2025年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷+答案解析

2025年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合S—IId,集合7'二卜/“—则s1()

A.B.SC.TD.R

2.已知向量丁-IL〃…石-।2,1।,且丁「，则加()

11

A."B.,C.2D.2

3.设。为实数，贝1”是"1"-"”-2>-1)”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在；1一、I,「的展开式中，系数为整数的项数是()

A.9B.4C.3D.2

5.若函数，「J有零点，则2c的取值集合为()

A.{-I.1}B.{0}C.{1}D.{-1}

6.设函数=2ain(w+,)(3>以用<泉，若/(,)的图象经过点ML11,且/⑴在［0,T］上恰有2个零

点，则实数一的取值范围是()

A.+xiB.,—)C.)>,D.'\4-xI

'366'331fi

7.第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行.本届航展规模空前，首次打造

“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟了三处观展区，分别是珠海

国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人,

每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为()

K,191

A.B.C.~D.

I32

8.已知点后,九是椭圆。的两个焦点，P是椭圆Q上一点，/球〃，的内切圆的圆心为”.若

X”、，.心八万，则椭圆门的离心率为()

1233

A.-B.-C.-D.-

257s

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为M单位：克।.若：V-其中。0,则()

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A.P(X<600)

B.\」、!,<-L'\7，，

C./'I\--!,<X-blIH

D.'越小，J"\7、i越大

10.设：，：为复数，则下列说法中正确的有()

A.：||+=|；|+B,+=：［+

C.若，则：一二D.若」u,则为纯虚数

11.已知曲线C：'-；/'I,贝1)()

A.曲线C关于直线”「对称

B.曲线C关于原点对称

C.曲线C在直线,一/I，的上方

D.曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于;

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数八一「+ln.1的图象在点11।处的切线的斜率为.

13.已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,点E满足7/J，/设三棱锥〃1CE和四棱锥

3

的体积分别为「I和I，则，的值为.

I.»

14.已知等差数列卜,，：的公差不为0,若在卜「的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成

等差数列的概率为'用最简分数作答，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.।本小题13分)

在中，.106，13(15.

I若「=24，求、W.I的值；

［若3"'为锐角三角形，，，-1"，求.的面积.

16

16.本小题15分)

如图，在所有棱长都为2的三棱柱1I：<中，点£是棱.II：的中点，1%/,/

(1)求证:平面44-8」平面4BC；

I2l^.A.AH-:，点尸满足斯厂31户，求直线CP与平面「I所成角的正弦值.

第2页，共17页

17.I本小题15分:，

己知点,几分别为双曲线E：'；'I..u，,川的左、右焦点，点/到双曲线E的渐近线的距离

为2、2，点/为双曲线E的右顶点，且2U

1，求双曲线E的标准方程；

⑶若四边形/BCD为矩形，其中点2,。在双曲线£上，求证：直线过定点.

18.本小题17分）

设函数”'Li>•H.'i-11.

U当。I时，求的最小值；

」讨论函数」一的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由；

⑶当人“时，二一都有“一'，求实数a的取值集合.

21-2J

19.।本小题17分）

若数列；，满足：对任意"6A-In।,总存在z\；-\,使得“'''।17:1,;■-1，则称卜；1

是融积数列.

U判断数列｛，-，是否为融积数列，并说明理由；

」若等差数列是融积数列，求代:的通项公式；

国若融积数列何：单调递增，打2,“_一$,求使“成立的"的最值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：因为集合$=（-1」），集合＞=5g=电1"=511；.1.1,

所以suT=[-i」]=r.

故选：「

根据正弦函数性质求值域得出集合T,最后根据并集的定义计算即可.

本题考查正弦函数的值域，集合的运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：t=（1,，“），T=（2,-1）,

若八，则二…解得：=

故选：（,.

直接由平面向量数量积的坐标表示列式求得机的值.

本题考查平面向量数量积的坐标运算，是基础的计算题.

3.【答案】A

【解析】解：由，1II,解得“1或”-2,

由,…1能推出51“2：II,

但由“.''-"不一定能得到,，1,

所以“〃I”是“1“--2；。”的充分不必要条件.

故选：.工

解一元二次不等式，根据集合包含关系分析充分、必要条件即可.

本题考查不等式的求解，充分必要条件的判断，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：二项式II-\L「展开式的通项公式为：

/1.,\4.1-•一U.1.上工I.IL：.、，

因为卜-fcZ,

所以，u,3,6,

所以系数为整数的项为：1,4,7,

故有3项.

