2025年上海市高三数学二轮复习：平面向量及其应用（4题型+高分技法+限时提升练）

热点08平面向量及其应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、平面向量的运算

空间向量基本定理

2023年平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性

质及其运算

2022年平面向量数量积的性质及其运算

热点题型解读

题型1平面向量的线性运算

题型2平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量及其应用

题型3平面向量的数量积

题型4平面向量的应用举例

题型1平面向量的线性运算

I---------------二7-------------------------------------------------------------------------------y

iU*i

I

II

平面向量线性运算的解题策略

Ii

:(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.

'i'「苞莅T工褊1航号羸族簿5百如百3为歹嬴7吊赤芯「百荒：益;品:品:行:示:丽甚说名.―“『

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

2.(2023・上海嘉定•三模)如图直线/以及三个不同的点A,A,O,其中Oe/,设苏=°,OA'=b，直线

忖—(.,.)a=—(b*a

/的一个方向向量的单位向量是配下列关于向量运算的方程甲：1_11\/I,乙：

a-e=b-e

a+6=2（“.e）e,其中是否可以作为A,A关于直线/对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（）

A.甲乙都可以B.甲可以，乙不可以

C.甲不可以，乙可以D.甲乙都不可以

3.（2024•上海杨浦二模）平面上的向量入满足：同=3,何=4,定义该平面上的向量集合

A=｛x\\x+a\<\x+bI,尤・万〉兀5｝.给出如下两个结论：

①对任意"eA，存在该平面的向量ZeA，满足卜-4=0.5

②对任意"eA，存在该平面向量7eA，满足k-@=0.5

则下面判断正确的为（）

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①正确，②正确D.①错误，②错误

4.（2023・上海长宁•一模）设向量4=若壬〃B,贝!]m=.

5.（2023・上海•模拟预测）在VABC中，AC=4,BC=3,点尸是43的中点，则丽.方=.

6.（2023•上海闵行•三模）已知A3,C是同一直线上三个不同的点，。为直线外一点，在等差数列｛4｝中,

OA=a2OB+a6OC,则数列｛%｝的前7项和S7=.

7.（2023・上海黄浦・三模）在VABC中，ZC=90%ZB=30%NBAC的平分线交8c于点Q,若

丸

而=2通+〃码4〃eR）,贝!][=.

8.（2024・上海•三模）设平面向量力=（sin6,l）,5=（cos。,若），若苕，5不能组成平面上的一个基底，贝I

tan8=.

9.（2023•上海金山•二模）已知2、b>c>[都是平面向量，且|Z|=|2£-石|=|58-2|=1,若=

则|B11+工-71的最小值为.

10.（2023・上海浦东新•模拟预测）已知复数w=3+",z=XW,其中Xe[0,l].则|z-M+|z-2|的最小值

为.

11.（2023•上海闵行•二模）平面上有一组互不相等的单位向量的，砒，…，西，若存在单位向量而满

足赤・西+丽•嗨+…+而・西=0,则称而是向量组的，两，…，西的平衡向量.已知

向量而是向量组函，弱，弧的平衡向量，当丽•的取得最大值时，西•砥的值

为.

12.（2024・上海松江•二模）已知正三角形ABC的边长为2,点D满足①=相互+〃函，且机>0,〃>0,

2〃?+〃=1,则|而|的取值范围是.

13.（2023・上海松江•二模）已知点A3是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且|丽卜2a（a>0）.若存

在"z,”eR,使得加荏+函与〃荏+砺垂直，S.^mAB+OA^-^nAB+OB^=a,则|AB|的最小值为.

14.（2023・上海徐汇・三模）己知平面向量£,b-3满足忖=2,卜+0=1,C=XQ+〃〃且力+2〃=1,若

对每一个确定的向量Z，记。的最小值为机，则当日变化时，实数加的最大值为.

15.（2023•上海长宁•二模）己知平面向量b，c，9满足：卜-力|=1，|^-c|=2,（〃_石）//0_。）,

伍-分0-，）=0,贝的最大值为.

16.（2024・上海徐汇・二模）如图所示，已知VABC满足3c=8,AC=3AB,P为VA3C所在平面内一点.定义

点集尸通=32通+—记若存在点耳e。，使得对任意尸eO,满足|衣以瓯|恒成立，

则I瓯I的最大值为.

