2025年九年级中考数学二次函数压轴题：正方形存在性问题（含答案）

专题10正方形存在性问题

(2024•无锡)

1.已知二次函数y=加+X+C的图象经过点和点5(2,1).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点尸，。在直线A3上，点M在该二次函数图象上.问：在>轴上是否存在点N,使得以

P,Q,M,N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐

标；若不存在，请说明理由.

(2024•绥化三模)

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数>=办2+法-3的图象与x轴交于3两

点，顶点坐标为。，-4).

\YE

(1)求二次函数的解析式；

DF2

(2)直线BC与OD相交于点E,当。为抛物线上第四象限内一点且尝•时，求点。的坐

EO3

标；

(3)G为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点使以B,C,M,G为顶点的四边

形为正方形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

(2023秋•斗门区期末)

3.【实践探究】

数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一应用一探究的过程:

图1图2图3

(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m,并

画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；

(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.-

场大雨，让水面上升了0.2m,为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为6m、高度为3.2m的

货船通过?请通过计算进行说明(货船看作长方体)；

(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并

过原点作一条＞=x的直线0/，交抛物线于点凡交抛物线对称轴于点E,提出了以下两个

问题，请予解答：

①如图2,B为直线0P上方抛物线上一动点，过8作54垂直于尤轴，交x轴于A,交直线

。产于C,过点2作8。垂直于直线，交直线0b于。，求3D+CZ)的最大值.

②如图3,G为直线0P上一动点，过G点作尤轴的垂线交抛物线于点H,点尸在坐标平面

内.问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G点的坐

标；若不存在，请说明理由.

(2024•滨州模拟)

4.综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y=k+7加+”的图象交点为A(-1,0),B(4,5).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为」

(3)点。为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点。作。轴，交线段A8于点E,

求线段。石长度的最大值；

⑷在(2)条件下，点M为y轴上一点，点尸为直线上一点，点N为平面直角坐标系内

一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

(2024•甘肃模拟)

5.如图，二次函数丫=以2+2无+c的图象交了轴于点A,B(3,0),交y轴于点C(0,3),点

M是直线BC上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作物，x轴，垂足为点交BC

于点E.

(1)求二次函数的解析式和点A的坐标；

(2)连接40,交y轴于点F.

①当ME=2CF时，求点M的坐标；

②连接斯，四边形OD所有可能是正方形吗？如果有可能，此时的正切值是多少？如

果没可能，请说明理由.

（2024•香洲区三模）

（1）如图1,已知点。（0,0）,C（l,⑺在抛物线上y=ox2（awo）,贝/=:

m=.

⑵在（1）的条件下，若点。在抛物线上，且AD〃彳轴，是否存在四边形ABCD为菱形？请

说明理由；

（3）如图2,己知正方形A5CD的顶点3,D在二次函数丁="2（“为常数，且。＜0）的图象

上，点。在点8的左侧，设点B,。的横坐标分别为机，n,请求出“，w满足的数量关系.

（2024春•天河区校级月考）

7.在平面直角坐标系中，已知抛物线G:y=f-2依-3a2（。工0）,点A在抛物线G的

对称轴上，且在x轴上方.

⑴求抛物线G与无轴交点的坐标（用含。的式子表示）；

（2）已知正方形ABC。的顶点8、。在该二次函数的图象上，点8、。在抛物线对称轴的同侧，

且点8在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n,试探究"一机是否为定值，如果是，

求出这个值：如果不是，请说明理由；

⑶在抛物线G上存在两点3、D,且2、。在对称轴右侧，点2在点。的左侧，使得四边形

ABCD是正方形，求动点C（%y）的纵坐标y,在。+2VxVa+3的最大值.

参考答案:

1.(1)y=^x2+x+l

1

（2）存在，点N的坐标为O,」"”或或（。,-5）或（0,5）或10,胃或

【分析】（1）将点A和点8的坐标代入y=a/+x+c,求出。和。的值，即可得出这个二次

函数的表达式；

（2）求出直线48的函数解析式为丁=3%然后进行分类讨论：当尸。为正方形的边时；当

尸。为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答.

