2025年上海市高三数学二轮复习解答题：函数与导数的综合应用（10大题型）

解答题：函数与导数的综合应用

题型1利用导数研究函数的单调性题型6利用导数证明不等式

题型2利用导数研究函数的极值题型7利用导数研究双变量问题

函数与导数

题型3利用导数研究函数的最值题型8禾惘导数研究极值点偏移问题

综合应用

题型4利用导数解决恒成立与能成立题型9隐零点问题综合应用

题型5利用导数求解函数的零点题型10导数与数列综合应用

题型一：利用导数研究函数的单调性

龙塞》大题典例

（24-25高三上•海南•期中）设函数〃x）=%化/0）.

⑴求曲线y=〃x）在点（0,/（0））切线方程；

（2）求函数/（尤）的单调区间；

莪龙》型芽揖号.

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数/（%）的定义域；

（2）求/'（%）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（x）＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式r（%）＜o,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3、含参函数单调性讨论依据：

（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；

（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；

（3）导函数多个零点时大小的讨论。

龙麓》变式训练

1.（24-25高三上•北京•期中）已知函数/⑶=丁+如2+桁-1在彳=1处有极值-1.

（1）求实数b的值；

⑵求函数g（x）=ox+lnx2的单调区间.

Y—a

2.（24-25高三上•江苏常州・月考）已知函数/（%）=;--r

⑴当。=0时，求曲线y=在点（0,〃0））处的切线方程;

（2）求函数“尤）的单调区间.

题型二：利用导数研究函数的极值

龙变》大题典例

（24-25高三上•黑龙江・月考）已知函数以玻=以2+3一2）-11尤.

（1）当。=0时，求函数十＞）在x=l处的切线；

⑵当。＞0时，若/（尤）的极小值小于0,求。的取值范围

茏龙》舞:去指导.

1、利用导数求函数极值的方法步骤

（1）求导数/'（X）；

（2）求方程/'（%）=0的所有实数根;

（3）观察在每个根尤o附近，从左到右导函数/'（%）的符号如何变化.

①如果/'（无）的符号由正变负，则/'（%）是极大值；②如果由负变正，则/'（%）是极小值；③如果在

f\x）=0的根X=XO的左右侧f\x）的符号不变，则不是极值点.

根据函数的极值（点）求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

龙麓》变式训练

1.（24-25高三上•福建宁德•期中）已知函数7'（尤）="+。为R上的奇函数.

⑴求。；

⑵若函数g（尤）=2（e，+l）〃x）+2x,讨论g（x）的极值.

c（\111U十111A

2.（24-25高三上•河南安阳・月考）已知函数〃x）=]n（x+[）

⑴求的定义域；

（2）若“力存在极大值，求。的取值范围

题型三：利用导数研究函数的最值

龙》大题典例

(24-25高三上•江西・月考)已知函数仆)=3.・兰+2

⑴求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵求〃力的最值.

茏皿解黄指导.

函数/'(X)在区间［a,/上连续，在(。/)内可导，则求函数7(x)最值的步骤为：

(1)求函数/'(x)在区间(a,。)上的极值；

(2)将函数/'(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/S)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值；

(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。

茏变》变式训练

1.(24-25高三上•北京•期中)已知函数〃x)=(d-ax+l)e'(aeR)在尤=2处取得极小值.

⑴求a的值，并求函数的单调区间；

(2)求/■(%)在区间［-2,0］上的最大值和最小值.

2.(24-25高三上•湖北武汉•期中)已知函数/(x)=ax-lnx(aeR).

1IQ

⑴若函数“X)在-,1上的最小值为9,求a的值；

_eJ2

(2)若〃=0,函数g(x)=+I求g(犬)的最小值.

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

加麓》大题典例

(24-25高三上•河北衡水・月考)已知函数7'(x)=e［x2-x+l).

⑴求函数〃尤)的单调区间；

⑵函数/(x)V。在［-2,1］上恒成立，求最小的整数a.

莪龙》期货揖号.

