2025年上海市高三数学二轮复习：函数的概念与性质（8题型+高分技法+限时提升练）

热点03函数的概念与性质

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年分段函数、函数的奇偶性

2023年函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方函数的性质应用、函数与方程的应用

程的应用

2022年抽象函数的性质应用、函数的定义域及其求

法

热点题型解读

醒5函数奇偶性的性质与判断题型1函数的定义域及其求法

题型6单调性与胡禺14^题致函数或

函数的概念与性质

型7抽象函数及其应用题型3函数单调性的性质与判断

题型8函数恒成立问题题型4函数的最值及其几何意义

题型1函数的定义域及其求法

求函数的定义域应关注三点

，①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：（i）分式的分母不为0;（ii）

偶次根式的被开方数非负；（iii）y=x°要求xWO.

:②不对解析式化简变形，以免定义域变化.

；③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

£

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=户

2.(2024•松江区校级模拟)若函数/。)=尤-",2，"+3(加©2)的定义域为/?,且/(x+l)=f(-x-l),则实数机

的值为—.

3.(2021•上海)已知函数/(x)=J|x+a|-a-x.

(1)若a=l,求函数的定义域；

(2)若4/0,若/■(◎)="有2个不同实数根，求。的取值范围；

(3)是否存在实数*使得函数/(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出。的取值范围.

题型2函数的值域

\00@0

ii

求函数值域的方法

ii

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方

法.

ii

(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域.

ii

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.

(5)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±\[cx±d)f通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数

求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

ii

1.(2023•上海)已知函数=，则函数/(尤)的值域为_______.

[2,%>0

4元2

2.(2024•嘉定区校级模拟)已知函数/(x)=二J,则对任意实数x,函数/(%)的值域是()

2%+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

3.(2024•嘉定区二模)函数y=|x-l|+|x-4|的值域为.

4.(2024•松江区校级模拟)函数/■(尤)=|x-a|+cosx在[0,句上的值域为[-1,红]，则的值为______.

2a

5.(2024•浦东新区校级模拟)设函数/(x)的定义域为。，若函数/(x)满足条件：存在[a,b\^D,使了(无)

在卬切上的值域为于与，则称〃x)为“倍缩函数”，若函数小)=*(2»)为“倍缩函数”，则，的

范围为•

6.(2022•上海)设函数/(尤)满足/(x)=/(一一)对任意xe[0,+00)都成立，其值域是A-已知对任何满

1+X

足上述条件的/(幻都有{y|y=/(x),0效ka}=Af,则。的取值范围为.

题型3函数单调性的性质与判断

1.求函数的单调区间

ii

(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函

数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.

j(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用

“，”分开.

：2.由函数单调性求参数范围的处理方法

，(1)由函数解析式求参数

若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.

若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.

ii

若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小.探求参数满足的条

件.

；(2)当函数40的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“尸去掉，列

出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.

3.利用定义证明函数单调性的步骤

：(1)取值并规定大小：设尤1,X2是该区间内的任意两个值，且无I<%2.

;(2)作差变形：作差共制)一/(&)(或/(X2)-/U1)),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判

断正负的关系式.

j(3)定号：确定/(X1)—/(无2)(或人X2)—Axi))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论.

ii

;(4)结论：根据定义确定单调性.

ii

1.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数/(x)=山上，则/(/)+/(幻<0的解集是________________.

2-x

2.(2024•闵行区校级三模)设t>0,函数y=/(x)的定义域为R.若对满足马/的任意玉、%,均

有“与)-/a)>f*则称函数y=/(X)具有“尸⑺性质

(1)在下述条件下，分别判断函数y=/(x)是否具有尸(2)性质，并说明理由；

3

①/(彳)=5尤；

②/(x)=l°sin2i；

(2)已知%)=办3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数。的取值范围;

(3)证明："函数y="尤)-x为增函数”是“对任意，>0,函数y=f(x)均具有尸⑺性质”的充要条件.

3.(2024•宝山区校级四模)已知A、3为实数集R的非空子集，若存在函数y=/(x)且满足如下条件：①

y=/(x)定义域为A时，值域为3；②对任意占、X,eA,均有3二也口>0.则称/(乃是集

玉一工2

合A到集合3的一个“完美对应”.

(1)用初等函数构造区间［0,1)到区间［0,+oo)的一个完美对应/(%)；

(2)求证：整数集Z到有理数集。之间不存在完美对应；

(3)若八》=/_爪2+1,kwR,且/(x)是某区间A到区间［-3,2］的一个完美对应，求上的取值范围.

