2025年上海市高三数学二轮复习：直线和圆的方程（6题型+高分技法+限时提升练）

热点10直线和圆的方程

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年直线的倾斜角、圆的标准方程

2023年圆的一般方程圆的方程、直线与圆的位置关系

2022年直线与圆的位置关系、方程组解的个数与两

直线的位置关系

热点题型解读

题型4圆的方程题型1直邮倾斜角与斜率

题型5直线与圆的位置关系直线和圆的方程题型2两直线的位置关系

题型6圆与圆的位置关系题型3直线的交点坐标与距离公式

题型1直线的倾斜角与斜率

直线的斜率k与倾斜角a之间的关系

a0°0°<a<90°90°90°<«<180°

k0k>0不存在k<0

j牢记口诀：“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

涵:工航’置算二齐i;涵赢蒋天涵‘二i

2.（2024•上海青浦,二模）已知直线4的倾斜角比直线4：，=xtan80。的倾斜角小20。，贝也的斜率

为.

3.（2024・上海嘉定•一模）直线3x-y+l=0的倾斜角为.（用反三角函数表示）

4.（2024•上海奉贤•二模）函数y=sin（wa+e）的图像记为曲线尸，如图所示.A,B,C是曲线

厂与坐标轴相交的三个点，直线与曲线厂的图像交于点若直线40的斜率为k，直线的斜率

为心，h手2%,则直线AB的斜率为.（用《，心表示）

5.（2024・上海・三模）若曲线C的切线/与曲线C共有"个公共点（其中〃eN,«>1）,则称/为曲线C的

"4-切线

⑴若曲线y=〃x）在点（1,-2）处的切线为石-切线，另一个公共点的坐标为（3,4）,求广⑴的值；

⑵求曲线y=/一3/所有切线的方程；

⑶设/（尤）=x+sinx,是否存在re（0g）,使得曲线y=〃x）在点（。/⑺）处的切线为4一切线？若存在,

探究满足条件的f的个数，若不存在，说明理由.

题型2两直线的位置关系

判断两条直线位置关系的注意点

（1）斜率不存在的特殊情况.

（2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

兀春1E蓑紊嬴三超7百斯三家着磋7二二27；516:‘『：'；二5二6：工；*石］6•军而芬区美不筋芬；

则满足条件的上的值共有（）

A.1个B.2个C.3个D.无数个

2.（2023・上海松江•二模）已知直线4:依+y+l=。与直线4：了+对一2=。，则""/r是"a=l"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

3.（2022•上海）若关于尤，y的方程组卜+四'=2。有无穷多解，则实数机的值为

[nvc+16y=8----

4.（2024•上海,三模）已知直线/的倾斜角为且直线/与直线机：x-括y+l=0垂直，则。=

5.（2024・上海奉贤•一模）若直线4：x+ay-2=0与直线4：。尤+>-2=0互相垂直，则。=.

6.（2023・上海长宁•三模）已知直线乙：x+y=0和&:2x-町+3=0（aeR）,41Z2,则"=.

,fx+my=2

7.（2023・上海崇明•一模）已知方程组J。无解，则实数，〃的值等于____.

[mr+16y=8

8.（2022・上海宝山・二模）已知直线苫+22+q=0与直线为-右+116=0互相平行且距离为小.等差数列{%}

的公差为d,且a7a8=35,%+<°，令E,=|4I+[%I+3I+…+141，则鼠的值为

9.（2022・上海虹口•二模）设aeR,keR,三条直线4：ax-y—2。+5=。，l2:x+ay-3a-4=0,l3:y=kx,

则4与k的交点M到4的距离的最大值为.

题型3直线的交点坐标与距离公式

■---------------二1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r

ii

IiaaoeI

1.利用距离公式应注意的点

ii

：（1）点P（尤0,yo）到直线x=a的距离d=|xo—a|,到直线y=6的距离1=院一例.

乂2）两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中无，y的系数化为相等.

2.对称问题的求解策略

；（1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.

（2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解

ii

；题.

