2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：圆中三角形相似与三角函数的综合训练（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中三角形相似与三角函数的综合训练

1.如图，在△ABC中，ZBAC=90°，点E在BC边上，过A,C,E三点的交边

于另一点R且尸是荏的中点,是O。的一条直径,连接DE并延长交边于/点.

(1)求证：四边形CDMF为平行四边形;

(2)当CD=轴时，求sinZACF的值.

2.如图，点。为以42为直径的半圆的圆心，点M,N在直径上，点P,。在程上，

四边形MNP。为正方形，点C在⑪上运动(点C与点P,。不重合)，连接8C并延长

交M。的延长线于点。，连接AC交于点E,连接。。.

(1)求sin/AO。的值;

(2)求装的值;

(3)令ME=x,直径4B=2R(7?>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式,

并指明自变量x的取值范围.

3.如图，在△A8C中，AB=AC,以AB为直径的。。分别

B

交AC、BC于点。、E,点/在AC的延长线上，S.ZBAC=2ZCBF.

(1)求证：BF是。0的切线；

(2)若。。的直径为4,CF=6,求tan/CBE

4.如图，在△ACE中，以AC为直径的。。交CE于点。，连接ADS.ZDAE^ZACE,

连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与。。相切于点B.

(1)求证：AP是O。的切线；

(2)连接AB交OP于点孔求证：△砌。S/VDAE；

1AE

(3)若tan/OA/三了,求—的值.

2AP

5.如图，在△A5C中，AB=ACf以A5为直径的。0交5C于点。，连接A。，过点。作

DM±AC,垂足为M,AB.的延长线交于点N.

(1)求证：MN是。。的切线；

(2)求证：DG=BNMBN+AC)；

Q

(3)若BC=6,cosC=I，求。N的长.

6.如图，在△ABC的边BC上取一点。以。为圆心，0c为半径画O。，与边A8相

切于点。，AC^AD,连接。4交O。于点E,连接CE,并延长交线段A8于点?

(1)求证：AC是O。的切线；

(2)若42=10,tanB=/求。。的半径；

(3)若尸是的中点，试探究8D+CE与AF的数量关系并说明理由.

7.如图，为。。的直径，C为。。上的一点，连接AC、BC,OOL8C于点E,交。。

于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.

(1)求证：AACDsACFD；

(2)^ZCDA=ZGCA,求证：CG为。。的切线;

1

(3)若sin/CW=?求tan/CZM的值.

8.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。为AB边上的一点，以A。为直径的。。交8c

于点E,交AC于点F,过点C作CG1_AB交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交于点0(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连接BP,恰好为O。的切线.

(1)求证：BC是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

(3)若sin/ABC=5，AC=15,求四边形CHQE的面积.

9.如图所示：。。与△ABC的边BC相切于点C,与AC、AB分别交于点D、E,DE//OB.DC

是(DO的直径.连接。£,过C作CG〃OE交0。于G,连接。G、EC,DG与EC交于

点、F.

(1)求证：直线与。。相切；

(2)求证：AE・ED=AC・EF；

1

(3)若所=3,tan/ACE=押，过A作AN〃CE交。。于M、N两点(M在线段AN

上)，求AN的长.

10.在Rt^ABC中，ZACB=90°,04平分/BAC交8C于点O,以。为圆心，OC长为

半径作圆交8C于点。.

(1)如图1,求证：AB为。。的切线;

(2)如图2,AB与。。相切于点E,连接CE交OA于点F.

①试判断线段0A与CE的位置关系，并说明理由.

②若OF：FC=1：2,求tanB的值.

11.如图，在RtaABC中，ZC=90°,4。平分N8AC交8C于点。，。为A8上一点,

经过点A、D的分别交AB,AC于点E、F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若3£=8,sinB=求。。的半径;

(3)求证：AD1=AB*AF.

12.如图1,4B是O。的直径，直线AM与O。相切于点A,直线BN与O。相切于点2,

点C(异于点A)在AM上，点D在。。上，且CD=CA,延长C。与BN相交于点E,

连接AD并延长交BN于点F.

