高考一轮复习不等式及均值不等式

...wd......wd...学习好帮手...wd...2017高考一轮复习 不等式和均值不等式一．选择题〔共14小题〕1．〔2010•上海〕〔上海春卷16〕a1，a2∈〔0，1〕，记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是〔〕A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定2．〔2016春•乐清市校级月考〕设a，b是实数，则“a＞b＞1〞是“〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．〔2013•天津〕设a，b∈R，则“〔a﹣b〕a2＜0〞是“a＜b〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．〔2012•湖南〕设a＞b＞1，C＜0，给出以下三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c〕＞loga〔b﹣c〕．其中所有的正确结论的序号〔〕A．① B．①② C．②③ D．①②③5．〔2014•山东〕实数x，y满足ax＜ay〔0＜a＜1〕，则以下关系式恒成立的是〔〕A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕 D．＞6．〔2013•陕西〕设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有〔〕A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]7．〔2013秋•丰城市校级期末〕以下函数中最小值为4的是〔〕A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，〔0＜x＜π〕8．〔2013•山东〕设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为〔〕A．0 B． C．2 D．9．假设实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1〕，则〔a+1〕〔b+2〕的最小值为〔〕A．24 B．25 C．27 D．3010．〔2006秋•增城市期末〕0＜x＜1，则x〔3﹣3x〕取得最大值时时x的值为〔〕A． B． C． D．11．〔2014秋•周口期末〕设x，y∈R，a＞1，b＞1，假设ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．log2312．〔2012•河南一模〕函数y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的图象恒过定点A，假设点A在直线+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，则m+n的最小值为〔〕A．2+ B．2 C．1 D．413．〔2015•陕西〕设f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假设p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，则以下关系式中正确的选项是〔〕A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q14．〔2014•湖北校级模拟〕某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如以以下列图，长方形ABCD〔AB＞AD〕的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为〔〕A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2二．填空题〔共5小题〕15．〔2013•安徽〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．16．〔2015秋•中山市校级期中〕x＞3，则+x的最小值为．17．x＞1，则函数y=的最小值是．18．〔2014•荆州一模〕x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4〔x+2y〕的最小值是．19．假设a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为．三．解答题〔共7小题〕20．〔2009•广州一模〕如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2．〔1〕求证：BC⊥平面A1AC；〔2〕求三棱锥A1﹣ABC的体积的最大值．21．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比照aabb与abba的大小．22．设f〔x〕是不含常数项的二次函数，且1≤f〔﹣1〕≤2.2≤f〔1〕≤4求f〔2〕的取值范围．23．α，β满足，试求α+3β的取值范围．24．〔2013秋•商丘期中〕〔1〕a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；〔2〕设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤．25．〔2015•丹东二模〕a，b为正实数，〔1〕假设a+b=2，求的最小值；〔2〕求证：a2b2+a2+b2≥ab〔a+b+1〕．26．〔2016春•和平区期末〕x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：〔1〕xy的最小值；〔2〕x+y的最小值．2017高考一轮复习 不等式和均值不等式参考答案与试题解析一．选择题〔共14小题〕1．〔2010•上海〕〔上海春卷16〕a1，a2∈〔0，1〕，记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是〔〕A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定【分析】根据题意，利用作差法进展求解．