1।

1.（2后1工福要.三植藏着谟'『：；二5/二5二F&Z美了直说:五二3-4=o对称，则直线万筋痛团“）

A.llx+2y-22=0B,lk+y+22=0

C.5%+y-n=0D.10x+y-22=0

2.（2023・上海静安•一模）若直线x+2y+3=。与直线2%+“y+10=0平行，则这两条直线间的距离

是.

3.（2024•上海奉贤•二模）抛物线丁=4x上一点到点（1,0）的距离最小值为.

4.（2023・上海徐汇•一模）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平

截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽3C为1米，则该设备能水平通过

直角型过道的长A3不超过一米.

5.(2023・上海徐汇・一模)已知正实数。,匕满足3a+26=6,贝1.+—»+1的取最小值________.

6.(2023•上海青浦•一模)在平面直角坐标系中，40,0),2(1,2)两点绕定点尸按顺时针方向旋转。角后，分

另I］至IJA(4,4),2'(5,2)两点位置，则cos。的值为.

7.(2023・上海宝山•一模)设点尸在直线/：2x-y-5=0上，点。在曲线「y=x+l皿上，线段尸Q的中点为

M,。为坐标原点，则|。加|的最小值为.

题型4圆的方程

1.求圆的方程的常用方法

ii

1(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

j(2)待定系数法

：①若已知条件与圆心(d6)和半径厂有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

ii

:②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

ii

2.求与圆有关的轨迹问题的常用方法

II

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

；(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

3.与圆有关的最值问题的求解方法

:⑴借助几何性质求最值：形如(x—a)2+(y—6)2形式的最值问题.

ii

j(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判

别式法、基本不等式法等求最值.

.(3)求解形如IPM+IPNI(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①“动化定”，

II

把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之

和，一般要通过对称性解决.

ii

1.(2023•上海)已知圆炉+y2-4x一切=。的面积为%，则根=.

2.(2023•上海)已知圆。的一般方程为炉+2%+:/=0,则圆。的半径为.

3.（2024・上海长宁•一模）以C（3,4）为圆心，石为半径的圆的标准方程是.

4.（2024・上海普陀•模拟预测）已知圆/+必一人-相=。的周长为2兀，则实数垃的值为.

5.（2023•上海•模拟预测）已知圆/+/-4*-机=0的面积为兀，贝！|加=.

6.（2024•上海）正方形草地ABCD边长1.2,E到/W,4D距离为0.2,尸到BC,CD距离为0.4,有个

圆形通道经过E,F,且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长.（精确到0.01）

7.（2023・上海•模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现："平面内到两

个定点A、8的距离之比为定值2（九21）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点尸（相,"）在圆O：/+y2=i上，若点A（_g,o）,点则2|尸A|+|PC|的

最小值为

8.（2023・上海奉贤•一模）已知直线，i：y-2=0和直线/2：x+l=。，贝U曲线（尤一1）2+丁=1上一动点尸至|]直线

A和直线12的距离之和的最小值是.

22

9.（2024・上海,三模）已知圆£:（x-l1+（y-1厂=1,@[C2:（x—4）+（y—5）=9,M,N分别是圆G、

圆G上的动点，点尸为尸—上的动点，则1PMi+1次|的最小值是.

10.（2024・上海•模拟预测）平面点集｛（尤,〉）1（X-3行+（…苗行=9,6洌所构成区域的面积为.

11.（2023・上海•模拟预测）已知e为单位向量，向量2/满足卜-20=2,卜-30=3,则的取值范围是

12.（2023•上海崇明・一模）已知正实数a,6,c,d满足a?-〃6+1=0,<?+d2=1,则当（。-。7+（6一〃）2取得最

小值时，ab-

13.（2024・上海静安•二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥.如平面图所示，现已经在地平面以上造

好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A与点8.现在准备以地平面上

的点C与点。为起点建造上、下桥坡道，要求：①忸D|=|AC|；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，

坡度为1：2忘（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡

道；④在过桥的路面上骑车不颠簸.

⑴请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来;

⑵并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）

⑶若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的相关几何体，提

出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不

必计算).

14.(2023・上海宝山•一模)以坐标原点为对称中心，焦点在x轴上的椭圆「过点A(-2,0),且离心率为当.