(1)求证：C£1是O。的切线；

(2)求证：BE=EF；

(3)如图2,连接EO并延长与。。分别相交于点G、H,连接8H.若A8=6,AC=4,

求tanZBHE.

13.如图，ZXABC内接于O。，点。在外，ZADC=90°,BD交。0于点、E,交AC

于点RNEAC=NDCE,ZCEB=ZDCA,CO=6,40=8.

(1)求证：AB//CD；

(2)求证：C£＞是O。的切线;

B

(3)求tan/ACB的值.

.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，。是弧BC的中点，8C与A。、。。分别交于

点E、F.

(1)求证：DO//AC-,

(2)求证：DE'DA=DC1；

1

(3)若tanZCAD=务求sinZCDA的值.

15.如图，B4是O。的切线，切点为A,AC是。。的直径，连接。尸交。。于E.过A点

作A8LP。于点。，交。。于8,连接BC,PB.

(1)求证：PB是。0的切线；

(2)求证：E为的内心；

(3)若cos/B42=^,BC=1,求尸。的长.

BC

参考答案

1.如图，在△ABC中，ZBAC=90°，点E在BC边上，过A,C,E三点的。。交边

于另一点尸，且F是屈的中点,是。。的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点.

(1)求证：四边形CN即为平行四边形；

⑵当CD=|AB时，求sinZACF的值.

【分析】(1)连接。F、EF,根据圆周角定理得到进而证明/。F。=/

EDF,根据平行线的判定定理得到FC//DM,根据矩形的性质得到A尸〃C。，根据平行

四边形的判定定理证明结论；

(2)根据题意得到CD=2BM,证明根据相似三角形的性质得到EC

=28E,根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案.

【解答】(1)证明：连接。尸、EF,

VZBAC=90°,

.,•■FC是。。的直径，

是屈的中点，

：.AF=EF,

：.ZADF=Z.EDF,

OF=OD,

：.ZADF=ZOFD,

：.NOFD=NEDF,

：.FC//DM,

'：OA^OD,OF=OC,N8AC=90°,

，四边形AFDC为矩形，

C.AF//CD,

...四边形CDMF为平行四边形；

(2)解：：四边形AEDC为矩形，四边形CZM/尸为平行四边形，

：.CD=AF=FM=EF,

\'CD=^AB,

2

ACD=j(2CD+BM),

:.CD=2BM,

"JBM//CD,

:.ABEMs/\CED,

.BMBE1

CD-EC-2’

：.EC=2BE,

设则CQ=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtABEF中，BE=<BF2-EF2=衣a,

EC—2y[Sa,

在RtACEF中，FC=<EF2+EC2=246a,

在RtAMC中，sinZACF=箓=嘉^=*.

D

【点评】本题考查的是圆周角定理、矩形的判定定理和平行四边形的判定定理、相似三

角形的判定和性质、正弦的定义，根据相似三角形的性质求出EC=2BE是解题的关键.

2.如图，点。为以AB为直径的半圆的圆心，点M,N在直径A2上，点P,。在苑上，

四边形MNP。为正方形，点C在⑦上运动(点C与点P,。不重合)，连接8C并延长

交MQ的延长线于点。，连接AC交MQ于点E,连接。。

(1)求sinZAOQ的值；

„AM一

(2)求■^77的Jt值；

(3)令ME=x,直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式,

并指明自变量x的取值范围.

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明0M=ON,设0M=0N=m,则MQ=2相，求

出0Q,可得结论.

(2)利用(1)中结论，求出AM,MN(用机表示即可).

AMEM

(3)证明可得——=——，由此构建关系式，可得结论.

DMBM

【解答】解：(1)如图，连接。尸.

•/四边形MNPQ是正方形，

：.ZOMQ=ZONP=90°,MQ=PN,

•/OQ=OP,

：.Rt/\OMQ^Rt/\ONP(HL),

：.OM=ON,

设OM=ON=m,则MQ=2m,0Q=^OM2+MQ2=V5m,

../.ccMQ2m2/5

..smZAOe=W=7^=—

(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=V5m,MN=2m,

.AM=OA-OM=V5m-m,

AMV5m-mV5-1

・MN~2m~2,

(3)・：AB=2R,

：.OA=OB=OQ=R,

'：QM=2MO,

•八A/f底RR4c2y/SR

..OM=-g-,MQ=—g—,

9：AB是直径，

AZACB=ZDCE=90°,

9

：ZCED=ZAEMf

：.NA=N。，

VZAME=ZDMB=90°,

AAMEsADMB,

・AMEM

99DM~BM

R—粤

X

=

R+等

._4R22居R

••尸宓—

，一,,AMEM

当点c与尸重口A时，—=-.