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

龙麓》变式训练

1.(24-25高三上•四川成都・期中)己知函数〃尤)=e-(a+l)x

⑴讨论的单调性；

⑵若/(力=3一(a+1)x9对于xeR恒成立，求6—a的最大值.

2.(24-25高三上•浙江绍兴・月考)已知函数/(x)=e：a尤一1.

(1)当a=2时，求/(%)在区间［0,1］上的值域；

(2)若存在%>1,当xe(O,%)时，/(%)<0,求a的取值范围.

题型五：利用导数求解函数的零点

龙麓»大题典例

（24-25高三上•江苏苏州•开学考试）已知函数，（x）=sin尤+/-4x,e为自然对数的底数，函数

g（x）=x3—ox+3.

⑴若“X）在（0,1）处的切线也是g（x）的切线，求实数a的值；

⑵求/（X）在（一私心）上的零点个数.

茏变》解芽揖导.

导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、

参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负

和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是

必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。

茏变》要式训级

1.（24-25高三上•云南玉溪・月考）已知函数/（尤）=lnx-尤+2sin尤

⑴证明：/（x）在区间（0,兀）存在唯一极大值点；

⑵求了（元）的零点个数.

2.（24-25高三上•四川绵阳・月考）函数/（4）=2/一3加+1.

（1）若。=1,求函数“X）在x=-l处的切线方程；

⑵证明：存在实数。使得曲线y=/（x）关于点（1,-3）成中心对称图形;

（3）讨论函数/（元）零点的个数.

题型六：利用导数证明不等式

龙能＞大题典例

InY

（24-25高三上•广东•月考）已知函数"了）=广"-7-1.

⑴当。=。时，求曲线y=〃x）在点（I"⑴）处的切线方程；

（2）当。=1时，证明：〃x）ZO.

篆笼》屏;去指导.

利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

龙麓》变式训练

1.（24-25高三上•广东广州•月考）已知函数=一3尤+4•

⑴求曲线广/⑺在点（W（右））处的切线方程；

（2）当工£[0,3]时，求证：/（x）＜x+4-

2.(24-25高三上•河北保定•期中)已知函数/(x)=eX+sinx—2x,g(x)=2-coM.

⑴已知直线x-y+"=O是曲线y=g(x),xe[o,句的切线，求实数4的值；

(2)求函数〃尤)的单调区间；

⑶求证：“x)Ng(x)恒成立.

题型七：利用导数研究双变量问题

龙麓》大题典例

(24-25高三上•福建龙岩•期中)已知函数/(无)=3依2-(2。+1)尤+21nx+4am>0).

(1)求/(%)的单调区间；

⑵设g(无)=龙2-2L若对任意占e(0,2],均存在％e(0,2],使得/(%)<gG),求实数”的取值范围.

莪4期货揖号.

双变量不等式的处理策略：

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.

蔻塞》变式训练

1.(24-25高三上•湖北•期中)已知尤=2为函数/(尤)=x(x-c)2」的极小值点.

e

⑴求C的值；

(2)设函数g(x)=与，若对\/不€(0,+8),3x2eR,使得了(占)-g(%)20,求上的取值范围.

7

2.（24-25高三上•上海•期中）已知实数。＞0,设/⑺=-弓依3+竟

⑴若。=3,求函数y=f（x）的图象在点。,-1）处的切线方程；

（2）若。=；,已知函数y=/O）,%«祖,+8）的值域为（-00,3],求实数机的取值范围；

（3）若对于任意的王e（2,+8）,总存在％e（l,+8）,使得了（不）求。的取值范围.

题型八：利用导数研究极值点偏移问题

龙麓》大题典例

（24-25高三上•云南・月考）已知函数〃无）ne'-Jd+qx+a.

⑴若为增函数，求。的取值范围；

（2）若/'（X）有两个极值点演，尤2，证明：占+无2＜0.

茏皿解芽揖导.