【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1=〔a1﹣1〕〔a2﹣1〕＞0，故M＞N，应选B．【点评】此题考察大小的比照，利用作差法进展求解，是一道根基题．2．〔2016春•乐清市校级月考〕设a，b是实数，则“a＞b＞1〞是“〞的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】画出f〔x〕=x+图象，根据函数的单调性，结合充分那样条件的定义可判断．【解答】解：∵f〔a〕=a+，f〔b〕=b+，f〔x〕=x+图象如以以以下列图．∴根据函数的单调性可判断：假设“a＞b＞1〞则“〞成立，反之假设“〞则“a＞b＞1〞不一定成立．根据充分必要条件的定义可判断：“a＞b＞1〞是“〞的充分不必要条件，应选：A【点评】此题考察了对钩函数的单调性，必要充分条件的定义可判断，属于中档题．3．〔2013•天津〕设a，b∈R，则“〔a﹣b〕a2＜0〞是“a＜b〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】通过举反例可得“a＜b〞不能推出“〔a﹣b〕a2＜0〞，由“〔a﹣b〕a2＜0〞能推出“a＜b〞，从而得出结论．【解答】解：由“a＜b〞如果a=0，则〔a﹣b〕a2=0，不能推出“〔a﹣b〕a2＜0〞，故必要性不成立．由“〔a﹣b〕a2＜02〞可得a2＞0，所以a＜b，故充分性成立．综上可得“〔a﹣b〕a2＜0〞是a＜b的充分也不必要条件，应选A．【点评】此题主要考察充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于根基题．4．〔2012•湖南〕设a＞b＞1，C＜0，给出以下三个结论：①＞；②ac＜bc；③logb〔a﹣c〕＞loga〔b﹣c〕．其中所有的正确结论的序号〔〕A．① B．①② C．②③ D．①②③【分析】利用作差比照法可判定①的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；②考察幂函数y=xc，∵c＜0∴y=xc在〔0，+∞〕上是减函数，而a＞b＞0，则ac＜bc正确；③当a＞b＞1时，有logb〔a﹣c〕＞logb〔b﹣c〕＞loga〔b﹣c〕；正确．应选D．【点评】此题主要考察了不等式比照大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于根基题．5．〔2014•山东〕实数x，y满足ax＜ay〔0＜a＜1〕，则以下关系式恒成立的是〔〕A．x3＞y3 B．sinx＞sinyC．ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕 D．＞【分析】此题主要考察不等式的大小比照，利用函数的单调性的性质是解决此题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay〔0＜a＜1〕，∴x＞y，A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．C．假设ln〔x2+1〕＞ln〔y2+1〕，则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．D．假设＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．应选：A．【点评】此题主要考察函数值的大小比照，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决此题的关键．6．〔2013•陕西〕设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有〔〕A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]【分析】此题考察的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．故D选项为真．应选D．【点评】此题考察了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大．7．〔2013秋•丰城市校级期末〕以下函数中最小值为4的是〔〕A．y=x+ B．y=C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，〔0＜x＜π〕【分析】A．当x＜0时，利用根本不等式的性质，y=﹣≤﹣4，可知无最小值；B．变形为，利用根本不等式的性质可知：最小值大于4；C．利用根本不等式的性质即可判断出满足条件；D．利用根本不等式的性质可知：最小值大于4．【解答】解：A．当x＜0时，=﹣4，当且仅当x=﹣2时取等号．因此此时A无最小值；B.==4，当且仅当x2+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.=4，当且仅当，解得ex=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D．当0＜x＜π时，sinx＞0，∴=4，当且仅当，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．综上可知：只有C满足条件．应选C．【点评】熟练掌握根本不等式的性质是解题的关键，特别注意“=〞是否取到．8．〔2013•山东〕设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为〔〕A．0 B． C．2 D．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用根本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1〔当且仅当x=2y时取“=〞〕，即x=2y〔y＞0〕，∴x+2y﹣z=2y+2y﹣〔x2﹣3xy+4y2〕=4y﹣2y2=﹣2〔y﹣1〕2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．