2025年中考数学复习：隐圆最值问题（含解析）

专题三隐圆最值问题

知识与方法

一、定点与圆的距离的最值

①②③

图3-3-1

说明：如图3-3-1①,圆外一点P到圆的最短距离为PA,最长距离为PB（P,A,O,B四点在同一条直线上）.

理由如下：如图②，由三角形三边关系可知：PC+COPO,即PC+C8PA+0A,因为CO=AO,所以可知P&PA始

终成立，即线段PA为圆外一点P到圆的最短距离.

同理，如图③，由三角形三边关系可知：PC<PO+OC,因为CO=BO,所以可知PC<PO+OB,即PC<PB始终成立,

即线段PB为圆外一点P到圆的最长距离.

说明：如图3-3-20,圆内一点P到圆的最短距离为PA,最长距离为PB（P,A,O,B四点在同一条直线上）,理由

同上.

图3-3-2

二、隐圆模型

1.定点定长型（如图3-3-3）

2.定边对定角型（如图3-3-4）

点点

P

构圆策略：尸在以四为弦的圆上

,周角L/网=a（00<a<90°）

（I

三角叫I

--------角ZAOB=2a

P'确定圆心J的位置和半径长

四点共圆型（如图）

3.3-3-5图3-3-4

4.米勒问题

如图3-3-6,已知A.B是/MON的边ON上的两个定点，P是边OM上的动点，则当点P在何处时,NAPB

对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.

米勒定理:已知A,B是/MON的边ON上的两个定点，P是边OM上的动点，则当且仅当三角形ABP的外

接圆与边OM相切于点P时,NAPB最大.

证明:如图3-3-7,设P是边OM上不同于点P的任意一点，连接PAPBPA与圆交于点C,连接CB,根据三

角形外角的性质，可知/ACB>/APB,根据圆周角定理推论可知,/APB=/ACB,因此/APB>/APB也就是当且

仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,NAPB最大

例1如图338,在RtAABC中,NC=9(T,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,E为边BC上的动点，将

ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.

解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.

思考：定点是谁？定长有吗？轨迹如何？

ACEF沿直线EF翻折时，点F为定点,

•；CF=PF,，PF=2,即动点P到定点F的距离始终不变，

即点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上运动.

—转化为圆上一点到直线的最短距离问题.

【简析】延长FP交AB于M,当FPXAB时，点P到AB的距离最小.

ZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

-,.△AFM^AABC.

tAF_FM

AB-BC'

VCF=2,AC=6,BC=8,

22

AF=4',2B=y/AC+BC=1010..8-.—=—,

AFM=3.2.

VPF=CF=2,.\PM=1.2.

.•.点P到边AB距离的最小值是1.2.

例2如图339,正方形ABCD的边长为6,G为CD边的中点，动点E,F分别从B,C同时出发，以相同速度

向各自终点A,B移动，连接CE,DF交于点P,连接BP,贝UBP的最小值为.

解题核心思路：狠抓不变量，即图形是否存在定点、定角、定长.

思考：定角是谁？定长有吗？轨迹如何？

点E,F分别沿线段BA,CB运动时，始终有AEBC与AFCD全等，

可利用角的关系推出/DPC=90。，

即出现定角，VDC为定线，即点P在以G为圆心，PG长为半径的圆上运动.

—转化为圆外一点到圆的最短距离问题.

【简析】如图3310,连接BG,

VBE=CF,ZEBC=ZDCF,BC=DC,

AEBC^AFCD.

ZECB=ZFDC.

,?ZECB+ZDCP=90°,

ZFDC+ZDCP=90°,gpZDPC=90°.

•••点P在以DC为直径的圆上运动.

.•.当B,P,G三点共线时BP长度最小.

由勾股定理可知BG=3V5,

ABP的最小值为3V5-3.

例3如图3311在边长为6的等边三角形ABC中,E,F分别是边AC,BC上的动点，且AE=CF,连接BE,AF交

于点P,连接CP,贝!]CP的最小值为.c

答案：2V3/\F

图3-3-11

解题核心思路：由结论入手：求CP的最小值，C是定点，P是动点，P的轨迹如何?

由AABE注△CAF(SAS)可得NAPB=120。,定弦定角(AB/APB),即点P在圆上运动.

【简析】e.•AABC是等边三角形,AB=AC=BC,/CAB=/ACB=60。.

