2025年中考数学一轮复习难点专练：辅助圆四种常考模型（原卷版）

难点16辅助圆四种常考模型

题型一：定点定长构造辅助圆

题型二：定弦定角构造辅助圆

题型三：主从联动构造辅助圆

题型四：定角定高构造辅助圆

.精淮理分

题型一：定点定长构造辅助圆

i指I点I迷I津

利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型

类一点作圆三点定圆旋转作圆折叠作圆

型

图八（定长）,上B'「，（定长）D

0*-------X（动点）**

不E

（定点）B

（定点）

B1C

C

特平面内，点0为定点，点AOA=OB=OC△ABC绕点A旋转得到△ABC将ABEF沿EF折叠，点E

点为动点，且0A的长度是定点，点B的对应点

固定为点G

作定长）

D

法（定长）,♦1

\0*"A（动点）（定点）j

定点）J

「8!i（:

结点A在以点0为圆心,点A,B,C均在点B,C的运动轨迹分别是以点点G的运动轨迹是以点

论0A长为半径的圆上运动。上A为圆心，以AB,AC的长为半径E为圆心,BE长为半径

的圆的一段圆弧

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023•黑龙江•中考真题）在Rt^ACB中，NA4c=30。,。8=2,点E是斜边A3的中点，把

□△ABC绕点A顺时针旋转，得RtAAFD，点C,点8旋转后的对应点分别是点D,点、F,连接CF,EF,CE,

在旋转的过程中，△回面积的最大值是.

【典例1-2】（2024•吉林长春•模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，点A是。外

一点，点P在。上，。的半径为1,连结AP并延长至点。，使得AP=PQ,当点尸在。上运动一周时，

试探究点。的运动路径.

【问题解决】经过讨论，小组同学想利用中位线的知识解决问题：如图①，连接4。并延长至点B,使得

AO=OB,连结OP、BQ,由中位线的性质可推出点。的运动路径是以点8为圆心、2为半径的圆.下面

是部分证明过程：

证明：连结AO并延长至点B,使得40=03,连结。尸、BQ.

1°当点P在直线0A外时，

证明过程缺失

2°当点尸在直线上时，

易知3Q=2O尸=2.

综上，点。的运动路径是以点8为圆心、2为半径的圆.

（1）请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】（2）在上述问题的条件下，记点M是线段PQ的中点，如图②.若点P在］。上运动一周，

则点M的运动路径长为.

【拓展提升】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.点尸是平面内一点，DP=2,连结针并延

长至点。，使得尸。=94尸，连结BQ、CQ,则△BCQ面积的最大值是.

时2

【典例1-3]（2024•甘肃兰州•一模）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，"希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形

变化过程中的几何问题.如图，在VABC中，AB^AC,ABAC^90°,点。为平面内一点（点A,B,D

三点不共线），AE为的中线.

【初步尝试】（1）如图1,小林同学发现：延长AE至点使得腔=隹，连接DM.始终存在以下两个

结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

（1）DM=AC；@ZMDA+ADAB=180°；

【类比探究】（2）如图2,将AD绕点A顺时针旋转90。得到"，连接CP.小斌同学沿着小林同学的思考

进一步探究后发现：AE=^CF,请你帮他证明：

【拓展延伸】（3）如图3,在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点。在以点A为圆心，AD为半

径的圆上运动直线AE与直线C尸相交于点G,连接BG,在点。的运动过程中3G存在最大

值.若AB=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2023•河北张家口•一模）在VABC中，要判断—3和2C的大小关系（23和/C均为锐角）,

对于方案回、国说法正确的是

A.13可行、回不可行B.回不可行、团可行C.回、团都可行D.团、团都不可行

【典例1-2］（2023•辽宁鞍山•一模）如图，等边三角形A3c和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE

的中点，AB=6,AD=4,VADE绕点A旋转过程中，的最大值为.

【变式1-3］（23-24九年级下•吉林长春•期末）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，二。

的半径为厂=2,点A在（。上，点2为线段中点，过点2作。1垂线/.点尸是，：。上一动点，点尸关

于直线I的对称点为P'，试探究点P'的轨迹.

【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点P在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：

证明：

证明过程缺失

团点P在以点为圆心，为半径的圆上.