应选：C．【点评】此题考察根本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考察配方法求最值，属于中档题．9．假设实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0〔a＞1〕，则〔a+1〕〔b+2〕的最小值为〔〕A．24 B．25 C．27 D．30【分析】先根据ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的关系式，进而代入到〔a+1〕〔b+2〕利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ab﹣4a﹣b+1═0∴b==4+，∴〔a+1〕〔b+2〕=6a++6=6a++9=6〔a﹣1〕++15≥27〔当且仅当a﹣1=即a=2时等号成立〕，即〔a+1〕〔b+2〕的最小值为27．应选：C．【点评】此题主要考察了根本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是配出均值不等式的形式．10．〔2006秋•增城市期末〕0＜x＜1，则x〔3﹣3x〕取得最大值时时x的值为〔〕A． B． C． D．【分析】法一：设y=x〔3﹣3x〕=﹣3，利用二次函数的性质可求函数的最大值法二：由0＜x＜1可得1﹣x＞0，从而利用根本不等式可求x〔3﹣3x〕=3x〔1﹣x〕的最大值及取得最大值的x【解答】解：法一：设y=x〔3﹣3x〕则y=﹣3〔x2﹣x〕=﹣3∵0＜x＜1当x=时，函数取得最大值应选C法二：∵0＜x＜1∴1﹣x＞0∵x〔3﹣3x〕=3x〔1﹣x〕当且仅当x=1﹣x即x=时取得最大值应选C【点评】此题主要考察了二次函数在闭区间上的最值的求解，一般的处理方法是对二次函数进展配方，结合函数在区间上的单调性判断取得最值的条件．11．〔2014秋•周口期末〕设x，y∈R，a＞1，b＞1，假设ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．log23【分析】由ax=by=2，求出x，y，进而可表示，再利用根本不等式，即可求的最大值．【解答】解：∵ax=by=2，∴x=loga2，y=logb2∴，∴=log2a+log2b=log2ab，∵2a+b=8≥，∴ab≤8〔当且仅当2a=b时，取等号〕，∴≤log28=3，即的最大值为3．应选B．【点评】此题考察根本不等式的运用，考察对数运算，考察学生分析转化问题的能力，正确表示是关键．12．〔2012•河南一模〕函数y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的图象恒过定点A，假设点A在直线+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，则m+n的最小值为〔〕A．2+ B．2 C．1 D．4【分析】利用对数的性质可得：函数y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的图象恒过定点A〔1，1〕，代入直线+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，可得．再利用“乘1法〞和根本不等式的性质即可得出．【解答】解：当x=1时，y=loga1+1=1，∴函数y=logax+1〔a＞0且a≠1〕的图象恒过定点A〔1，1〕，∵点A在直线+﹣4=0〔m＞0，n＞0〕上，∴．∴m+n===1，当且仅当m=n=时取等号．应选：C．【点评】此题考察了对数的运算性质、“乘1法〞和根本不等式的性质，属于根基题．13．〔2015•陕西〕设f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假设p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，则以下关系式中正确的选项是〔〕A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由题意可得p=〔lna+lnb〕，q=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔lna+lnb〕，可得大小关系．【解答】解：由题意可得假设p=f〔〕=ln〔〕=lnab=〔lna+lnb〕，q=f〔〕=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕=〔lna+lnb〕，∴p=r＜q，应选：B【点评】此题考察不等式与不等关系，涉及根本不等式和对数的运算，属根基题．14．〔2014•湖北校级模拟〕某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如以以下列图，长方形ABCD〔AB＞AD〕的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为〔〕A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2【分析】利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得y=2〔1﹣〕，1＜x＜2，表示出△ADP的面积，利用根本不等式，可求最值．【解答】解：设AB=x，DP=y，BC=2﹣x，PC=x﹣y．∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2，∵△ADP≌△CB′P，∴PA=PC=x﹣y．由PA2=AD2+DP2，得〔x﹣y〕2=〔2﹣x〕2+y2⇒y=2〔1﹣〕，1＜x＜2，记△ADP的面积为S，则S=〔1﹣〕〔2﹣x〕=3﹣〔x+〕≤3﹣2，当且仅当x=∈〔1，2〕时，S取得最大值．应选：B．【点评】此题主要考察应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对根本不等式、导数等的考察．二．填空题〔共5小题〕15．〔2013•安徽〕如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是①②③⑤〔写出所有正确命题的编号〕．