2025年中考数学第一次模拟考试（无锡卷）（全解全析）

2025年中考数学第一次模拟考试（无锡卷）

全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.-2的倒数是（）

1।

A.-2B.——C.-D.2

22

【答案】B

【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1,则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求

解.

【详解】解：-2的倒数是

故选：B.

【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握.

2.如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（）

正面

【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.根据左视图的意义和画法即可

解题.

【详解】解：•••球的左视图一个大圆，正方体的左视图是一个正方形，

该几何体的左视图是一个大圆与一个正方形，

故选：A.

3.计算（-5）-（-3）的结果等于（

A.-8B.8C.-2D.2

3.C

【详解】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数.依此计算即可求解.

详解：（-5）-（-3）=-2.

故选C.

点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为

加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）.

4.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的

读书册数进行调查，结果如下表：

册数/册12345

人数/人25742

根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（）

A.3,3B.3,7C.2,7D.7,3

4.A

【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的

第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；

【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3,所以众数是3.

将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3,所以中位数为：三=3,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键.

5.如图，在A/BC中，于点。，CE上AB于点、E,BD和CE交于点、O,则下列结论不正确的是

（）

A.Z1=Z2B.Zl+Z5=90°C.，3=/4D./5=/3+/4

5.C

【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解.

【详解】解：BDLAC,CE1AB,

：.ZBEC=NBDC=90°,

Z1+Z5=Z2+ZDOC=90°,

­1-Z5=ZDOC,

Zl=Z2,故A、B正确；

由三角形外角的性质可知/5=/3+/4,故D正确；

题干中并未给出=所以无法得出/3=/4；故C错误；

故选C.

【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练掌握垂直的定

义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键.

6.上海与北京之间的铁路距离约为1400km,乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达.已知高铁列车

的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h,根据题意所列出的方程为（）

14001400x21400x21400

A.------=-----------B.=----------

xx+4xx+4

-14001400)一14001400)

2xxx2x

6.D

【分析】根据题意可直接列出方程.

【详解】解：由题意可列出方程为剪一孚°=4；

x2x

故选D.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意.

7.已知抛物线y=+加工的对称轴为直线1=2,若关于x的一元二次方程-J+加%7=0（t为实数）在

l<x<5的范围内有解，则t的取值范围是()

A.t>—5B.—5</<3C.3<，V4D.—5<£V4

7.D

【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出“2=4,再根据

题意可得二次函数y=-、2+加x=-工2+4%=—(%一2『+4与直线V=，在1<冗<5的范围内有交点，据此求出

l<x<5时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案.

【详解】解：•.・抛物线>=*+必的对称轴为直线％=2,

=2,

-2

.•.冽=4,

・.・关于X的一元二次方程--+7〃XT=0(t为实数)在1<X<5的范围内有解，

二二次函数y=-x2+mx--X1+4x=-(x-2)2+4与直线>=»在1<x<5的范围内有交点，

••・二次函数>=-(》-2)2+4的对称轴为直线》=2且开口向下，

二离对称轴越远函数值越小，

当x=l时，y=-(l-2)2+4=3,

当x=2时，y=-(2-2『+4=4,

当x=5时，歹=-(5-2)2+4=-5,

・•・当l<x<5时，-5<yV4,

・,・当一5<£«4时，二次函数歹=-x2+mx=-x2+4x=-(x-2)2+4与直线歹=，在l<x<5的范围内有交点,

故选：D.

8.如图，点A、B、。都在正方形网格的格点上，贝!JtanN48C的值是()

A.—B.1C.；D.—

2417

8.C

【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键.

过点C作CDL/3,垂足为D,先根据勾股定理求出/8=5后，再根据=求出

CD

CD=C，然后在RSBCE求出8C,在RMADC中求出AD,最后根据tan//8C==求解即可.

【详解】解：如图：过点C作CDL/3,垂足为

在RtZ\4BE,AE=5,BE=5,

AB=y)AE2+BE2=V52+52=572，

■-SAABC=^AB-CD=^AC-BE,

AB-CD=AC-BE,

5亚CD=2x5，

解得：CD=母,

在RMBCE,CE=3,BE=5,

BC=y/CE2+BE2=V32+52=扃，

在RtABDC,BD=yjBC2-CD=45/2,

tanN/8C=%_，一—1.

BD4V24

故选：C.