【详解】（1）解：把3（2,1）代入、=办2+尤+0得：

'I1

a-1+c=——

＜2,

4。+2+c=1

解得：＜“一一5,

C=1

.••这个二次函数的表达式为＞=-;V+X+1；

（2）解:设直线48的函数解析式为y=kx+e,

f1_

把8（2,1）代入得：一，=〜+‘，

1l=2%+e

,Ul

解得：＜2,

e=0

•••直线AB的函数解析式为y=gx,

当尸。为正方形的边时，

@v8（2,1）,

tanZBOC=-,

2

过点"作,轴的垂线，垂足为点G,过点P作MG的垂线，垂足为点H,

・.・PQ〃M7V,MG〃x轴，

・•・ABOC=ZNMG,

tanZBOC=tanZNMG=-,贝|MG=2NG,

2

设NG=t,则MG=2，，

AM(-2r,-2?-2r+l),

・••点N的纵坐标为一2/一2/+1+，=一2/一，+1,

即N(0,—2/—/+1),

・・,以Q，Q,M,N为顶点的四边形是正方形，

AZPMN=90°,PM=MNf

：.NPMH+ZNMG=90。,

•・•ZPMH+ZMPH=90°,

ZNMG=ZMPH,

VZNMG=ZMPH,/H=ZMGN,PM=MN,

・・・APHM"AMGN,

：.PH=MG=2t,HM=NG=t,

・•・P(-3—2/+1),

把P(-3t,-2t2+1)代入y=gx得：一2/+l=1x(-3?),

解得：彳心反，/1Z巫(舍去)，

88

I16)

②如图：构造RtA/QG,RiANMH,

和①同理可得：AMQG%NMH,tanZMNH=^,

设NH=GM=2t,则。G=Afff=r,

AM（2r,-2?+2r+l）,N（0,—2产+/+1）,Q。,一2/+4/+1）,

把Q仅,—2”+4/+1）代入y=5x得：—2t2+4t+l=—t,

解得：4=2,。2=-；（舍去），

，N（0,-5）；

和①同理可得：AGMN沿AHPM,tanZGMN=~,

2

设GN=HM=2t,则GM=HP=f,

二.2/,—2/一2%+1）,N（0,—2/一/+1）,尸（一，,一2»—4%+1）,

把尸（T「2/_4+1）代入y=gx得：_2/_4f+l=_；f,

解得：，2=-2（舍去），

和①同理可得：^GMN^^HNP,tanZGW=1,

设GM=HN=2t,则GV=HP=f,

M(2t,-2/+2，+l),N(0,-2/+f+l),尸(r,-2/T+l),

把尸伍,一2/_/+l)代入y=得：—It2-t+l=-^t,

⑤如图：构造矩形HG〃，过点P作尸K,〃于点K,

易得NQPK=NBOC,

tanZ.QPK=tanZBOC=g,

设。K=尤，则PK=2x,

和①同理可得：APNH^MPG^QMJ^NQI,

：.HN=PG=MJ=IQ,PH=GM=QJ=NI,

...四边形〃G〃为正方形，

PK=IJ=2x,

ii3

IQ=PG=JK=-(IJ-QK)=-x,则PH=GM=QJ=A7=3X,

1

AtanZPMG=——=一，

GM3

设PG=HN=t,则PH=GM=3%,

2

：.M(2t9-2t+2t+l),N(0,—25+6/+1),P(T,—2r+31+1),

JE尸(一/,—2/+3，+1)代入y='%得：—2t2+3/+1=——Z,

解得：=2,t2=――(舍去)，

N（0,5）；

⑥如图：构造RtAPMH,Rt^NPG,

同理可得：^PMH^^NPG,tanZPNG=-,

3

设PG=HM=t,则也=GV=3f,

Af（-27,-2/2-2f+1）,N（0,—2厂—6/+1）,P（—3t,—2厂—5f+l）,

才巴P^—it,—2t2—5t+1^代入y=gx得：—2t2—5f+1=，

解得：4=“。2=—2（舍去），

【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性

质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答.

2.(1)y=^-2x-3

（2）0（1,—4）或（2,—3）

（3）存在，（-3,0）或（0,3）或（3,-3）.

【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图

形结合和分类讨论是解题的关键.