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．【点评】此题考察命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．16．〔2015秋•中山市校级期中〕x＞3，则+x的最小值为7．【分析】此题可以通过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用根本不等式求出原式的最小值，即此题答案．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0．∴+x=≥．当且仅当x=5时取最值．故答案为：7．【点评】此题考察了根本不等式，注意不等式使用的条件．此题难度适中，属于中档题．17．x＞1，则函数y=的最小值是8．【分析】利用换元法化简函数，根据根本不等式求出函数y=的最小值．【解答】解：∵x＞1，∴t=x﹣1＞0，∴y===t++2≥2+2=8，当且仅当t=，即t=3，x=4时，取等号，∴函数y=的最小值是8．故答案为：8．【点评】此题考察求函数y=的最小值，考察根本不等式的运用，正确变形是关键．18．〔2014•荆州一模〕x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4〔x+2y〕的最小值是．【分析】根据根本不等式求出xy≥8，然后利用对数的根本运算和对数的换底公式进展计算即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得〔xy〕2≥8xy，解得xy≥8，∴log4〔x+2y〕=log4〔xy〕，故答案为：【点评】此题主要考察根本不等式的应用以及对数的根本计算，考察学生的计算能力．19．假设a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为．【分析】根据柯西不等式〔x1x2+y1y2〕2≤〔x12+y12〕〔x22+y22〕，得到〔ax+by〕2≤〔a2+b2〕〔x2+y2〕，进而求得ax+by的最大值．【解答】解：根据柯西不等式〔x1x2+y1y2〕2≤〔x12+y12〕〔x22+y22〕，⇒〔ax+by〕2≤〔a2+b2〕〔x2+y2〕=3×1=3，当且仅当ay=bx时取等号，所以，ax+by∈[﹣，]，因此，ax+by的最大值为，故填：．【点评】此题主要考察了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的关键是利用了柯西不等式，属于根基题．三．解答题〔共7小题〕20．〔2009•广州一模〕如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2．〔1〕求证：BC⊥平面A1AC；〔2〕求三棱锥A1﹣ABC的体积的最大值．【分析】〔1〕欲证BC⊥平面AA1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面AA1C内两相交直线垂直，而BC⊥AC，AA1⊥BC，AA1∩AC=A满足定理条件；〔2〕设AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根据体积公式VA1﹣ABC=S△ABC•AA1表示成关于x的函数，根据二次函数求出其最大值．【解答】解：〔1〕证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊈平面ABC，∴AA1⊥BC．∵AA1∩AC=A，AA1⊊平面AA1C，AC⊊平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C．〔2〕设AC=x，在Rt△ABC中，BC==〔0＜x＜2〕，故VA1﹣ABC=S△ABC•AA1=••AC•BC•AA1=x〔0＜x＜2〕，即VA1﹣ABC=x==．∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当x2=2，即x=时，三棱锥A1﹣ABC的体积最大，其最大值为【点评】本小题主要考察直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等根基知识，考察空间想象能力，运算能力和推理论证能力．21．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比照aabb与abba的大小．【分析】由题意可得=aa﹣b•bb﹣a=，当a＞b＞0时，可得aabb＞abba．当b＞a＞0时，同理可得aabb＞abba．综上可得aabb与abba的大小关系．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a≠b，而且=aa﹣b•bb﹣a=，当a＞b＞0时，由＞1，a﹣b＞0，可得＞1，∴aabb＞abba．当b＞a＞0时，由0＜＜1，a﹣b＜0，可得＞1，∴aabb＞abba．综上可得，aabb＞abba．【点评】此题主要考察用作商比照法比照两个正实数的大小关系，不等式性质的应用，属于根基题．22．设f〔x〕是不含常数项的二次函数，且1≤f〔﹣1〕≤2.2≤f〔1〕≤4求f〔2〕的取值范围．【分析】设f〔x〕=ax2﹣bx，由题意推出，确定目标函数f〔2〕=4a﹣2b经过可行域的特殊点，然后求出f〔2〕的范围即可．【解答】解：设f〔x〕=ax2﹣bx，由题意可知，目标函数f〔2〕=4a﹣2b作出可行域如图，所以经过M〔3，﹣1〕，N〔，〕分别为目标函数f〔2〕=4a﹣2b的取值范围，f〔2〕∈[7，14]．【点评】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，注意特殊点的选择，属于根基题．23．α，β满足，试求α+3β的取值范围．【分析】该问题是不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．【解答】解设α+3β=λ〔α+β〕+v〔α+2β〕=〔λ+v〕α+〔λ+2v〕β．比照α、β的系数，得，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β