2

9.如图，在平面直角坐标系xp中，点4（%i，yi）,点9（%2）2）在双曲线歹=一上，。<再</，分别过点A,

X

4SAC

点B作x轴的平行线，与双曲线?分别交于点C,点D,若A/OB的面积为g,则公的值为（）

x6BD

9.A

3

【分析】过点A作/blx轴于点尸，过点8作轴于点"，由4（xi,》）,点3（4词在双曲线j;=-

221（221

上，可得尸=—，，即得梯肠（工七）|一+一,根据

4BH=—,FH=X2-XX,S.AOF=1=S^BOHSBHF=32-

X\X22\X\X2J

51J33|5x2ACx

”3的面积为Z，可得5z（…）仁+fq,即解得-7=?然后计算得到法—即可求解.

【详解】如图，过点A作/尸lx轴于点尸，过点5作轴于点H,

2

-2（X1，%）点8（%,%）在双曲线＞=—上，

X

22

,,~~y'BH=~^~,FH=x2-x{fSAA0F=1=S^BOH,

•，'S^ABHF=\FH\AF+BH）=\{X2-X\）2+2

T=；（%2-再）

*"S&AOB~S4OF+S梯形/a/-S&BOH

225x2x15

/.x9-x,=—x,x.,BO----------=-

6Xjx26

设”迤，贝卜_1=3

Xit6

解得：”;3或舍2去），

.逗一3

''X1"2'

4

•・TCII30|x轴，点C,点。在双曲线歹=£图象上,

2)2

・••点C2西,一，点D2X2,一,

IIX2)

AC=2x1-xl=xl,BD=2X2-X2=x2

,AC国2

,,访一三一3，

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方

程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义.

10.如图，在边长为2的正方形/5CQ中，点E为/。的中点，将△CDE沿CE翻折得点〃落在四

边形45CE内.点N为线段CE上的动点，过点N作2vp〃瓦1/交MC于点尸，则AW+7VP的最小值为()

2夜

,-I-

10.C

【分析】作点尸关于CE的对称点P，过点M作"F，CD于尸，交CE于点G,连接DG,DM,根据折叠

的性质可得点9在CD上，推得MN+NP的最小值为g的长，根据折叠的性质可得CE为线段。河的垂直

平分线，根据勾股定理可得。。和EO的值，根据同位角相等，两直线平行可得DE〃九田，根据两直线平行,

内错角相等可得/皮＞O=/GMO,根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DO=(W,根据两角分

别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得DE=GM,根据一组

对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形DENG为菱形，

根据菱形的对角线互相平分可得EG=2OE=竽，GM=DE=1,求得CG的值，根据两组对角相等的两个

三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得尸G的值，即可求解.

【详解】解：作点P关于CE的对称点P,过点M作MFLCD于尸，交CE于点G,连接。G,DM,如图:

FP

由折叠的性质知CE是NOCN的平分线，

.••点P在8上，

MN+NP=MN+NPYMF,

MN+NP的最小值为"F的长，

由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线,

•••AD=CD=2,DE=\,

■■CE=slCD2+DE2=V22+l2=V5，

■.--xCExDO=-xCDxDE,

•：MFLCD,NEDC=90°,

.-.DE//MF,

：.ZEDO=ZGMO,

•••CE为线段。”的垂直平分线，

•••DO—OM,Z.DOE=Z.MOG=90°,

/.ADOE^MOG,

；.DE=GM,

・•・四边形DEMG为平行四边形,

•・•/MOG=90°,

・•・四边形QEMG为菱形，

:.EG=2OE=正,GM=DE=1,

5

CG=CE—CG=有一走=正,

55

-DEHMF,

即。后〃G尸，

**•△CFGs^CDE,

FG_CG

''~DE~~CE'

375

即尸G_三一，

了=否

FG=|,

.•.MF=l+-=—,

55

o

・•・W+AT5的最小值为不

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称的应用一最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形

的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等，熟练掌握以上判

定和性质是解题的关键.

第n卷

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名.数据260000用科学记

数法表示为.

112.6x10s

【分析】本题考查科学记数法，将260000写成。乂10”的形式即可，注意〔,H<1°,n的值与小数点移动

位数相同.

【详解】解：260000=2.6x10s,

故答案为：2.6x105.

12.二次根式5万有意义的条件是

【分析】根据二次根式有意义的条件求出3x-G0,求出即可.

【详解】•••要使加工有意义，必须3x-G0,

1

x>-

・•.3,

故答案为3.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使五有意义，必须吃0.

13.若反比例函数》=占工的图象位于第一，第三象限，则后的值可以是（只要写出一个满足条件的左

X

值）.