题型4函数的最值及其几何意义

1.图象法求函数最值的一般步骤

作出函数图象|

i"

在图象上找到最高点和最

低点的纵坐标___________

确定函数的最大(小)值1

2.利用单调性求最值的一般步骤

1①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值

；(2)函数的最值与单调性的关系

①若函数在闭区间m，切上单调递减，则八功在团，川上的最大值为次孙最小值为人

②若函数在闭区间m，切上单调递增，则小)在他，句上的最大值为人匕)，最小值为人。).

③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.

1.(2024•静安区二模)已知实数ae(0,6),记/(x)=«(x-a).若函数y=/(尤)在区间[0,2]上的最小值

为-2,则a的值为.

2.(2024•青浦区校级模拟)已知玉，尤2是实数，满足d+8考-4占9=8，当|百|取得最大值时，

I玉+%21=•

3.(2024•松江区二模)已知函数/O)=|log2xl，若/(%)=/区)(%，贝九4玉+%2的最小值为.

4.(2024•松江区二模)已知0<a<2,函数y=4"：：)x+4a+l,则实数。的

-[2ax-\x>2-

取值范围是•

5.(2024•金山区二模)已知函数y=/(x)与y=g(x)有相同的定义域。.若存在常数a(aeR),使得对于

任意的为6D,都存在%eD,满足/(%,)+g(x2)=a,则称函数y=g(x)是函数y=/(x)关于。的"S函数

(1)若/(x)=/nx,g(x)=e*,试判断函数y=g(x)是否是y=/(x)关于0的"S函数”，并说明理由；

(2)若函数y=/(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=/(x)关于。的"S函数"，

y=/(x)又是y=g(无)关于。的"S函数"，证明："(切而,+凶⑴]y=a；

(3)已知/■(XHx-ll,g(x)=«,其定义域均为[0,1].给定正实数f,若存在唯一的a,使得y=g(x)

是y=/(尤)关于。的“S函数”，求f的所有可能值.

题型5函数奇偶性的性质与判断

1.判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图象法:

AX关于原点对称)~「/U)为奇函数)

的

图

象-(关于y轴对称)——►(八x)为偶函数)

2.巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数=图象关于原点对称，偶函数=图象关于y轴对称.

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.

3.利用奇偶性求值的常见类型

(1)求参数值：若解析式含参数，则根据八一%)=-/(功或五-x)=/(x)列式，比较系数利用待定系数法求解;

若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.

(2)求函数值：利用y(—X)=—大彳)或负-x)=/(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.

4.用奇偶性求解析式的步骤：

如果已知函数的奇偶性和一个区间团，灯上的解析式，求关于原点的对称区间［—6,—a］上的解析式，其

解决思路为

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

(2)利用已知区间的解析式进行代入.

(3)利用"r)的奇偶性写出一/(—x)或八一x),从而解出兀r).

1.(2023•上海)下列函数是偶函数的是()

A.y=sinxB._y=cosxC.y-x3D.y=2X

2.(2024•浦东新区三模)已知8。)=卜3+2'-1，”"°为偶函数，若，⑷=口，贝伯=

V«,x<0

3.(2024•闵行区校级二模)已知函数〃x)=a2+与是定义域为R的偶函数.

(1)求实数。的值;

+1

（2）若对任意xcH,都有成立，求实数左的取值范围.

k

函数/（尤）=*+（"+l）x+c

4.（2023•上海）已知a,CGR,

x+a

（1）若4=0,求函数的定义域，并判断是否存在C使得了（X）是奇函数，说明理由;

（2）若函数过点（1,3）,且函数/（无）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和。的取值范围.

题型6单调性与奇偶性综合

■-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I00❷百

ii

1.比较大小的求解策略

ii

（1）若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

：（2）若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单

调性比较大小.

2.利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类

ii

（1）利用图象解不等式.

ii

i（2）转化为简单不等式求解.

[①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为八XI）勺（X2）或八XI）次尤2）的形式.

:②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“尸转

化为简单不等式（组）求解.

特别提醒：列不等式（组）时不要忘掉函数的定义域.