(1)求椭圆「的方程；

(2)若点3(1,0),动点M满足|阿=求动点”的轨迹所围成的图形的面积；

⑶过圆/+9=4上一点尸(不在坐标轴上)作椭圆「的两条切线小4.记OP、卜4的斜率分别为品、&、k2,

求证：左0化+左2)=-2.

题型5直线与圆的位置关系

1.圆的切线方程常用结论

：(1)过圆/+产二，上一点?(尤0，yo)的圆的切线方程为尤0%+涧丫=只

(2)过圆，外一点比(xo,刃)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xw+yoy=X

；2.判断直线与圆的位置关系的常见方法

\(1)几何法：利用d与r的关系判断.

;(2)代数法：联立方程之后利用/判断.

；(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

3.弦长的两种求法

(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

II

2

!(2)几何法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长1=2弋1T.

4.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

(1)几何法：设切线方程为y-yo=Mx—xo),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令

d=r,进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为y一为=网无一无0),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后

［令判别式/=0进而求得上

ii

注意验证斜率不存在的情况.

5.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线

II

上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

\_________________________________________________________________________________\

1.(2022•上海)设集合O={(x,y)\(x-k)2+(y-k2)2=4\k\,keZ］

①存在直线人使得集合O中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合。中存在无数点在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

2.(2024•上海普陀•二模)直线/经过定点尸(2,1),且与x轴正半轴、,轴正半轴分别相交于A,8两点，。为

坐标原点，动圆M在△OAB的外部，且与直线/及两坐标轴的正半轴均相切，则△Q4B周长的最小值是()

A.3B.5C.10D.12

22

3.(2024・上海静安•一模)以双曲线三一21=1的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相

4m

切，则〃？的值为.

4.(2023•上海普陀•模拟预测)抛物线产=4尤的准线与圆V+y2=2相交于48两点，贝［回卜.

5.(2023•上海宝山•三模)已知曲线G：9|=工+2与曲线C2：(x-a)2+/=4恰有两个公共点，则实数。的

取值范围为.

6.(2025・上海•模拟预测)在平面直角坐标系中，已知曲线「三+y2=l(yZ0),点尸、。分别为:T上不同的

(1)求「所在椭圆的离心率;

(2)若T(1,O),。在y轴上，若T到直线PQ的距离为手，求P的坐标；

⑶是否存在使得了。是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求f的取值范围；若不存在，请

说明理由.

题型6圆与圆的位置关系

分

1.圆与圆的位置关系的常用结论

I

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.

(2)两个圆系方程

①过直线Ax+By+C=O与圆^+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为工2+^+瓜+石丫+/+/1(加+为+

Q=O(/ieR)；

222

②过圆G：x+/+r>a+£1y+Fi=0和圆C2：X+J+DU+E2^+F2=0交点的圆系方程为一+产十口无

+Eiy+尸—1)(其中不含圆。2，所以注意检验。2是否满足题意，以防丢

解).

2.(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用

代数法.

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去f,y2项得到.

I

；二七023.上属善植三葭T霞》为曲线C:V=4x上的任意二商「京万冢E访‘通，函离为d.若芙于百富

A==4和8={(尤,y)|(x-l)2+(y-l)2=)},给出如下结论：

①任意re(0,田)，AcB中总有2个元素；②存在7e(0,+划，使得A8=0.

其中正确的是()

A.①成立，②成立B.①不成立，②成立

C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立

2.（2023•上海徐汇•一模）已知圆G的半径为3,圆G的半径为7,若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）

A.0B.4C.8D.12

3.（2023•上海浦东新•模拟预测）以尸为圆心的动圆与圆G：（X+2）2+V=I和圆C2：（x-2）2+y2=r2（r>0）均

相切，若点P的轨迹为椭圆，则,的取值范围是—.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

L（2023・上海•模拟预测）已知圆C的一般方程为Y+2x+y2=o,则圆C的半径为

2.（2023•上海普陀•一模）设加eR.若直线//=-!与曲线+（y-根『=1仅有一个公共点，则

m=.

3.（2024・上海长宁•二模）直线2尤-y_3=0与直线x-3y-5=0的夹角大小为.

2

4.（2023・上海•模拟预测）已知双曲线r2-V=1（。>0）的渐近线与圆丁+y一4>+3=0相切，贝心=.