13.3（答案不唯一）

k

y——

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数x（k是常数，人二0）的图象是双曲线，当

左>0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当左<0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象

k一2

y=

限.根据反比例函数X的图象位于第一，第三象限求出k的取值范围即可求解.

k-2

y二

【详解】解：•••比例函数X的图象位于第一，第三象限，

；上-2〉0,

.">2,

.•.k的值可以是3

故答案为：3（答案不唯一）.

14.己知圆锥的底面圆半径为3cm,母线长为4cm,该圆锥的侧面积为cm2.

14.12兀

【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可.

【详解】解：•.・底面圆半径为3cm,

•••底面周长=6%cm,

|2

=—x6»x4=12»cm

・••圆锥的侧面积为2,

故答案为：12兀.

15.如图1,一张矩形纸片/BCD,将纸片沿过点。的直线折叠，使点C落到边上点P处，折痕为

再将纸片沿过点E的直线折叠，使点B与点0重合，折痕为E尸，如图2,已知ADEP的面积与△£尸0的面

图I图2

15.3.2

【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形PDCE

是正方形，四边形3尸便是正方形，四边形尸是矩形，^AP=FQ=QE=a^PD=PE=4B=b,结合题意

可得"-T,'+T,根据（"）』+"—噗,得仍总,再结合（…）』+〃+2浦

求得5（负值舍去），即可求解.利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键.

【详解】解：在矩形"CD中，AB=CD,AD=BC,NADC=NC=NB=90。,

由折叠可知，NC=NDPE=90。,CD=PD,NB=NFQE=90。,BF=FQ,

••・四边形PDCE是正方形，四边形WQE是正方形，四边形力尸。尸是矩形，

...设/P=FQ=0E=a,PD=PE=AB=b,

-3b.AF=e片+/=工

-225,5,则5

(b—aY=a2+b2—lab=—ah=—

,25,则25,

(a+b)2=a2+b2+2ab=—+—=—

则''52525

a+—

5（负值舍去）,

AD=AP+PD=a+b=—=3.2

则5

故答案为：3.2.

16.已知a、£均为锐角，且满足sina-；+成前瓦方=0,贝！|a+£=

16.75°

【分析】根据非负数的性质得到sina=*,tan|3=l,利用特殊角的三角函数值分别求出a、p,计算即可.

【详解】由已知得sina—2=0,tan0—1=0,

,.oi=3O°,0=45。，

.•-a+p=75°.

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的

关键.

17.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度N8=200cm,

遮阳棚前端自然下垂边的长度3c=20cm,遮阳棚固定点A距离地面高度4。=280cm,遮阳棚与墙面的夹

角/8/。=60。，如图3,某一时刻，太阳光线与地面的夹角/CFG=45。，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF

的长为cm（结果保留根号）.

图1图2

17(10073-160^(-160+10073

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质.作于点E,S工4D于点H,延

长BC交OG于点K,则8KLDG,则四边形是矩形，在中，可得

CH=DK-BE00V3cm；AE=100cm,从而得到CK=ZW=160cm,然后在RtZkCFA?中，根据

/CFG=45。，可得尸K=CK=160cm,即可求解.

【详解】解：如图，作于点E,CH,/O于点H,延长3c交OG于点K,则3KLOG,则四边

形BEHCHDKC是矩形,

,.,EH=BC=20cm，

在RtA/BE中，/BAD=60。,AB=200cm,

.CH-DK=BE=ABxsin/BAD=1OOVJcmAE=ABxcos/BAD=100cm

,,，

...NO=280cm,

,.,CK=DH=AD-AE-EH=160cm，

在RtZ\C株中，ZCFG=45°f

,.,FK=CK=160cm，

DF=DK-FK=(100V3-160)cm

痂受安川(10073-160)

故答案为：\'

18.若二次函数)=/？+云+。的图象如图所示，贝IJ不等式。①—2)2+6(、一2)+。<0的解集为.

【分析】直接利用函数图象即可得出结论.

【详解】•••由函数图象可知，当x<l或x>3时，函数图象在x轴的下方，

二函数y=a(x-2)2+b(x-2)+c的图象与x轴的交点为3,5,(把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，)

二不等式a(x-2)2+b(x-2)+c<0<0的解集为x<3或x>5,

故答案为x<3或x>5.

【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关

键.

三、解答题(本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(1)解方程：X2+4X-5=0；

[3x+l<4,

(2)解不等式组：.、“

[x+2<2x+4.

