组合624组合数课件-高二下学期数学人教A版选择性

6.2.3组合6.2.4组合数

1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.学习目标一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.2.排列数的定义3.排列数的计算（1）排列数公式(1)：（2）全排列数:（3）排列数公式(2)：知识回顾(4)其他公式思考：这两个问题有何不同？甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6种.甲乙、甲丙、乙丙，共有3种.问题2

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为：

从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组排列问题排列与元素顺序有关这里每一组与顺序无关，新知引入我们把这种问题称为组合问题.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1.组合定义:问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？一、组合定义注意：⑴要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个

不同的元素中进行m次不放回地取出.（无重复性）⑵组合中取出的元素没有顺序；（无序性）⑶两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.排列组合定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n

个不同元素中取出m

个元素的一个排列.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．相同点不同点完成一件事步骤从n个不同元素中取出m个元素元素的顺序有关元素的顺序无关第一步、取→

第二步、排仅一步、取问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系：排列、组合的联系与区别组合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

“元素相同、顺序不同的组合是同一个组合”“元素相同、顺序不同的排列是不同的排列”，以“元素相同”为标准，可以建立了排列和组合之间的对应关系。组合是选取的结果，排列是选取后再排序的结果.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.练一练(1)

设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)

某铁路线上有6个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

有多少种不同的火车票价？(3)4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，共有多少种分法?(4)5人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?(5)

从3个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法?(6)从4个风景点中选出2个，分别在上午和下午去游览，有多少种不同的游览方法?1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(7).校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.①.从中选3辆，有多少种不同的方法?②.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法?组合问题排列问题组合问题组合问题组合问题排列问题组合问题组合问题排列问题

二、组合数符号

中的C是英文combination(组合)的第一个字母.组合数还可以用符号

表示.组合的英文第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.从3个不同元素中任取2个元素的组合数为从4个不同元素中任取3个元素的组合数为【思考】结合组合和排列的关系，我们能否利用这种关系，由排列数

来求组合数

呢?三、组合数公式“元素相同、顺序不同的组合是同一个组合”“元素相同、顺序不同的排列是不同的排列”，以“元素相同”为标准，可以建立了排列和组合之间的对应关系。求从3个不同元素a,b,c中任取2个元素的组合数求从4个不同元素中任取3个元素的组合数为abacbcaccabccbabba组合排列abcabdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb组合排列①从3个不同元素a,b,c中取出2个元素先组合ab再排列acbcaccabccbabba由此可得

②从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素:先组合再排列由此可得

abcabdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb关系：构造排列可以分成两步完成，先取后排；组合是排列中的第一个步骤.组合是选取的结果，排列是选取后再排序的结果.

组合数公式【例1】计算：

这12条有向线段分别为

(2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数为：AB,AC,AD,BC,BD,CD.

这6条线段分别为三、组合数的性质性质1证明：直观解释：该性质反映了组合数的对称性.其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).

从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样.即从n个不同元素中取出m个元素的组合数等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数，也就是.性质2在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得.直观解释：证明：三、组合数的性质

C

巩固练习（4）x=7例3：在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所有的不同抽法种数，就是从1