AB=CA,

在AABE和ACAF中.-ZBAC=ZACB,

AE=CF,

：.AABE^ACAF(SAS)..\ZABE=ZCAF.

ZBPF=ZPAB+NABP=ZCAP+ZBAP=60°.ZAPB=120°.

如图3312,过点A,点P,点B作。O,连接CO,PO,AO,BO,.•.点P在AB.上运动.

VAO=OP=OB,.*.ZOAP=ZOPA,ZOPB=ZOBP,ZOAB=ZOBA.

ZAOB=360°-ZOAP-ZOPA-ZOPB-ZOBP=120°.ZOAB=30°.

ZCAO=90°.c

VAC=BC,OA=OB,

.♦.co垂直平分AB；.NACO=30。.

CO=4V3,AO=2V3,图3-3-12

在ACPO中,CPNCO-OP,.•.当点P在CO上时，CP有最小值，CP的最小值=4V3-2V3=2V3

进阶训练

1.如图3-3-13,RtAABC中,NACB=90。，AC=2痘,BC=3..点P为AABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2..

当PB的长度最小时,AACP的面积是()

图3-3-13

A.3B.3V3

「36D雪

42

2.如图3314,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,2),点C为坐标平面内一点BC=1,点M为线段AC的中点，连接

OM,则OM的最大值为)

X.V2+1B.V2+—

C.2V2+1O.2V2

3.如图3-3-15,在四边形ABCD中,AD〃BC,AB=AC=AD=2.5,CD=3,贝!|BD的长为.

4.在AABC中,/ABC=9(T,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,NADB=45。,则线段CD长度的最小值

为.

5.如图3-3-16,在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点下为边BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接

BG.若AE=BF,则BG的最小值为,

图3-3-16图3-3-17

6.如图3317,在RtAABC中,NACB=9(F,AC=8,BC=6,P是平面内一个动点，且AP=3,Q为BP的中点，在P点

运动过程中，设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是,

7.如图3-3-18,四边形ABDC中,AC=BC,NACB=9(T,AD，BD于点D.若BD=2,CD=4&,,则线段AB的

长为.

8.如图3319,已知正方形ABCD的边长为6,点F是正方形内一点，连接CF,DF，且/ADF=NDCF,点E是

AD边上一动点，连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为

9.“隐圆”一般有如下呈现方式：定点定长定圆；定弦定角定圆.

“隐圆”现身，“圆”来如此简单.

【小试牛刀】如图3320在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若NCAD=70。，则NDBC=________度.

图3-3-20

【大显身手】如图332LAACD是等腰直角三角形,/CAD=90。,过点A的直线a与CD平行，点B是直线a

上的一个动点，且/CBE=90。.

(1)如图①，当BE与AD的交点P在边AD上时,BC,BP的数量关系是________.

(2)如图②，当BE与AD的交点P在AD的延长线上时，上述结论是否成立？请说明理由.

⑶如图③，当BE与AD的交点P在DA的延长线上，且BP=5或,AD=8时，求AB的长

图3-3-21

10.如图3-3-22①,已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2,OC平分/BOD与BD交于点

G,AC分别与BD,OD交于点E,F.

(l)^<ilE：OC//AD;

⑵如图②，若DE=DF,求需的值；

⑶当四边形ABCD的周长取最大值时，求的的值.

11.如图3323①,在钝角三角形ABC中,NABC=3(T,AC=4,D为边AB中点,E为边BC中点，将ABDE绕

点B按逆时针方向旋转a(0SaS180)度

⑴如图②，当0<a<180时，连接AD,CE,求证:ABDAsZ\BEC.

(2)如图③，直线CE,AD交于点G.在旋转过程中,ZAGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，

请求出这个角的度数.

⑶将ABDE从图①位置绕点B按逆时针方向旋转180。，求点G的运动路程.

12.(1)如图3324①点A,B,C在。。上，点D在。O外，比较/A与NBDC的大小，并说明理由；

(2)如图②，点A,B,C在。O上,D在。O内，比较/A与NBDC的大小，并说明理由；

(3)利用解答上述两题获得的经验,解决如下问题：在平面直角坐标系中，如图③，已知点M(l,0),N(4,0),点P在

y轴上,试求当/MPN度数最大时点P的坐标.

①②③

图3-3-24

13.发现问题：

⑴如图3-3-25①,AB为0O的直径，请在。。上求作一点P,使/ABP=45。(不必写作法).

