轴，

，MN=OD=2,

：.PP=MN=2,

:PP//MN,

.,•四边形PP'MN是平行四边形，

PM=PN,

：.PN+MN+MB=P'M+B'M+MN=P'B'+MN,

由两点之间线段最短，可知此时PN+MN+MB的值最小，

:点B与点笈关于直线/的对称点，

/.BB'=4,

又：=2-(-2)=4,

P,B,=A/42+42=45/2，

PN+肱V+MS的最小值=尸5+政V=4a+2;

图1

(3)解：•.•直线AC的解析式为y=x-2,

可设抛物线y=9尤2+1尤-2沿射线AC向下平移/的单位长度，再向右平移2f的单位长度

42

得到新的抛物线了，

:产+(2。2=(2有『，

•9•t=2f

••・抛物线产%+白-2沿射线AC向下平移2的单位长度,再向右平移4的单位长度得到

新的抛物线V，

y=—x2+—X—2=—(x+1)2--,

424V74

y=*+l_4)2_；_2=*_3)217

T

:点。为BC中点,

巩1,-1),

如图，当AC〃。。时，ZCDQ=ZACB,

设直线的解析式为y=-；x+P,把。(1,T)代入得,

1

~2+p,

._1

••P=----

2

直线DQ的解析式为y=

X=2+M

,舍去)或*-V10-3,

y=-------------

2

图2

当NC0Q=NAC5,。。与＞轴的交点为点E时，如图,

'：OB=OC=2,

：.ZABC=ZECD,

又「ZACB=/EDC,

JAABC^AECD,

.ABBC

••一，

ECCD

VAB=2-(-4)=6,BC=2CD,

EC=—AB=3,

2

.•・£(0,1),

设直线。。的解析式为丁=加+。，把E(O,I)代入得,

f-l=n+c

\l=c，

n=-2

解得

c=l

直线。。的解析式为y=-2》+1,

y=-2x+lfx=V13-l=-V13-l

由，1z代17.解得，L(不合，舍去)或

y=—x-3)-----y=-2A/13+3=2A/13+3

4V74

图2

综上，当NCOQ=NAC8时，。点的坐标为2+质,

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次

函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称

的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

7.(1)y=—x2-x-4

(2)P(2,-4),4+20

(3)存在，点X的坐标为(0,2)或(1+而,6-2拒)

【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的

平移等知识.

(1)利用待定系数法即可求解；

(2)先求出点C的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得NOCB=NPEF=45。，

推出尸E=EF=yJPE2+PF2=yjlPE1=>则PE+尸尸+£F=(2+8)尸E,求出

PE的最大值即可求解；

1Q15

(3)求出新抛物线的表达式为：y=l(x-l-2)02-|+2=1(x-3)02-|,分当点H在无轴

上方时，延长3H交》轴于点G,当点”在x下方时，过点8作直线/〃AC,两种情况讨

论，即可求出答案.

【详解】(1)解：将A(-2,0)、点B(4,0)代入>=加+法一4(4工0),

/日J4a-2Z?-4=0

得：6a+46—4=0'

1

Cl——

解得：《2,

b=-l

二抛物线的解析式为：y=^x2-x-4；

1°

(2)令A尤=0,贝！Jy二万1=

•・•点C(0,T),

设直线的表达式为：y=rwc+n,

将点B（4,0）,点C（O,T）,代入得:

4m+n=0

0+n=-4

m=l

解得:

n=-4f

・・・直线直线BC的表达式为：y=%-4,

,.・OC=OB=4,ZBOC=90°,

・•・NOCB=NOBC=45。，

・.・PE〃y轴交5c于点E,P尸〃x轴交5c于点E,

：.ZPFE=ZPEF=45°,

PE=PF,/EPF=90。,

EF=4PE2+PF2=yj2PE2=亚PE

设点E（x,x—4）,贝！］尸卜/2-x-4）,

则PE