2025年上海市高三数学二轮复习解答题：新定义问题（10大题型）

解答题：新定义问题

题型1集合的新定义问题题型6数列的新定义问题

题型2函数与导数的新定义问题题型7立体几何的新定义问题

迹3复数与:的新定义问题新定义问题题型8平面解析几何的新定义问题

题型4三角函数的新定义问题题型9概率统计的新定义问题

题型5平面向量的新定义问题题型10高等数学背景下的新定义问题

题型一：集合的新定义问题

鹘粤创

（24-25高三上•山东•期中）已知集合5={0,1,2,…,5"}（〃eN*）,集合T=S,记T的元素个数为叩.若集合T

中存在三个元素。，b,c（a<b<c）,使得c+2a>36,则称7为“理想集”.

（1）若〃=1,分别判断集合工={023,5},4={0,1,2,5}是否为“理想集”（不需要说明理由）；

（2）若力=1,写出所有的“理想集”7的个数并列举；

⑶若1=4〃+2,证明:集合T必为“理想集”.

为龙》理黄揖号

集合新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使

用书上的概念.

龙笼》奠式训级

1.（24-25高三上•广东•月考）已知集合/={1,2,3,…,2〃}（〃©N*）,S是集合/的子集，若存在不大于〃

的正整数沉，使集合S中的任意一对元素为，52,都有卜「S2*"7,则称集合S具有性质P.

⑴当〃=10时，试判断集合8=卜”|尤>9}和C={xeH尤=3"l,左eN*}是否具有性质尸？并说明理由；

⑵当〃=100时，若集合S具有性质产，那么集合7={201-x|xeS}是否具有性质尸？并说明理由；

（3）当〃=3左，aeN*时，若集合S具有性质产，求集合S中元素个数的最大值/（"）.

2.（24-25高三上・北京•期中）已知集合/={1,2,3「-,〃},其中“©N*,4，4，…，&是A的互不相同的

子集.记4的元素个数为“，a=12…,机），4n4的元素个数为%（i<f<j<m）.

⑴若〃=4,m=3,4={1，2},4={1,3},乂3=妁=1,写出所有满足条件的集合4（结论不要求证明）;

（2）若〃=5,且对任意的都有练>0,求加的最大值；

（3）若给定整数"27,MW（i=l,2,…，他）且对任意1"</功，都有为=1,求加的最大值.

题型二：函数与导数的新定义问题

（23-24高三上•北京・月考）设离散型随机变量X和丫有相同的可能取值，它们的分布列分别为尸（X=aJ=4,

P[Y=ak）=yk,xk>0,yk>Q,后=1,2,=1.指标。（X口V）可用来刻画X和丫的相似程

k=\k=\

度，其定义为。（XHY）=fxJn迎.设X〜3（〃,°）,0<。<1.

k=l”

⑴若y〜应）,o<q<i,求。（xl|y）；

（2）若"=2,尸（丫=左一1）=；,笈=1,2,3,求的最小值；

(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量y,证明：0(X11)20,并指出取等号的充要条件

宓处理凌揖号

函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，

会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读

出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

发塞》笠式训级

1.(24-25高三上•湖北•期中)把满足任意X,yeR总有〃x+y)+/(x-y)=2〃x)〃y)的函数称为“类余

弦型，，函数.

17

⑴已知“X)为“类余弦型”函数〃x)>0,/(2)=—,求/⑴的值；

O

(2)在(1)的条件下，定义数列：a„=2/(n+l)-/(n)(«eN*),求陶母+.去+…+1吗弩的值；

(3)若g(x)为“类余弦型”函数，且g(0)>0,对任意非零实数/，总有g(/)>l.设有理数a，仁满足网>闻,

判断g(迎)与g(西)的大小关系，并给出证明.

