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文档简介
贵州省贵阳市普通高中2025年高三第二学期质量调研考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度2.已知集合,,若AB,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变4.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.5.若,则函数在区间内单调递增的概率是()A.B.C.D.6.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.27.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.40408.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.9.已知集合A={x∈N|x2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},则=()A.{2,3,4,5} B.{2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5,6} D.{1,3,4,5,6,7}10.在中,,,,为的外心,若,,,则()A. B. C. D.11.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()A. B. C. D.12.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.14.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.15.函数在上的最小值和最大值分别是_____________.16.若函数,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(1)若曲线在点处的切线也与曲线相切,求实数的值;(2)试讨论函数零点的个数.18.(12分)如图,在三棱柱中,,,,为的中点,且.(1)求证:平面;(2)求锐二面角的余弦值.19.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.21.(12分)[2018·石家庄一检]已知函数.(1)若,求函数的图像在点处的切线方程;(2)若函数有两个极值点,,且,求证:.22.(10分)已知.(1)求不等式的解集;(2)记的最小值为,且正实数满足.证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.2、D【解析】
先化简,再根据,且AB求解.【详解】因为,又因为,且AB,所以.故选:D【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3、D【解析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题4、A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.5、B【解析】函数在区间内单调递增,,在恒成立,在恒成立,,函数在区间内单调递增的概率是,故选B.6、A【解析】
分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴数列是以3为周期的周期数列,
,
,
故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.7、D【解析】
计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.8、D【解析】
根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.9、C【解析】
根据集合的并集、补集的概念,可得结果.【详解】集合A={x∈N|x2<8x}={x∈N|0<x<8},所以集合A={1,2,3,4,5,6,7}B={2,3,6},C={2,3,7},故={1,4,5,6},所以={1,2,3,4,5,6}.故选:C.【点睛】本题考查的是集合并集,补集的概念,属基础题.10、B【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出,,即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线,垂足分别为,,,过分别做,的平行线,,由题知,则外接圆半径,因为,所以,又因为,所以,,由题可知,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质,正弦定理,平面向量分解定理,属于一般题.11、B【解析】
根据两个函数相等,求出所有交点的横坐标,然后求和即可.【详解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.12、D【解析】
由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,可得当时最小,设正方体的棱长为,得,进一步求出四面体的体积即可.【详解】解:如图,
∵点M,N分别在棱上,要最小,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,三线共线时,最小,
∴
设正方体的棱长为,则,∴.
取,连接,则共面,在中,设到的距离为,
设到平面的距离为,
.
故选D.【点睛】本题考查多面体体积的求法,考查了多面体表面上的最短距离问题,考查计算能力,是中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
易得,所以是等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,,因,所以,所以数列是以为首项,3为公差的等差数列,故,所以.故答案为:【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.14、【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于,,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为存在直线l与函数及的图象都相切,所以,所以,令,设,则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以实数的最小值为.15、【解析】
求导,研究函数单调性,分析,即得解【详解】由题意得,,令,解得,令,解得.在上递减,在递增.,而,故在区间上的最小值和最大值分别是.故答案为:【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题16、【解析】
根据题意,由函数的解析式求出的值,进而计算可得答案.【详解】根据题意,函数,则,则;故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)答案不唯一具体见解析【解析】
(1)利用导数的几何意义,设切点的坐标,用不同的方式求出两种切线方程,但两条切线本质为同一条,从而得到方程组,再构造函数研究其最大值,进而求得;(2)对函数进行求导后得,对分三种情况进行一级讨论,即,,,结合函数图象的单调性及零点存在定理,可得函数零点情况.【详解】解:(1)曲线在点处的切线方程为,即.令切线与曲线相切于点,则切线方程为,∴,∴,令,则,记,于是,在上单调递增,在上单调递减,∴,于是,.(2),①当时,恒成立,在上单调递增,且,∴函数在上有且仅有一个零点;②当时,在R上没有零点;③当时,令,则,即函数的增区间是,同理,减区间是,∴.ⅰ)若,则,在上没有零点;ⅱ)若,则有且仅有一个零点;ⅲ)若,则.,令,则,∴当时,单调递增,.∴又∵,∴在R上恰有两个零点,综上所述,当时,函数没有零点;当或时,函数恰有一个零点;当时,恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识,求解切线有关问题时,一定要明确切点坐标.以导数为工具,研究函数的图象特征及性质,从而得到函数的零点个数,此时如果用到零点存在定理,必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)证明后可得平面,从而得,结合已知得线面垂直;(2)以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,写出各点坐标,求出二面角的面的法向量,由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为,为中点,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,两两垂直,所以以为坐标原点,以为轴,为轴,为建立空间直角坐标系,设,则,,,,,.设平面的法向量,则,即,令,则;设平面的法向量,则,即,令,则,所以.故锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面垂直,解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角,求空间角一般是建立空间直角坐标系,用向量法易得结论.19、(1);(2)见解析.【解析】
(1)令,,利用可求得数列的通项公式,由此可得出数列的通项公式;(2)求得,利用裂项相消法求得,进而可得出结论.【详解】(1)令,,当时,;当时,,则,故;(2),.【点睛】本题考查利用求通项,同时也考查了裂项相消法求和,考查计算能力与推理能力,属于基础题.20、(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲线的参数方程消去t后,要注意x的范围,再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;(2)设,,由(1)可得,,相加即可得到证明.【详解】(1),∵,∴,∴,由题可知:,:().(2)因为,设,,则,,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.21、(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)分别求得和,由点斜式可得切线方程;(2)由已知条件可得有两个相异实根,,进而再求导可得,结合函数的单调性可得,从而得证.试题解析:(1)由已知条件,,当时,,,当时,,所以所求切线方程为(2)由已知条件可得有两个相异实根,,令,则,1)若,则,单调递增,不可能有两根;2)若,令得,可知在上单调递增,在上单调递减,令解得,由有,由有,从而时函数有两个极值点,当变化时,,的变化情况如下表单调递减单调递增单调递减因为,所以,在区间上单调递增,.另解:由已知可得,则,令,则,可知函数在单调递增,在单调递减,若有两个根,则可得,当时,,所以在区间上单调递增,所以.22、(1)或;(2)见解析【解析】
(1)根据,利用零点分段
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