1、和型芯+%＜2。（或无1+工2＞2。）问题的基本步骤：

①首先构造函数g（尤）=〃尤）-〃2"-%）,求导，确定函数y=〃x）和函数y=g（无）的单调性;

②确定两个零点玉＜。＜马，且〃&）=〃%2）,由函数值g（M与g（a）的大小关系，

得g（%）"a）-/（2af）=/d）-/（2°-芯）与零进行大小比较；

③再由函数V=〃尤）在区间（。,+e）上的单调性得到X,与2a-玉的大小，从而证明相应问题；

2、积型玉々＜a（/（^）=/（^2））问题的基本步骤：

①求导确定了(元)的单调性，得到占,马的范围；

②构造函数/(X)="X)-,求导可得/⑴恒正或恒负；

③得到小)与的大小关系后，将/㈤置换为〃马);

_a/、a

④根据巧与丁的范围，结合/(X)的单调性，可得巧与不的大小关系，由此证得结论.

蔻茏》变式训练

1.(23-24高三上•天津•月考)已知函数/(x)=-gx2+ax-inx(aeR).

⑴当°=1时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)求“X)的单调区间；

(3)若函数“X)有两个极值点和怎&<%),求证：4/(^)-2/(x2)<l+31n2.

2.(24-25高三上•内蒙古包头•开学考试)设函数/(x)=(x-l)2e'-x,

(1)证明：/(x)有两个零点；

⑵记尸(X)是“无)的导数，和马为了(X)的两个零点，证明：2

题型九：隐零点问题综合应用

龙龙》大题典例

(23-24高三下•湖南衡阳•一模)已知函数/(x)=sin尤-aln(6+x)

(1)若/Xx)在x=n处的切线方程为2尤+y+2?r(ln2兀-1)=0,求。、6的值;

⑵若6=1时，在(-1，/上7(x)20恒成立，求。的取值范围；

茏皿解黄指导.

隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区

间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替

换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

蔻塞》变式训练

1.(24-25高三上•浙江杭州・月考)已知函数/(%)=/62-(4+1)尤+lnx,g(x)=A：e*-gav2-2.

⑴讨论的单调性；

(2)证明：/(x)+g(x)>21nx-at-l.

2.(24-25高三上•四川成都•期中)已知函数〃x)=e*-加一x—l.(其中e=2.71828)

⑴当。=0时,证明：/(%)>0

⑵若尤>0时，/(%)>0,求实数。的取值范围；

⑶记函数8(力=巴^-2向的最小值为加，求证：

题型十：导数与数列综合问题

龙麓»大题典例

（23-24高三下•河北•三模）已知函数〃x）=xlnx-冰2+（2〃-l）x-a+l（Q£R）.

⑴若/（%）（。在［1,+⑹恒成立，求实数〃的取值范围;

'+,+'+…+'+L>ln2

(2)证明："+1n+2n+3n+n4〃

蔻变》解送指导.

导函数证明数列相关不等式，常根据己知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量,

通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常

由第一问根据特征式的特征而得到.

龙龙》变式训练

1.（23-24高三下•四川雅安・一模）已知函数/（x）=依?+（l-a）x-lnx.

（1）若/（无）有2个相异极值点，求a的取值范围;

（2）若〃x）Nl,求a的值；

on-1

（1+；）（1+*（1+*北

（3）设机为正整数，若V〃wN*,(1+-----)<m,求机的最小值.

4〃

2.（24-25高三上•上海・月考）已知函数/（元）=lnx-处二9+1.

X

⑴若40,求函数y=/（元）的极值；

⑵①当时，”x）＞o恒成立，求正整数人的最大值；

〃（2----）

②证明：d+lx2）（l+2x3）...［l+n（n+l）］＞e用

茏变》03模拟.

1.(24-25高三上•福建泉州•期中)已知函数/(无)+lnx-(a+l)x,aeR.

⑴当。>0时，讨论/(无)的单调性；

(2)当”>0时，设gQ)=4»,若gQ)既有极大值又有极小值，求。的取值范围.

尤

2.(24-25高三上•山东•期中)已知函数/(x)=ax3+2sinx-x.

(1)求曲线y=AM在点(0J(0))处的切线方程；

⑵当。=1时，讨论/(X)的单调性；

(3)当元20时，f(x)>o,求a的取值范围.