II

T;々祇•工藩3,百策诵薮耳5芮适父谖%至父藁答帝17nz,:嚏€百最）;『（短五:37:塞

使得1]的所有/（x）中，下列成立的是（）

A.存在了（乃是偶函数

B.存在/(x)在x=2处取最大值

C.存在了(元)为严格增函数

D.存在了(X)在x=-l处取到极小值

2.(2024•黄浦区校级模拟)已知了(%)是定义在尺上的偶函数，若\/占、x2e[0,+oo)且占wx2时，

"立)一〃尤2)>2(占+无2)恒成立,且/(2)=8,则满足/(疗+加),,2(加+加)2的实数机的取值范围为(

玉—x2

)

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

3.(2024•长宁区二模)已知函数y=/(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,若/(a)>1,

则实数，的取值范围为.

题型7抽象函数及其应用

石法T：蒲策薪反费反稹拟)、巨如函数定义域为,二宜7々*(丫)-7(y)gW=7(x-y),

gWg(y)-/W/(y)=g(x-y),g(o)/。，则下列结论正确的是()

①若/(1)+g(1)=1,贝iJf(2024)-g(2024)=l；

②若/⑴~g(1)=1，则〃2024)+g(2024)=L

A.②B.①C.①②D.都不正确

2.(2024•宝山区校级四模)已知函数y=/(无)具有以下的性质：对于任意实数。和6,都有

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)-f(b),则以下选项中，不可能是/(1)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2024•黄浦区校级模拟)已知函数/(X)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则下列说法正确的

有.

①"0)=0：

②/(1)=0；

③/(x)是偶函数；

④尤=0为了⑺的极小值点

4.(2020•上海)已知非空集合函数y=/(x)的定义域为D,若对任意/eA且xeO,不等式

/'(x),J(x+f)恒成立，则称函数/(%)具有A性质.

(1)当4={-1},判断〃x)=-x、g(x)=2x是否具有A性质；

(2)当A=(0,l),/(x)=x+—,xe[t?,+co),若/(x)具有A性质，求a的取值范围；

(3)当4={-2,机),meZ,若。为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的

值.

题型8函数恒成立问题

1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

⑴分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a2"x)恒成立2«r)max;

a恒成立W«¥)min；

a能成立=4，/a)min；

a勺⑴能成立04Wy(X)max.

2.根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解.

3.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有

对于某一区间/

(1)VX1,尬金/,Xxi)>g(X2)«/(X)min>^(X)max.

(2)VX1^Z1,y(Xl)>g(X2)^/(X)min>g(X)min.

3X2^/2,(

(3)V%2e/2,«Xl)>g(X2)仔/a)max>g(%)max.

1.(2024•黄浦区二模)设函数/(x)=[一5+“*+2°，-4'尤,0,若/(无)>()恒成立，则实数。的取值范围是(

[ax-2x4-3,0<x<4.

)

A.(1,+«)B.(0i)C.信,1)D.4,1)

3163

2>21>

2.(2024•闵行区二模)对于任意的％、X2GR,且尤。，不等式|e*-玉|+|江々-尤。恒成立，则实数

a的取值范围为.

3.(2024•杨浦区校级三模)设teR,若在区间(1,2)上，关于x的不等式2*>―匚有意义且能恒成立，则f

x+t

的取值范围为.

4.(2024•浦东新区校级模拟)若存在实数r对任意的xe[0,s],不等式(2彳-左一)(1_—顼,0恒成立.则

正数s的取值范围是.

5.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数/(x)=<%''若对+00),/(X),,|%|恒成立，

—f+2%—.0•

则实数a的取值范围为.

6.(2024•虹口区模拟)若不等式(依-4)(尤2一切..0对任意的*e(0,a)恒成立，贝+扬的最小值

为.

7.(2024•宝山区三模)如果y=/(x)(x£[0,1])同时满足以下三个条件：

◎⑴=1;

②对任意xRO,1],f(x)20成立；

③当尤120,尤2>0,无1+X1W1时，总有了(尤1)4/(x2)勺(尤1+尤2)成立，贝！I称y=f(x)为"理想函数".

有下列两个命题：

命题a：若y=/(x)为"理想函数"，则存在xi,彳2日0,1]且xi<x2,使/(xi)>f(%2)成立；

命题仇若y=/(x)为“理想函数”，则对任意尤曰0,1],都有了(无)W2x成立.

