2025年中考数学二轮复习 等腰三角形的存在性问题 专项练习 （含解析）

等腰三角形的存在性问题

1.如图1,抛物线yax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于点B(-1,O),C(3,O)两点

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到4BCD,若点C恰好落在

抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；

(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当小CPQ为等边三角形时，求直线

BP的函数表达式.

2.如图1,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,—2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个

动点，过点P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-L

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点P在第二象限内，且PE=：。。,求4PBE的面积；

⑶在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰

三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

3如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P、E分别是线段AC、BC上A的点,四边形PEFD是矩形，连结CF.

⑴若4PCD为等腰三角形，求AP的长;

(2)若AP=VX求CF的长.

4.抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=l交于点B.

(1)直接写出抛物线L的解析式；

⑵如图1,过定点的直线y=kx-k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N.gABMN的面积等于1,求k的值；

(3攻口图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线LI，抛物线LI与y轴交于点C,过点C作y

轴的垂线交抛物线Li于另一点D.F为抛物线J的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与4POF

相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.

思路点拨

1.第⑵题探究定点的方法，可以把解析式的中含k的项提取k,就可以看到当x=l时，不论k为何值，y的值

都为4.

2.探究得到的定点Q也在对称轴上，这样求不规则△BMN的面积就可以割补了.

3.第⑶题恰有2个点P的意义,就是/DPF等于90。只存在一种情况.

5如图1,在半径为2的扇形AOB中,NAOB=90。,点C在半径OB上,AC的垂直平分线交OA于点D,交弧AB

于点E,联结BE、CD.

(1)若C是半径OB中点，求NOCD的正弦值；

(2)若E是弧AB的中点，求证:BE2=B0-BC;

⑶联结CE,当ADCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长.

备用图

6如图1,已知在平面直角坐标系中，抛物线.y=a/一2%+c与x轴交于点A和点B(1,O),与y轴相交于点C

(0,3).

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

(2)求证:ZDAB=ZACB;

(3)点Q在抛物线上，且4ADQ是以AD为底的等腰三角形，求点Q的坐标.

7如图1,抛物线y=评-，-4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、

BC点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM_Lx轴,垂足为M,PM交BC于点Q,

过点P作PE〃AC交x轴于点E,交BC于点F.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存

区如图1,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(3,1),点B的坐标为(6,5),点C的坐标为(0,5),某

二次函数的图像经过A、B、C三点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)假如点Q在该二次函数图像的对称轴上，且^ACQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；

⑶如果点P在(1)中求出的二次函数的图像上，且tanzPCTl=：求/PCB的正弦值.

专题直击

在平面直角坐标系中，已知点A(3,l),点C(0,5),假如点Q在直线x=3上，且△ACQ是等腰三角形，求点Q的坐

9如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3,4),点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DO

P是等腰三角形，求点P的坐标.

10如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动

点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当点到达终点时则停止运动.在P、

Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值.

1满分解答

⑴设抛物线的交点式为y=a(x+l)(x-3)代入点人(-2,5),得5=5a.

解得a=l.所以y-(x+l)(x-3)=x2-2x-3..对称轴是直线x=l.

(2)如图2,因为点C落在抛物线的对称轴上，所以(C'B=CC.

因为翻折前后的对应线段相等，所以(C'B=CB.

所以△CBC是等边三角形.

因为对称轴BD平分NCBC,所以NDBC=30。.

设抛物线的对称轴与x轴交于点H.

在等边三角形CBC中,BH=2,所以(1"=28.所以。(1,2V3

在R3BDH中,/DBH=30。，BH=2,所以=铝所以D(1%).

(3)等边三角形BCC与等边三角形QCP有一个公共顶点C.分两种情况讨论.

①如图3,当点P在x轴上方时,/BCQ绕着点C顺时针旋转60。与4CCP重合.

所以PC'=QB,PC=QC.