（1）请你补全证明中的缺失过程.

【结论应用】（2）如图②，。的半径为厂=2,点A与点C在。上且NA0090。.点B为线段。4上的

点，且=过点B作。4的垂线/•点P是AC上一动点，点P关于直线/的对称点为当点尸从点

A运动到点C时，点P，的运动路径长为.

【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件"AB=g"去掉，其它条件不变，CD为，、。直径.点。到

点P'距离d的取值范围是.

图①图②图③

【变式1-4］（2023•河北保定•二模）已知，在半圆。中，直径AB=10,点C,。在半圆。上运动，弦8=5.

（1）如图1,当AC=B£）时，求证：△C4B四△DBA；

（2）如图2,若/ZMB=22.5。，求图中阴影部分（弦AD、直径A3、弧8。围成的图形）的面积；

⑶如图3,取C。的中点M,点C从点A开始运动到点。与点8重合时结束，在整个运动过程中：点M到

的距离的最小值是.

【变式1-5］（2022九年级上•全国・专题练习）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所

组成的图形.

图1图2

（1）已知：如图1,OA^OB^OC,请利用圆规画出过A、B、C三点的圆.若N4C®=70。，则NACB=

⑵已知，如图2,RtABC中，ZABC=90°,NBC4=30。，/W=2.点P为AC边的中点，将AC沿54方向

平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点。、E、F,求四边形或小C的面积和NBE4的大小.

⑶如图3,将AC边沿方向平移。个单位至。尸，是否存在这样的。，使得直线。F上有一点Q,满足

NB0A=45。且此时四边形应止＞厂的面积最大？若存在，求出四边形84）尸面积的最大值及平移距离。，若不

存在，说明理由.

题型二：定弦定角构造辅助圆

门旨i逗T系

定弦定角构造辅助圆的几种常见类型

类型定角为直角定角为锐角定角为钝角

图示:JCC

4^---------------------^£1

AAB

特点在△ABC中，已知AB的长，点在4ABC中，已知AB的长，点C为在4ABC中，已知AB的长，点C

C为动点，且保持NACB=90°动点,且保持/ACB=a（a为锐角）为动点，且保持/ACB=a（a为钝角）

动点女---'、、

—

运动

P

轨迹■1H

结论点C在以点0为圆心,AB长点C在以点0为圆心，圆心角为点C在以点0为圆心，圆心角为

为直径的圆上运动2a的优弧AB上运动（点0,C（360°-2a）的劣弧AB上运动（点

在AB同侧）0,C在AB异侧）

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知两条平行线4、4,点A是4上的定点，48口于点8,

点C、。分别是乙、4上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BHLCD于点、H,则当N54H

最大时，sinZBAH的值为.

【典例2-2】（2024・河南・中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,C4=CB=3,线段C£＞绕点C在

平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为,最小值

为

c

E

A

【典例2-3［（2024•陕西西安•模拟预测）（1）如图1,在VABC中，ZBAC=60，A£＞为BC边上的高，若AD=9,

求VABC面积的最小值;

（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一

部分来培育新品种郁金香.如图2,VABC是这片鲜花培育基地的平面示意图，ABC=90,点。是AC边

上一点，连接8。，ZABD=ZCBD,且8D=80应m,点P为上一点，ZCDP=45,为了更有效的利

用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地4?尸。的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育

基地ABPD面积的最小值.

04Dc

图】

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，CD为O直径，ABLCD且过半径。。的中点X,过点A

的切线交CD的延长线于G,且G"=6,点E为（O上一动点，CFLAE于点孔当点E从点8出发逆时

针运动到点C时，点厂经过的路径长是（）

264石,A.8后

A.-----7TD.-------71C.273万L/n.7T

333

【变式2-2］（2023・陕西西安・模拟预测）（1）问题提出：如图①，VABC为等腰三角形，ZC=120°,

AC=BC=8,。是A3上一点，且CO平分VABC的面积，则线段CO的长度为.

（2）问题探究：如图②，VABC中，ZC=120°,AB=IO,试分析和判断VABC的面积是否存在最大值，

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

（3）问题解决：如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在

会场旁规划一个四边形花圃ABCD，满足BC=600米，CD=300米，ZC=60°,ZA=60°,主办方打算过

2c的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形A3。边上

一点，通道ME把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷

休闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道腔？若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，

请说明理由.