题型2平面向量的基本定理及坐标表示

■二‘■,・■・,・‘■■・■・,■'■,■■■■if

■Ua

1.应用平面向量基本定理解题策略

i

“1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.

：（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

i

的形式，再通过向量的运算来解决.

2.平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

（1）若a=（xi,以），b=gyi）,其中万W0,则〃〃）的充要条件是％,2=%2_力.

：（2）在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为2a（2^R）.

1.（2024•上海浦东新•三模）给定平面上的一组向量录、团，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的

是)

A.2q+e•，和q—e2B.q+3e2和e,+3q

C.3q—e2和2e?-6qD.q和q+e?

2.（2023•上海）已知向量E=（3,4）,5=（1,2）,贝1]日-25=.

3.（2023•上海普陀•模拟预测）已知力=亿1）,5=（-2,3）,若日与行互相平行，则实数上的值是.

4.（2023•上海黄浦三模）已知平面向量£=（m,1）,5=（2,2）,若7/方，贝!]〃，=_.

5.（2023・上海嘉定•一模）已知£=（2,1）,B=（-1,2）,则垢+3石=.

6.（2025・上海・模拟预测）己知1=（2,1）,B=（l,x）,若。〃5，则工=.

7.（2024・上海•模拟预测）己知左eR,1=（2,5）,B=（6K）,且口/区，则上的值为.

8.（2022•上海）在AABC中，ZA=90°,AB=AC=2,点〃为边AB的中点，点P在边BC上，则丽•丽

的最小值为.

9.（2023•上海黄浦•二模）如图.在直角梯形ABCD中.AD//BC,ZABC=90°,AD=2,BC=1,点P是

腰A3上的动点，则|2元+而|的最小值为

.1—..1—.

10.（2023,上海普陀•模拟预测）在平行四边形ABCD中，BE=-BC,AF=-AE.若4=机而+〃通，则

m+n=.

11.（2024・上海•三模）设平面向量商=（sin。/），B=（cos。,百），若心B不能组成平面上的一个基底，则

tan8=.

12.（2024•上海•模拟预测）如图，矩形ABCD中，E为5c中点，AE与BD交于点F,若将羽=M,AD=b

作为平面向量的一个基，则向量卷可表示为（用汰5表示）.

13.（2023•上海徐汇•三模）函数y=ln（-x）沿着向量£平移后得到函数y=ln（l-力+2,则向量£的坐标

是.

14.（2023•上海浦东新•三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，

在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点。（33,33）所跳跃次数的最

小值是.

15.（2024•上海松江•二模）已知正三角形A3C的边长为2,点。满足历=相百+〃而，且机>0,〃>0,

2〃2+〃=1,贝U|而|的取值范围是.

16.（2023•上海普陀二模）设x、yeR,若向量Z，b，2满足M=（x,l）,b=（2,y）,c=（1,1）,且向量日一行

与"互相平行,则I商1+2出|的最小值为____.

17.（2023・上海静安•一模）已知椭圆「：二+二=1的离心率为1,它的上顶点为A,左、

a-b23

右焦点分别为爪-。，0）,月（G。）（常数C>0）,直线A%A工分别交椭圆「于点8,C.0为坐标原点.

⑴求证：直线30平分线段AC;

（2）如图，设椭圆「外一点P在直线80上，点P的横坐标为常数机ga）,过P的动直线/与椭圆「交于

两个不同点V、N,在线段A/N上取点Q,满足颉7=7^g，试证明点。在直线2mx+6c°=。上.

18.（2023•上海闵行•三模）已知A是椭圆C：L+y2=i的左顶点，尸、Q是椭圆上不同的两点.

⑴求椭圆C的焦距和离心率；

（2）设E（OJ）,尸（0,s）,M（l,0）,若砺上近，且A、P、E和A、。、尸分别共线，求证：P、。、Q三点

共线；

⑶若H是椭圆C上的点，S.OP+OQ+OH^Q,求APQH的面积.

题型3平面向量的数量积

1.计算平面向量数量积的主要方法

（1）利用定义：a・b=|a||例cos{a,b〉.

（2）利用坐标运算，若〃=（»,%）,b=（X2,yi）,

贝a-b=xiX2+yiy2-

（3）利用基底法求数量积.

（4）灵活运用平面向量数量积的几何意义.

2.求平面向量的模的方法

①公式法：利用⑷及（。土方）2=|〃|2±2〃・^+忸|2；

②几何法：利用向量的几何意义.