19.⑴西=1,%=-5；⑵-2<x<1,

【分析】(1)利用因式分解法求解即可；

(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【详解】解：(1)X2+4X-5-0

(x-l)(x+5)=0

,,,x—1=0x+5=0

...解得占=1,x2=-5.

]3x+144①

(2)+2<2x+4②

解不等式①，移项，合并同类项得，3X<3

系数化为1得，xWl；

解不等式②，移项，合并同类项得，一》<2

系数化为1得，》>-2

故不等式组的解集为：-2<x<l.

【点睛】此题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上运算法则.

20.(1)计算：(_2)2+-3|-岳；

(2)化简：(x-2y)2-x(x-y).

20.(1)2.(2)4/-3孙

【分析】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式；

(1)根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的算术平方根进行计算即可求解；

(2)根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解.

【详解】解：⑴(-2)?+1-3|一后

=4+3-5

=2；

(2)(x-2y)2-x(x-y)

=x2-4xy+4y2-x2+xy

=4y2-3xy

21.如图，在平行四边形/BCD中，点E在3c边上，点B在DC的延长线上，且乙0/£=".

(1)求证：AABE-AECF；

点E在BC边上，点尸在DC的延长线上，且

求证：AABE-AECF；

37

21.(1)详见解析；(2)5

【分析】(1)由平行四边形的性质可知AB1ICD,ADHBC.所以NB=NECF,4DAE=NAEB,又因为又NDAE

=ZF,进而可证明△ABE7ECF；

ABBE

(2)由(1)可知：△ABEs^ECF,得出EC=CF,由平行四边形的性质可知BC=AD=8,所以EC=

BC-BE=8-2=6,代入计算求出CF,即可得出答案.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.-.ABHCD,AD||BC,CD=AB,

•••zB=zECF,zDAE=zAEB.

又♦.2DAE=NF,

.•.Z.AEB=Z.F.

.-.AABE-AECF；

(2)解：vAABE^AECF,

.ABBE

,\EC-CT

,•・四边形ABCD是平行四边形,

・・・BC=AD=8.CD=AB=5,

••・EC=BC-BE=8-2=6.

5_2

:.6~CF

12

..CF=5,

37

.•.FD=CD+CF=5

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键.

22.沧浪亭（C）,狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（Z）被誉为苏州四大园林.周末小明一家准备到苏州四

大园林游玩.

（1）若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是「

（2）若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（£）的概率（用画树状图

或列表的方法求解）.

22.（1）4

1

⑵6

【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的

关键.

（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林B）的结果有1种，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中拙政园亿）和留园（约的结果数，再利用概率公式可得出

答案.

【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林（$）的结果有1种，

•••恰好选中狮子林（S）的概率是I.

£

故答案为：4.

（2）解：列表如下:

CszL

C(C,S)(C,Z)(C⑷

S⑸。）(S,Z)(S,L)

Z(Z,C)(Z,S)(Z,L)

L(L,C)(3)H,Z)

共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园亿）和留园（切的结果有：（Z/）,U，Z）,共2种,

2__j_

・二恰好选中拙政园亿）和留园⑷的概率为五-6.

23.某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画

展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组(依次记为4,B,C,D).学校要求八年级全体学生必须参加

且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进

行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次一共抽样调查了名学生；

(2)表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为。；

(3)将条形统计图补充完整；

(4)若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数.

23.(1)50名

(2)108

(3)见详解

(4)120名

【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

(1)根据。组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数；

(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择B的人数，即可计算出表示“书法展示”的

扇形圆心角的度数；

(3)根据(2)中的结果，将条形统计图补充完整即可；

(4)根据样本估计总体即可得出答案.

【详解】(1)解：本次调查的学生总人数是12+24%=50(名)；

故答案为：50；

(2)选择8的有：50-18-5-12=15(人)，

360°X—=108°

・•・表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为50；

(4)50(A),

答：估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数有120人.

24.如图是由小正方形组成的4x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中4B,C,D,E都是格点，P

是CE上一点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

(1)如图1,先画点尸，使四边形DCE尸为平行四边形，连接EP,再画EP的中点G；

(2)如图2,若P是CE与网格线的交点，先画点尸绕点C逆时针旋转90。的对应点。，再在AD上画点4,

使得NBHE=NDHQ.

24.(1)作图见解析；

(2)作图见解析.