图①图②图③

【变式2-3](22-23九年级上•江苏宿迁•期中)已知：。和;，。外一点P.

(1)如图甲，和PB是。的两条切线，A、8分别为切点，求证：PA=PB;

(2)尺规作图：在图乙中，过尸点作；。的两条切线尸石、PF、E、尸为切点(要求：保留作图痕迹，不写

作法).

【变式2-4](2024•陕西西安•模拟预测)问题探究

(1)如图①，已知VABC中，44c=60。，BC=2,则VA3C周长的最大值为；

(2)如图②，某地有一片足够大的湿地，现想在这片湿地上修建一形状为菱形ABCD的"探秘湿地”综合实践

活动区，其中WC=60。，点E为活动区内一观景台，按照设计要求，现要沿AE、ED、BE修建三条笔

直的步道(步道宽度忽略不计)，且满足BE=420米，ZDAE+ZADE=60°.为达成最好的综合活动体验,

需要AE、ED、BE三条步道的长度和尽可能大，请问是否存在三条步道长度和的最大值？若存在，请求出

步道长度和的最大值，若不存在，请说明理由.

题型三：主从联动构造辅助圆

:而TMT逑？承

：主从联动构造辅助圆的几种常见类型

i

类型位似型旋转型

图示以动点）P（主动点）°从^动点）

条件线段AP中，点P为0上的动点，点A点A为定点，点P为主动点，点Q为从动点，

为定点，点Q为AP的中点且NPAQ为定值（AP:AQ=k）

结论1.点P,Q的运动轨迹都是圆，且两结论1.点P,Q的运动轨迹都是圆；

圆的半径之比为2:1;2.若AP=A0,即k=l时，则△AOP四△AMQ,

2.ZkAPOsz\AOM,相似比为2:1两圆半径相等;若APWAQ,则△AOPsA

AMQ,两圆半径之比为k

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2024•海南省直辖县级单位二模）如图1,正方形ABCD中，AB=6,。是3C边的中点，点、E

是正方形内一动点，OE=2,连接过点。在OE的右侧作。*_LDE,S.DE=DF,连接AE、CF.

ADAD

BOCBOC

图1图2

（1）求证：7ADE封CDF；

（2）当AELOE时，求CF的长；

⑶如图2,若A、E、。三点共线,求点尸到直线2C的距离；

⑷直接写出线段Ob的最小值.

【典例3-2]（2024•吉林长春•一模）【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①,

。的半径为2,点A是。外的一个定点，Q4=4,点尸是（。上的一个动点，连接"，作且

AP=AQ.当点P在I。上运动一周时，试探究点Q的运动路径.

【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，连接。A,过点A

作A"，AO,S.AM=AO,通过证明△AOPgAAM。，可以确定点0的运动路径为点M为圆心，2为半

径的圆.下面是部分证明过程，请补全缺失的部分.

证明：1°当点尸在直线0A外时，

如图，过点A作A〃J_AO,S.AM=AO,

证明过程缺失

2。当点P在直线Q4上时，OP=MQ=2.

综上，点。的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆.

【问题延伸】如图③，点A为。外一定点，^42。是直角三角形，ZW=90°,AP=2AQ,当点尸在

半径为2的Q运动一周时，点Q的运动路径长是.

【能力提升】如图④，在扇形A08中，0A=3,ZAOB=120。，点C是弧A8上的动点，连接BC,以8C

为边作正方形3CDE,当点C从点A移动至点B时，点D的运动路径长为.

图①图②图③图®

【典例3-3】（2024•吉林长春•二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，，。的半径为

2,点A是G。外的一个定点，Q4=4.点尸在。上，作点尸关于点A的对称点。，连接B4、AQ.当点

P在。上运动一周时，试探究点Q的运动路径.

【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长Q4至点使

AM=OA,连接OP、MQ,通过证明上。入尸0MAQ,可推出点。的运动路径是以点M为圆心、2为半径的

圆.下面是部分证明过程：

证明：延长。4至点使AAf=O4,连接OP、MQ.