5.（2023・上海金山.一模）若集合4=［（尤,'）1*+、）2+尤+'一2401,B=^（x,y）|（x-a）2+（y-2a-l）2<a2-1|,

且AB^0,则实数。的取值范围是.

6.（2023•上海黄浦•一模）已知曲线G：y=Ji-%?与曲线C2:y=也一无？,长度为1的线段AB的两端点4、

8分别在曲线C|、Q上沿顺时针方向运动，若点A从点（-1,0）开始运动，点8到达点（忘,0）时停止运动，

则线段AB所扫过的区域的面积为.

2

7.（2023・上海闵行•二模）已知抛物线C］：丁=8了，圆Cz：（%-2）+/=1,点M的坐标为（4,0）,P、Q

分别为G、G上的动点，且满足|PM|=|PQ|,则点P的横坐标的取值范围是.

8.（2023・上海奉贤・三模）正方体-A4GQ的棱长为4,尸在平面BCQ耳上，A,尸之间的距离为5,

则C1、尸之间的最短距离为.

PO

9.（2023・上海嘉定•三模）已知点P是抛物线丁=8尤上的动点，。是圆（x-2>+丁=1上的动点，贝I］质■的

最大值是.

10.（2024・上海•模拟预测）波斯诗人奥马尔・海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程=H0,6>0）

的几何求解方法.在直角坐标系xOy中，P,0两点在X轴上，以。尸为直径的圆与抛物线C:x2=ay交于点

R,氏。，0。.已知％=|。。|是方程尤3+44=匕的一个解，则点尸的坐标为.

11.（2024・上海•模拟预测）正方形草地ABCD边长L2,E到AB,/⑦距离为0.2,尸到8C,8距离为Q4,有个

圆形通道经过E,尸，且经过AD上一点，求圆形通道的周长.（精确到0.01）

12.（2024•上海■一■模）已实数77人〃满足加2+〃2V1,贝!J|2a+〃-2|+|6-相-3司的取值范围是.

二、单选题

13.（2023•上海普陀•一模）若椭圆「的两个顶点和焦点都在圆0：%2+/=4±,如图所示，则下列结论正

42

B.过椭圆「上的点作圆。的切线，一定有两条

c.圆。上的点与椭圆r上的点的距离的最大值是2（血+1）

D.直线x+y+20=O与椭圆「有交点，与圆。无交点

14.（2023・上海虹口•一模）设，”eR,已知直线/：＞=如+1与圆C:/+y2=i,则＞0"是"直线/与圆C相

交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2023・上海金山•一模）已知正四面体ABCD的棱长为6,设集合。={尸||”区2夕，点26平面3。＞},

则。表示的区域的面积为（）

A.%B.3%C.4%D.6%

16.（2024上海・三模）设集合。={（*,丫）|/+丁wO,xeR,yeR},点P的坐标为（x,y）,满足"对任意（dZ?）eU,

都有麻+网+忸-同＜4Ji?+万，，的点尸构成的图形为Q,满足"存在（a,b）eU,使得

|冰+力|+|云-初|<4"方"的点P构成的图形为对于下述两个结论：①R为正方形以及该正方形内

部区域；②5的面积大于32.以下说法正确的为（）.

A.①、②都正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①、②都不正确

三、解答题

17.（2024・上海•模拟预测）己知直线/：>=丘+£与双曲线。：］-丁=1相切于点。.

（1）试在集合'1>中选择一个数作为上的值，使得相应的［的值存在，并求出相应的1的值；

（2）设直线加过点M（-3后,0）且其法向量〃=化-1）,证明：当人>”时，在双曲线C的右支上不存在点N,

使之到直线机的距离为"；

⑶已知过点。且与直线/垂直的直线/‘分别交无、y轴于A、B两点，又P是线段A3中点，求点P的轨迹方

程.

18.（2022・上海崇明•二模）已知双曲线「x2-y2=4,双曲线「的右焦点为圆C的圆心在y轴正半轴

上，且经过坐标原点。，圆C与双曲线「的右支交于A、B两点.

⑴当以是以b为直角顶点的直角三角形，求△。阴的面积；

（2）若点A的坐标是（右,1）,求直线AB的方程；

⑶求证：直线A8与圆/+产=2相切.