则下列说法正确的是()

A.命题a为假命题，命题0为真命题

B.命题a为真命题，命题0为假命题

C.命题a、命题P都是真命题

D.命题a、命题0都是假命题

8.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数y=/(x),xeO,如果存在常数M,对任意满足再<当<<加<当

的实数w，x2,,x『i,xn,其中玉，x2,,尤"T,x,cD,都有不等式£"(七)-/(41)],M恒成

z=2

立，则称函数y=〃x),xeO是“绝对差有界函数”

(1)函数/(*)=妈,X.2是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

xe

(2)对于函数y=/*(%),xe[a,b],存在常数左，对任意的玉，x2e[a,切，有|/(%)一/(%2)1，，左I玉一工21

恒成立，求证：函数y=/(x),xe[tz,切为“绝对差有界函数”；

(3)判断函数/(x)=」c°s“，°〈为，1是不是“绝对差有界函数”？说明理由.

0,x=0

9.(2021•上海)已知玉，x?eR,若对任意的9-尤1eS,/(%)-/(玉)eS,则有定义：/(元)是在S关联

的.

(1)判断和证明/'(x)=2x-l是否在[0,+8)关联？是否有[0,1]关联？

(2)若/(幻是在⑶关联的，/(x)在xe[0,3)时，f(x)=x2-2x,求解不等式：2期(幻3.

(3)证明：/(元)是｛1｝关联的，且是在[0,+oo)关联的，当且仅当“/(x)在口，2]是关联的”.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

Ilux尤〉0

1.（2024•上海徐汇•一模）已知函数>=，（无），其中〃无）=_；尤<0，则〃D=-

2.（2024・上海杨浦•一模）己知函数y=f+“x+l是偶函数，则实数。的值为.

3.（25-26高三上,上海•单元测试）已知函数y=/（x）,其中f（x）=x（x+］（x+2硕x—3左）,且八0）=6,

贝U后二.

4.（2024・上海徐汇・一模）设。力©11,/（%）=三+35加+6.若函数'=，（%）是定义在［-4,24-1］上的奇函数,

则a+b=.

5.（2024•上海宝山•一模）已知。/为实数，且函数y=%2+〃％+1,%£［44］是偶函数，则。-/?=.

2x,x>0,

6.（2024・上海•三模）若机eR,〃彳）=1，则满足〃■（m+3）的机的最大值为____.

—,x<0

12“

7.（2024,上海•三模）设fwR,若在区间（1,2）上，关于x的不等式2工>占有意义且能恒成立，贝卜的取值

范围为.

a•3”一x+JC—1x>0

271'八为奇函数，则〃+b+c=____.

（x+Z7x+c-l,x<0

9.（2024・上海静安•一模）记〃同=尤2+（/+62-1卜+/+2"一吐若函数3/=/（£）是偶函数，则该函数图

象与y轴交点的纵坐标的最大值为.

10.（2024•上海青浦,一模）已知函数y=〃x）的定义域为{-2,-1,1,2},值域为{-2,2},则满足条件的函数

y=F（x）最多有个.

11.（2024・上海嘉定•一模）已知〃x）=ln（x+l）,g（x）=x<0，贝Ug（x）>x+2-e的解集为.

12.（2024・上海•模拟预测）若存在实数f,对任意的xe［0,s］,不等式（2x-尤?恒成立.则正数

s的取值范围是.

二、单选题

13.(2024・上海崇明•一模)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是()

A.y=%3B.y=exC.y=lgxD.y=sinx

_v-2y-jYI2(")4<无<0

2cIei=，若/(X)>。恒成立，则实数。的取值范

{ax2-2x+3,0<x<4

围是()

15.(2024・上海•模拟预测)定义集合加川京不一出武-双陶/尤人"与)｝,在使得的所有

f(x)中，下列成立的是()

A.存在/(无)是偶函数

B.存在/'(x)在尤=2处取最大值

C.存在/(x)严格增

D.存在/(x)在x=-l处取到极小值

16.(2024・上海青浦•一模)已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，

/(x)=(x-l)(x-3)+0.01,则关于函数y=〃x)在R上的零点的说法正确的是().

A.有4个零点，其中只有一个零点在区间(-3,-1)上

B.有4个零点，其中两个零点在区间(-3,-1)上，另外两个零点在区间(1,3)上

C.有5个零点，两个正零点中一个在区间(0,1)上，一个在区间(3,+8)上

D.有5个零点，都不在(0,1)上

三、解答题

17.(2024•上海黄浦•二模)设aeR,函数/(x)=£i3.

2X-1

(1)求。的值，使得y=/(x)为奇函数；

(2)若/(2)=。，求满足的实数x的取值范围.

18.(2024・上海宝山・二模)函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(0X)(0>O).