3.求平面向量的夹角的方法

、tt,b

①定义法：cos8=j^而；

②坐标法.

4.两个向量垂直的充要条件

〃」_力=Q0=O0|Q一"=|。+臼（其中QWO,万W0）.

4.用向量方法解决实际问题的步骤

1.（2024•上海•三模）已知向量日=（1,同，1=（-五1）,则苕在5上的投影向量的模为.

2.（2024・上海奉贤•二模）己知向量£=（1,1）,*=（2,-1）,则■在£方向上的投影向量为

3.（2024•上海宝山,二模）己知向量@=（2m,2）,9=（1,根+1）,若苕出=10，则实数小=.

4.（2022•上海）若平面向量|苕|=出|=忆|=2，且满足小方=0,a-c=2,b-c=l,则几=.

5.（2024・上海静安二模）若单位向量入B满足则.

6.（2024•上海普陀•一模）设几eR,在如图所示的平行六面体A8CD-4由6，中，

ZA.AB=ZA.AD=ABAD=|,AA,=2,AB=AD=1,点M是棱C岛的中点，丽=4丽，若亚.函=2,

则A的值为.

£>i____M_____「

0'

7.（2024・上海宝山•一模）己知平面向量满足：向=1，忖=诋（1,2）,且对任意的单位向量之满足

|a-c|+|^-c|<A/6,则的最大值为.（用含，〃的式子表示）

8.（2024•上海奉贤•一模）在复平面内，。为坐标原点，复数Z[=i（T-3i）,z?=12+5i对应的点分别为ZPZ2,

其中i为虚数单位，则鬲，里的大小为.

9.（2024•上海三模）已知向量"卜inx,sin21x+：j，W=（6sin龙,1）,函数/（x）=23力-有，若函数

7T

y=f（x）-机在xe0,-内有且只有一个零点，则实数机的取值范围为.

10.（2024•上海宝山•二模）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量乙、5满足：无5=2,忖=1，且存

在实数f，使得忖-2日+/2。成立，则由万构成的空间几何体的体积是.

11.（2024•上海金山•二模）已知平面向量£、b>2满足：|a|=|B|=l,a^c=bc=l，则7B+7的最小值

为.

12.（2024・上海虹口・二模）已知平面向量获满足同=3,M=4,万石=4,若平面向量*满足卜-同=1,则归一科

的最大值为.

22

13.（2024・上海嘉定•一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆「:'+3=1,片，6是其左、右焦点，过椭

圆「右焦点尸2的直线尸。交椭圆于尸，0两点.

（1）若西•质=3,求点尸的坐标；

（2）若的面积为天40，求直线尸。的方程；

⑶设直线/与椭圆「交于A,8两点，M为线段AB的中点.当k0M-kAB=kOA-kOB时，△OAB的面积是否为定值?

如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

2

14.(2024•上海奉贤•一模)椭圆「:=+y=1(“>1)的左右焦点分别为片,乙，设尸(5,%)是第一象限内椭圆

a

上的一点，P久的延长线交椭圆于点。(/%).

(1)若椭圆的离心率=，求。的值；

(2)若a=尸0-0耳,求与；

⑶若。=2,过点T(0j)的直线/与椭圆r交于M、N两点，且|AW|=2,则当90时，判断符合要求的直线

有几条，说明理由？

2

15.(2024・上海宝山•二模)已知双曲线f-工=1的左、右顶点分别为A、B,设点P在第一象限且在双曲

2

⑴求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值;

(2)若可•而49,求|历|的取值范围；

⑶椭圆C的长轴长为2百，且短轴的端点恰好是A、8两点，直线AP与椭圆的另一个交点为。.记APO4、

AQAB的面积分别为R、邑.求的最小值，并写出取最小值时点P的坐标.

16.(2024・上海崇明•二模)已知椭圆+A为「的上顶点，P、。是「上不同于点A的两点.

(1)求椭圆「的离心率；

(2)若尸是椭圆r的右焦点，B是椭圆下顶点，R是直线AF上一点.若△的有一个内角为求点R的坐标；

⑶作AHLP。，垂足为若直线"与直线AQ的斜率之和为2,是否存在尤轴上的点使得|说|为

定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

题型4平面向量的应用举例

1.用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题向量问题上匕解决向量问题型*解决几何问题.

2.向量求最值(范围)的常用方法

⑴利用三角函数求最值(范围).

(2)利用基本不等式求最值(范围).

(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).