第4页，共17页

故选：「

根据二项式展开式的通项n+i=时g*wz即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题.

5.【答案】D

【解析】解：函数f（jX1-Zrstinc+1有零点,

所以A；-i：.-.I；」，解得、I，

;

又由正弦函数的有界性可得：>in,iH

所以、“「，,I，则1-八iu；12-1J1，

所以,"一%的取值集合为{-1}.

故选：/）.

由二次函数有零点求出-in..,再利用二倍角的余弦公式计算即可.

本题考查二次函数有零点的应用，二倍角公式的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意⑴=I,可得、s.:,

又耐<；，

可得；.：，

O

所以fl7I2m」‘>l..u>>0,

6

x才行

由.一II.T,可得八一,-.---|,

666

由题意在「•一上恰有2个零点，

不

可得2-,

6

1117itIT

解得-一，即实数-的取值范围是［‘I

6666

故选：H

根据。，的图象经过的点及•范围求出，:，再根据x的范围得一，--二，结合正弦函数的

性质，列出相应不等式，即可求得C范围，即可得答案.

本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属

于中档题.

7.【答案】A

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【解析】解：根据题意，设事件」甲参观珠海国际航展中心，事件b甲与乙不到同一观展区,

航展共开辟了三处观展区，每人只能随机去一个展区，则广川:，

因为每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区，

则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个展区，

基本事件的总数为山！h厂;.I：3ii,

若事件N、8同时发生，即甲参观珠海国际航展中心而乙没有参观珠海国际航展中心，

分2种情况讨论：

若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁,

此时，不同的参观情况种数为2tI,

若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区,

此时，不同的参观情况种数为种,

4+6_5

因此，/VA/?.

由条件概率公式可得八〃L—x3

1H

故选：1

根据题意，记事件甲参观珠海国际航展中心，事件8甲与乙不到同一观展区，求出八1、nI“，的

值，利用条件概率公式可求得所广"1的值，即可得答案.

本题考查条件概率的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解:不妨设椭圆的方程为："I.」，「,，，一

则有八।,

,

所以一’」..11.(J/.-।«,1.>I.{1}1--J,.I；,“I，

因为.心户-7T,

所以X"।「八〃一(〃'—；(r,f;)-f3(1...'I:-3:,iH」.小

13/11/21.3I/»Illi/iUJIi,

所以,七•三“=,

所以/'//,的内切圆的半径为：；，由椭圆定义可得1/7；,入，//二，

第6页，共17页

所以、厂一1:1“i+/'/」I-14匕・m:！•2「|•::

411*/11i

..c3

x2rx|j^|=>3fl=8r=>e=-=-.

ao

故选：D.

不妨设椭圆的方程为：二.「：“1，根据/,/"，的面积建立等式关系即可求得.

a，tr

本题考查椭圆离心率的求法，属于中档题.

9.【答案】AC

,

【解析】解：根据题意，X-V（600.（r）i则“600,该正态曲线关于卜600对称,

依次分析选项：

对于工：p（x<eoo）1,故/正确；

对于8：正态曲线关于卜600对称,则/\■.'（>八9一\，.八A.........

故3错误；

对于C：正态曲线关于卜口川对称，则/IA•,故C正确；

对于。，“越小，说明数据越集中，八'二八1越小，故D错误.

故选：4C.

根据题意，利用正态分布的对称性，依次分析选项，即可得答案.

本题考查正态分布的性质，注意正态分布的对称性，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于/：对于-I-，',I、则1口1+:，2\2,I,故/错误；

对于3,令-1”，小，；-"，•」，且a,6,机，”-则，“/”，…,,',

所以「［a4"I）-m+n）,=：［♦:，，故2正确；

对于C：对于：11,7］，满足一1-一」，显然一产，故C错误；

对于。，令।-”•，，..,「，且0,b,m,（,•",

•\n•6io'h'<2'lh<-I）,

则（可得（：，「，即：为纯虚数，故。正确.

Iah=0I””

故选：/?/）.

由二：1*,,1，判断/，由二二1,二二一，判断C;令।a工八，，且Q,6,冽，“-",

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结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断8、D.