3.(24-25高三上•北京房山•期中)已知函数〃力=依3+加+%在点％处取得极大值5,其导函数了=((外

的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求：

⑴%的值；

(2)«,b,c的值；

⑶函数〃x)在区间［-L3］上的最大值和最小值.

4.(24-25高三上•江苏盐城•期中)设函数，(x)=xe、，xeR.

⑴求〃x)的极值；

(2)已知实数。>0,若存在正实数x使不等式o.3『n3-里立40成立，求。的取值范围；

X

(3)已知不等式〃能)-/(")>左(m-")2对满足加>〃>o的一切实数机，〃恒成立，求实数k的取值范围.

5.(23-24高三下•广东佛山.一模)已知函数/(%)=办l+21nx.

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)当a=l时，若存占、1在,满足了(%)=-『(存,证明：X1+X2>2；

⑶对任意的x>0,尸(到4胧2，+*-欣-1恒成立，其中/'(X)是函数”力的导数，求〃的取值范围.

6.(23-24高三下.浙江杭州•一模)已知函数/⑺=«xlnx-/一1.

⑴若。=1,求〃x)的单调区间；

(2)若04a43,求证"(x)<0;

(3)若/?(x)="x)+x+1,玉产尤2使得/2(石)=/7(无2)=6,求证:先+1<,一司<》+L

龙塞》44真题

1.(2024•全国.图考真题)已知函数/(X)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求的单调区间；

(2)当a<2时，证明：当x>l时，/(x)<e'T恒成立.

2.(2024•全国•高考真题)已知函数〃x)=(l-or)ln(l+x)-尤.

⑴当口=一2时，求/>(X)的极值；

(2)当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

3.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=e'-ax-a3.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)若了(元)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

4.(2024.天津•高考真题)已知函数〃x)=xlnx.

⑴求曲线y=在点(1/⑴)处的切线方程；

⑵若尤-⑸对任意(0,+8)成立，求实数。的值;

(3)若为，匹e(0,1),求证：一引葭

5.(2024・全国•高考真题)已知函数/(x)=ln—^+ca+b(x-l)3

2-x

(1)若6=0,S.f'M>0,求。的最小值；

⑵证明：曲线，=/(元)是中心对称图形；

⑶若〃无)>-2当且仅当1<彳<2,求b的取值范围.

6.(2024.北京.高考真题)设函数/(力=无+搦1(1+力化力0),直线/是曲线y=〃x)在点⑺)(f>0)处

的切线.

⑴当上=—1时，求〃x)的单调区间.

(2)求证：/不经过点(0,0).

(3)当左=1时,设点C(0,/(/)),0(0,0),5为/与y轴的交点，S/C。与LB。分别表示

△ACO与AABO的面积.是否存在点A使得2s△4CO=15%AB0成立？若存在，这样的点A有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

7.(2024.上海.高考真题)对于一个函数和一个点”(a,劝，令s(x)=(x-4+(〃x)-4，若

网通,/优))是5(力取到最小值的点，则称尸是M在/⑺的“最近点”.

⑴对于f(x)=4(尤>0),求证:对于点“(0,0),存在点P,使得点尸是M在/(力的“最近点”;

X

⑵对于/(x)=e=M(L0),请判断是否存在一个点P,它是"在的“最近点”，且直线MP与>=/(尤)在

点尸处的切线垂直；

(3)已知y=/(x)在定义域R上存在导函数/(无)，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

必(r-l,/(r)-g(r)),M2(t+l,f(t)+g(t)).若对任意的reR,存在点尸同时是跖,也在的“最近点”,

试判断〃尤)的单调性.

解答题：函数与导数的综合应用

题型1利用导数研究函数的单调性题型6利用导数证明不等式

题型2利用导数研究函数的极值题型7利用导数研究双变量问题

函数与导数

题型3利用导数研究函数的最值题型8禾惘导数研究极值点偏移问题

综合应用

题型4利用导数解决恒成立与能成立题型9隐零点问题综合应用

题型5利用导数求解函数的零点题型10导数与数列综合应用

题型一：利用导数研究函数的单调性

龙塞》大题典例

(24-25高三上•海南•期中)设函数〃x)=%化/0).