2.(24-25高三上•上海•期中)已知函数y=/(x),若其定义域为(0,+司，且满足矿对一切

xe(0,+co)恒成立，则称/(x)为一个“逆构造函数

⑴设g(x)=/+l(x>0),判断y=g(x)是否为“逆构造函数”，并说明理由;

(2)若函数y=ax-3-lnx-U是“逆构造函数，，，求。的取值范围；

X

⑶己知“逆构造函数。=/(尤)满足对任意的国，马>0,都有/(西+Z)4/(西)/伉)，且/⑴=2,求证：

对任意关于X的方程/(尤卜“无解.

题型三：复数与不等式的新定义问题

蔻麓》大题典例

(24・25高三上,江苏泰州,月考)已知常数。，仇CER,设关于1的方程QY+6x+c=O.

(1)在复数范围内求解该方程.

b

X]+工2=-------,

(2)当aw0时，设该方程的复根分别为七,马,证明：‘.

C

玉工2—一.

a

(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式.已知任何一元〃次(〃eN*)复系数多项式

方程/(x)=0至少有一个复根.证明：/(x)=0有"个复数根(重根按重数计).

(4)将题设的常数“。也ceR”改为“a,b,ceC”，并证明：(2)仍然成立.

莪皿期黄揖号.

新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景,

要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵

活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求,

“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

龙能》笠式训级

1.(24-25高三上•山东枣庄•月考)对于四个正数机、n、p、q,若满足咽<秋,则称有序数对(加，冷是(。应)

的“下位序列”.

⑴对于2、3、7、11,有序数对(3,11)是(2,7)的“下位序例J”吗？请简单说明理由;

(2)设a、b、c、d均为正数，且(。力)是(c,d)的“下位序列”，试判断£、三、修之间的大小关系；

bab+a

(3)设正整数n满足条件：对集合｛川0<m<2024,meN｝内的每个小，总存在正整数左，使得(％2024)是化”)

的“下位序列"，且(匕")是(优+1,2025)的“下位序列”，求正整数〃的最小值.

2.(23-24高三下•辽宁・模拟预测)柯西不等式在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的〃元形式为:

设4,Z>,.eR(z=1,2,•••,«),a,不全为0,6,不全为0,则%2为2丁方也］,当且仅当存在一个数鼠使

得生=屹时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设尸是棱长为血的正四面体/BCD内的任意一点，点尸到四个面的距离分别为4，d2,d3,力，求

"；+成+"+甫的最小值；

(3)已知无穷正数数列｛对｝满足：

①存在机eR,使得为

②对任意正整数八/”/)(/=1,2,…)，均有卜「叫花」.

।1i+j

求证：对任意〃24,nGN,恒有冽21.

题型四：三角函数的新定义问题

蔻塞》大题典例

(24-25高三上•全国•专题练习)对于集合/=｛%。2,…右｝和常数4,定义：

<7=回(4_%)+知2(%-%)+.•.+sm?网⑥为集合A相对的％的“正弦标准差”.

Vn

(1)若集合Z=%=：，求/相对的4的“正弦标准差”；

163J4

⑵若集合/是否存在口©芋,“"y,yl使得相对任何常数。。的“正弦标准差”是一个

与%无关的定值？若存在，求出a,£的值；若不存在，请说明理由.

蔻麓》要其训级

1.（24-25高三上•江西宜春•期中）定义有序实数对（。力）的“跟随函数”为/（x）=asinx+6coWxeR）.

⑴记有序数对（1,T）的“跟随函数”为人x）,若〃x）=0,xe[0,2兀],求满足要求的所有x的集合；

（2）记有序数对（0,1）的“跟随函数”为加），若函数g（尤）=〃尤）+6|sinx|,xe[0,2可与直线y=k有且仅有四个

不同的交点，求实数4的取值范围；

（3）已知。=3,若有序数对（0力）的“跟随函数"y=/（x）在无=。处取得最大值，当6在区间（0,6]变化时，求

tan2%的取值范围.