当点Q落在对称轴上时,QB=QC.

等量代换，得PC'=PC.所以点P在线段CC的垂直平分线上.

又因为直线BD垂直平分线段CC,所以直线BP就是直线BD.

由B(-1,O),D(l,2遍)得直线BP的解析式为y=+

②如图4,当点P在x轴下方时,△BCP绕着点C顺时针旋转60。与小CCQ重合.

所以NPBC=/QC'C.

&

图3图4

当点Q落在对称轴上时，乙QC'C=30。.等量代换，得乙PBC=30°.

设直线BP与y轴交于点E,那么E(0,-马.

由8(-l，0),E(0，-孚)得直线BP的解析式为y=-去-冬

考点伸展

第⑶题两种情况的解法不同，是因为“手拉手”模型中，旋转全等的三角形不同.根本原因是两个等边三角形PC

Q不同，图3中线段CP绕点C逆时针旋转60。得到等边三角形PCQ,图4中线段CP绕点C顺时针旋转60。得

到等边三角形PCQ.

2.满分解答

⑴点A(2,0)关于对称轴x=-l的对称点为B(-4,0),设y=a(x-2)(x+4).

代入点C(0,-2＞得-2=-8a.

解得CI=[.所以抛物线的解析式为y=/%—2)(%+4)=—2.

⑵由B(-4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为丫=-打-2.

设尸卜3%2+1%—2)_2)

2

所以PE=Q%+一2)—(机％—2)=+x

由PE=；OD得+%=：(—%).解得x=-5,或x=0(舍去).

所以PE=-x2+x=--5=-,BD=1

444

所以SPBE=^PE-BD=l

Zo

(3)如图2,BD=1,tanzMBD=tanzCBO=|,sinzMBD=y.

分两种情况讨论以BD为腰的等腰三角形BDM.作MHLx轴于H.

①如图3,BM=BD=1.在RtAMBH中，MH=弋,BH=平.

所以0"=OB+=4+言.此时M(-4一WT).

图3

②如图4,DB=DM=1.设MH=m,BH=2m,那么在RtAMDH中,由勾股定理得I2=m2+(2m-.解得m=1

所以OH=0B+BH=4+2m=g.此时M(-雪

考点伸展

第(3)题如果没有以BD为腰的限定，还存在第③种情况：如图5,当MD=MB时，点M在DB的垂直平分线

上.所以=

止匕时y=_|比一2=(_]，?.

讨论等腰三角形BDM,用代数法方便一些.已知B(-4,0)、D(-5,0),设M(X'-1x-2).

所以BD2=1,BM2=(x+4)2+(_]%_,DM2=Q+5)2+-27.

然后分三种情况①BD?=BM2,@DB2=DM2,@MD2=MB?列方程求解.

3.满分解答

(1)在RtAACD中,CD=6,AD=8,所以.AC=10,coszXC£)=

等腰三角形PCD存在三种情况：

①如图2,当PC=PD时，点P在CD的垂直平分线上，此时P是AC的中点,AP=5.

②如图3,当CP=CD=6时,AP=10-6=4.

③如图4,当DP=DC时，由|CP=|他得CP=^CD=所以AP=10-^=^.

(2攻口图5,过点P作PM±AD于M,交BC于N,那么△PNE^ADMP.

所以些="=空=tanz/lCF=三.所以竺=丝=2.

DPDMCN4DPDA4

如图6,由NPDF=NADC=90。,得NCDF=NADP.

所以△CDFs/XADP.所以黑=器=:.所以XP=1V2.

APDA44

考点伸展

在本题情景下，点P从点A向点C运动的过程中，点F运动的路径长是多少?

由于△DCF^ADAP,^IUZDCF=ZDAP为定值，所以点F的路径为一条线段.

如图7,当点E与点C重合时，点F运动停止.

此时CF==g,,即点F运动的路径长是g

4.满分解答

(1)抛物线L的解析式是y=-x2+2x+1.