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）过点。作轴，垂足为尸，交CB于点尸，设£＞，，产-2—3）,表示出点P坐标，

再利用列式求解；

（3）利用先探究ABCM是等腰直角三角形，再确定点G的方法，分三种：①过点B作

BMLCB交坐标轴于点M；②过点C作。交坐标轴于点M；③作BC的垂直平分线

交坐标轴于点本题利用此方法，再结合△O3C是等腰直角三角形即可确定.

【详解】（1）解:把A（T,0）,（1,一4）代入丁=加+/-3,

,\0=a-b-3

得｛-4=。+6_3，

二.二次函数的解析式为丁=必-2了-3；

（2）如图，过点。作小轴，垂足为尸，交CB于点P,

当y=f_3=0时,

解得％=3，%=—1，

3（3,0）,

当x=0时，得y=尤？-2元一3=-3,

/.C（0,-3）,

设直线BC解析式为丁=皿+〃,

代入8（3,0）,C（0,-3）,

3m+n=0

得

九=一3

m=l

解得

n=-/i，

直线BC解析式为，=尤-3,

设*一2，一3）,贝1］夕«,”3）,

。p=1-3-r+2/+3=-产+3/,

DF//OC,

：.ADEP^/\OEC,

.DPDE

，'~OC~'OE，

.—t?+3t2

»•——

33

解得f=1或f=2,

A。（1，-4）或（2,-3）；

（3）VB（3,0）,C（0,-3）,

OB=OC,

,：ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

根据题意分三种情况:

①如图，过点B作交）轴于点加,过点M作MG_L3M交x轴于点G,

此时四边形是矩形,

ZOCB=ZBMO=45°,

BC=BM,

四边形aWGC是正方形,

OG=OB=3,

：.G（-3,0）；

G（0,3）；

③如图，YABOC是等腰直角三角形,

，点M与点。重合，

，作点。关于直线BC的对称点G,

/.四边形O3GC是正方形，

OB=BG=3,

：.G(3,-3),

综上,存在，(一3,0)或(0,3)或(3,-3).

6

3.⑴>=-石(尤-5)9~+6

⑵该货船不能通过，理由见解析

<>49rrod5^/^5-^6(5A/65-\/6

(3)@—A/2；②G-一—+5,--—+5或G-—+5,^+5

24I66JI66)

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-5)?+6,将(10,0)代入，即可求解；

(2)根据题意将尤=2代入解析式，得出y=3.84,而轮船安全通过需要3.9米，即可求解;

(3)①依题意，得出E(5,5),△BCD是等腰直角三角形，则3£>+8=应3C，进而设点

小，-2(*5)2+6］则C的孙表示出2C,根据二次函数的性质，即可求解；

②由①可得NEGH=45。，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，△EGH是等腰直

角三角形，将y=5代入y=-石(x-5)~+6,即可求解.

【详解】(1)解：依题意，抛物线的顶点坐标为(5,6),

设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+6,

测得当拱顶高离水面6m时，水面宽10m,则抛物线经过(10,0),

当x=10时，y=。,

96

gPa（10-5）-+6=0,解得：«=,

抛物线解析式为y=-2（x-5）-+6；

（2）解:依题意，当宽度为6m、高度为3.2m的货船通过，

.♦.6+2=3,

67

将x=5-3=2代入解析式得：>=卷（2-5）-+6=3.84,

3.2+0.2+0.5=3.9>3.84,

该货船不能通过；

（3）解：①：y=-石（x-5）+6,

抛物线的对称轴为直线x=5,

:y=x交抛物线于点尸，交抛物线对称轴于点E,

.,.£（5,5）,

404=45。，

：BDLOF,则△38是等腰直角三角形，

,72

••BD=CD=—BC,

2

BD+CD=s/2BC>

设点21，-郎（*5『+6）,则。（祖,祖），

BC=--—（m-5）2+6-m=--—m2+—m=---fm--+竺.•.当"？=免时，取得最

25、'25525112）2412

大值为949，

24

则+CD的最大值为当夜.

24

②由①可得NEGH=45。，当以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形时，AEGH是等腰直

角三角形，

:.HG=HE,且/£HG=90。，

VE（5,5）,

”的纵坐标为5,

6o

将y=5代入＞=一不(彳-5)~+6

解得：X=-5«+5或X=，"+5

66

5瓜uT5巫u

・・・G的横坐标为％=———+5^x=-^—+5,

6?6

又・・・G为直线0尸上一动点,

.J5瓜5#](565#)

..G---------F5,---------1-3或G-------F3,-------1-3

6666

\7\7

【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，线段周长问题，正方形的性质，熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键.