2.（24-25高三上•甘肃兰州•月考）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就

是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别

中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维

空间有两个点/（再,必）,3（X”2），则曼哈顿距离为：4（42）=卜-引+|/-％|，余弦相似度为:

cos（4B）=一厂/,x[%?_/必x./%

+，余弦距离为l-cos（4,8）

旧+式温+只&++

⑴若“（T,2）,,求48之间的曼哈顿距离4（43）和余弦距离;

[2

（2）已知M（sina,cosa）,N（sin/7,cos，），Q（sin△-cos，），若cos（M,N）=1,35（河,0）=不，求1@11012114

的值

题型五：平面向量的新定义问题

（24-25高三上•河南•期中）如图，我们把由平面内夹角成60。的两条数轴。x,。了构成的坐标系，称为“完

美坐标系”.设后分别为。x,。了正方向上的单位向量，若向量赤=x，+石，则把实数对［三川叫做向

量丽的“完美坐标”.

⑴若向量方的“完美坐标”为［3,4］,求同；

⑵己知［%,%］分别为向量3的“完美坐标”，证明：a-b=xlx2+yty2++x2yx）；

⑶若向量入B的“完美坐标”分别为［sinx,l］,［cosx,l］,设函数/（x）=lZ,XGR,求/'（x）的值域.

蔻麓》一变其训级

1.（24-25高三上•浙江绍兴•月考）〃维向量是平面向量和空间向量的推广，对〃维向量

mn=（x1,x2,---,x„）（x,.e{0,l},z=l,2,­••,«）,记/（处）=1+%+玉9+…+为/…%,设集合

。（电）={电I/（电）为偶数}.

⑴求。（应2）,。（成3）；

⑵（i）求0（吃）中元素的个数；

（ii）记g（电）=tx,,求使得'、g（私）*2025成立的最大正整数

'/mDim1

2.（24-25高三上•河南驻马店•月考）给定平面上一个图形。，以及图形。上的点用巴,…如果对于。

上任意的点P,而『为与p无关的定值，我们就称斗心，…,《为关于图形。的一组稳定向量基点.

i=l

(1)已知耳(0,0),£(2,o)出(0,2),△耳巴A为图形。，判断点号6,6是不是关于图形。的一组稳定向量基点;

(2)若图形。是边长为2的正方形，耳月，鸟是它的4个顶点，尸为该正方形上的动点，求

|福+前+砧-祠的取值范围;

(3)若给定单位圆E及其内接正2024边形耳心…^o24,P为该单位圆上的任意一点，证明用心，…,^024是关于

圆£的一组稳定向量基点，并求学|而『的值.

/=1

题型六：数列的新定义问题

龙麓》大题典例

(24-25高三上•福建泉州•期中)若存在常数乙使得数列｛叫满足%=，("21,"eN),则称数

列｛%｝为“刖)数列”.

(1)判断数列：1，3,5,10,152是否为“〃⑵数列是并说明理由;

(2)若数列｛叫是首项为2的“以。数列”,数列低｝是等比数列，且｛叫与低｝满足=%出％…+唳2或，

Z=1

求才的值和数列也｝的通项公式；

(3)若数列｛%｝是⑶数列”，5“为数列｛aJ的前〃项和，6>1,/>0,证明：f>s,「s“_eS”f.

篆》解法指导

数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但

是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变

应万变才是制胜法宝.

龙笼》奠式训级

1.（24-25高三上•江西上饶•月考）数列｛%｝、也｝满足;也,｝是等比数列，%=2,白=4且

+a2b2+....+a„b„=2（an-3）6“+8（〃eN+）.

⑴求％、bn.

（2）求集合N=｛x|（x-q）（x-白）=0,iW100,ieN+｝中所有元素的和.

⑶对数列｛g｝,若存在互不相等的正整数配&……kj（j>2）,使得臬,+%+……+4,也是数列｛%｝中的项,

则称数列｛&｝是“和稳定数列”.试别断数列｛5｝、抄“｝是否是"和稳定数列”，并说明理由.