R-竿x

____52_

,V57?—2V57?

n--――--

375-5D

••X=-----F-----K

【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角

形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三

角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

3.如图，在△ABC中，AB=AC,以45为直径的分别交AC、BC于点、。、E,点F在

AC的延长线上，且N8AC=2/CBF.

(1)求证：BF是。。的切线；

(2)若。。的直径为4,CF=6,求tan/CBF.

【分析】(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角

三角形两锐角互余得到直角，从而证明/A8F=90°,于是得到结论；

(2)过C作CH1BF于H,根据勾股定理得到BF=y/AF2-AB2=V102-42=2闻,

根据相似三角形的性质得到CH=竽，根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接AE,

・・,AB是。。的直径，

AZAEB=90°,

.'.Zl+Z2=90°.

'：AB=AC,

：.2Z1=ZCAB.

9

：ZBAC=2ZCBFf

：.Z1=ZCBF

：.ZCBF+Z2=90°

即NAB尸=90°

TAB是OO的直径，

・・・直线3厂是的切线；

（2）解：过。作CH_LB/于"，

9

：AB=ACfOO的直径为4,

・・・AC=4,

VCF=6,ZABF=90°,

：.BF=y/AF2-AB2=V102-42=2后，

'：ZCHF=AABF,/F=/F,

：.ACHF^AABFf

CHCF

•t•—■,

ABAF

.CH6

••—,

44+6

12

・・・CH=苦，

：.HF=VCF2-CH2=J62一（莽尸=空I,

：.BH=BF-HF=2Vn-空^=警^

：.tanZCBF^器=鱼=空

-5-

A

【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、相似三

角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键.

4.如图，在△ACE中，以AC为直径的OO交CE于点。，连接AD,且/。AE=NACE,

连接0D并延长交AE的延长线于点P,尸8与O。相切于点8.

(1)求证：A尸是。。的切线；

(2)连接AB交。尸于点R求证：△EIOSADAE；

【分析】(1)由AC为直径得/AOC=90°,再由直角三角形两锐角互余和已知条件得

ZDAC+ZDAE=90°,进而得出结论；

(2)由切线长定理得朋=PB,ZOPA=ZOPB,进而证明△BW名得AD=BD,

得/BAD=NDBA,再由圆周角定理得/EA。，进而便可得：AFADS^DAE；

DFAE

(3)证明△AON"△尸OA,得4尸=2。4,再证明△ABDs/xcAE,求得一的值，即得一

AFAP

的值.

【解答】解：(1)为直径，

?.ZADC=90°,

/.ZACD+ZDAC^90°,

'：ZDAE=ZACE,

：.ZDAC+ZDAE^90°,

即NC4E=90°,

是OO的切线；

(2)连接08,如图1,

•1B4和尸5都是切线，

：.PA=PB,ZOB\=ZOPB,PO1AB,

•：PD=PD,

：・4DPA”丛DPB(SAS),

：.AD=BD,

：./ABD=/BAD,

・・・ZACD=ZABD.

又/DAE=/ACE,

：.ZDAF=ZDAE,

•「AC是直径，

AZADE=ZADC=90°,VPOXAB,

AZADE=ZAFD=90°,

：.AFAD^/\DAE；

图1

(3)VZAFO=ZOAP=90°,ZAOF=ZPOA,

：.AAOF^APOA,

.OFAF_

••—，

OAPA

tOAOF1

—=—=tanZ-OAF=一，

PAAF2

：.PA=2AO=AC,

VZAFD=ZCAE=90°,ZDAF=ZABD=AACE,

：.AAFD^ACAE,

.FDAF

••—,

AECA

.FDAEAE

99AF~CA~AP"

OF1

'/tanZ-OAF=='

不妨设OF=x,则AF—2x,

OD=OA=V5x,

：.FD=OD-OF=g-l)x,

.FD(V5-l)xV5-1

"AF―2x~2

•再_a—

"AP-2'

【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质与判定，切线长

定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形的应用，第(3)小题关键在

证明相似三角形.难度较大，一般为中考压轴题.