4.(l)y=x2-2x-3

(2)(1,2)

噌

(4)N,(1,1),N(-1,2),N(1,4),2V

234SI

【分析】(1)将A(-1,0),B(4,5)代入丁=/+7讶+77得到关于机，〃的二元一次方程

组求解即可；

(2)抛物线的对称轴为x=l,求出直线AB与对称轴的交点即可求解；

(3)设。(d,，-2d-3),则E(d,〃+1),贝I]

OE=®+1)-(罐一24-3)=-罐+3d+4(-l<d<4),根据二次函数的性质求解即可;

(4)根据题意画出图形，分情况求解即可.

l—m+n=Q

【详解】(1)解：将A(-1，0),B(4,5)代入y=V+〃得,

16+4机+〃=5

m=-2

解这个方程组得

n=-3

，抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；

(2)解：如图，设直线AB的解析式为：y^kx+b,

把点A(-1,0),B(4,5)代入y=kx+6,

-k+b=O

得

4女+0=5

k=l

解得

b=l

直线AB的解析式为：y=x+l,

由（1）矢口抛物线y=/—2了一3的对称轴为了=-嬴=1,

,・,点C为抛物线对称轴上一动点，AC+BC>AB,

当点C在AB上时，AC+5C最小,

把x=l代入y=x+l,得y=2,

（3）解：如图，由（2）知直线A3的解析式为y=x+l

设。体屋-21-3),贝i]E(d,d+l),

贝i]£>E=(d+l)-(d2-2d-3)=-d2+3d+4(-l<d<4),

325

当时,必有最大值为彳,

(4)解：如图，•.,直线AB的解析式为：y=x+l,

直线与y轴的交点为。(0,1),OD=1

A(—1,0),OA=1

OA=OD,ADAO=ZADO=45°,

若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论:

①过点C作CM】JLy轴于点则AD叫C为等腰直角三角形，过点C作则

四边形CMQM为正方形,

②以为中心分别作点凡点C点的对称点A/?，"?,连接CM»MM，N2F,则四边形

MzMFC是正方形，则点生的坐标为(-1,2)；

③延长到M使乂必=必5作于点与，则四边形股2优片C是正方形，则

④取M2c的中点M，尸C的中点F?,则MigCN,为正方形，则州的坐标为?11

综上所述，点N的坐标为：N.(1,1),N2(-1,2),N3(1,4),N41-,-J

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方

形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键.

5.⑴二次函数的解析式为k--+2丈+3,A(-1,O)；

2

⑵①点M的坐标为(1,4)；②有可能，tanM=-1.

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①求得直线BC的解析式，点M的坐标为(m,2+2加+3),则点E的坐标为(〃2,-〃2+3),

由求得OF=3-m,CF=3-OF=m,根据Affi=2CF,代入数据即可求

解；

②证明四边形OD历是矩形，当OD=DE时，四边形OZJEF是正方形，据此求解即可.

【详解】(1)解：•••二次函数y=ax2+2x+c的图象经过3(3,0),C(0,3),

f9a+6+c=0

[c=3

a=-1

解得

c=3

；•二次函数的解析式为>=-犬+2了+3,

令y=o,贝!)-炉+2彳+3=0,

解得%=T,x2=3,

A(-1,。)；

(2)解:①：3(3,0),C(0,3),

设直线8C的解析式为丁=履+3,代入3(3,0)得0=3左+3,

解得左=-1,

...直线BC的解析式为y=T+3,

设点M的坐标为(加+2〃7+3),则点E的坐标为(m,-01+3),

ED=3-m,MD=-nr+2m+3=-(m-3)(/n+l),AO-\,AD-m+1,

ME=—m2+2m+3—3+m=—m2+3m,

,：OF//DM,

/./\AOF^/\ADM,

.AOOF1OP

"AD-DM'm+\-(m-3)(m+l)(

OF=3—m,

CF=3—OF=m,

,:ME=2CF,

—m2+3m=2m,

解得m=0(舍去)或%=1,

.,.点M的坐标为(1,4)；

②由①得OP=3—

•?OF//DE,

；•四边形ODEF是平行四边形，

•?ZFOD=90°,

四边形C©£尸是矩形,

当8=0后时，四边形ODE尸是正方形,

m=3-m,

3

解得根=5,

【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查的知识点有二次函数的图象及其性质，一次函数

的图象与性质，相似三角形的判断和性质，解直角三角形.解题的关键是学会利用参数构建

方程解决问题.