2.（24-25高三上•山东青岛・期中）如果正项有穷数列为,电，…，与满足％,。为=1，…，即

a;-«m_1+1=l（/=l,我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2,3,1,；与数列3,2,1,（都

是“1的对称数列

⑴设也,｝是项数为8的“1的对称数列“，其中心打他也是等差数列，且％=4也=8,请依次写出抄“｝的每

一项；

⑵设数列｛g｝是13项的“1的对称数列“，其中…是等比数列，6-05=15,。2-。4=6,求数列的

所有项和S的最小值；

（3）设数列｛Z｝是2〃?项的“1的对称数列”，数列前加项的通项公式为4,=〃2+〃，求数列｛Z｝的前〃项和

S”.（注：12+22+...+〃2="（"+1）（2〃+1））

6

题型七：立体几何的新定义问题

茏麓鹘兴创

（24-25高三上•广东广州・月）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设尸为多面体M的一个顶点，定义

多面体M在点尸处的离散曲率为0P=1-；(N0EQ2+ZQ2PQ3+■■-AQk_iPQk+/。/。3其中

0,(i=1,2,…人左N3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q/Q,平面&尸。3,…，平面。I尸以

和平面0/。为多面体M的所有以P为公共点的面.

(1)求三棱锥尸-/3C在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)如图，已知在三棱锥尸-/BC中，P/_L平面/8C,ACVBC,AC=BC,三棱锥尸-4BC在顶点C处

的离散曲率为1.

R

B

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②若点。在棱期上运动，求直线与平面N2C所成的角的最大值.

龙笼》笠式训级

1.(23-24高三下•江西新余•模拟预测)我们规定：在四面体尸-/3C中，取其异面的两条棱的中点连线称

为P-ABC的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

(1)如左图，在四面体尸-4BC中，(=1,2,...,6)分别为所在棱的中点，证明：尸-48C的三条内棱交于一

点.

(2)同左图，若尸-为垂棱四面体，MM=2，MMI=4，MM=6,求直线尸5与平面/8C所成角的正

弦值.

（3）如右图，在空间直角坐标系中，xOy平面内有椭圆G/+：=i,4为其下焦点，经过耳的直线＞=米+机

与C交于43两点，尸为x/平面下方一点，若P-ABO为垂棱四面体,则其外接球表面积S是左的函数S（左）,

求S（左）的定义域与最小值.

2.（24-25高三上•湖南长沙・月考）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图

形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性

质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率x与球面三角形内角和6满足：0=7t+ax,其中。为常数，（如

图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形,

每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三

角形的总曲率等于▼，S为球面三角形面积，R为球的半径）.

7T

（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为求此球面三角形内角和；

（2）求。的值；

（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面

体.设凸多面体。顶点数为厂，棱数为E,面数为尸，试证明凸多面体欧拉示性数%（。）=%-石+尸为定值,

并求出力（Q）.

题型八：平面解析几何的新定义问题

茏A2鹘要创.

（24-25高三上・浙江•月考）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=履+1（左eR）表示过点（0,1）

的直线族（不包括直线＞轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切

线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

⑴圆“：/+（了-3丫=4是直线族+町=l（m,〃eR）的包络曲线，求加，〃满足的关系式；

（2）若点N（x。,%）不在直线族。:》=氏-尸（注11）的任意一条直线上，求外的取值范围及直线族。的包络曲

线E的方程；

⑶在（1）（2）的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线尸/,PB,交曲线E于点A,B,求&PAB

面积S的最小值.

蔻变》笠式训级

1.（23-24高三下•江西新余•模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系xQv中，可以用两点之间距离公式刻

画43两点的距离“（43）,事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一

实数。（42）满足：①。（48）±0,当且仅当/=3时等号成立；②。（48）=。”,/）；③

。（4可4。（瓦C）+D（C,N）淇中，4B、C为平面直角坐标系内的三个点，我们就称。（48）是关于4B

两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系xOy（。为坐标原点）内两点/（国,乂）、以务,%）的“。距

卜E&一力|

离"p（A,B）=।

1+|%1-x2|l+|ji-J^2|

⑴求证：48两点的“。距离”是关于48两点的一个“度量”.