本题考查复数的运算，共轨复数，复数的模的求法，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：对于选项出设点1/在曲线3-］上，

点I..3，关于直线U「对称的点为3.」J,

此时小.J1成立，故选项/正确；

对于选项8:点h1VI在曲线J--1上，点

关于原点对称的点为I，.।,

此时“；」：1,该式，…I不成立，故选项3错误；

对于选项C:J'-.1-bH--1,■.1I；III,

因为广'yJ-xy=\r-。尸十>0,

4*1

所以，…",

所以曲线C在直线，，””的上方，故选项C正确；

对于选项D：易知曲线J1,与坐标轴的交点为山」I,11.山，

此时/+/=1</+/，

即曲线3.“1在第一象限的点匕.”到原点的距离.।，

所以曲线在第一象限的图像比单位圆凸出，

则围成的面积大于四分之一单位圆面积;，故选项D正确.

故选：

设点，找出关于直线"「对称和原点对称的点的坐标分别验证，进而可判断选项/,5;利用相等函

数得到结果，即可判断选项C；围成的面积与单位圆围成的面积做对比，即可判断选项£>.

本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

12.【答案】3

【解析】解：根据题意，2-」「山，，其导数「」，2」」，

X

则/'⑴=3.

故函数J，的图象在点11」।处的切线的斜率人3,

故答案为：，

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根据题意，求出函数的导数，再利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率.

本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题.

13.【答案】

6

【解析】解：四棱锥，的底面是平行四边形，点£满足八F-力,

3

设三棱锥产.4CE和四棱锥P的体积分别为li和「，

设点C到平面PAD的距离为肌

I,।।21，\'川，，则］

匕0

故答案为：I

6

根据题意，由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.

本题考查锥体的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

14.【答案】二

【解析】解：选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为，，，公差为，」，

则四项分别为J11，（1:,

则”，T且，，…3k-100,即I-tn1100U.,

m（N“，且100UI，可得£433

即当该四项公差为初时,共有（100种方法,其中N*且14*433,

则共有97+94+91•»■I'1617种方法.

••

第9页，共17页

y1I<MP|«)X99・！州・!斤

而从100项中任取3项共有，,,,“门上S

4!•96!4x3x2X1

二则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为「―1G17—'.

39212251125

故答案为：

2125

选取的4项按原来的顺序仍然成等差数列，设首项为，，，公差为，，--V.、则四项分别为「「，〃.，，

八」，“「」，由题意求得发的范围，再由等差数列的前〃项和公式结合概率求解.

本题考查概率统计及其有关概念，考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是中档题.

15.【答案】解：在/—I/"中，由正弦定理得

sinCmn

।：一,

结合.1〃(i,li(,”,可得—-';,

即工，解得cos.”广，结合I",可得而4=-cos2A

2milACVKAsinA5

<)_•方

J因为在锐角""中，，一」：，所以Zu1=\1二行」1=*1舍负，，

16'16'

根据正弦定理，可得、iu「.3v73v7,

BC516s

结合(匚।。.J,可得「Ji—sin’C=J1-；7，

/V88

5]93''7

所以一ii3-in\f-inI',>--.Isin(1\7•♦•\7''

1681681

可得」”的面积、-BC-Sinn1.6.5x^1=r\7

'22II

【解析】I，根据二倍角公式与正弦定理，列式算出<一」，进而运用同角三角函数的关系求得7U.I的值;

。根据同角三角函数的关系求出、.in.4的值，然后运用正弦定理求得进而算出…TUH,再利

用三角形的面积公式求出I/"的面积.

本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与三角形的面积公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数

学思想，属于中档题.

16.【答案】解：I证明：取4g的中点。，连接E。，OC,

因为E为从心中点，。为48中点，所以

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在三棱柱JWC-AB©中,AB=AAi=2,则四边形4Hbi4是菱形,所以

则八〃：EO,又4BCE>EO(I：E，EO,CE平面EOC,

所以L平面£。。，又因为0Cu平面EOC，

所以<"］」〃，

因为I/*'是等边三角形，。为N3中点，所以1/L

又因为OClABi，4B\H=A,AB,\B平面人」/"，.，

所以OC_L平面IAlili,又因为8面4BC,

所以平面4148场平面ABC.

连接4”.

因为iw:,\li11,所以I.1〃是等边三角形，所以I".I",

又平面平面48C,平面.1一/">'平面4BCAH，\<)平面44BB1，

所以］。」平面N3C,由。C,()/，一平面/8C,

得mho,又i」“，

如图，以。为原点，OC、OB、OA所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系”「，

则,('Iv3.0.01，/Ml.l.lh,.1,111.(1\4,,11II.J.\J.

设C(z,“,z),又「己_两,

即,■.;'I1.JI>

得，-V39-I.：-\3，

所以，।，，」1.v<iI，(I*\,1(I，、，，,1/''，\3.l.lli，

则乔=,+=(-v/S.u.'J-；'；'

易知平面AlABBi的一个法向量nl.ii.Hi,

第11页，共17页

C?-7F质

所以COB<3P.7?>=~i(r

设直线CP与平面ii"/>’所成角为”，

则、in”।'isCP.1/'".