问题探究：

(2)如图②，等腰直角三角形ABC中,/A=9(F,AB=AC=3&,D是AB上一点,AD=2VI在BC边上是否存在点P,

使/APD=45。？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由.

问题解决：

⑶如图③为矩形足球场的示意图其中宽AB=66米，球门EF=8米，且EB=FA.P,Q分别为BC,AD上的点,BP=7

米2BPQ=135。,一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处射门才能使射门角度(/

EMF)最大？求出此时PM的长度.

图3-3-25

14.如图3-3-26,0是坐标原点，过点A(-1,0)的抛物线y=必一.一3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点

C,其顶点为D点.

⑴求b的值;

(2)连接BD,CD,动点Q的坐标为连接OQ,CQ,当/CQO最大时，求出点Q的坐标.

15.如图3327,抛物线y=收+法+3与x轴交于A(-1,O),B两点与y轴交于点C,过点C作CD±y轴交抛

物线于另一点D,函数y=久久〉0)的图象经过点D,连接BD.

⑴求抛物线的解析式；

(2)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，ZBPD

的度数最大？(请直接写出结果)

图3-3-27

答案

进阶训练I

1.D［解析］由.PA2+PC2=，根据勾股定理的逆定理得/APC=90。，则根据圆周角定理的推论可判断点P

在以AC为直径的圆上，如图，取AC的中点0,以点。为圆心，AC为直径画圆，连接B0,点P为B0与。0

的交点时,PB最小，•••0C=b,BC=3,；.NBOC=60o".PC=百,AP=3.

AACP的面积为|x3xV3=^.

2.B［解析］因为点C为坐标平面内一点,BC=1,所以点C在以点B为圆心、1为半径的圆上，在x轴上取。4=

0A=2,连接AB,当A',B,C三点共线时,AC最大，A'C=+1,所以0M的最大值为V2+*因此本题选B.

3.4［解析］如图以A为圆心,AD为半径作。A,延长DA交。A于E,连接EB,

：AD〃BC,；.EB=CD.

：ED=5,，BD=4.

4.V5-V2［解析］如图所示.

...、、

,•1乙人口2七，八口〜，作AABD的外接圆O,连接OAQBQC,当O,D,C三点共线且D在O,C之间时,CD的值

最小ZADB=45°,.\ZAOB=90°.AAOB为等腰直角三角形.AO=BO=sin45°AB=A/2,VZOBA=45°,Z

ABC=90O,；./OBC=45<M、OE_LBC于点E,/.AOBE为等腰直角三角形....OE=BE=sin45。・08=1.

CE=BC-BE=3-1=2.在R3OCE中,OC=（阳+BE?==逐.当O,D,C三点共线且D在O,C之间时,CD最

小，此时CD=OC-OD=小一企,因此本题答案为V5-V2.

5.V5-1［解析］由正方形ABCD的性质和AE=BF可以证明△ABFgADAE,从而可以得出/AGD=90。,由

于90。的圆周角所对的弦是直径,所以点G在以AD为直径的圆上运动.如图所示，当点G运动到O,G,B三点共

线的时候，BG的值最小，在RtAOAB中，可以求出0B=逐，由于圆的半径为1,所以BG的最小值为V5-1.

6.|<m<y［解析］如图，取AB的中点M,连接QM,CM.

在RtAABC中,/ACB=9(F,AC=8,BC=6,

,>.AB=10.

是AB的中点，

1

•••AM=BM=CM=-AB=5.

2

是PB的中点,M是AB的中点，

.*.QM是AAPB的中位线.QM==*在ACMQ+,CM-MQ<CQ<CM+MQ,|<m<y.

,-1C,M是定点,Q是动点，且点Q在以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，

当C,M,Q三点共线，且点Q在线段CM上时,m取得最小值|

当C,M,Q三点共线，且点Q在线段CM延长线上时，m取得最大值y

综上，m的取值范围为

7.2V26［解析］如图过C作CELCD,再截取CE=CD,连接DE,则/CDE=NCED=45。.

AD±BD,AC_LBC,NADB=/ACB=90。.

/.A,C,D,B四点在同一个圆上.

/.ZADC=ZABC.

VAC=BC,.\ZCAB=ZABC=45°.

.\ZADC=ZABC=45°.

AADB+/.ADC+乙CDE=90°+45°+45°=180°..*.B,D,E三点在同一直线上.

,/ZDCE=ZACB=90°,.\ZBCE=ZACD.

BC=AC,CE=CD,.\ABCE^AACD.