19.（2023•上海崇明•一模）已知椭圆=+^=1（。＞1）的右焦点为F，左右顶点分别为A、B,直线/过点B

a

且与尤轴垂直，点P是椭圆上异于A、8的点，直线AP交直线/于点D

（1）若E是椭圆的上顶点，且△皿是直角三角形，求椭圆的标准方程；

（2）若a=2,ZPAB=45°,求的面积；

⑶判断以3D为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.

20.（2023•上海徐汇・模拟预测）已知抛物线：r：/=4x的焦点为F，准线为/,过焦点F作直线〃?交抛物线

于4（%，%）、5（孙为）两点.

（1）过点A作直线/的垂线，垂足为P,若尸尸在。=（。,3）上的数量投影为26，求的面积；

（2）设直线〃?交）轴于点。，若。4=彳酢，DB=uBF,求2+〃的值；

⑶设。为坐标原点，直线Q4、08分别与/相交于点/、N.试探究：以线段为直径的圆C是否过定

点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.

21.（2024•全国,模拟预测）在平面直角坐标系中，点4（-4,。），氏4,0）,四边形ABC。的对角线交于

点、E,且|A&=|A£|=4,AD//BC,记动点C的轨迹为r.

（1）求「的方程；

（2）过点「。,0）的直线与：T交于M,N两点，直线"8与『的另一个交点为S,直线NB与「的另一个交点为T,

试判断P,S,T三点是否共线，并说明理由.

热点10直线和圆的方程

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年直线的倾斜角、圆的标准方程

2023年圆的一般方程圆的方程、直线与圆的位置关系

2022年直线与圆的位置关系、方程组解的个数与两

直线的位置关系

热点题型解读

题型4圆的方程题型1直邮倾斜角与斜率

题型5直线与圆的位置关系直线和圆的方程题型2两直线的位置关系

题型6圆与圆的位置关系题型3直线的交点坐标与距离公式

题型1直线的倾斜角与斜率

直线的斜率k与倾斜角a之间的关系

a0°0°<a<90°90°90°<«<180°

k0k>0不存在k<0

j牢记口诀：“斜率变化分两段，90。是分界线；

遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.

涵:工鼾'置募二齐i二涵赢演杯泊…

【分析】求出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即可求得倾斜角的大小.

【解答】解：由直线x-y+l=0变形得：y=x+l,

设直线的倾斜角为a,即tana=1,

因为ae[0,180°),

所以0=45。.

故答案为：45°.

【点评】本题考查了直线的倾斜角的求法，以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系

是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围，属基础题.

2.（2024・上海青浦•二模）已知直线4的倾斜角比直线4：y=xtan80。的倾斜角小20。，贝必的斜率

为.

【答案】6

【分析】根据直线4方程求出直线4斜率为tan80?,由此确定直线4倾斜角80?,结合已知条件求得直线倾

斜角为60。，由此即可求得直线乙的斜率.

【详解】由直线4方程：＞=xtan80?得4的倾斜角为80?,

所以6的倾斜角为60。，即4的斜率为tanBO?

故答案为：V3.

3.（2024・上海嘉定•一模）直线3x-y+l=0的倾斜角为.（用反三角函数表示）

【答案】arctan3

【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案.

【详解】由直线3x-y+l=0,则该直线的斜率为3,设其倾斜角为凡则tan6=3,

解得6=arctan3.

故答案为：arctan3.

4.（2024•上海奉贤•二模）函数_y=sin（Mzx+0）］川＞0,|司＜3的图像记为曲线片如图所示.A,B,C是曲线

厂与坐标轴相交的三个点，直线8C与曲线厂的图像交于点若直线AM的斜率为L，直线BM的斜率

为心，心力2左，则直线AB的斜率为.（用K，网表示）

【分析】根据正弦函数的图象与性质写出A,8,C,M的坐标，求出。然后确定它们的关系.