⑴求曲线y=〃x)在点(0,/(0))切线方程；

(2)求函数/(尤)的单调区间；

【答案】⑴丫=壬⑵答案见解析

P丘_kx0kx1-kx

【解析】(1)由题意知尸(x)=e合

ee

所以一(0)=1,/(0)=0,

故所求切线方程为y-o=x-o,化简得y=x.

1—kx

(2)由(1)矢口/'(%)=谭，

当%>0,时，/(%)>0,/(%)单调递增，

尤>；时，f'M<o,单调递减；

当上<0,尤<:时，f'M<0,〃尤)单调递减，尤时，尸(久)>0,“X)单调递增,

KK

所以当左>0时，“X)的单调递增区间是,化,£),单调递减区间是，,

当％<0时,"X)的单调递减区间是「巴£|,单调递增区间是］,+“

茏皿辨:去揖量.

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的

和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤

(1)确定函数/(%)的定义域；

(2)求/'(%)(通分合并、因式分解)；

(3)解不等式/'(%)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/'(%)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

3、含参函数单调性讨论依据：

(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；

(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；

(3)导函数多个零点时大小的讨论。

龙麓》变式训练

1.(24-25高三上•北京•期中)已知函数/>)=丁+依2+法-1在x=l处有极值-1.

(1)求实数加b的值；

(2)求函数g(尤)=办+1血2的单调区间.

【答案】(1)。=-2力=1；(2)g(元)的单调递增区间为单调递减区间为，,+8

【解析】(1)已知函数/(无)=Y+a%2+6x-1,则尸(x)=3x?+2办+6,

:⑴=2a+6+3=0

由题意解得〃=-22=1,

f(l)=a+b=-l

当a=_2,8=l时，f(x)=x3-2x2+x-1,/,(J:)=3X2—4x+l=(x—l)(3x—1),

当•或x>l时，f'{x)>0,当g<x<l时，f'(x)<0,

所以〃x)在［s,：,(l,+8)上均单调递增，在&,1］上单调递减，

所以“X)在X=1处有极小值〃1)=-1,满足题意，

综上所述，〃=-28=1符合题意;

11_2x

（2）由题意g（x）=ov+lnx=lnx_2x,则g[l）=——2=-----,（x>0）,

当0<%<；时，g'（x）>0,当时，g'（x）<0,

所以g（X）的单调递增区间为1。，£|,g（X）的单调递减区间为G，+"]•

X—a

2.（24-25高三上•江苏常州・月考）已知函数/（x）=o产

⑴当。=0时，求曲线y=〃*在点（0,〃0））处的切线方程；

（2）求函数“X）的单调区间.

【答案】⑴）=壬（2）答案见解析

【解析】（1）当a=0时，/5）=在左（"-1）,贝厅（0）=0,

因为尸（%）=言宗，所以1（o）=L

所以曲线丫=/（X）在（。"（。））处的切线方程为y=X.

（2）函数的定义域为（r»,T）u（T,+e）./（x）=

令/'（尤）=0,解得x=2a+l.

一1一JQ]

当2"+=1,即-时，*止而”一即<。

所以函数“X）的单调递减区间为（-8,-1）,（T+功,无单调递增区间；

当2Q+1vT,即Qv-l时，

令尸（久）<0,贝1]了€（—力,24+1）。（一1,+力），令f'（x）>o,贝i]xe（2a+l,-l）,

函数“X）的单调递减区间为（-力,2。+1）,（-1,+8）,单调递增区间为（2。+1,-1）；

当2。+1>-1,即<7>-1时，

令尸（%）<0,则xe（Y0,-l）52a+l,+8），令（（x）>0,则x«T,2a+l）,

函数“X）的单调递减区间为（-8,-1）,（2〃+1,+力），单调递增区间为（-1,24+1）.