(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.

1.(2024.±S.H^)已%口鼻吊-2,2丁忌诵百法蓝量禄箴S3而丽蕤磐益国药而「而W.茄

2.（2024・上海•三模）己知向量2、5满足同=2,忸卜3,卜+5|=4,则存方=.

3.（2023・上海奉贤,二模）在集合｛1,2,3,4｝中任取一个偶数”和一个奇数6构成一个以原点为起点的向量

a=（a,b）,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四

边形的个数是.

4.（2023•上海浦东新•二模）己知边长为2的菱形ABCD中，/A=120。，P、。是菱形内切圆上的两个动点，

且PQLBD,则而.诙的最大值是.

5.（2024・上海闵行•二模）已知％、B是空间中两个互相垂直的单位向量，向量"满足|4=3,且\2=23=1，

当力取任意实数时，*〃£+同的最小值为.

6.（2024•上海•模拟预测）已知向量2,b,E满足向="=1,同=&，且口+方+不=。，贝|cosR-乙.

7.（2024•上海•三模）正实数x,y满足：存在a£［。户］和方［°川，使得〃?+，=2,/+/=1，◎+勿=i,贝lj%+》

的最大值为.

8.（2023•上海杨浦•二模）已知非零平面向量苕、方、1满足同=5,2M=向，且■-即正-用=0,则同的

最小值是

9.（2023・上海金山•一模）已知平面向量％、b-"满足间=4卜-目=2,卜+母=m-.+同，且则

日高的取值范围是.

10.（2024・上海・三模）空间中4B两点间的距离为8,设△秋舄的面积为S,令％=|时诃|,若次2M=3,

i=l

则S的取值范围为.

11.（2024•上海•模拟预测）平面内互不重合的点4、4、4、Bi、乩、&、B4,若|4瓦+硒+砌=i,

i=l,2,3,4,则忸也|+怛2周+忸3周的取值范围是.

ABAC

12.（2024・上海青浦・一模）已知是单位圆上任意不同三点，则|而|的取值范围是—.

13.（2024・上海长宁二模）已知平面向量£晨满足：同=忖=后,口=2,若伍-+0,贝中一闸的

最小值为.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

1.（2023・上海闵行三模）已知向量。=（x,l）,石=（一2,3）,若3,坂，则实数x=.

2.（2024・上海金山・二模）已知向量2=（1,-3）,6=（m,1）,^alb>则实数机的值为.

3.（2023•上海杨浦•三模）已知函=（1,1）,砺在况上的数量投影为拒，其中点。为原点，则点8所在直线

方程为_________

UU

4.（2023•上海奉贤•三模）同一平面内的两个不平行的单位向量35,4在方上的投影向量为%,则

a'b—a0'b=.

5.（2023・上海虹口•三模）已知2=（-2,-1）3=（-4,m）,若向量3在向量Z方向上的数量投影为石，则实数

m=.

6.（2023•上海徐汇•一模）在VABC中，AC=BC,凡£，6为边AB上的点，且用目=“|=|周=8,

设4=而•而%=1,2,3）,则4-/?+A=.

7.（2023•上海浦东新•模拟预测）已知平面上的点满足

\AB\=6,|A£4|-|MB|=|A®|-|M4|=4,\BM\=2,\AN\=3,则ABMN=.

8.（2023・上海闵行•二模）已知单位向量优5,若对任意实数X,附一5上李恒成立，则向量商石的夹角的

最小值为.

9.（2023・上海闵行•一模）若平面上的三个单位向量入B、2满足口回=；,口目=辛，则的所有可

能的值组成的集合为.

10.（2024・上海嘉定•二模）在平面直角坐标系xOy中，点P在圆尤?+_/=］上运动，定点A、8满足瓦•砺=；

且必卜画=1,若人而.词+|瓯词恒成立，则实数上的取值范围为.

11.（2023・上海杨浦•三模）对任意两个非零的平面向量a和£,定义左。，=驾，若平面向量不、在满足

P'P

|fl|>|S|>0,2与5的夹角且N05和502都在集合1中，则万。5=

12.（2025•上海•模拟预测）在平面中，，和耳是互相垂直的单位向量，向量a满足忖-4习=2,向量方满足

W-6司=1,求5在方方向上的数量投影的最大值________.