⑵如图3,由y=kx--k+4=k(x--l)+4,可知不论k为何值，当x=l时,y=4.

所以直线MN过定点Q(1,4),点Q在抛物线的对称轴上.

由y=_久2+2x+1=_(%_1)2+2,得B(l,2).所以QB=2.

联立y=—x2+2x+1和y=kx-k+4,消去y,整理得x2+(k-2)x+3-k=0.

解得%=n)?k/所以,久N-久M=Vfc2-8.

过点M、N分别向对称轴作垂线，垂足分别为MlN\

所以SQBM=3QB(NN'-MM')=xN-xM=xN-xM=7k2-8

解方程Vfc2-8=L得k=-3,或k=3(不符合题意，舍去).

⑶第一段，说理、计算，求m的值.

首先，如图4,/OPF=ZCPD总是存在的，且端=黑=/所以PO=|0C.

因此NOPF与NCPD互余只能存在一种情况.

已知OC=l+m.设PO=n,那么CP=l+m-n.

如图5,由詈=孤得五念=；,整理，得n2-(m+l)n+2=0.

解△=(in+-8=(X得m=2近-1,或m=-2V2-1(舍去).

所以当m=2V2-1时，恰有2个点P符合△PCD与△POF相似.

止匕时0C—1+m—2V2.

第二段，分两种情况求点P的坐标.

①如图4,当/OPF=/CPD时，PO=|0C=乎.所以P(0,手).

②如图5,当/OPF与NCPD互余时，n2-+2=0.解得%=电=&所以P(0,V2).

考点伸展

第(3)题的几何意义就是以DF为直径的0G与y轴相切于点P时，△PCD与△P。尸相似，并且符合条件的点

P恰有2个如果OG与y轴相交，那么有3个点P符合△PCD与△POF相似.如果0G与y轴相离，那么只有1

个点P符合△PCD与APOF相似.

5满分解答

(1)如图2,设AD=CD=x.

在RtADOC中,DO=2-X,CO=1,由勾股定理彳导x2=(2-x)2+I2.

解得x=*所以DO=2-x=2-l=浙以sin/OCD=^=|.

⑵如图3,若E是弧AB的中点，那么EA=EB.

又因为EA=EC,所以EB=EC.

联结OE那么OE=OB.

又因为NB是两个等腰三角形的公共底角，所以△OBEs/xEBC.

所以嚣=会于是得到BE2=B0-BC.

BOBE

4A

o1C18OcB

图2图3

(3)如图4,因为△DCE丝ADAE,我们讨论以AD为腰的等腰三角形DAE:

①如图5,当AD=AE时，由于AD=CD,AE=CE,所以四边形ADCE是菱形此时ECXOB.

因为0C2=CD2-DO2=必_(2—x)2=4x—4,0C2=0E2-EC2=22-久?所以4x-4=2Z—x2.

整理，得/+4%—8=0.解得CD=x=2也一2.

②如图6,当DA=DE时，点D在AE的垂直平分线上.

而弦AE的垂直平分线一定经过原点O,所以点D与点O重合.

此时点C与点B重合,CD=2.

图4图5图6

考点伸展

等腰三角形DAE的第3种情况EA=ED怎么讨论呢？

如图7,讨论ED=DC比较方便.此时点E在CD的垂直平分线上.

由垂径定理，可知半径0E垂直平分弦AB,所以DC//AB.

所以△DOC是等腰直角三角形.此时DC=V2DO.

解方程x=V2(2-得CD=x=4-2V2.

图7

6满分解答

la-2+c=0,

(1)将B(l,0)、C(0,3)分别代入y^ax2-2x+c,得【=3.解得『fL所以.y=x2-2x+3=-(x+3)(x-l)=-

(x+l)2+4.

所以A(-3,0),顶点D(-l,4).

(2)如图2,设抛物线的对称轴与x轴交于点E.