/.BE=AD.

,/CD=4V2,ADE=8.；.BE=10..\AD=10.

AB=y/AD2+BD2="02+22=V104=2同.

E

8.3V13-3［解析］:四边形ABCD是正方形,

ZADC=90°..\ZADF+ZFDC=90°.

,/ZEDF=ZDCF,

ZFDC+ZFCD=90°.

ZDFC=90°.

•••点F在以DC为直径的半圆上移动.

记DC的中点为。，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ABCD,则B的对应点是B1,连接OB，

交AD于E,交半圆O于点F,则线段B'F的长即为EB+EF长度的最小值.

'.•正方形ABCD的边长为6,

-OD=3,C'D=6,B'C=6

ACO=9.

在RtAB'C'O中,.B'O=V62+92=3V13,

.­.B'F=B'O-OF=3V13-3.

9.解：【小试牛刀】35［解析］；AB=AC=AD,

.•.点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆上.

zDBC=-ADAC=-x70°=35°.

22

故答案为：35.

(1)BC=BP［解析］：a〃CD,

.\ZBAC=ZACD.

•••△ACD是等腰直角三角形，

ZACD=45°..\ZBAC=45°.

ZCBP=ZCAP=90°,

...点A,B,C,P在以CP为直径的圆上.

ZBPC=ZBAC=45°.

ABCP是等月要直角三角形.BC=BP.

故答案为:BC=BP.

⑵成立.理由如下：

如图①，连接PC,

同理可得:点A,B,C,P在

以CP为直径的圆上，①

/.ZBCP=ZBAP.

；a〃CD,

/.ZBAP=ZADC=45°.

ZBCP=45°.

•••△BCP是等腰直角三角形.

/.BC=BP.

⑶如图②，连接PC,取PC的中点O,连接OBQA,过点P作PHLAB于H.

/CBP=/CAP=9(F,OP=OC,

.*.OB=OP=OC=OA.

；.A,C,B,P四点共圆.

/.ZBCP=ZBAP.

VAB/7CD,/.ZBAP=ZD=45°.

/.ZPCB=ZBPC=45°..,.BC=PB=5&

PC=y/BC2+BP2=10.

•••AD=AC=8,.-.PA=yJPC2-AC2=6.

ZPAH=45°,ZPHA=90°,

PH=AH=3V2.

在RtAPBH中，BH=7PB2-PH2=4vx

AB=BH+AH=7V2.

10.解:(1)证明:：OA=OD,

ZOAD=ZODA.

VZBOD是AAOD的外角，

ZBOD=ZOAD+ZODA=2ZOAD.

VOC平分/BOD,

・•・NBOD=2NBOC.

ZBOC=ZOAD.OC//AD.

(2)如图①，以O为圆心，OA为半径作圆.

・.•DE=DF,JZDFE=ZDEF.

VOA=OB=OC=OD=2,

・••点A,D,C,B共圆.・・・AB是。。的直径.

・•・ZADB=90°.AZDEF+ZDAE=90°.

VOA=OC,・•・ZOAC=ZOCA.

VOC/7AD,.\ZDAC=ZOCA.

AZDAC=ZOAC.

又NDFE二NAFO,

・•・ZOAC+ZAFO=90°.

AAOF=90°,AD=Vi4O2+DO2=2V2.

・・・ZAOF=ZADB=90°,ZDAC=ZOAC,

AADE^AAOF.

,AE_AD_2A/2_石

—————A/Z.

AF402

(3)如图②,以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC,AD,交于点H.

,.,OA=OB=OC=OD=2,

・,•点4口,(22共圆.・・.八8是。0的直径.

・•・ZACB=ZADB=90°.

・•・AACH=90°=乙ACB.

VOA=OC,:.ZOAC=ZOCA.

VOC/7AD,.'.NDAC=NOCA.

・•・ZDAC=ZOAC.

在4ACB和AACH中,NACB=NACH,AC二AC/BAC二NHAC,

・•・AACBg△ACH.AAB=AH=4,BC=HC.

-1

又乙BDH=180。-乙ADB=90。，,DC=；HB=CB=CH.

点A,D,C,B共圆,，ZHCD=ZHAB.

又/H=/H,

...△HCDsi^HAB.，HC=HDB,即?=舞.

HD=-BC.

2

设BC=x,四边形ABCD的周长为y,贝!]y=AB+AD+CD+BC=4+4-^BCe+BC+BC=+2x+8=

-|(%-2)2+10,

当x=2时,y有最大值.