（2）设尸为平面直角坐标系xQy内任意一点.

（i）若夕（。,尸）=；,请在下图中定性做出尸点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与

其特征）.

3

-

-2

(ii)求证：p(O,P)<2.

(3)规定平面内两条平行直线的。距离为在4、4上分别取的任意两个点4B。距离的最小值.已知

不重合的直线Gy=kx+^,/2：>=丘-；,0(4，)=；，求上的取值范围.

2.(24-25高三上•内蒙古赤峰・月考)在平面直角坐标系。孙中，定义：若曲线G和C2上分别存在点M，N

关于原点O对称，则称点M和点N为G和5的一对“关联点”.

⑴若G:/+盯一x+>=4上任意一点p的“关联点”为点Q,求点。所在的曲线方程.

(2)若G:/+(尸区)2=1上任意一点S的“关联点”为点T,求|S7f的取值范围.

(3)若Q:y=ae'+2和C2:y=xe'有且仅有两对“关联点”，求实数a的取值范围.

题型九：概率统计的新定义问题

茏麓》大题典例

(24-25高三上•湖北・月考)在信息论中，嫡(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称

为信息崎、信源端.若把信息燧定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为

l,2,3,---,n(/7GN*),P(X=i)=R,定义信息麻g也,…,p,)=-/jog2P»；=覃=1,2,…，力

i=li=l

⑴若力=2,且口=。2，求随机变量X的信息端；

(2)若Pl=g+；,P2=gz+i=2pk,k=2,3,…,n,求随机变量X的信息嫡;

⑶设x和y是两个独立的随机变量，求证：H(xr)=H(x)+H(y).

发塞》笠式训级

1.(23-24高三下•湖南・月考)多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S的群落中,

辛普森多样性指数。其中％为第，,种生物的个体数，N为总个体数.当。越大时，表明该群

落的多样性越高.已知43两个实验水塘的构成如下：

绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻

A66666

B124365

(1)若从43中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率;

(2)(i)比较43的多样性大小；

(ii)根据(i)的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.

2.(23-24高三下•浙江•开学考试)一般地，“元有序实数对称为"维向量.对于两个力维向量

1=…,。”)，坂=(可也，…也)，定义：两点间距离4=)他+(a-。2)~+…+('-。〃)~，利用〃维向

量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点

的距离或，与哪个标准点的距离Z最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务

能力分值(%)、管理能力分值(%)、计算机能力分值(«3)、沟通能力分值(%)(分值％eN*,ze{1,2,3,4}代表要

求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：

L冈1J位［工业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分

(%)（出）3)(%)值

会计（1）215412

业务员（2）523515

后勤（3）235313

管理员（4）454417

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

£=的四个坐标.

（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方力均小于20的应聘者才能被招录.

（i）小刚测试报告上的四种能力分值为耳=（4,3,2,5）,将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业

1、2、3、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；

（ii）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率（？）分别为

141397fd21

后方后行"试求小明的各项能力分直

题型十：高等数学背景下的新定义问题

茏笼鹘典：

（24-25高三上•四川自贡・期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅

读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：

（1）在高等数学中，我们将＞=/（》）在x=x。处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：

+++（其中/"）（x）表示“X）的〃次

导数〃23,〃eN*）,以上公式我们称为函数/（X）在x=x。处的泰勒展开式，当％=0时泰勒展开式也称为

麦克劳林公式，比如e"在x=0处的麦克劳林公式为：e"=1+xH—x2H—x2H---1—xnH—,由此当时,

2!3!n\

可以非常容易得到不等式e-l+x,ex＞\+x+-x2,ex＞l+x+-x2+-x3,L,请利用上述公式和所学知

226

识写出y=sinx在x=0处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）

（2）设加为正整数，数列q,%,…，%,“+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项弓和勺（，＜/）后剩余

的4万项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列q,%，…，％,”+2是&/）一可

分数列.请写出所有的&/）,14，＜尸6,使数列%,%，…，％是亿力一可分数列.