6.(1)-1；-1

(2)不存在，理由见解析

(3)机，〃满足的等量关系为"+"2=0或

a

【分析】(1)利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出纵力的值；

(2)假设存在，由3(-1,-1),C(l,-1),可知3C=2,因为四边形9CD为菱形，所以

AD=BC=AB=2,可求出=因此可求得点A的坐标，根据轴，亦可求出点

。的坐标，又已知点。在抛物线y=-V上，而_4片_1一后，因此假设不成立，即不存在四

边形为菱形；

(3)过点B作由_Ly轴,垂足为尸，过点。作。E工y轴,垂足为E,则B(m,atrr),?,an2),

然后分情况讨论：①当点3,。均在y轴左侧时，②当点。在y轴左侧，点B在y轴右侧时，

③当点B,。均在y轴右侧时，证明△AB/WZ\D4E(AAS),因此利用BF=AE,AF=DE,

即可得出结论.

【详解】（1）解：・•,巩—1,一1）,C（1M）在抛物线上）=加（"0）,

将B（-1,-1）代入y=以。，得〃=_],

2

y=-xf

将C（1,代入y=—x2,得m=-1,

（2）不存在.

理由如下：

假设存在，由（1）得C（l,-1）,

:.BC=2,

设BC与y轴交于点E,

:.BE=-BC=\,

2

V四边形A5CD为菱形，

：,AD=BC=AB=2,

：.AE=y/22-i2=73-

•・•点A的坐标为（0,-1-百），

AD//%轴，

点。的坐标为（2,

又：点。在抛物线'上，而后，

假设不成立，

，不存在四边形ABC£＞为菱形；

（3）过点8作B尸_Ly轴，垂足为尸，过点。作OEly轴,垂足为E,则3（m,0叫，加

①当点8,。均在了轴左侧时，如图1,

。尸-IIBF=-m,DE=-n,OF=-am2>OE=-an2

图1

•/ZBAF+ZABF=90°,ZBAF+ZDAE=90°,

:.ZABF=ZDAE,

X:AB=DA,ZAFB=DEA

'.^ABF^ADAE（AAS）,

:.BF=AE,AF=DE,

-m-—a"_（_〃帆2）_（一〃），

化简得〃+根=.（〃一根）（〃+根）,

•/n+m^O,

②当点。在y轴左侧，点3在y轴右侧时，如图2,

>

X

DR一

BF=m,DE=-n,OF=-am2,OE=-an2，

图2

同理可得AAB/名△ZME（AAS）,

:.BF=AE,AF=DE,

/.m=—am2+

化简得〃+加=〃（〃一机）（〃+机）,

:.n+m=0^n—m=—

a

③当点8,。均在y轴右侧时，如图3,

DE=n,OF=—am1,OE=—an2,

图3

同理可得AAB/也△DAE(AAS),

:.BF=AE,AF=DE,

2(7

/.m=—am+1—an一几，

化简得几一根=.（〃一间（〃+间,

1

n—m=—

a

综上所述，机，〃满足的等量关系为〃+机=0或〃-〃?=L

a

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性

质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题.

7.（1）（3。,0）或（一4,0）

（2）“-加是定值，且值为1；

(3)2-4a2

【分析】（1）令尸0,解方程即可求解;

（2）连接AC、BD交点、为E,过3作MNLy轴于过C作CNJ_MN于N,证明

△?VWB=ABA^C(AAS),8(nj,(/〃-3a)(m+a)),，m>0,n>0,则

E心,心也包g业”M（”,（…）…），

I22）

设,则AM=,BN=n-a,BM=m-a,CN=（n—3G（n+a^-q,

进而因式分解得出（〃-机-1）（〃+加-2〃）=0,即可求解；

（3）根据（2）可得。（阴+〃一3