【详解】由题意wXc+O=2E,%eZ,%=2'0,贝卬4+。=2E+7I,%eZ,=2fct+TT＜p

ww

B（O.sin^）,由网〈巴得。＜夕＜g,则知（型3,_sin°）,

22w

wsm(pwsin^wsm(p

.b—.kAR=

cp-lkn+Ti(p-2kjicp-lkit-Ti

又左2。2%,所以k=[2,

AB乙K、K,

桃2

故答案为:

2kI-k2

5.(2024・上海・三模)若曲线C的切线/与曲线。共有〃个公共点(其中〃wN,n>l),则称/为曲线。的

，Z一切线

⑴若曲线y=〃x)在点(1,-2)处的切线为方-切线，另一个公共点的坐标为(3,4),求广⑴的值;

(2)求曲线y=d一3一所有工-切线的方程；

⑶设〃x)=x+sinx,是否存在fe(0g),使得曲线y=在点［，处的切线为十一切线？若存在,

探究满足条件的f的个数，若不存在，说明理由.

【答案】⑴3；

⑵y=-3x+l；

⑶存在，唯一一个.

【分析】(1)利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.

(2)求出函数y=V_3尤2在(x(，芯-3%)处的切线方程，再利用？；-切线的定义求解即得.

(3)求出函数的导数，由曲线丁=/(尤)在点。,/(。)处的切线方程，构造函数g(x),利用导数探讨极

值，由g。)有3个零点建立关系并求解即得.

【详解】(1)依题意，该切线的斜率为=0=3,因此/(1)=3.

(2)由y=d—3%2,求导得y，=—6%，

则曲线丁=丁_3必在(/芯一3只)处的切线方程为：y—(4―3焉)=(3君—6%)(x—/)，

322

令人(x)=x-3x-(3xg-6x0)x+3XQ—6X：-X1+3x：,整理得/z(x)=(x-x0)(x+2x0-3),

此切线为1-切线，等价于方程/了)=。有且仅有一个根，即毛=3-2%,即/=1,

所以曲线y=%3—3/的汇―切线仅有一条，为y=_3x+l.

(3)由(x+sinW=l+cos%,得曲线y=/(x)在点。］⑺)处的切线方程为：

y一，一sinr=(1+cos,即y=(1+cost)x+smt—tcost,

令g(%)=(%+sin%)_［(l+cos力尤+sin'—/cos〃=sinx-xcost-sint+tcost,

71

求导得g'(x)=cos尤一COS/,由/£(0,_),得cos，£(0,1),

对左£Z,当x£(2E-t,Ikn+，)时，gr(x)=cosx-cos>0,y=g(x)为严格增函数；

当工£(2E+1,2kn+2兀一。时，gr(x)=cosx-cos/<0,y=g(x)为严格减函数，

函数y=g(x)所有的极大值为g(2E+f)=-2foicosf,

当左=0时，极大值等于0,即g(r)=0,

当人为正整数时，极大值全部小于o,即y=g(x)在《,+8)无零点，

当上为负整数时，极大值全部大于0,

函数y=g(x)所有的极小值为gQknT)=(2r-2far)cosr-2sinZ,

当左=0时，极小值g(-t)=2tcos，一2sin%=2cost(t-tanZ)<0,

且随着女的增大，极小值(2/-2kJi)cosZ-2sint越来越小，

7T

因止匕y=/(x)在点。"⑺)(0<t<5)处的切线为一切线，

等价于y=g(%)有三个零点，等价于(2，+27r)cos，—2sin，=0,即tan，—，=7i有解，

令7zQ)=tan/—l,贝|//(力=—?-——1=tan2r>0,

cosZ

TT3

因止匕y=h(t)为(0,万)上的严格增函数，因为/z(0)=0<71,/Z(-)«12.6>71,

7T

于是存在唯一实数fe(0,R,满足tai"T=7i,

2

所以存在唯一实数te(0mTT)，使得曲线y=/(X)在点”,/«))处的切线为73一切线.

【点睛】结论点睛：函数y=/(x)是区间。上的可导函数，则曲线y=/(x)在点(%,/(%))(七€0处的切线方程

为：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

题型2两直线的位置关系

・・■・■・1・■・■・■・■・■・■■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■■■・■・■■■■■■・■・■・■・■・■・■■■■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■・■■■・1・■・■・■・■・■・■・■・■・■・・・■・■・■・■・・・・・・・・■■・■■■・■■■■・■・■■■・7

判断两条直线位置关系的注意点

(1)斜率不存在的特殊情况.