(1)若。=1,直线/与曲线y=g(x)相切于点(。1),求直线/的方程；

(2)函数y=g(x)的最小正周期是2兀，令h(x)=x-g(x)-]nx,将函数y=/?(%)的零点由小到大依次记为

xt,x2,-,xn,(n>l,neN),证明：数列｛sin/｝是严格减数列；

⑶己知定义在R上的奇函数y=〃x)满足〃x+2a)=-/(x)(a>0),对任意花［0,2旬,当x/a时,都有

/■(■^〈/■⑷且7⑷曰百己/⑴=/⑴+4%),6(X)=〃力+8，+；］.当0=万时，是否存在国,当eR，

使得尸(%)=G(%)+4成立？若存在，求出符合题意的士,超;若不存在，请说明理由.

19.(2024•上海♦三模)设f>0,函数>=/(尤)的定义域为R.若对满足三-%>>的任意再、x2,均有

f(x2)-f(X1)>t,则称函数y=/(元)具有"P⑺性质

⑴在下述条件下，分别判断函数y=/(x)是否具有尸(2)性质，并说明理由；

3

①/(x)=］X；②/(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)=or3,且函数y=/(x)具有尸(1)性质，求实数。的取值范围；

⑶证明："函数>=fix)-无为增函数"是"对任意t>0,函数y=/(%)均具有尸⑺性质”的充要条件.

20.(202牛上海•模拟预测)设定义域为R的函数y=/(%)在R上可导，导函数为丫=/0).若区间/及实数f

满足："%+/"人/'(尤)对任意xe/成立，则称函数y=/(乃为/上的"M(。函数".

(1)判断y=Y+3尤是否为(0,+8)上的/⑴函数，说明理由；

TT

(2)若实数f满足：y=s加为0,-上的/⑴函数，求t的取值范围；

⑶己知函数y=/(x)存在最大值.对于：P：对任意xeRJ'(x)WO与/(力20恒成立，Q：对任意正整数

5y=/(x)都是R上的M(〃)函数，问：P是否为。的充分条件？P是否为。的必要条件？证明你的结论.

21.(2024・上海静安•一模)如果函数y=〃x)满足以下两个条件，我们就称函数y=〃x)为U型函数.

①对任意的xe[0,l],有〃X)2L〃1)=3；

②对于任意的羽ye[0,1],若x+yVl,贝l]/'(x+y)\y(x)+/(y)-L

求证：

(l)y=3*是。型函数；

(2)。型函数y=〃x)在[0,1]上为增函数；

⑶对于U型函数y"(x),有1(〃为正整数).

热点03函数的概念与性质

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年分段函数、函数的奇偶性

2023年函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方函数的性质应用、函数与方程的应用

程的应用

2022年抽象函数的性质应用、函数的定义域及其求

法

热点题型解读

醒5函数奇偶性的性质与判断题型1函数的定义域及其求法

题型6单调性与胡禺14^题致函数或

函数的概念与性质

型7抽象函数及其应用题型3函数单调性的性质与判断

题型8函数恒成立问题题型4函数的最值及其几何意义

题型1函数的定义域及其求法

求函数的定义域应关注三点

，①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：（i）分式的分母不为0;（ii）

偶次根式的被开方数非负；（iii）y=x°要求xWO.

:②不对解析式化简变形，以免定义域变化.

；③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

£

A.y=x^B.y=x~'C.y=x^D.y=户

【分析】化分数指数累为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

1

【解答】解:y=x5，定义域为{%|%>0},

>=无一=工，定义域为{x|xwO},

X

y=X3=l!x,定义域为H,

y=x?=6,定义域为{x|x..O}.

1

.•.定义域为R的是y=/.

故选：C.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

2.（2024•松江区校级模拟）若函数/（刈=/扇+2m+3（/?JeZ）的定义域为R,且/（*+1）=〃_尤一1）,则实数机

的值为—.

【分析】由已知可得关于机的不等式，求解加的范围，结合函数为偶函数求解机值.

【解答】解：函数/。）=f'"小川（mwZ）的定义域为R,

-m2+2m+3>0,解得一1<〃工<3,

又Z?J=O,1,2,

ffi]/（x+1）=/（-%-1）,可知/（x）为偶函数，

则m=1.

，实数机的值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查化归与转化思想，是基础题.

3.（2021•上海）已知函数/（无）=J|x+a|-a-尤.

（1）若“=1,求函数的定义域；

（2）若。/0,若/■（办）=。有2个不同实数根，求。的取值范围；

（3）是否存在实数a,使得函数/（功在定义域内具有单调性？若存在，求出。的取值范围.

