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文档简介
2025届湖南省郴州市高三下期第一次月考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.2.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.3.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且4.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()A. B. C. D.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.6.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件7.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.8.根据散点图,对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分析,设u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程为=0.5v+2,则变量y的最大值的估计值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln29.定义在R上的函数,,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.10.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列11.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.12.设复数满足(为虚数单位),则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则的展开式中含的项的系数为_______.14.某四棱锥的三视图如图所示,那么此四棱锥的体积为______.15.抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个.16.已知角的终边过点,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数.(1)写出与的直角坐标方程;(2)在什么范围内取值时,与有交点.18.(12分)在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线的极坐标方程为,射线的极坐标方程为.(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程,并指出是何种曲线;(Ⅱ)若射线与曲线交于两点,射线与曲线交于两点,求面积的取值范围.19.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)已知椭圆的上顶点为,圆与轴的正半轴交于点,与有且仅有两个交点且都在轴上,(为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)已知点,不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,证明:直线与直线的斜率互为相反数.21.(12分)已知函数,且.(1)求的解析式;(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.22.(10分)己知的内角的对边分别为.设(1)求的值;(2)若,且,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故选:.【点睛】本题考查交集、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2、B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.3、B【解析】由且可得,故选B.4、B【解析】
根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.5、C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.6、A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.7、D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.8、B【解析】
将u=lny,v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2,利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解:将u=lny,v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得:,即,当时,取到最大值2,因为在上单调递增,则取到最大值.故选:B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题,考查复合型指数函数的最值,是基础题,.9、D【解析】
根据题意判断出函数的单调性,从而根据单调性对选项逐个判断即可.【详解】由条件可得函数关于直线对称;在,上单调递增,且在时使得;又,,所以选项成立;,比离对称轴远,可得,选项成立;,,可知比离对称轴远,选项成立;,符号不定,,无法比较大小,不一定成立.故选:.【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.11、B【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,,令当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为,故选:B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.12、A【解析】
由复数的除法运算可整理得到,由此得到对应的点的坐标,从而确定所处象限.【详解】由得:,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解,涉及到复数的除法运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【详解】,根据二项式展开式通项:,令,解得,所以含的项的系数.故答案为:【点睛】本题考查定积分,二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.14、【解析】
利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.【详解】如图:此四棱锥的高为,底面是长为,宽为2的矩形,所以体积.所以本题答案为.【点睛】本题考查几何体与三视图的对应关系,几何体体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征,可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断.15、2【解析】
设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.16、【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义,两角和差正弦公式,求得的值.【详解】解:∵角的终边过点,∴,,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两角和差正弦公式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),.(2)【解析】
(1)利用,代入可求;消参可得直角坐标方程.(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,与有交点,可得,解不等式即可求解.【详解】(1)(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得:与有交点,即【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断,属于基础题.18、(Ⅰ),曲线是以为圆心,为半径的圆;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程,由此能求出曲线的极坐标方程.(Ⅱ)令,,则,利用诱导公式及二倍角公式化简,再由余弦函数的性质求出面积的取值范围;【详解】解:(Ⅰ)由(为参数)化为普通方程为,整理得曲线是以为圆心,为半径的圆.(Ⅱ)令,,,,面积的取值范围为【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查三角形的面积的求法,考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接,设,连接.通过证明,证得直线平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的正弦值.【详解】(1)连接,设,连接,因为,所以,所以,在中,因为,所以,且平面,故平面.(2)因为,,,,,所以,因为,平面,所以平面,所以,,取所在直线为轴,取所在直线为轴,取所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得,,,,所以,因为,所以,所以点的坐标为,所以,,设为平面的法向量,则,令,解得,,所以,即为平面的一个法向量.,同理可求得平面的一个法向量为所以所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据条件可得,进而得到,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,联立,分别表示出直线和直线斜率,相加利用根与系数关系即可得到.【详解】解:(1)圆与有且仅有两个交点且都在轴上,所以,又,,解得,故椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,联立,整理可得,则,解得,设点,,则,,所以,故直线与直线的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及椭圆的几何性质,关键是求出椭圆的标准方程,属于中档题.21、(1);(2)【解析】
(1)由,可求出的值,进而可求得的解析式;(2)分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.【详解】(1)因为,
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