【分析】(1)根据平行四边形的性质即可画出点尸，连接励7,与五P相交于点G,由网格可知2刊〃CE,

因为点3为E尸的中点，所以2G为△EEP的中位线，故点G为旌的中点;

(2)取格点N,连接CN,交网格于点。，根据网格可证明ABCE丝ADCN,得到4BC£=/DCN,进而

可得/PC°=90。，再利用由三角形全等可得CP=C。；连接格点4T,与网格相交于点K,连接EK,与

2。相交于点以，由正方形的性质可得NKO°="000=45。，进而可得NK。"=N0O"=135。，即可证到

△KOHOQOH,即得到NK7/O=NQM9,又因为/BHE=/KHO,故/BHE=/QHO,即

/BHE=ZDHQ.

本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平

行四边形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】(1)解：如图1,点尸、G即为所求;

即为所求.

25.“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，

并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元

时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒.

(1)当x=60时，P=；

(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润少(元)最大？最大利润是多少？

(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒

售价x的范围为60WxW80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正

确的结论.

25.⑴400

（2）当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是8750元.

（3）他们的说法正确，理由见解析

【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒,

列式计算即可；

（2）根据销售量乘以每盒的利润得到少=T°（X-70）~+9000，根据二次函数的性质即可得到答案；

（3）设日销售额为V元，则>=T°卜-50）2+25000,根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时,

日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当少=8000时，由8000=-10（》-70『+9000,解得

国=60,%=80,由抛物线开口向下，得到当604xW80时，8000<^<9000,即可判断小红的说法.

【详解】⑴解：当尤=60时,^=500-10（60-50）=400（盒），

故答案为：400

⑵由题意得，*。（1。）=[5。。-1。（一明（10）

=-10x2+1400%-40000=-10（X-70）2+9000

又...02350,gp500-10（x-50）>350i

解得x465,

■,--10<0,

...当尤=65时，w最大，最大值为8750,

二当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大,最大利润是8750元.

（3）他们的说法正确，理由如下：

设日销售额为了元，则

y=[500-10（x-50）]x=-10x2+1000%=-10（x-50）2+25000

•--10<0,

...当x=50时，y最大,最大值为25000,

二当x=65时，W最大，此时W为8750,

即小强的说法正确；

2

当少=8000时，8000=-10（X-70）+9000；解得占=60,超=80,

••,抛物线开口向下，

...当604x«80时，v50<x<65,

・•・当日销售利润不低于800。元时,每盒售价x的范围为604x465.

故小红的说法错误.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和

正确计算是解题的关键.

26.如图，48是。。的直径，点。在直径48上（D与A,2不重合），CD1.48且CD=A8,连接CB,

与。。交于点R在8上取一点E,使E尸与。。相切.

⑵若。是CM的中点，AB=4,求CF的长.

26.（1）证明见详解

13

⑵5

【分析】（1）连接°尸，根据垂直定义可得/CDS=90。，从而可得/B+/C=90。，然后利用等腰三角形的

性质可得N2=N0用，由切线的性质得+继而得到/C=/£FC,即可解答；

（2）连接么尸，根据已知可得。0=工。=1,BD=3,从而在RS8DC中，利用勾股定理求出BC=5,,然

后利用直径所对的圆周角是直角可得//必=9。°,从而可证△5DCSABE4,进而利用相似三角形的性质可

求出W的长，最后进行计算即可解答.

【详解】（1）证明：连接。尸,

E

B一'：CD±AB

ZCDB=90°

:.ZB+ZC=90°9

・・・O/是。。的半径，即是oo的切线,

,•,ZOFE=90°，

...ZOFB+ZEFC=9Q°

•・•OB=OF

...ZB=ZOFB

,.,ZC=ZEFC，

...EF=EC.

(2)解：解：连接，尸，

是CM的中点，

:.OD=AD=-OA=\

2,

BD=OB+OD=3,

在RtABDC中，AB=CD=4,

BC=y/BD2+CD2=V32+42=5

•••43是0°的直径，

ZAFB=90°,

•••NAFB=ZBDC=90°,ZB=ZB,

:ABDCSABFA,

DBBC

3_5

.所」2

..Dr----

5,

13

:.CF=BC-BF=—

5,

13

・•・。厂的长为了.

