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文档简介
线段最值专项练习
利用“垂线段最短”解决线段最值问题
方法突破练
直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短
1.如图,在平面直角坐标系中,直线1y=-枭+4分别交x轴,y轴于点A,B,点P为直线1上任意一点,
连接OP,求线段OP的最小值.
0\A
第1题图
2.如图,抛物线y=Y-2x-3与x轴交于A,B两点,顶点为C,点D为线段AC上一点,点E为抛物线对
称轴上一点,连接AE,DE,求4E+DE的最小值.
I'C
第2题图
3.如图,抛物线y=-好+2*+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,在平面内有一定点D(3,4),点
P,Q分别是抛物线、直线BC上的动点,求DP+PQ的最小值及此时点P的坐标.
A/052
第3题图
利用“胡不归”求线段最值
4.如图,在平面直角坐标系中,4(0,-2),B(3,0),点P是x轴上任意一点,连接AP,求24+的最小值
第4题图
5如图,已知抛物线y=-/—2x+3与x轴交于A,C两点,与y轴交于点B,D为抛物线的顶点.若R为y
轴上的一个动点,连接AR,求AR+孝BR的最小值.
6如图,已知抛物线y=d—6x+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),直线y=打与抛物线对称
轴交于点C,点D是直线y=%上一点,连接AD,求力。+?CD的最小值.
]OA^/BX
第6题图
设问进阶练
例如图,已知抛物线丫=-1/+|久一2与*轴交于点A,B(点B在点A左侧),与y轴交于点C,抛物线顶
点为点D,对称轴为直线1.(1)如图①,若点P为x轴上一点,点N为直线AC上一点,求CP+PN的最小值;
例题图①
⑵如图②,若点P为y轴上一点,连接BP,求BP+巳CP的最小值;
例题图②
⑶如图③,若点P为抛物线对称轴上一点,点M为AB上一点,且BM=24M,连接MP,BD,求DP+的
4
最小值.
例题图③
综合强化练
1.创新题•探究性试题学习了二次函数之后,我们知道二次函数的图象是抛物线,有同学猜想,抛物线上的点
到定点和定直线的距离相等,经过小组探究,发现:如图,点P是平面内一动点,点Q是y轴正半轴上一点,设(
0Q=4连接PQ,若点P到直线y=-n的距离等于PQ的长y=-n度,则所有符合的点P形成的轨迹是抛物线y=
ax2.
【初步感知】
⑴当x邦时,a与n的数量关系为—;
(2)若动点P(x,y),Q(0,3),连接PQ.且点P到直线.y=-3的距离等于PQ的长,直接写出所有符合的点P形成的
轨迹的抛物线解析式;
【灵活应用】
⑶若点D的坐标是(1,5),在⑵中求得的抛物线上是否存在点M,使得MQ+MD最短?若存在,求出点M的
坐标,若不存在,请说明理由;
【拓展延伸】
(4)由上述发现可知,二次函数y=i(x-l)2+2的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直
线y=-n=-n的距离,所有符合这一条件的动点所形成的图形,求点F的坐标和n的值.
作图区答题区
备用图②
考向4利用"垂线段最短”解决线段最值问题
一阶方法突破练
1.解:确定线段长最小值时动点的位置.当OPLAB时,线段0P的值最小.
1.直线I的解析式为y=-1%+4,
..A(3,0),B(0,4),.QA=3,OB=4,「.AB=5.
•••SAOB=\OA-OB=\AB-OP,
••.8=誓=会求出线段长度),
,线段0P的最小值为.
2.解:1•确定定点坐标.抛物线y=%2-2%-3的顶点为C,y=(%-1尸-4,
.<(1,-4).
令y=0,解得x=-l或x=3,;.A(-l,0),B(3,0),如解图,连接BE,过点B作BD'±AC于点6,与抛
物线对称轴交于点E1,
•.点A与点B关于对称轴对称,
•••AE=BE,第2题解图
AE+DE=BE+DE2BE'+D'E'=BD:
,AE+DE的最小值为BD的长.
•.AC=2aAB=4,连接BC,
SABC=^ABX4=|^C•BD;•••BD'=尊
・•.AE+DE的最小值为W.
3.解:如解图,过点D作DQ±BC于点Q,交抛物线于点P,此时DP+PQ取得最小值,最小值为DQ的长,则
P,Q即为所求作的点.
过点Q作QEJ_x轴于点E,连接BD,
:抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,
.•.B(3,0),C(0,3),.-.OB=OC=3,.-.zCBO=45°.
•.D(3,4),/.zDBO=90°,BD=4,
NQBD=45。,:DQ=BQ=4X苧=2Vx
「.DP+PQ的最小值为2
-.QE±xffl,zQBE=45°,
.-.zBQE=zQBE=45°,
QE=BE=^-BQ=2,
.QE=OB-BE=1,.•.点Q的坐标为(1,2).
•••D(3,4),Q(1,2),,直线DQ的解析式为y=x+l联立[y上];::+3,解得x=2或x=-l
(舍去),当x=2时,y=3.
.•点P的坐标为(2,3).
4.解:如解图,作NOBC=30。,交y轴正半轴于点C,过点A作AD±BC于点D,交x轴于点P
’,过点P作PD'±BC于点D1.第3题解图
构造直角三角形及特殊角.
'1''1
•••ZOBC=30。,:.DP=:BP,DP=:BP,
PA+^PB=PA+DP>AP'+PD=("化折为直",确定动点位置),
,・当点P'与点P重合时,PA+的值最小,即AD的长.