5.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的交8c于点。，连接A。，过点。作

DMLAC,垂足为M,AB,的延长线交于点N.

(1)求证：是。。的切线；

(2)求证：DN^BNYBN+AC)；

(3)若，C=6,cosC=|,求OV的长.

【分析】(1)如图，连接。。，由圆周角定理可得/AD8=90°,由等腰三角形的性质可

得BD=CD,ZBAD^ZCAD,由三角形中位线定理可得OO〃AC,可证0£>_LMV,可

得结论；

BNDN

(2)通过证明△BfWs/VMN,可得——=—,可得结论；

DNAN

(3)由等腰三角形的性质可得BD=CO=3,由锐角三角函数可求AC=AB=5,由勾股

BNDNBD3

定理可求AD=4,由相似三角形的性质可得—=宣===二，即可求解.

DNANAD4

【解答】证明：（1）如图，连接0。，

VAB是直径，

ZADB=90°,

又・・・A8=AC,

：.BD=CD,ZBAD=ZCADf

VA0=B0,BD=CD,

：.OD//AC,

*：DM±AC,

：.ODLMN,

又・・,。。是半径，

・・・MN是。。的切线；

(2)*：AB=ACf

：.ZABC=NACB,

VZABC+ZBAD=90°,ZACB+ZCDM=90°,

：.ZBAD=ZCDM,

'：ZBDN=ZCDM,

：.ZBAD=ZBDNf

又,:ZN=ZN,

:.XBDNsXDAN,

・BNDN

••DN~AN"

DN2=BN-AN=BN"BN+AB)=BN,(BN+AC)；

(3)VBC=6,BD=CD,

:.BD=CD=3,

..「3CD

•ssC=r=宿

.'.AC=5,

.\AB=5,

：.AD=y/AB2-BD2=,25—9=4,

■:ABDNsADAN,

.BNDNBD3

"DN~AN~AD~4

：.BN=^DN,DN=%N,

'-BN=^(~AN)=》M

,：BN+AB=AN,

9

：.—AN+5=AN

16

【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关

知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题

的关键.

6.如图，在△ABC的边BC上取一点。，以。为圆心，0C为半径画O。，。。与边AB相

切于点。，AC=AD,连接。1交。。于点E,连接CE,并延长交线段A2于点?

(1)求证：AC是O。的切线；

(2)若AB=10,tanB=g,求。。的半径；

(3)若尸是AB的中点，试探究BO+CE与AF的数量关系并说明理由.

c

【分析】（1）连接OD,由切线的性质可得乙4。。=90°,由“SSS”可证△ACOg^AQO,

可得/AOO=NACO=90°,可得结论；

（2）由锐角三角函数可设AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求8c=6,再由勾股定理可

求解；

（3）连接。D,DE,由“S4S”可知△COEgZXOOE,可得NOCE=/OED,由三角形

内角和定理可得/。£/=180°-ZOEC-ZO£D=180°-2ZOCE,ZDFE=180°-

ZBCF-ZCBF=180°-2ZOCE,可得/DEF=/DFE,可证Z?E=Z）F=CE,可得结

论.

