河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A=xx2<A．−1,4 B．−2,12．已知向量a=3,m,b=A．4 B．−2 C．4或−23．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4A．−14 B．−12 C．124．设a=50.4,bA．a<b<c B．c<a5．函数fx=mx−A．3 B．e C．1 D．16．已知抛物线y2=2px的焦点为F，点A,B,C在抛物线上，FA．3 B．4 C．5 D．67．已知三棱锥A−BCD中，CD⊥平面ABD，ABA．12π B．24π C．40π8．在△ABC中，∠BAC=120°A．3 B．33 C．4213二、多选题9．下列选项正确的是（

）A．设X是随机变量，若X∼NB．已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6C．二项式2x3D．设X是随机变量，若X∼B10．已知函数fx=2A．函数fx的最小正周期为B．函数fx关于点−C．函数y=fx的图像向左平移πD．函数gx=fx−a11．已知函数fx=x3+bx2+cx+dA．实数c为0 B．1mC．f1>3三、填空题12．设α是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且cosα13．已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b14．现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作bn，即b1=0，则b4=四、解答题15．在四棱锥Q−ABCD(1)若QA=5,Q(2)若平面QAD⊥平面ABCD，且二面角16．已知函数f((1)当a=2时，求曲线y=(2)讨论函数f(17．为测试某人工智能机器人在动态环境中执行路径规划的能力，命令该人工智能机器人在动态环境中执行路径规划任务，任务规则如下：该机器人需要依次通过5个关键区域，成功通过3个区域即认为其完成任务，每个区域存在动态障碍物，机器人成功通过一个区域的概率为23，被障碍物阻挡的概率为1(1)若任务在过第4个区域后终止且人工智能机器人完成任务，求此事件的概率；(2)记任务结束时该人工智能机器人的总得分为X，求X的分布列和数学期望.18．已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程；(2)矩形ABCD为椭圆E(3)过椭圆E的蒙日圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别为M,N，且直线OM,O19．数学中的数除了实数，复数之外，还有四元数.一般地，形如z=a+bi+cj+dk的数为四元数，其中a,b,c,d都是实数，i(1)若z=1+(2)已知四元数zn（i）若an=1（ii）若数列an,bn,cn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省保定市2025届高三第一次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DCABDBDCACACD题号11答案ABD1．D【分析】解不等式求得集合A，进而求得A∩【详解】x2<10所以A=所以A∩B=故选：D2．C【分析】由向量加法和模长运算的坐标表示计算即可.【详解】a+∵a两边平方后化简可得m=4或故选：C3．A【分析】根据给定条件，结合等差数列前n项和公式，列式求出公差即可.【详解】设等差数列{an}的公差为d，由S解得d=−3故选：A4．B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a,【详解】由指数函数y=a=又c=所以c<故选：B5．D【分析】拆分绝对值后转变为方程根的个数问题，分离参数，利用导数分析单调性和极值，综合可得.【详解】令fx=0当x≥1e时，tx=所以当x∈1e,1时，t'x>0所以函数tx在x=1处取得极大值t1=1，且当0<x<则t'x=lnxx2当x→0+综上，y=m与函数tx图象有三个交点时0<m<1所以m的取值可以是1e故选：D6．B【分析】利用抛物线定义将FA+FB+FC=12转化为A【详解】由题：F(p2由抛物线定义知：FA又F为△ABC的重心，所以x故选：B.7．D【分析】先根据正弦定理求底面△ABD外接圆半径r，再根据三棱锥A【详解】在△ABD中，A所以cosB=B设△ABD外接圆半径为r，则ADsin又CD⊥平面ABD，且CD则R2所以三棱锥A−BC故选：D8．C【分析】通过向量关系建立等式，再结合已知条件转化为可求最值的形式，进而求得最大值.【详解】因为D为BC中点，所以A两边平方可得AD已知∠BAC则AB所以1=14设AB=c，A令t=2c+b4=将其看作关于c的一元二次方程7c因为c存在，所以判别式Δ=即25t2−28t2+112≥故2AB+故选：C.9．AC【分析】A选项，按正态分布的表达含义可得结果；B选项，按百分位数的求解方法计算即可；C选项，表达二项式的通项，令字母因数部分指数为零可得解；D选项，按二项分布的方差公式及性质运算即可.