综上所述：

当a=T时，函数〃尤）的单调递减区间为（-8,-1）,（-L+8）,无单调递增区间；

当a<-1时，函数/（x）的单调递减区间为（-匕2a+1）,（-1,+功，单调递增区间为（2a+1,-1）；

当a>-l时，函数〃无）的单调递减区间为（-8,-1）,（2。+1,+力），单调递增区间为（-1,2。+1）.

题型二：利用导数研究函数的极值

龙麓»大题典例

(24-25高三上•黑龙江•月考)已知函数/(x)=ax2+(a-2)x-lnx.

(1)当。=0时，求函数/(元)在x=l处的切线；

⑵当a>0时，若/食)的极小值小于0,求。的取值范围

【答案】(1)3尤+y-l=0；(2)0<a<l.

【解析】(1)当a=0时，/(无)=一2工—In尤"⑴=一2,

所以「(无)=一2-工，所以广(1)=一3,

X

所以函数/(X)在x=l处的切线为>+2=-3。-1),即3x+y—l=0；

(2)/(无)的定义域为(0,+s),且-SL+D,

X

当。>0时，令/(无)>0,贝所以/(X)单调递增；

a

令((x)<0,贝iJ0<x<L,所以/(x)单调递减.

a

故当X=工时，/(无)取极小值，

a

所以d，］=lnJ+l<0.

\a)a

设g(a)=InQ-工+l(a>0),

a

贝|g'(a)=L+±>。，所以g(a)是增函数.

aa"

因为g(D=0,所以g(a)<。时，0<a<l.

综上所述，。的取值范围是。<a<L

奥皿犀黄揖号

1、利用导数求函数极值的方法步骤

(1)求导数/'(%);

（2）求方程/'（x）=0的所有实数根；

（3）观察在每个根沏附近，从左到右导函数r（尤）的符号如何变化.

①如果/‘（龙）的符号由正变负，则尸（/）是极大值；②如果由负变正，则/■‘（/）是极小值；③如果在

/'（%）=0的根尤=xo的左右侧/'（X）的符号不变，则不是极值点.

根据函数的极值（点）求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

龙麓》变式训练

1.（24-25高三上・福建宁德・期中）已知函数无）=匕+。为R上的奇函数.

⑴求

⑵若函数g（x）=2（e、+l）〃尤）+2x,讨论g（x）的极值.

【答案】（l）a=-g；（2）极大值为21n2—1；无极小值.

【解析】（1）因为函数/（x）="+a为R上的奇函数，

由f（0）=0,,。,

此时

1-±

刖一一e一一I

"J"）2（e-%+l）+e，♦2（e，+l）2（d+l）2（e，+l）"）'

所以为奇函数.

所以a=一；；

（2）由⑴得:g（尤）=2（e，+l）〃尤）+2尤=2》一^+1超（尤）定义域为凡

g'（x）=2—eA,

由g'（x）>0,得x<ln2；由g'（x）<0,得x>ln2,

g（x）在（-<»,ln2）上单调递增，g（无）在（ln2,+<«）上单调递减，

所以g⑺在x=ln2处取得极大值，

g（尤）极大值=〃ln2）=21n2-1；无极小值.

、Ina+lux

2.（24-25高三上•河南安阳・月考）2知函数〃尤）=]nq+i厂

⑴求“X）的定义域；

（2）若〃x）存在极大值，求。的取值范围

【答案】（l）x«O,y）；（2）ae（Ly）

x>0

【解析】⑴由“X）有意义可得无+1>0,所以xe（O,+8）.

x+lW1

所以函数八久）的定义域为（0,y）；

In(x+1)-Iwc-Ina

(2)由题意可得〃(Q_x_________

O(x+l)[ln(x+l)]2

Y+1

令函数=---ln(x+l)-lnx,

则"(x)=f+l)<0在(o,+e)上恒成立，

所以为(x)在(0,+十)上单调递减，

当x—0时，'(尤)="x+D+,]+[—+8,

,、In(尤+1)+lnjl+-j^0,

当Xf+8时，/?(X)=--------

则有：①当InaWO,即ae（O,l]时，/7（%）-lna>0,即_f（x”0在（0,+e）上恒成立,

即/（X）在（。，+8）上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去；

②当lna>0,即ae（l,+8）时，存在/e（0,+8）,使得/?（%）=lna,

此时，当xe（0,x（））时，/z（x）-lna>0^>/f（x）>0,

当xe（%+ao）时，/2（x）-lna<0^>/,（x）<0,

则在（O,x0）上单调递增，在（％,+向上单调递减，

所以〃x）存在极大值/'（%）,符合题意.