【分析】（1）把a=l代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于。求解绝对值的不等式得答案；

（2）/（at）=a<a>y]\ax+a\-a=ax+a,设方+a=t..O,得。=£-『，t..O,求得等式右边关于f的函数的

值域可得。的取值范围；

（3）分x…-a与彳<-。两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数/（尤）在定义域内具有单调性的。的

范围.

【解答】解：（1）当。=1时，f（x）=y/\x+l\-l-x,

由|%+1|-1..0,得|兄+1|..1,解得工，一2或x..O.

.,.函数的定义域为(-8,-2]^|[0,+oo)；

(2)f(ax)=y]\ax+a\-a-ax,

于(ax)=〃oAJIax+a\-a=ax+a,

设依+a=Z;.0,「.1t-a=1有两个不同实数根,整理得〃力.0,

「.〃=_Q_；)2+；,r..O,当且仅当时，方程有2个不同实数根，

又awO,的取值范围是(0,；)；

(3)当工…—Q时，/(x)=J\x+a\-a-x=4x-x=-(y[x-—)2+—,在[L+8)上单调递减，

244

此时需要满足-a…—，即④—，函数/(%)在[-a,+8)上递减；

44

当时，/(%)=y/\x+a\-a-x=y/-x-2a-x,在(一oo,-2Q]上递减，

a,,--<0,:.-2a>-a>0,即当④一工时，函数/(尤)在(-oo,-a)上递减.

44

综上，当ae(-8,-；]时，函数/(x)在定义域R上连续，且单调递减.

【点评】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，

考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题.

题型2函数的值域

I00与式

ii

求函数值域的方法

ii

;(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.

：(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方

法.

：(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域.

；(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.

(5)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±\jcx±d),通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数

!求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

ii

1.(2023•上海)已知函数/'axF'：'。'，则函数了(无)的值域为________.

2%,x>0

【分析】分段求出了(尤)的值域，再取并集即可.

【解答】解：当用,0时，八元)=1，

当x>0时，/(X)=2%>1,

所以函数/(尤)的值域为口，+00).

故答案为：[1,+8).

【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题.

2.(2024•嘉定区校级模拟)已知函数则对任意实数x,函数/(》)的值域是()

2尤~+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【分析】分x=0和xwO两种情况讨论，可得/(x)的值域.

【解答】解：当x=0时，/(0)=0,

411

当x片0时，f(x)=...-，因为3>0,所以2H■—->2，

9X"X

所以0<」r<L

2+g

所以/(x)e(0,2),

综上所述：F(x)的值域为[0,2).

故选：C.

【点评】本题考查函数的值域的求法及分类讨论的思想，属于基础题.

3.(2024•嘉定区二模)函数y=|x-l|+|x-4|的值域为.

【分析】先对已知函数进行化简，作出函数图象

2x-5,x>4

【角军答】角和y=|x—l|+|x—4|={3,l<x<4,

-lx+5,x<1

其大致图象如图所示，结合函数图象可知，函数有最小值3,没有最大值.

故答案为：[3，+oo).

X

【点评】本题主要考查了函数值域的求解，体现了数形结合思想的应用，属于基础题.

377h

4.(2024•松江区校级模拟)函数/(%)=|x-a|+cosx在[0,切上的值域为[-1,3],则士的值为______.

2a

【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及/(0)求出〃，分类讨论求出即可求解.

【解答】解：因为cosx...-L

所以当且仅当I%—a|=0且cosx=—1时/(%)=-1,

所以1=%=万+2k?i，keN,

又/(0)=|a|+le[-l,《-],所以。="，

所以/(x)=|x-万|+cosx,易知/(无)在(0,下)上单调递减，在(匹+oo)单调递增，

所以当万时，f(X)„f(0)=7T+l,不满足题意；

QTT37T

当6＞万时，因为/⑺…所以f(b)=b-7r-^-cosZ?=—,

注意至Uy(•)=与，且/(x)在(巴-)单调递增，

所以6=包，

2

所以？=*.

a2

故答案为：—.

2

【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题.

5.(2024•浦东新区校级模拟)设函数/(%)的定义域为O,若函数/(%)满足条件：存在[〃，bkD,使/(%)

在卬口上的值域为g,与，则称〃X)为“倍缩函数”，若函数〃x)=bgC+,)为“倍缩函数”，则，的

范围为.

【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0,求出f的取值范围.

【解答】解:.函数/(无)=1蜂(2'+。为“倍缩函数”，

且满足存在[a,b]^D,使/(x)在团，切上的值域是