【解答】解：（1）如图，连接OD

：O。与边A8相切于点。,

：.OD±AB,即NAQO=90°,

'：AO^AO,AC=AD,OC=OD,

：.^ACO^AADOCSSS),

：.ZADO^ZACO^90°,

：.OD±AB,

又：OC是半径,

；.AC是。。的切线;

(2)tanB=g=前，

.,.设AC=4x,BC=3x,

VAC2+BC2=AB2,

16X2+9X2=100,

•・x=2,

**•BC=6,

9

：AC=AD=SfAB=10f

**•BD=2,

'：OB2^OD2+BD2,

：.(6-OC)2=OC2+4,

，0C=|,

8

故OO的半径为9

(3)AF=CE+BD,理由如下:

ZACO=ZADO=90°,ZAOC=ZAODf

XVCO=DO,OE=OE,

•・.△COE名△OOE(SAS),

：./OCE=/ODE,

•・・OC=OE=OD,

：.ZOCE=ZOEC=ZOED=ZODE,

AZZ)EF=180°-ZOEC-ZOE£>=180°-2/OCE,

丁点尸是AB中点，ZACB=90°,

CF=BF=AF,

：.ZFCB=ZFBC,

：.ZDFE=1SO°-ZBCF-ZCBF=180°-2ZOCE,

，NDEF=Z.DFE,

:.DE=DF=CE,

：.AF=BF=DF+BD=CE+BD.

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的

判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关

键.

7.如图，为的直径，C为OO上的一点，连接AC、BC,于点E,交。。

于点D,连接CD、AD,AD与BC交于点F,CG与BA的延长线交于点G.

(1)求证：AACDsAcFD；

(2)若NCZM=NGCA,求证：CG为。。的切线；

【分析】(1)由垂径定理得丽=丽，由圆周角定理得再由公共角/

ADC=ZCDF,即可得出

(2)连接OC,由圆周角定理得/AC8=90°,贝lJNABC+/CAB=90°,由等腰三角形

的性质得/08C=N0C8,证出NOCB=NGCA,得出/OCG=90°,即可得出结论；

(3)连接瓦)，由圆周角定理得NCAO=NCB。，贝！IsinZCAD=sinZCBD=

设DE=x,OD=OB=r,贝UOE=r-x,BD=3x,由勾股定理得BE=2y/2x,则BC=2BE=

4V2x,在RtZkOBE中，由勾股定理得O-x)2+(2V2x)2=r,解得r=%,贝!|A8=

2r=9x,由勾股定理求出AC=7x,由三角函数定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：•..OOL8C,

：.CD=BD,

：.ZCAD=ZFCD,

又；ZADC^ZCDF,

：.^ACD^ACFD；

(2)证明：连接0C,如图1所示:

〈AB是OO的直径，

ZACB=90°,

AZABC+ZCAB=90°,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

9：ZCDA=ZOBC,NCDA=NGCA,

：.ZOCB=ZGCAf

：.ZOCG=ZGCA+ZOCA=ZOCB+ZOCA=9Q°,

・•・CGLOC,

・・・OC是OO的半径，

・・・CG是OO的切线；

(3)解：连接8D,如图2所示：

•：/CAD=/CBD,

'：OD±BC,

DF1

：.sinZCAD=smZCBD=BE=CE,

设。E=x,OD=OB=r,贝!］。片=r-%,BD=3x

在RtABDE中，BE=>JBD2-DE2=V9x2-%2=2岳,

：.BC=2BE=4V2x,

在RtZXOBE中，OE1+BE2=OB2,

即(r-%)2+(2A/2X)2=J,

9

解得

r一

一-

2-X

..AB=2r=9x,

在RtA4BC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+(4V2%)2=(9彳)2,

；.AC=7x或AC=-lx(舍去)，

•••tan/CZM-=衰=焉耳

D

【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角

形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练

掌握圆周角定理、垂径定理和勾股定理是解题的关键.

8.如图，在RtaABC中，90°,。为AB边上的一点，以为直径的。。交

于点E,交AC于点F,过点C作CGLAB交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP

交于点。（EP不是直径），点。为弦EP的中点，连接BP,BP恰好为O。的切线.

（1）求证：是。。的切线.

（2）求证：EF=ED.

（3）若sin/A3C=1,AC=15,求四边形CHQE的面积.

【分析】（1）连接OE,OP,根据线段垂直平分线的性质得到尸8=8£,根据全等三角形

的性质得到根据切线的判定和性质定理即可得到结论.

（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论.