二、单选题

13.（2023•上海普陀•一模）设％>0,若向量％、b>"满足忖啊：口=1：女：3,且3-。=2（。-可，则满足条

件的左的取值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

「Im2-a-m+l=0

14.（2022•上海奉贤•二模）已知平面向量a，m,n,满足《=4,<,则当成与万的夹角最

11n2-o-H+l=0

|Hr,

大时，|机-"的值为（）

A.4B.2C.73D.1

HUIUULK

15.（2022・上海嘉定•模拟预测）在VABC中，AB=AC=3,BD=2DC.若ADBC=4,则荏（）.

A.3B.-3C.2D.-2

16.（2023・上海虹口•三模）设。是两个非零向量工B的夹角，若对任意实数t,归+班的最小值为L命题p：

若口确定，则。唯一确定；命题q：若6确定，则,唯一确定.下列说法正确的是（）

A.命题p是真命题，命题4是假命题

B.命题p是假命题，命题q是真命题

C.命题p和命题乡都是真命题

D.命题p和命题q都是假命题

三、解答题

17.（2023・上海徐汇・二模）已知向量碗=（2括cos|>-2sin]（Xx\

n=\cos—.cos—,函数y=/（无）=e〃.

I22）

⑴设e®，且/（。）=6+1，求e的值；

（2）在VABC中，AB=1,/（C）=V3+l,且VABC的面积为g,求sinA+sinB的值.

18.（2023・上海浦东新•模拟预测）在VABC中，“6、。分别是角人&<^的对边.设

沆=（2a+c,人），万=（cos昆cosC）,已知而•方二0

⑴求角B的大小；

I7C|7L2兀

⑵设/（%）=2cos%sin[%+§J-2sin2xsinB+2sinxcosxcos（A+C）,当％£—时，求函数y=/（x）的最小

值.

22

19.（2023・上海嘉定一模）已知焦点在％轴上的椭圆三+当=1,椭圆的左，右焦点分别为％F2,现将横

ab

轴的正半轴沿逆时针方向旋转，旋转后的直线与椭圆的交点为尸，设旋转角为X,OP=a，y=a

⑴若同的取值范围为[1,4],求）关于x的函数解析式，并写出在xe2兀，小的最值；

⑵记产/⑴，若=且椭圆的离心率为手，求存的取值范围.

20.(2023•上海嘉定•一模)已知三角形ABC,

WCACB=1,三角形的面积S=g,求角C的值;

(2)^sinAcosA=^-,C=^-,a=2,求c.

21.（2023・上海奉贤•一模）已知椭圆《+耳=1（。>6>0）的焦距为2退，离心率为正，椭圆的左右焦点

a-1>2

分别为耳、F2,直角坐标原点记为0.设点尸（0J）,过点尸作倾斜角为锐角的直线/与椭圆交于不同的两点

B、C.

⑴求椭圆的方程；

⑵设椭圆上有一动点T,求存（国-珂的取值范围；

⑶设线段的中点为M，当120时，判别椭圆上是否存在点Q,使得非零向量而与向量迎平行，请

说明理由.

热点08平面向量及其应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年向量平行的坐标表示，平面向量基本定理、平面向量的运算

空间向量基本定理

2023年平面向量的坐标运算，平面向量数量积的性

质及其运算

2022年平面向量数量积的性质及其运算

热点题型解读

题型1平面向量的线性运算

题型2平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量及其应用

题型3平面向量的数量积

题型4平面向量的应用举例

题型1平面向量的线性运算

■---------------二］-------------------------------------------------------------------------------W

iU*i

I

II

平面向量线性运算的解题策略

Ii

(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.

'i'「苞莅T工褊1航号羸族簿5百如百3为歹嬴7科赤芯二百茄二蓊二品:品:行:示:丽弘说为7…5”

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】c

【知识点】向量在几何中的其他应用、三角形的心的向量表示、正、余弦定理判定三角形形状

【分析】取A8的中点N,BC的中点M,AC的中点E,可得ON_LAB,OMLBC,OEVAC,分别利

用和通出丽+而1.通=g（研，的质=[；肥+呵.册=g（珂,

CO-C^=QGA+^-C4=1（C4）2和余弦定理可得答案.