1()

【解析】IL由题意可得八"/"),根据线面垂直的判定定理可得,I〃平面EOC,结合面面垂直的判定

定理即可证明；

1建立空间直角坐标系，根据(丫:「和空间向量的坐标表示求得「人」|，利用空间向量法求

解线面角即可.

本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题.

17.【答案】解：I设双曲线E的焦距为2c,

此时f「-,

已知点/到双曲线E的渐近线0的距离为‘、'人」，

yhr+<1，

因为“12W，

所以「，i।,

解得「二3”，

又1-u24"，

解得小］,

则双曲线£的标准方程为-「1；

8

，证明：①当直线5D的斜率不存在时，

因为「1〃..1",

设直线3。的方程为“t,

当，」时，则…11在双曲线J'厂|,

8

此时11.

8

解得，:，

7

当，I时，则"/，-1)在双曲线，,11''I,

8

此时,？.支创_1,

8

所以，1不合题意舍,

第12页，共17页

设直线的方程为4-"I，

y=k工+tn

{/,消去y并整理得a；1、一

此时、L.什且、、。,

由韦达定理得U+"=??，"2='，，：'、

s-k1*N一k1

因为四边形45CD为矩形，

所以」〃..1"

所以AB.4/5=(n-1,例卜"2-(11-1)(^2-1)+yiyj=0%

即(八—1乂12—1)+(kxi+m)(kx2+m)=(fc2+l"i12+(km—+m24-1—0»

国小2kr〃〃/+M

因为「1•广」一［，'「「'一，

a-Ar8—Ar2

由［、［IA-•III;/,-'，、21»,11.-1'、-卜，rJ-1•

所以»»II

、-内卜-炉N—Z

整理得Ir”，111MA10,

解得"J-4或"i—_A,

1

当m―1时，直线BD的方程为4A-»•'»'.1,

此时直线恒过定点.IlId,不合题意；

<)<|。

当”/时，直线助的方程为u4…J八J-.I,

7i1

此时直线恒过定点IHi

I

第13页，共17页

综上所述,直线恒过定点（一三0）.

i

【解析】；1,先根据点到直线距离计算得出八人？，再应用1/「一7人得出，；，，，计算得出“1进

而得出标准方程；

I2i分直线BD的斜率不存在和直线BD的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出

…卜或…J.,结合题意即可证明定点.

7

本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中

档题.

18.【答案】解：函数「।•»•,；、li-111-1-1,

I1I当人|时'/|?|-uII”'2\(IId1I，

当且仅当小h，即土10gti2时取等号，〃不取最小值4.

⑵设点夕（〃八为函数/（」的对称中心，则/"I♦/⑵〃—」2n,

所以小•卜〃,+HMTA=2n，所以…1।:+乃=0,

于是1+hi”且L।「“，且，，II，

即〃二—卜,〃=I）,

所以当人时，切无解，此时函数/一一的图象没有对称中心；

当4.I）时，…!A）,此时函数图象的对称中心为四：“二」E

l3i当A门时，一、:都有'•[,

所以小，1在I-上恒成立，即2J0.

1-2J-i2

令二"rliin.Im1-2.rl,则0,

所以，in.1~，令〃i；Ina-———，则411i<0，

1lx1-lx（12『）・

所以，IC在I上单调递减，

第14页，共17页

①当"•rI时，，iJ。，则J」)在I-x上单调递减，此时当.rII时，，一,।H,舍去;

9III

②当n.1时，由,I111H~I),解得J——一.，

1-2J2hia2

「当时，/€(-3C,0)时，/(*)>(),则.।单调递增；

-•1时，，।」“，则，「一单调递减；

所以」II时，，」，，取极大值，贝h」一r10：1»,所以“一满足；

2°当1时，—[”什，

2Ina

因为L।,1时，，1,“，则，一单调递减，

2hi”2

所以，।，时，.：/I/<I)=I),舍去；

2Ina

3°当“，时，’,'in

2ina

因为J-：X1।I时，,'l^：-0,则.1，单调递增，

2Ino

1

所以，"’时，Zl.rl>rHI：II,舍去；

2Ina

综上，实数。的取值集合为｛「｝.

【解析】।结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件.

，，利用中心对称列方程，根据指数运算化简得A,"1按照ir和，I)分类讨论求解即可.

•>由题意转化为/1“