（3）根据垂径定理得到EP±AB,根据平行线和等腰三角形的性质得到/C4E=NE4。，

根据全等三角形的性质得到CE=QE,推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG=

{"2—卬=12,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接OE,OP,

・・・AO为直径，点。为弦政的中点，

：.PELAB,点。为弦石尸的中点，

・・・A5垂直平分EP,

：.PB=BE,

•：OE=OP,OB=OB,

:ABEO咨ABPO(SSS),

:・NBEO=NBPO,

・・・8尸为OO的切线，

：.ZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

J.OELBC,

・・・5C是OO的切线.

(2)证明：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

U：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：TA。为的OO直径，点。为弦石尸的中点,

：.EPLAB,

•・•CG±AB,

・・・CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO,

•：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

；・/CAE=NEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：.AACE^AAQE(AAS),

：.CE=QE,

VZAEC+ZCAE^ZEAQ-^ZAHG=90°,

/.ZCEH=AAHG,

NAHG=NCHE,

:・/CHE=NCEH,

:,CH=CE,

:.CH=EQ,

・•・四边形CHQE是平行四边形，

•:CH=CE,

・•・四边形是菱形，

ACQ

sinZABC=sinZACG=釜=右

*：AC=15,

・・・AG=9,

・•・CG=y]AC2-AG2=12,

'/AACE^AAQE,

：.AQ=AC=15,

：.QG=6,

VH22=HG2+eG2,

：.HQ2=(12-HQ)2+62,

1q

解得：小2=写，

15

・,・C”="Q=号，

1q

・•・四边形CHQE的面积=C"・GQ=寻x6=45.

【点评】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股

定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.如图所示：与△ABC的边BC相切于点C,与AC、A8分别交于点D、E,DE//OB.DC

是O。的直径.连接。£,过C作CG〃OE交O。于G,连接。G、EC,DG与EC交于

点、F.

(1)求证：直线AB与O。相切；

(2)求证：AE・ED=AC・EF；

1

(3)若所=3,tanNACE=W时，过A作AN〃CE交。。于〃、N两点(M在线段AN

上)，求AN的长.

【分析】(1)证明△8OE丝ABOC(SSS)可得结论.

(2)连接EG.证明△AECs/XEFG可得结论.

(3)过点。作。HLAN于H.解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性

质求出E,AC,AO,求出AH,HN即可解决问题.

【解答】(1)证明：是直径，

：.ZDEC^90°,

C.DELEC,

♦：DE〃OB,

：.OBLEC,

J。3垂直平分线段£C,

:・BE=BC,0E=0C,

,?0B=0B,

•••△OBE名LOBC(SSS),

：・/0EB=N0CB,

・・・BC是。。的切线，

JOCLBC,

：.ZOCB=90°,

：.ZOEB=90°,

・•・0E_LAB,

JAB是。。的切线.

(2)证明：连接EG.

•・・CQ是直径，

：.ZDGC=90°,

：.CGLDG,

■:CG//0E,

：.OELDG,

：.DE=EG,

；・DE=EG,

VAE±0E,DG.L0E,

J.AE//DG,

:・/EAC=/GDC,

♦:NGDC=NGEF,

：・NGEF=/EAC,

・・•NEGF=/ECA,

：.AAECSAEFG,

AEAC

•e•一,

EFEG

•：EG=DE,

：.AE^DE=AC9EF.

(3)解：连接ON,延长80交MN于/.

•「DC是。。的直径，

ZZ)EC=90°,

1

VtanZACE=务ZACE=ZECG=/EDF,

1

tanZEZ)F=3

,:EF=3,

:.DE=6,DF=y/EF2+DF2=V32+62=3后

：.EC=n,CD=y/ED2+EC2=6V5,

.•.E0=O0=C0=3后

,一AEEF1

由(2)可知—=—=

ACED2

：.AC=2AE,

在RtA4EO中，AO1=AE2+EO2,

：.(2AE-3V5)2=AE2+(3V5)2,

解得4E=4«,

：.AC=8y/5,AO=5V5,

•/OILMN,

'：AN//CE,

:.NCAN=ZACE,

在RtA4/O中，AO2=AZ2+ZO2,

即(5V5)2=(20/)2+0/2,

/.01=5,AZ=10,

在Rtz\O/N中，0解=/解+/。2,即(3V5)2=W2+52,

：.IN=2y[5,

:.AN=AI+IN=10+2V5

B

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相

似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相

似三角形解决问题，属于中考压轴题.