1°当点尸在直线。4外时，

证明过程缺失

2。当点尸在直线Q4上时，

易知OP=MQ=2.

综上，点。的运动路径是以点M为圆心、2为半径的圆.

请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】如图③，在矩形ABCD中，点£尸分别为边AB、CD的中点，连接族，点。是所中点，

点M是线段OP上的任意一点，AB=4,BC=8.点尸是平面内一点，AP=2,连接AP.作点尸关于点M

的对称点Q,连接尸”、MQ.

（1）当点M是线段。尸中点时，点。的运动路径长为.

（2）当点M在线段0尸上运动时，连接EQ.设线段EQ长度的最大值为“，最小值为6,则。+人=

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（2024•吉林•二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1,已

知，O半径是3,点A是：。上的一个动点，点P是平面内一点，8=8,求证：线段PA的最大值

为11.

【问题解决】经过分析，如图2,小明将尸。延长交O于点A,并猜想此时PA最大，为了验证这个猜

想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分.

证明：如图2,在<。上任意取一点2（点8不与点A重合），连结PB、OB,

证明过程缺失

贝！JPA>PB,

则此时，PA最大，最大值为8+3=11.

【问题延申】如图3,在ABC中，=90°,AB=6,BC=8,点D是边AC上的一个动点，

连结DB,过点A作AFLaJ于点尸，连结CF,则线段CF的最小值是

【拓展提升】如图4,某景区有一片油菜花地，形状由ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知

3C=80米，ZABC=90°,NACB=60。，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设

计要求，在半圆上确定一点E,沿AE修建小路，并在AE中点歹处修建一个凉亭，沿CF修建仿古

长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，

则仿古长廊CF最短为一米.（结果保留根号）

【变式3-2］（23-24九年级下•吉林长春•阶段练习）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①,

。的半径为6,点尸在。上，点M为。外一定点，点N为尸河的中点.当点尸在。上运动一周时,

图①

【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结OP、OM,取的中点Q,连接NQ由三角

形的中位线性质可以推出点N的运动路径是以点。为圆心、3为半径的圆.

图②

下面是部分证明过程：

证明：连结OP、OM,取的中点Q,连接NQ.

1°,当点尸在直线加外时，

证明过程缺失2。当点尸在直线上时，

\）

易知QN=：0P=3.

综上，点N的运动路径是以点。为圆心、3为半径的圆.

【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点N为尸Af的三等分点，且如图③，若点尸在：。上

运动一周，则点N的运动路径长为一

M

N.

p

IO¥I

图③

【拓展提升】在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点A的坐标为(2,0),将线段Q4绕着点。逆时针旋转

«(0P<a<360P),得到线段OP,点M(4,6).点N为PM的中点，点8(3,2),则的最小值为一

【变式3-3］（2024•吉林长春•一模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，。4是（。的半

径，。4=3.点尸在：。上，将点P沿。4的方向平移到点。，使尸。=2.当点P在。上运动一周时，试

探究点。的运动路径.

【问题解决】经过讨论,小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题:如图②，在线段。4上截取O5=R2,

连结OP、BQ,由平行四边形的性质可推出点。的运动路径是以点8为圆心、3为半径的圆.下面是部分

证明过程：

证明：在线段。4上截取OB=PQ,连接。尸、BQ.

1°当点P在直线Q4外时，

证明过程缺失

2°当点尸在直线0A上时，

易知8。=。尸=3.

综上，点。的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆.

请你补全证明中缺失的过程.

【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段尸。的中点，如图②.若点尸在I。上运动一周，则点

M的运动路径长为.

【拓展提升】如图③，在矩形ABCD中，AB=\,3C=2.点尸是平面内一点，AP=1,将点P沿AD的

方向平移到点。，使产。=1.点M是线段尸。上的任意一点，连结CM.设线段CM长度的最大值为。，最

小值为4则a+b=.

PMQ

B

图①图②图③

题型四：定角定高构造辅助圆

「藉i逗T承

，定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路:

【中考母题学方法】

【典例4-1】(2023•陕西•统考二模)问题探究

(1)如图1.在JLBC中，8c=8,D为BC上一点、,AD=6.贝I面积的最大值是.

(2)如图2,在一MC中，Zfi4c=60