综上所述。«1,+8）.

题型三：利用导数研究函数的最值

龙麓»大题典例

（24-25高三上•江西・月考）已知函数/（尤）=3X」,+2.

⑴求曲线y=在点（0,〃0））处的切线方程；

⑵求””的最值.

【答案】（l）y=2；（2）〃尤）的最大值为〃0）=2,无最小值

【解析】（1）因为〃,=3尤一；一+2

(3-cosx)ex-ex(3x-sinx+2)-3x+sinx-cosx+l

所以7=

^2xex

所以40)=2,r(0)=0,

从而曲线y=/(%)在点(oJ(0))处的切线方程为y=2；

(2)设g(x)=-3x+sinx-cosx+l,显然g(x),/，(x)同号,

贝ljg'(x)=-3+cosx+sinx=&sin]x+：^-3<A/2-3<0,

所以g(x)在(y°,+c0)上单调递减，

注意到g（0）=0,

当x＜0时，/＜（%）＞0,当x＞0时，＜0,

所以在（f,0）单调递增，“X）在（0,+8）上单调递减,

当X趋于负无穷时，/（x）=+2也是趋于负无穷,

当x趋于正无穷时，/⑺=3x_»2趋于0,

所以的最大值为"0）=2,无最小值.

龙龙》期;去揖号.

函数/Xx）在区间句上连续，在（。））内可导，则求函数/（x）最值的步骤为：

（1）求函数〃%）在区间（兄。）上的极值；

（2）将函数/（X）的各极值与端点处的函数值/（a）,/S）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值；

（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。

龙麓》要式训级

1.(24-25高三上•北京•期中)已知函数〃力=(必-依+l)e'(aeR)在尤=2处取得极小值.

⑴求。的值，并求函数"%)的单调区间；

⑵求在区间［-2,0］上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递增区间为(-j-1),(2,y),单调递减区间为(-1,2)；(2)最大值为5e-,最小值为L

【解析】(1)/'(X)=(2尤-a)e*+(x?-ov+l)e*=(X?-av+2x-a+l)e”,

由题意得广⑵=(4一2。+4"+19=0,解得a=3,

/(x)=(x2-3x+l)e\定义域为R,

—(尤)=(f—尤一2)e*=(*+1)(尤一2)e”,

令尸(x)>0得x>2或x<-l,令/''(%)<0得一l<x<2,

故“X)单调递增区间为(-8,-1),(2,+8),单调递减区间为(-1,2),

此时函数/(x)在x=2处取得极小值，满足题意；

(2)由(1)知，故/(X)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，

故在》=一1处取得极大值，也是最大值，/(-l)=5e^,

又〃0)=1,〃-2)=11屋，其中1<1©2,

故〃x)在区间［-2,0］上的最小值为1,

综上，〃尤)在区间［-2,0］上的最大值为5eL最小值为1.

2.(24-25高三上•湖北武汉•期中)已知函数/(尤)=以-111耳。€11).

-1"Ia

⑴若函数〃无)在-,1上的最小值为；，求。的值；

(2)若a=0,函数g(x)=e*+/?°,求g(x)的最小值.

【答案】(D&;(2)1.

【解析】(1)因为〃x)=衣一In无，-,1,故可得尸(x)=a-L-e［l,e］,

_e_xx

~i~|a

①若aWl,尸(x)<0,y=f(x)在一」单调递减，〃x)的最小值为"l)=a=:不满足。41；

②若1<a<e,

令((x)>o,解得，故y=f(x)在单调递增；

令/'(x)<0,解得9故y=/(%)在单调递减；

_eaJ\_eaJ

故y=/(%)的最小值为/p_]=l-ln'="|,即ln〃=；,解得〃=血，满足leave；

③若aNe,/V)>0,y=f(x)在-,1单调递增，

_e

〃元)的最小值为/'口]=q+1=|>解得°="|,不满足心e；

IejeL，

综上所述，a—Ve.