10.在RtZXABC中，ZACB=90°,平分NA4c交BC于点。，以。为圆心，OC长为

半径作圆交BC于点。.

（1）如图1,求证：AB为的切线；

（2）如图2,AB与。。相切于点E,连接CE交OA于点F.

①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由.

②若FC=1：2,求tanB的值.

【分析】（1）过点。作OGLAB,垂足为G,利用角平分线的性质定理可得OG=OC,

即可证明；

（2）①利用切线长定理，证明OE=OC,结合。E=OC,再利用垂直平分线的判定定理

可得结论；

②根据。?FC=1：2,OC=3求出。尸和CP,再证明△OCFS/^OAC,求出AC,再

BEOEBO

证明△BEOS/^BC4,得到一=—=—,设2。=为BE=y,可得关于x和y的二元

BCACAB

一次方程组，求解可得B。和BE,从而可得结果.

【解答】解：（1）如图，过点。作。GLAB,垂足为G,

OG=OC,

二点G在。。上，

即AB与OO相切;

(2)①04垂直平分CE,理由是：

连接0E,

与。。相切于点E,AC与。。相切于点C,

：.AE=AC,

"：OE=OC,

,04垂直平分CE；

②：/C0P=/A0C,ZCFO=ZACO^9Q°,

:.△OCFSXQNC,

.OCOFCF

"0A~0C~AC

.OCOF1

""AC~FC~2

：.AC=20C,

：A3与圆。切于点E,

.,.ZB£6>=90°,AC=AE,而

△BEOS^BCA,

BEOEBO1

BC~AC~AB~2

：.BC=2BE,AB=2B0,

:・BD+2DO=2BE,BE+2DO=2BD+2DO,

3

：.DO=BE=2BD,

EQ_|££_3

tanB=BE=2BD=4'

【点评】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一

次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.

11.如图，在RtZxABC中，ZC=90°,AD平分/8AC交8c于点。，。为AB上一点,

经过点4、。的。。分别交A3、AC于点E、F.

(1)求证：BC是的切线；

(2)若BE=8,sin8=R,求。。的半径；

(3)求证：AD2=AB,AF.

【分析】(1)先判断出。O〃AC,得出/。。8=90°,即可得出结论;

(2)由锐角三角函数可得sin8=黑=口溶为=即可求解；

DUDC-rUUID

(3)通过证明△D43s△刚口,可得一=—,可得结论.

ABAD

【解答】解：（1）如图，连接O。,

：.ZODA=ZOAD,

是/BAC的平分线,

：.ZOAD=ZCAD,

J.ZODA^ZCAD,

J.OD//AC,

；./ODB=NC=90°,

:点。在。。上，

是O。的切线；

(2)VZBDO^90°,

..R_OD_OD5

,"sm"=-BO=BE+OD=13)

OD=5,

；.O。的半径为5；

(3)连接EF,

图2

是直径,

AZAFE=90°=ZACB,

J.EF//BC,

：.ZAEF=ZB,

又丁ZAEF=ZADF,

:・/B=/ADF,

又,.,NQ4Z)=NCAZ),

AADAB^AMZ),

,ADAF

••—,

ABAD

：.AD2^AB'AF.

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定

和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

12.如图1,是OO的直径，直线AM与。。相切于点A,直线8N与。0相切于点8,

点C(异于点A)在AM上，点。在。。上，且CD=CA,延长CD与BN相交于点E,

连接AD并延长交BN于点F.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)求证：BE=EF；

(3)如图2,连接E。并延长与。。分别相交于点G、H,连接即L若A2=6,AC=4,

求tanZBHE.