【详解】VABC三个角所对的三边分别为a,6,c,

取AB的中点N,3C的中点M,AC的中点E,

连接ON,OM,OE,则ON_LAB,OMLBC,OEYAC,

所以:W.：W=g通+呵.通=g（砌％布.湿=：回『=$2,

Bd-BC=^BC+MO^-BC=^（BC^+Md-BC=^BC^=^a2,

2

W-CAJ-CA+W]-CA=^（CA^+EO-CA=-（CA^=-b,

12J222

因为而.荏+而屈＜语.西，

所以一c2H---"2＜—b2,即/+q2V）2,

222

「2_|_〃2_12―

由余弦定理得cosB=＜。因为0＜3＜兀，所以二＜8＜兀，

lac2

即VABC为钝角三角形.

故选：C.

2.（2023・上海嘉定•三模）如图直线/以及三个不同的点A,A,O,其中Oe/,设加=£,OA'，直线

=\b~（b

/的一个方向向量的单位向量是配下列关于向量运算的方程甲：1J11\/I,乙：

a-e=b-e

Z+B=2（7"）人其中是否可以作为A,4关于直线/对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（）

A.甲乙都可以B.甲可以，乙不可以

C.甲不可以，乙可以D.甲乙都不可以

【答案】A

【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用、充要条件的证明

【分析】根据向量线性运算以及投影向量的几何意义分析判断.

【详解】对于方程甲：因为百.藐、以为入B在工方向上的投影，

rrrrrrrr

可得卜-(a•e)e[=卜-(力e)e1表示点A,A到直线/的距离相等，

则点4A分别在关于直线/对称的平行线?”4上,

r\1

可得（〃_46=0,则a-b_Le,

iiuuuuuuuu

S.a-b=OA-OA'=A'A^可得AA，/,

所以A,A关于直线/对称，反之也成立，故甲满足;

对于乙：在△0VA中，因为a+后=2(a.e)e,

贝U/为边4A的中线所在的直线，且点A在直线I上的投影为AA的中点，

所以A,4关于直线/对称，反之也成立，故乙满足；

故选：A.

3.(2024・上海杨浦.二模)平面上的向量%、办满足：|司=3,何=4,%，反定义该平面上的向量集合

A=[x\\x+a\<\x+bI,元•万〉尤石｝.给出如下两个结论：

①对任意"eA，存在该平面的向量ZeA，满足卜-4=。.5

②对任意"eA，存在该平面向量2eA，满足卜-@=0.5

则下面判断正确的为()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②

错误

【答案】C

【知识点】求平行线间的距离、数量积的坐标表示、已知数量积求模、向量减法法则的几何应用

【分析】根据给定条件，令。=(3,0),b=(0,4),设x=(w),利用向量模及数量积的坐标表示探求相，孔的

关系，再借助平行线间距离分析判断得解.

【详解】由I。1=3,历|=4,〃_LB，不妨令a=(3,0),b=(0,4),设x=(兀〃),

\x+a\<\x+b\,得|x+〃x+，而％+a=（机+3,〃），x+b=+,

贝!](帆+3)2+“2<n?+(〃+4)2,整理得6〃?一8〃一7<0,由得3m一4〃>0,

|0-(-7)|

平行直线6m—8n—7=0和3m—4“=0间的距离为d=

76*2+*45682

到直线6M-8〃-7=0和直线3m-4〃=0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35,

如图，阴影部分表示的区域为集合A,因此无论2是否属于A,都有卜-4=0.5,

所以命题①②都正确.

故选：C

'/飞机_8,-7=0

【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示,

利用代数方法解决.

4.（2023・上海长宁•一模）设向量M==加），若不〃5,贝!]"?=.

【答案】2

【知识点】已知向量共线（平行）求参数

【分析】根据向量平行的坐标表示分析求解.

【详解】因为苕〃则lx机=（-2）x（7）,解得机=2.

故答案为：2.

5.（2023・上海•模拟预测）在V43C中，AC=4,3C=3,点尸是A3的中点，则丽.而=.

【答案】I7

【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量数量积的定义及辨析

【分析】利用向量的加法和减法法则，将丽，。分别用包，行表示出来，然后代入结论计算即可.

【详解】在AABC中，点P是AB的中点，所以。=g（旦+无），BA^CA-CB，

22

所以而在=（曰-CB）^C4+CB）=1（G4-丽2）=1?（423）=1.

•、7

故答案为：—.

6.（2023・上海闵行•三模）已知4民。是同一直线上三个不同的点，。为直线外一点，在等差数列｛%｝中,

OA=a2OB^a6OC,则数列｛〃〃｝的前7项和跖=.