当BC=x=2时(图③),AD=CD=BC,

■•­AD〜CD〜BC,且它们所对圆心角都为60°.

••.OD±AC,ZDAC=30°.

.,.在RtAADE中，DE=?他在RtAADF中,DF=|X£>.

DE—AD2\[3

11」分析］⑴在题图①中，利用三角形的中位线定理推出DE〃AC,可得瑞=胃，在题图②中，利用两边成比例

DADC

且夹角相等证明三角形相似即可.

(2)利用相似三角形的性质求解即可.

(3)点G的运动路径是一段弧，求出圆心角、半径，利用弧长公式计算即可.

解:⑴证明如题图①，

：D为边AB中点,E为边BC中点，

/.DE/7AC.

•BD=BE.BD=BA

"BA~BC'"BE~BC,

在题图②中，：ZDBE=ZABC,

ZDBA=ZEBC..\ADBA^AEBC.

(2)ZAGC的大小不发生变化,NAGC=30。.

理由:如图①中，设AB交CG于点M.

ADBA^AEBC,.'.ZDAB=ZECB.

VZDAB+ZAMG+ZAGC=180°,ZECB+ZCMB+ZABC=180°,ZAMG=ZCMB,

JZAGC=ZABC=30°.

⑶如图②，设AB的中点为K,连接DK,以AC为边向左作等边三角形ACO,连接OG,OB.

以O为圆心，OA为半径作。O,

•・・ZAGC=30°,ZAOC=60°,

1

・•・乙AGC=-Z.AOC.

2

・••点G在。。上运动.

以B为圆心,BD为半径作。B,当直线AG与。B相切时,BDJ_AD,・・・NADB=90。.

BK=AK,JDK二BK=AK.

BD=BK,JBD二DK二BK.

•••△BDK是等边三角形.

・•・ZDBK=60°.NDAB=30°.

・•・ZGOB=2ZDAB=60°.

・・・BG的长=竺"1=匕

1803

观察图形可知，点G的运动路程是BG长的2倍，为8兀3.

12.解:(1)NA>NBDC,理由如下：

设CD交。O于点E,连接BE,如图①所示：

ZBEC=ZBDC+ZDBE,

JZBEOZBDC.

ZA=ZBEC,AZA>ZBDC.

(2)/A</BDC,理由如下：

延长CD交。。于点F,连接BF,如图②所示:

ZBDC=ZBFC+ZFBD,

/.ZBDOZBFC.

又：/A=NBFC,

/.ZA<ZBDC.

⑶由⑴⑵可得当点P是经过M,N两点的圆和y轴相切的切点时，NMPN度数最大.

①当点P在y轴的正半轴上时，如图③所示：

;/，、、，

ONx

③

连接OPQMQN,过点O作OHLMN于H,则四边形OPOH是矩形,MH=HN,

OP=O'H,O'P=0H=O'M.

M(1,0),N(4,0),OM=1,MN=3.

13

.・.MH=HN=-MN=

22

.・.O'P=OH=O'M=

2

O'H=y/O2M2-MH2=J(|)2-(|)2=2.

.*.OP=2.

二点P的坐标为(0,2).

②当点P在y轴的负半轴上时，如图④所示：

二点P的坐标为(0,-2).

综上所述，当NMPN度数最大时点P的坐标为(0,2)或(0,-2).

13.解:⑴如图①所示，点P或P即为所求.

⑵存在.如图②③所示:

在AABC中,；NBAC=90c>,AB=AC=3V2AD=2V2,/.ZB=ZC=45°,BD=&,BC=

V2AB=6.ZBDP+ZBPD=135°.

ZAPD=45°,.\ZAPC+ZBPD=135°.

/.ZBDP=ZAPC.

cncCACBDBP

△BPD△CAP,—=—.

PCAC

设BP=x，则PC=6-=矗•

解得%i=3+V3,x2=3—V3.

BP=3+b或BP=3-V3.

⑶如图④，过点E,F作圆与PQ相切于点M：圆心为点O,连接FM；EM：此时NFM旧的度数最大.

④

理由：在。O上取一点G,连接FG并延长交PQ于点M,连接EG,EM,

ZFGE=ZFM'E,ZFGE>ZFME,

ZFM'E>ZFME.

；•ZFM'E的度数最大.

作线段EF的中垂线1,1经过圆心O,且