1.（24-25高三上•山东潍坊・月考）设数阵4=孙羽，其中孙,修32”%€{1,2,3,4,5,6}.设

\X21X22J

8=3,%「、%}={1,2,3,4,5,6},其中多＜%〈…〈名,LeN*且左46.定义变换因为“对于数阵的每一列，

若其中有/或V,则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有/且没有T,则这一列中每个数都乘以

-1«=勺"2,…,〃J"，"5（X。）表示“将尻经过乱,“变换得到人,再将&经过变换得到乂,…，以此类

推，最后将A-i经过变换得到X*记数阵占中四个数的和为〃（X。）.

⑴若：j,B={2,5},写出X。经过“2变换后得到的数阵区，并求，（X。）的值；

⑵若X。］；8={〃"％，%}，求所有々（X。）取值的和；

（3）对任意确定的一个数阵X。，证明：所有〃（X。）取值的和不大于-8；

（4）如果X0=；其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？

2.（24-25高三上•江苏南通・月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，

比如36=2x2x3x3,74=2x37等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2,3都是6的质因子.在

研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子.例如25的质因子只有5,

而36的质因子只有2,3,所以25,36是互质的.为方便表示，对于任意的正整数〃，我们将比〃小且与”

互质的正整数的个数记为/(").例如，小于10且与10互质的数有1,3,7,9,所以400)=4,同理有/(12)=4.

(1)求4(60),4(312)；

(2)求所有aeN*,n>2,使得斯")是奇数;

(3)若正整数也…”，其中外2,…也表示互不相同的质数.证明：

ESS®

物》生!模拟.

1.(24-25高三上•上海•期中)设函数V=/(x)的定义域为R,其导函数为了=/'(x),xeR.若存在区间/

及实数,满足：对任意xe/,都有恒成立,则称函数了=/(x)为/上的"加«)函数”.

⑴判断函数y=e，是否为［0,+向上的M(2)函数，并说明理由；

(2)已知实数加满足：函数/=丁+如(:+1为［2,+00)上的河(1)函数，求加的取值范围；

(3)已知函数y=存在最大值.对于以下两个命题，P：对任意xeR,都有了'(无)40与7'(x)20恒成立;

Q-.对任意正整数〃，满足函数y=/(x)都是R上的M(")函数；判断P是否为。的充要条件，并说明理由.

2.(24-25高三上•湖南长沙•期中)设〃eN*,心2,X”{0,1},7=1,2,，集合S.={x|X=由士,….

对于尸=(0也,…=…,％JeS”，记

尸！。=(加1-如，|。2-%|-、以-%|)，尸*。=才",一如.

1=1

⑴若A,B,CcS",证明：(/!C)*(3!C)=/B；

⑵若A,B,CwS,,dB和A'C都为奇数，证明：B'C为偶数；

⑶若^,X2,--,X10eS20,当1</<7<10时，求所有X：Xj之和的最大值.

3.(24-25高三上•河北沧州•期中)己知。为坐标原点，对于函数/'(x)=asinx+bcosx,称向量方方=(%6)

为函数/(X)的相伴特征向量，同时称函数〃x)为向量两的相伴函数.

⑴记向量丽=(3,我的相伴函数为/(X),若当〃x)=3且xe(q,；)时，求X的值；

出设8(%)=百馍5(X+^)+(：0$6-》)(无€2,试求函数g(X)的相伴特征向量的，并求出与两同向的单位

36

向量；

⑶已知归=(0,1)为函数〃(x)的相伴特征向量，若在△/BC中，AB=2,cosC=〃(*,若点G为该△/BC

的外心，求交.赤+9・丽的最大值.

4.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=asinx+bcosx,称向量/=(。,6)为/(x)的特征向量，/(%)

为力的特征函数.