(2)若a=0,"x)=—ln尤，g")=e',

定义域为(。,+s),g'(x)=e'+芈=x%*：lnx,

XX

2%xx

令=xe+lnx(x>0),/z(x)=e(f+2Xj+—=xe(x+2)+—>0,

故y=/z(x)在(0,y)单调递增，又〃=：虚一ln2<0,/z(l)=e>0,

故存在使得//(毛)=0,也即丘'。+1!1%=0,且g，(x0)=0,

且当xw(O,尤0),/i(x)<0,g'(x)<0,y=g(x)在(0,%)单调递减；

当xe(%,+oo),h(x)>0,g'(x)>0,y=g(x)在5,+»)单调递增；

故g(%)的最小值为g(尤。)=e*-；

不

由上述求解可知，无;e'。+山毛=0,尤o,贝”()e~,令〃2(x)=xe*,x>0,

\2JXQXQ

则加⑴=匕"(％+1)>0,故机(无)在(0,+co)单调递增；

X1,1」1c[1玄1

xoe°--In—，也即加(％o)=加In—,又入0>。，1口一>0,故％o=ln—,即e()二一；

毛/<x0J毛4毛

ln-

Inx+1_1Inx+1_lnx_x

又g(尤o)=e*-0000=r

X0%0X。

故y=g(x)的最小值为i.

题型四：利用导数解决恒成立与能成立

龙麓»大题典例

(24-25高三上•河北衡水・月考)已知函数〃x)=e［x2-x+i).

⑴求函数〃x)的单调区间；

⑵函数在上恒成立，求最小的整数a.

【答案】(1)单调增区间为(-8,-1),(0,+e),单调减区间为(-1,0)；(2)3

【解析】(1)H^j/(x)=ev(x2-x+l),则尸(x)=eYd+x)=x(x+i)e，，

因为e，>0恒成立,由广(%)>0,得至!|x<-l或x>0,由尸(一〈因得至！J-

所以函数“X)的单调增区间为(0,+8),减区间为(T0).

(2)由(1)知"X)=e'(尤2-x+1)在区间［―2,—1)上单调递增，

在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1］上单调递增，

又〃一1)=三，/(l)=e,显然有/(T)<AD,

e

所以〃x)=e，-尤+1)在区间［-2,1］上最大值为e,

又函数了(94。在［-2,1］上恒成立，所以aNe,得到最小的整数a=3.

莪A期;去揖呈

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的

新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩

法，注意恒成立与存在性问题的区别.

龙麓》变式训练

1.(24-25高三上•四川成都・期中)已知函数〃x)=e「(a+l)x

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵若/(力=e,-+1)x*对于xeR恒成立，求8-a的最大值.

【答案】(1)答案见解析；(2)1+-

e

【解析】(1)/，(x)=eA-(a+l),当aW-L,〃x)在R上单调递增，

当〃>一1,令/'(%)>0得x>ln(a+l),令/'(%)V。得X<ln(a+l),

故/(%)在(-8,ln(a+l))单调递减，(ln(a+l),+8)单调递增，

综上，当aK-1时，"X)在R上为单增递增；

当a>-1时，/(%)在(-8,In(a+1))单调递减，(in(a+1),+00)单调递增；

(2)由(1)知，当av—1,〃%)在R上为单调递增，

%--00,/(%)-不合题意

当a=—1,/(%)在R上单调递增，光——oo,4%)-0,

故/?WO,Z?-。的最大值为1,

当,〃力在(-8,In(a+1))单调递减,(in(a+1),+oo)单调递增,

所以在％=ln(〃+l)处取得极小值，也是最小值，

/(ln(a+l))=?呵"+1)_(a+l)ln(a+l)_Z?=(a+l)_(a+l)ln(a