【分析】(1)连接OD,根据等边对等角可知：ZCAD=ZCDA,ZOAD=ZODA,再

根据切线的性质可知/CAO=/CAO+/OAD=/CD4+/OD4=90°=ZODC,由切线

的判定定理可得结论；

(2)连接8。，根据等边对等角可知再根据切线的性质可知

ZOBE^90°,由等量减等量差相等得/瓦再根据等角对等边得到ED=EB,

然后根据平行线的性质及对顶角相等可得/瓦甲=/石方。,推出DE=EF,由此得出结论;

(3)过七点作EL_LAM于£,根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tanNBOE的值，

再利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如图1中，连接OD,

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

9：0A=0D

：.ZOAD=ZODA,

・・,直线AM与。。相切于点A,

：.ZCAO=ZCAD+ZOAD=90°,

：.ZODC=ZCDA+ZODA=9Q°,

・・・CE是(DO的切线.

(2)如图1中，连接BD

OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

・・・CE是OO的切线，5尸是。。的切线，

：.ZOBE=ZODE=90°,

:・/EDB=NEBD,

：・ED=EB,

'CAMLAB,BNLAB,

：.AM//BN,

；・NCAD=NBFD,

ZCAD=ZCDA=ZEDF,

，/BFD=/EDF,

；.EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如图2中，过万点作瓦，AM于3则四边形A3或是矩形,

图2

设BE=x,贝UCL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

Q

解得：X=7,

BE?

tanZ-BOE==母=

•：NB0E=2/BHE,

2tanZ-BHE

/.tanZ-BOE=

1—tan2乙BHE

解得：tanN3HE=弓或-3（-3不合题意舍去）,

1

tanXBHE=

补充方法：如图2中，作"7LE8交E8的延长线于

VtanZBOE==不

・••可以假设BE=3攵，03=4%,则0E=5K

•：0B〃HL

.OB0EEB

•・HJ~EH~Ej'

.4k5Zc3k

•・HJ~9k~Ej'

：*HJ=*,EJ=^-k,

：.BJ=EJ-BE=和-3k=

；.tan/BHJ=旦=鼻,

HJ3

ZBHE=ZHBA=/BHJ,

1

tan/BHE=

c

图1

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定

和性质，三角函数/,勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并能熟练应用是解题的关键.

13.如图，△ABC内接于。。，点。在OO外，ZADC=90°,交。。于点E,交AC

于点尸，NEAC=/DCE,NCEB=/DCA,CD=6,AO=8.

(1)求证：AB//CD；

(2)求证：CD是O。的切线；

(3)求tan/ACB的值.

【分析】(1)由圆周角定理与已知得NBACn/OCA,即可得出结论；

(2)连接EO并延长交。。于G,连接CG,则EG为。。的直径，ZECG=90°,证明

/DCE=/EGC=NOCG,得出NOCE+/OCE=90°,即可得出结论；

(3)连接。4,由三角函数定义求出cosNAC£>=|,证出NAC£)=NCAB,求

出BC=AC=10,AB=12,过点B作BG_LAC于G,设GC=x,则AG=10-x,由勾股

定理得出方程，解方程得GC=^,由勾股定理求出BG=等，由三角函数定义即可得答

案.

【解答】(1)证明：*：ZBAC=ZCEBf/CEB=/DCA,

：.ZBAC=ZDCA,

：.AB//CD；

(2)证明：连接石。并延长交。。于G,连接CG、OC,如图1所示:

D

图1

则£G为。。的直径，

：.ZECG=90°,

OC=OG,

：.ZOCG=ZEGC,

•：/EAC=/EGC,/EAC=/DCE,

：.ZDCE=NEGC=NOCG,

VZOCG+ZOCE=ZECG=90°,

：.ZDCE+ZOCE=90°,即NZ)CO=90°,

TOC是。。的半径，

・・・C。是。。的切线；

(3)解：连接。4,如图2所示：

图2

VOA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

VZAOC+ZOAC+ZOCA=180°,2ZABC=ZAOC,

：.ZABC+ZOCA=90°,

由(2)得：ZOCA+ACD=90°,

・・・ZABC=NACD,

在RtZVlDC中，由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=V82+62=10,

CD__6__

cosXACD=4c=To=

'：AB//CD,

：.ZABC=ZACD=ZCAB,

3

：.BC=AC=10,AB=2BC*cosZABC=2X10x|=12,

过点3作5GLAC于G,如图2所示：

设GC=x,则AG=10r,

由勾股定理得：AB1-AG2=BG2=BC1-GC2,

即：122