⑴设g(x)=2sin(7i-x)+sing7r-j,求g(x)的特征向量；

⑵设向量力=(6,1)的特征函数为/(x),求当〃x)=g且时，sinx的值；

(1行)1

(3)设向量力=的特征函数为〃x),记否(x)=r(x)-1,若"(x)在区间［a,6］上至少有40个零点,

求的最小值.

5.(24-25高三上•河北邯郸•期中)对于无穷数列｛4｝,“若存在册-殁=，(机、左eN*,且机〉后)，必有

限―"，则称数列｛4｝具有尸(。性质.

=1,2)

(1)若数列｛%｝满足%=C，/、:口判断数列｛%｝是否具有P⑴性质？数列｛%｝是否具有尸(4)

2〃-31〃23,_S^n£NI

性质？

(2)对于无穷数列｛%,｝,设7=｛x|x=a'-q/JeN*,且i</｝,求证：若数列｛%｝具有尸(0)性质，则7必为有

限集

(3)已知｛%｝是各项均为正整数的数列，且｛%｝既具有尸(2)性质，又具有尸(3)性质，是否存在正整数N*,

a

使得为，N+l>aN+2,a-...成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.

6.(24-25高三上•四川•模拟测试)已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸的直线与C相交于

点A,B,VZ08面积的最小值为O为坐标原点).按照如下方式依次构造点工(〃eN*)：片的坐标为(0,0),

直线3£与。的另一个交点分别为4，Bn,直线4瓦与x轴的交点为£+「设点£的横坐标为五.

⑴求。的值；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)数列｛%｝中，是否存在连续三项(按原顺序)构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不

存在，请说明理由.

7.(24-25高三上•广西来宾・模拟预测)已知：①定积分的定义：

设y=f(>)为定义在［凡6］上的连续非负函数，为求>=/卜)“=0“=63轴围成的曲边梯形的面积，可采

取如下方法：

将区间［a,6］分为〃个小区间，每个小区间长度为三，每个区间即可表示为

n

。+"£。-1),0+"£/1=1,2,3广.")，再分别过每个区间的左右端点作％轴的垂线与丫=/(幻图象相交,

nn

即可得到一个小的曲边梯形.如图,

->->

XX

Q。b

b-a

用右端点近似代替函数值用左端点近似代替函数值

当〃一+8时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的

任一点的函数值近似代替(一般用区间端点的函数值)，将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即

为所求的由>=/(x)、x=4、x=b、x轴围成的曲边梯形的面积，即s=lim,上式也记

为I即对y=/(%)在［凡可上求定积分，

②定积分的计算：£/(%)公=尸3)-尸⑷其中尸(x)=/(x).

根据以上信息，回答以下问题：

(1)已知求证：£cosxt/x<a.

(2)将x=l、x=2j=~.x轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值;

(3)试证明:-------1---------F,••H--------<ln2<----1---------1------1-------.

101102100101

龙麓真题一

1.(2024•上海•高考真题)记M(a)={f|:/⑴一/⑷厘泊},£(a)=|z|t=f{x}-f{a}^c<a^

⑴若/(x)=V+l,求叱(1)和“I)；

⑵若/(x)=x3-3/，求证:对于任意aeR,都有M(a)4-4,+oo),且存在。，使得-4eM(a).

(3)已知定义在R上/(尤)有最小值，求证"/(x)是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数。，均有

M(-c)=Z(c)”.

2.(2024・全国•高考真题)设仅为正整数，数列为,电，…吗2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项外

和%(/＜；)后剩余的4m项可被平均分为加组,且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列ai,a2,...,a4m+2是

(0)-可分数列.