-A(0,-2),B(3,0),
QA=2,OB=3,
•••OC=—OB=V3,
3
AC=2+V3.
.NOBC=30;.NOCB=60。,
AD^AC-sin60°-(2+V3)x^=j+旧(求出线段的长),
.•.24+3「8的最小值为|+旧.
5.解:如解图,连接BC,过点R作RHJ_BC于点H,过点A作AG±BC于点G.
第5题解图
抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,
.■.A(1,0),C(-3,0),B(0,3),--OB=OC=3.
•.zCOB=90°,
.-.BC=3V2,zHBR=45°.
在RbBHR中,RH=^-BR,
AR+—BR=AR+RH>AG.
2
・•・当H,R,A三点共线且AH^BC时,AR的值最小,最小值为AG的长,连接AB.
11
•・•SABC=-BC-AG=-AC.OB,
.../G=逐=2筋,
BC
AR+亨BR的最小值为2V2.
6.解::抛物线y=*_6x+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),
,令y=0,解得x=2或x=4,;.A(2,0).
1•直线y=gx与抛物线对称轴交于点C,抛物线对称轴为直线x=3,
二当x=3时,y-^x-4,;.C(3,4).
如解图,过点C作CE,y轴于点E,过点D作DF±CE于点F,过点A作AG±CE于点G,交直线y亚于点D
'"..CE=3,OE=4,OC=5,
E
D
OA^/Bx
第6题解图
・•・sin^ECO
OCCD5
4
・•・FD=-CD,
5
4''
/.AD+^CD=AD+FD>AD+DG=AG,
・•・当点D与点>重合时,AD+的值最小,即为AG的长,
1•四边形OAGE为矩形,
..AG=OE=4,
••・2。+*CD的最小值为4.
二阶设问进阶练
2
例解:⑴将y=0代入抛物线y=-|%+|x-2中,解得Xi=l,x2=4,
;点B在点A左侧,,A(4,0),B(L0).
当x=0时,y=-2,;.C(0,-2).
.,OA=4,OC=2,.-.AC=2V5.
如解图①,作点C关于x轴的对称点F(0,2),过点F作FN±AC于点N,交x轴于点P.
由轴对称的性质及垂线段最短可知,此时CP+PN=FP+PN的值最小,最小值为FN的长.
易得AACO-AFCN,
tAC_OA
,•FC-NF,
.・.NF=-F-C-O--A=—4Xp4=—8V5,
AC2V55
・•.CP+PN的最小值为第;
⑵如解图②,过点C作NOCE=30。,交x轴负半轴于点E,过点B作EC的垂线交EC于点F,交y轴于点P,点P
即为所求作的点.
•.zOCE=30°,.-.zBEC=60o,PF=|PC,
BP+|CP=BP+PF=BF,
BP+1CP的最小值为BF的长,
由⑴得,A(4,0),B(l,0),C(0,-2),
..OC=2,OB=1,
EO=OC•tan30°=—,•**BE=-----F1,
33
•••BF=BE-
sin60°=—2+1,
例意解图
⑶如解图③,过点P作PE±BD于点E,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,由⑴得B(1,O).
\y=~~x2+-x—2=~—-)+-,•••D
,222\278
5315
BFBD=—,
228
RFPF44
・•・sinNBDP=-=—=PE=-DP,
BDDP55
DP+^MP=^DP+MP)=[(PE+MP),易知M(3,0),BM=2,
过点M作MH±BD于点H,则PE+MP的最小值即为MH的长,连接DM/.DP+的最小值为
4\4MH.
-SBDM=\MB-DF=-MH,
BDT542
■■DP+^MP的最小值为|.
三阶综合强化练
1.解:⑴口=今;【解法提示】由题意可知,PQ=PB,Q(O,n),设点P的坐标为(x,y),」./+(y-n)2=(y+n)2,.-.
x2=471y.:y=ax2,••・%2=^=4ny.:xt0,•••a=今.
(2)y=*2;[解法提示】由⑴知,此时n=3,/.a=白=所有符合的点P形成的轨迹的抛物线解析式为y
12
=——X.
12
⑶存在;如解图①,过点D作直线y=-3的垂线,垂足为E,与抛物线交于点M,此时MQ+MD=ME+MD=D
E(垂线段最短),此时
第1题解困
⑷如解图②,构造新的平面直角坐标系x101y',
・••二次函数的解析式为y=:(久—1尸+2,
,二次函数的顶点坐标为(1,2),a=匕由⑴可知n=l,即在新的平面直角坐标系中n=-l,
4
,二次函数y=-1)2+2的图象可以看作到定点F(1,3)的距离等于它到定直线y=l的距离,所有符合的
动点所形成的图形,
,定点F的坐标为Q,3),n的值为-1.
2.解:⑴•・抛物线经过点C(0,2V3),
抛物线的解析式为y=ax2+bx+2V3,
将A,B两点的坐标代入抛物线解析式,
(_V3
得14a-2b+2V3=0解得|“一彳
行(16a+4b+2%=0廨倚b=%
I2
抛物线的解析式为y=—+枭+2同
(2)【思路点拨】作点G关于x轴的对称点N,过N作BC的垂线,垂足为点M,贝GH+HM的最小值为N
M的长.
如解图①,作点G关于x轴的对称点N,过点N作NM,BC于点M,交x轴于点H(确定线段
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