7

【答案】-/3.5

【知识点】平面向量共线定理的推论、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算

【分析】由题意外+y=1，然后利用等差数列的前“项和公式，结合等差数列的性质求解.

【详解】因为是同一直线上三个不同的点，。为直线外一点，且函=外方+&五，

所以。2+。6=1，

则§_（4+%*7_（%+牝）乂7=7

7-2_2_2.

7

故答案为：—.

7.（2023・上海黄浦•三模）在VABC中，ZC=90°,N3=30。，的平分线交5C于点。，若

AD=XAB+/zAC（2,//eR）,则一二.

【答案】1/0.5

【知识点】向量减法的法则、利用平面向量基本定理求参数

【分析】根据给定条件，探求出线段8与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.

【详解】在VABC中，NC=90。，ZB=30°,则NBAC=6（y,又AD平分NBAC,即有NCAD=/DAB=30。,

__i_____,__i__9_____»

因此3D=AD=2CD,即有函=一丽，ADk-ACk=-（ABk-AD）,整理得通k=一荏+—4，

2233

________12

而通=无而+〃/，且丽，正不共线，于是;1=§,〃=§,

所以

〃2

故答案为：g

8.（2024.上海.三模）设平面向量。=（sin6,1）,5=（cos。,君），若不，5不能组成平面上的一个基底，则

tan8=.

【答案】"匚6

33

【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析

【分析】利用基底的定义可得Z〃凡再利用共线向量的坐标表示求解即得.

【详解】由4，5不能组成平面上的一个基底，得Z//B，而1=（sin6U）,B=（cos8,6）,

因此J^sin6=cos6,所以tan6=.

cos。3

故答案为：旦

3

9.（2023•上海金山二模）已知Z、by工、Z都是平面向量，且|“|=|2"-B|=|5a-c|=l,若

贝|J|石一21+工-小的最小值为.

【答案】A/29-2

【知识点】向量减法法则的几何应用

【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决.

【详解】

作图，a=OA,则2々=防，5a=OC,

因为|25|=1,所以加起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；

同理，|5商-4=1,所以Z起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上,

所以|B-7|+|17|的最小值则为（忸。+|。|）而"-2,

因为（2,2）=?,怛。卜怛'必当D,c三点共线时，（怛q+|cq）_=|夕C|=j52+22=屈,所以

（畋+卬）「=回-2・

故答案为：A/29-2.

10.（2023•上海浦东新•模拟预测）已知复数w=3+gi.z=痂，其中九＜0,1].则|z-M+|z-2的最小值

为.

【答案】4

【知识点】向量加法法则的几何应用、与复数模相关的轨迹（图形）问题

【分析】根据复数所表示的几何意义得上+2"卜以-“，再利用绝对值不等式即可得到答案.

【详解】在图中作出复数枚=3+石i,和）=3-四的位置，分别为点A2,

令复数-28所在复平面上的点为C,

易得A3〃OC,AB=OC,所以四边形。4BC为平行四边形,

因为。4=/;词『=2若=OC,所以四边形Q4BC为菱形，

vz=2w,2e[0,l],所以复数z所表示的点在线段08上（包括端点）,

因为四边形O4BC为菱形，

所以08垂直平分AC,所以有卜+2后卜上一吊.

于是由三角不等式，|z-M+|z-2卜卜+26|+|2-z以2+2杳|,

当且仅当z+2育=2-z,即z=l+石i时等号成立，

此时A=—.

2

故答案为：4.

11.（2023・上海闵行•二模）平面上有一组互不相等的单位向量的，砒，…，风，若存在单位向量而满

足丽・西+而•弧'+…+丽・西=0,则称而是向量组两，M，西的平衡向量.已知

（璃，网=三，向量而是向量组函，词，砥的平衡向量，当丽•西取得最大值时，西•砥的值

为.

—3±瓜

【答案】

~6

【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、已知数量积求模

【分析】根据题意得到当用=可时，无•砥取得最大值，设的+区=砺，（弧，砺）=6,得到

（弧，砥）=6-9或。+9,根据题意得到cos0=-3,sinO=亚，根据余弦和差公式求出答案.

'/6633

【详解】当丽=砥时，丽•砥取得最大值,

又（西，砥）=],如图所示,

设的+%=砺，（西，赤）=0£[0,兀],

贝IJ西•（西+砥+砥卜砥.砺+1=0,

所以04。3=—1,即6cos8=-1,解得cos9=-1^,

故sin8=Vl-cos20=,