(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.

:…心023.北竟亲最三超T百而三豕皆磋7：>:2y+2=61%勺甘胃7工7誓苏=。将平商刘式褊:夯

则满足条件的左的值共有()

A.1个B.2个C.3个D.无数个

【答案】C

【分析】考虑三条直线交于一点或4与乙或乙平行时，满足条件，求出答案.

【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，

[x=2

联立4：x-2y+2=0与4：尤-2=0,解得

[y=2

x=2

则将《c代入4：x+@=。中，2左+2=0,解得上=—1,

[y=2

当&：x+6=。与4：x-2y+2=0平行时，满足要求，此时左=—2,

当4：x+份=。与4：%-2=0平行时，满足要求，此时左=0,

综上，满足条件的上的值共有3个.

故选：C

2.（2023・上海松江•二模）已知直线4：依+丫+1=0与直线,：龙+冲-2=0,则“他"是"。=1"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】由"4,求得〃=±1,结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由题意，直线《：依+>+1=0,直线4：x+“y-2=。，

因为〃〃2，可得axa=lxl,aw-2,即°2=1,解得a=±l,

所以“〃〃2"是"。=1"的必要非充分条件.

故选：B.

3.（2022•上海）若关于x,y的方程组卜+机：=2有无穷多解，则实数旭的值为_.

[mx+16y=8

【分析】根据题意，分析可得直线无+叼=2和〃a+16y=8平行，由此求出m的值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，若关于x,y的方程组卜+"少=2有无穷多解，

[mx+16y=8

见I直线无+阳=2和“zx+l6y=8重合，则有lxl6=/nx/w,即苏=16,解可得租=±4,

当根=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当根=Y时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故"7=4.

故答案为：4

【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

4.（2024・上海•三模）已知直线/的倾斜角为a,且直线/与直线加：尤-石y+l=0垂直，则夕=

2兀

【答案】y

【分析】根据题意，求得直线m的斜率，结合直线/、机互相垂直算出/的斜率，进而求出倾斜角。的大小.

【详解】直线〃z:x-也y+l=0即+斜率％=3,

-333

因为直线/、加互相垂直，所以直线/的斜率匕=一一6

直线/的倾斜角为a,贝Utana=-VL结合。«0,兀），可知

2兀

故答案为：y.

5.（2024・上海奉贤•一模）若直线4：%+砂-2=0与直线4：依+>-2=0互相垂直，则。=.

【答案】0

【分析】根据直线互相垂直求出。的值.

【详解】由题意得lxa+axl=0,解得。=0.

故答案为：。

6.（2023・上海长宁•三模）已知直线/：x+y=0和&：2x-金+3=0（aeR）,若/一4，则。=.

【答案】2

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

【详解】直线《：x+y=0和4:2x-g；+3=0（aeR）,1Z2,

则1x2—axl=0,解得a=2.

故答案为：2.

Ix+my=2

7.（2023・上海崇明•一模）已知方程组匕。无解，则实数机的值等于____.

[mx+16y=8

【答案】-4

fx+my=2

【分析】方程组J。无解，转化为直线x+冲=2与直线枢x+16y=8平行，即可解决.

[〃ix+16y=8

fx+my=2

【详解】由题知，方程组J。无解，

[mx+16y=8

所以直线无+殁=2与直线痛+16y=8平行，

所以16-加2=0,解得"?=±4,

当m=4时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，

当祖=T时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，

故答案为：-4

8.（2022・上海宝山・二模）已知直线彳+2丫+6=0与直线彳-力+11君=0互相平行且距离为优.等差数列{%}

的公差为d,且%%=35,4+。0<°,令公=111+[出1+1/1++1I，则S,"的值为

【答案】52

【分析】根据平行线的距离求出d和机的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.

【详解】由题意知，d乎0,

因为两直线平行，所以半，解得“=-2,

1-d11V5

由两平行直线间距离公式得m="1/一丙=10,

由%•。8=%.(%-2)=35,解得%=-5或。7=7.

又％+«10=2rtj<0,所以%=—5,即%=q+6d=-5,

解得q=7,所以a“=4+(”_l)d=_2〃+9.

所以几=同+同+|