【详解】A选项：若X∼N3B选项：1，2，3，5，6，6，7，9，这组数据已按从小到大排好序，共有8个数据，上四分位数是第75百分位数，因为75%所以75百分位数是这组数据中第6个和第7个数的平均数，为6+C选项：二项式2x3−令12-4k为T4D选项：若X∼Bn所以X∼B9则D3故选：AC.10．ACD【分析】由三角恒等变换化简函数fx.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得a【详解】函数fx对于A选项：∵ω=2，∴对于B选项：令2x+π6=对于C选项：平移后的函数hx=fx+对于D选项：g′x=f′x−a=4cos故选：ACD.11．ABD【分析】先根据函数的单调性，可判断出f′x=0有两个解，一个是0，另一个大于2，可求c的值及b的取值范围；再根据方程fx=0【详解】因为fx=x因为函数fx在−∞,所以方程f′其中一个根为0，即f′0=0另一根：3x+2b=0⇒所以fx=x3+bx所以fx=x由2m+2n+又−b由f2=0⇒8+4当b=−3时，d所以fx=0只有两个根，与f因为f1=1因为b<−3，所以f因为m−n2=m+n因为b<−3，所以b故选：ABD12．−【分析】根据余弦函数的定义列方程解出x，再利用正切函数的定义求解即可.【详解】由题：cosα又α是第二象限角，所以x=所以tanα故答案为：−313．2【分析】由已知可推得∠POF2=【详解】如图，设Q为PF由题意：|OP|所以Q是线段F1所以∠F又直线OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知所以∠POF所以ba所以离心率e=故答案为：214．80【分析】设第n个处理器发射的A类信号数量记作an，易得当n≥2时，第n个处理器发射的A类信号数量为n−1，从而可求出数列an的通项，由题意可得当n≥【详解】设第n个处理器发射的A类信号数量记作an则a1由题意，当n≥2时，第n个处理器发射的A类信号数量为即当n≥2时，当n≥2时，则b2故当n≥3时，可得bn又b2所以数列bn+n从第二项开始是以3所以bn+n当n=所以bn故答案为：8；0,15．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）取AD的中点O，连接OC,OQ，利用勾股定理的逆定理可得OQ⊥（2）过O作OM⊥CD于点M，连接QM，可证CD⊥QM，进而得∠QM【详解】（1）取AD的中点O，连接O因为QA=Q又因为QA=5因为∠ABC=60所以OC=C所以OQ⊥OC，又AD所以OQ⊥平面ABCD，又OQ⊂（2）过O作OM⊥CD于点由（1）可知QO⊥AD，又平面QAD⊥所以QO⊥平面ABCD，又C又QO∩OM=O，QO又QM⊂平面QO所以∠QMO为二面角Q−C所以∠QMO=60°，在在Rt△OMD中，OD所以QO=32，在Rt△所以QD16．(1)2x(2)答案见解析.【分析】（1）把a=2代入，求出函数（2）求出函数f(x)【详解】（1）当a=2时，函数f(x)=3所以曲线y=f(x)在(（2）函数f(x)求导得f′当a≤0时，由f′(x)>函数f(x)在(当0<a<3时，由f′(x)>函数f(x)在(当a=3时，f′(x)≥当a>3时，由f′(x)>0，得函数f(x)在(所以当a≤0时，函数f(x)当0<a<3时，函数f(当a=3时，函数f(当a>3时，函数f(x)17．(1)827(2)分布列见解析，1079【分析】（1）根据已知，对应事件为机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，应用重复独立事件的概率求法求概率；（2）根据已知有X的可能值为18,【详解】（1）在过第4个区域后终止任务且人工智能机器人完成任务，所以机器人通过了第4个区域，且前3个区域通过2个区域、被阻挡1区域，故事件概率为C3（2）由题意，总得分X的可能值为18,前3次都成功通过，此时X=18，则前3次有2次成功通过、1次被阻挡，第4次成功通过，此时X=15，则前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次成功通过，此时X=12，则前4次有2次成功通过、2次被阻挡，第5次被阻挡，此时X=3，则前3次有1次成功通过、2次被阻挡，第4次被阻挡，此时X=−3前3次都被阻挡，此时X=−9所以X分布列如下，X1815123−−P8816821则E(18．(1)x2(2)323(3)证明见解析.【分析】（1）由椭圆所过的点列出关于a,（2）分“外切矩形ABCD四边所在切线存在斜率不存在”和“外切矩形ABCD四边所在切线斜率都存在”，设切线lAB：y=kx+mk≠0，与椭圆联立方程，利用位置关系结合判别式求出（3）证明：设切线lPM：y=k0x+m【详解】（1）由题得a=所以椭圆E的标准方程为x2（2）当外切矩形ABCD四边所在切线存在斜率不存在时，此时矩形A当外切矩形AB则可设切线lA联立x2则Δ=由题可设切线lCD：切线lCD和lA由题可设切线lB联立x2则Δ=由题可设切线lAD：切线lBC和lA所以由对称性可得矩形ABCD令h=k2+1所以0<则S=