(1)写出所有的伍万，使数列为,%,...,七是亿力-可分数列；

⑵当〃止3时，证明：数列％，出，…,G+2是(2,13)-可分数列；

⑶从1,2,...,4机+2中任取两个数，和4＜力，记数列可，出，…,&,“+2是亿/)-可分数列的概率为匕，证明：

3.(2024,北乐,周考真题)已知集合

M={(i,/,左,卬)卜©{1,2},/€{3,4},左€{5,6},师{7,8},且，+/+左+卬为偶数}.给定数列/:%,七,,••,&，和序

列。:7］石,一工，其中7；=(i,"，3w,)eM(f=l,2,--,s),对数列A进行如下变换：将A的第彳"，左,吗项均

加1，其余项不变，得到的数列记作((㈤；将4(4)的第，2〃2,右，叫项均加1,其余项不变，得到数列记作

心［(/);……;以此类推，得到(…g(/),简记为0(/).

⑴给定数列出1,3,2,4,6,3,1,9和序列0:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出以⑷；

(2)是否存在序列。，使得。(/)为。1+2,。2+6,%+4,。4+2,。5+8,。6+2,。7+4,。8+4,若存在，写出一个符合

条件的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且％+/+%+%为偶数，求证：“存在序列O,使得。(，)的各项都相等”

的充要条件为"％+出=a3+a4=%+%=%+%”•

解答题：新定义问题

题型1集合的新定义问题题型6数列的新定义问题

题型2函数与导数的新定义问题题型7立体几何的新定义问题

迹3复数与:的新定义问题新定义问题题型8平面解析几何的新定义问题

题型4三角函数的新定义问题题型9概率统计的新定义问题

题型5平面向量的新定义问题题型10高等数学背景下的新定义问题

题型一：集合的新定义问题

鹘粤创

(24-25高三上•山东•期中)已知集合5={0,1,2,…,5"}(〃eN*),集合T=S,记T的元素个数为叩.若集合T

中存在三个元素。，b,c(a<b<c),使得c+2a>36,则称7为“理想集”.

(1)若〃=1,分别判断集合工={023,5},4={0,1,2,5}是否为“理想集”(不需要说明理由)；

(2)若力=1,写出所有的“理想集”7的个数并列举；

⑶若1=4〃+2,证明:集合T必为“理想集”.

【答案】(1)北不是“理想集”，石是“理想集”；(2)答案见解析；(3)证明见解析

【解析】(1)北不是“理想集”，看是“理想集”.

由题意，令a=0,6=2,c=3,则3+2x0<3x2；

令a=0,6=2,c=5,贝!]5+2x0<3x2；令a=0,6=3,c=5,贝!|5+2x0<3x3；

令。=2,6=3,c=5,则5+2x2<3x3；所以北不是“理想集”.

令“=1,6=24=5,贝1]5+2xl>3x2,所以石是“理想集

(2)共16个“理想集”.

若力=1,有5={0,1,2,3,4,5}.

当|T|=3时，若。=0,贝121,由c+2a>36可知c>3623,故(仇c)=(1,4)或(1,5)；

若a=l,则622,由c+2”>36可知c+2>3626,贝!]4<cW5,故(b,c)=(2,5).

故含有三个元素的“理想集"7={0,1,4},{0,1,5}或{1,2,5},共3个.

当|T|=4时，7={0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,1,2,5},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4,5),

共7个.

当|7|=5时，7={0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5},共5个.

当1=6时,7={0,1,2,3,4,5},共1个.

综上所述，所有“理想集”7的个数为16个分别为：

{0,1,4},{0,1,5},{1,2,5},{0,1,2,4},{0,1,3,4},{0,1,2,5},{0,1,3,5},{0,1,4,5},{1,2,3,5),

{1,2,4,5},{0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},{1,2,3,4,5},{0,1,2,3,4,5).

(3)若|7|=4"+2,记7={玉,工2,…，匕2}且04再<%<…<匕计245".

利用反证法，假设对于7中任意三个元素。，b,c(a<b<c),均有c+2a436,

则3%+1Wx4,+2+2%,z=l,2,…，4M+1.

22(2丫

记%=Z“+2r>0,于是加<-yt,则y4n+1<-y4n<曰y4n_t<•••<

因此14乂用V[|J"(5f)VdS-0)=为“<1，矛盾.

故集合7必为“理想集”.

茏麓》解黄揖号.

集合新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以