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理,

根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

一3

27.如图1,在平面直角坐标系中，RW的直角边。/在＞轴的正半轴上‘且。"6'tan”"点尸

(2)如图2,若点E为线段05的中点，连接尸E,以尸£为折痕，在平面内将折叠，点A的对应点为

A',当尸4103时，求折痕尸E的长;

(3)如图3,若尸为线段40上一点，且/尸=2,连接尸P,将线段EP绕点厂顺时针方向旋转60。得线段

FG,连接。G,直接写出△。厂G周长的最小值及此时点G的坐标.

27.(1)点P的坐标为(务6)；

⑵公里

（3）周长的最小值为4+4g，点G的坐标为I3I.

【分析】（1）利用正切函数的定义求得和08的长，如图1中，过点P作尸"08于点利用角平分

线定理以及三角形的面积公式求出产/即可；

（2）如图2中，设交于点T.利用相似三角形的性质求出ET,再求出尸5,得到点尸的坐标，再

利用勾股定理可得结论；

（3）如图，以4尸为边向右作等边尸K,连接KG,延长KG交x轴于点R,过点K作尸于点

J.他.于点0,延长正交N5于点生连接耳G.证明AWRKFG（SAS）,推出

ZPAF=ZGKF=90°,推出点G在直线KR上运动，当点。、G、片共线时，0G+FG的值最小，即△。尸G的周

长有最小值，最小值为叱+°片的长，据此求解即可.

3

tanB=一

【详解】（1）解：在RM/O5中，ZOAB=90°,04=6,4,

OA63

tanBn=----------=—

...ABAB4,

AB=8,OS=V62+82=10,

..3（8,6）；

如图1中，过点P作PHLOB于点、H.

点尸在NNO5的平分线上，ZOAB=90°,

PA=PH,

S2PB=-PBxOA=-OBxPH

△°PB22,

（8-PA）x6=10xPA

解得尸N=P"=3,

•••点尸的坐标为(3'6)；

(2)解：如图2中，设尸4交08于点7.

图21••Z0AB=90°,OE=EB,

.-.EA=EO=EB=5,点E的坐标为（4,3）,

NEAB=ZB,

由翻折的性质可知为以=4',

ZA'=ZB,

•「AP±OB,

.\ZETAr=ZBAO=90°,

...△A'TEsABAO,

A'EET

：.OBAO,

5_ET

:.ET=3,BT=5-3=29

,“°sB①AB

PB方,

2_8

PF-Io,

:.PB=-

2,

AP=AB-PB=8--=—

22,

・・・点尸的坐标为

杷-4：+(6一3)2

PE=

(3)解：如图，以“尸为边向右作等边△/伊，连接KG,延长KG交x轴于点R,过点K作K/_LN尸于点

J.KQ,OR于点Q,延长尸K交4B于点片，连接大G.

/ZAFK=ZPFG=60°

ZAFP=NKFG,

:FA=FK,FP=FG,

:△AFPmAKFG(SAS)

?.ZPAF=Z.GKF=90°,

,,ZKAF=900-60°=ZKEA

•},

.FK=F】K

,,，

・••欣是线段用的垂直平分线，

,FG=F】G

,,，

.••点G在直线KH上运动，当点。、片共线时，OG+FG的值最小,即△。户G的周长有最小值，最小值为

"+°耳的长，

KJLOA,KQ1OR,

，四边形JOQK是矩形,

OJ=KQ,JK=OQ

-KA=KF,KJ±AF,AF=2,OF=6-2=4

:,AJ=JF=\KJ=y/3AF、=2KJ=2A/3

KQ=OJ=5

•••ZKRQ=360°-90°-90°-120°=60°

:.QR=^-KQ=^-

：.OR=6+巫=处

33,

,K（G，5）,d*。］大（26,6）

「•△°尸G周长的最小值为4+jG+（26）2=4+46

设直线KR的解析式为y=去+6,

y/3k+b=5

'巫k+b=O

则13,

k=—5/3

<

解得，W=8,

••・直线KR的解析式为y=-J1x+8,

同理直线KR的解析式为V=岳，

联立得岛=一后+8,

4^/3

X=-----

解得3

y=g牛=4

・・•点G的坐标为

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

28.如图，二次函数夕=加一6"+c（a<0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A,8两点，与〉轴交

于点C,顶点为P,对称轴交无轴于点。，点。是抛物线对称轴上一动点，直线80交了轴于点E,且

5EQ=3BQ.

Ox

（1）请直接写出A,8两点的坐标：A,B；

42

（2）当顶点P与点。关于x轴对称时，S&QCE\.

①求此时抛物线的函数表达式；

②在抛物线的对称轴上是否存在点尸，使NBEF=2N0BE.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

28.