在RtADAE中,tan/ZMB=攀=；2.

如图3,作BFLAC于F.

在RtAAOC中,OA=OC=3,所以NA=45。，AC=3V2

在等腰直角三角形ABF中，AB=4,所以AF=BF=2a.

在RtABCF中,(CF=AC-AF=鱼,所以tanzXCB=—=^=2.

由tan/DAB=NACB=2彳导/DAB=/ACB.

⑶如图4,作AD的垂直平分线，与抛物线交于点Q,垂足为H,那么△ADQ是以AD为底的等腰三角形.

由A(-3,0)、D(-l,4)狷中点印-3,2).设(Q(x<-x2-2x+3).

过点H作y轴的平行线，过D、Q分别作y轴的垂线，构造RtADNH^RtAHMQ.

由”="得1=2—(T3+3),整里得益2+3%一4=0

NHMQ2X+27

解得比=卓经

所以(2(表”三),或e?乳若恒)

考点伸展

第⑶题也可以联立方程组求点Q的坐标.

设AD的垂直平分线与x轴交于点G,垂足为H,那么”(-3,2).

由于Uf/G的三边比为1:2:低由此可计算出AG的长彳导到G(2,0).

由H(-3,2)、G(2,0)得到直线HG的解析式为y=-jx+l.

然后联立直线HG与抛物线的解析式，解方程组得到两个点Q的坐标.

7满分解答

⑴由y=#一1一4=场+3)(x—4),得A(-3,0),B(4,0),C(0,-4).

(2)点Q的坐标为(竽考-4),或(1,-3).

⑶第一段，说理.

如图2,由PE〃AC,得/1=N2.

又因为/2与N3互余，所以/3与/I互余.

因为/I为定值，所以N3为定值.

如图3,由PM〃y轴,所以/PQF=/BCO=45。为定值

所以△QFP的形状是确定的.当QP取得最大值时，QF也取得最大值.

第二段，用m表示QP.

由B(4,0)、C(0,・4),得直线BC的解析式为y=x-4.

1

所以P——m—4A

3

所以QP=(zn—4)—Qm2——4)=—|m2+=—1(m2—4m)

第三段，用m表示QF.如图4,作FHLQP于H.

由tanzl=白所以tanz3=

D4

在4QFP中，设FH=3a,PH=4a,那么QH=3a.所以(QF=3&a.

由QP=74得a=：QP.所以QF=3&a=^QP=-y(m2-4m).

所以当m=2时,QP和QF都取得最大值.

考点伸展

第⑵题的思路是这样的:已知A(-3,0),C(0,-4),所以AC=5.

因为点Q在直线BC:y=x-4上，设Q(m,m-4).

分三种情况讨论等腰三角形ACQ：

①如图5,如果AQ=AC=5,|由AQ2=25得(m+3)2+(m-4)2=25.解得m=l,或m=O(Q与C重合，舍去).

②如图6,如果CQ=CA=5,那么m2+m2=25.解得m=士雪舍去负值).

222

③如图7,如果QA=QC,由QA=Q*得(m+3)2+(m_4)=m+足解得m=12.5(此时点Q在CB的延

长线上，舍去).

8满分解答

⑴由B(6,5)、C(0,5),可知抛物线的对称轴是直线x=3.

由A(3,l),可知点A是抛物线的顶点.

设二次函数的解析式为y=«(%-3)2+1,代入点B(6,5),得9a+l=5.

解得a=(所以y=^(x-3)2+1=-|x+5.

(2)点Q的坐标为(3,6),(3,—4),(3,9)或(3,一

⑶如图2,绕着点A将线段AC的中点旋转90。得到点D,那么射线CD与抛物线的交点就是要求的点P.

当点D在CA左侧时，射线CD与抛物线没有交点.

如图3,当点D在CA右侧时，作DELx轴于E,那么NDCE就是/PCB.

过