2025年九年级中考数学二次函数压轴题：面积转化问题（含答案）

专题05面积转化问题

一、平行转化法(等积变形):

例1.(2024•酒泉二模)

1.如图，平面直角坐标系中，已知二次函数丁=依2+版+。的图象与x轴交于点A(-LO)和

点3(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).点。为线段BC上的一动点.

图1

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,当点。在线段BC上时，过动点。作D尸〃AC交抛物线第一象限部分于点P,

连接R4,PB,记△R4D与的面积和为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标；

对应练习:

2.如图，抛物线>-2ax-3a与无轴负半轴交于点A,与y轴交于点C,且OC=3CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线上■动点，若△ACP的面积是6,求点P的坐标.

二、三角形面积之比：

例2.(2024•济宁二模)

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,

0)两点，与y轴交于点C,且OC=2OA.

(1)试求抛物线的解析式;

(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记

PM

m=黑，试求m的最大值及此时点P的坐标•

DM

对应练习：

(2024•单县三模)

4.已知抛物线y二办?+6尤+3的顶点坐标为(-1,4),与无轴交于点A和点2,与y轴交于点

C,点P为第二象限内抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接。尸交BC于点。，当SCP/SB叨=1:2时，请求出点。的坐标；

(2023•怀远县校级模拟)

5.如图1,抛物线〉=依2+版+4(〃中0)与％轴交于点A(TO),C(3,O),与y轴交于点2,P

是第一象限内抛物线上的点，连接OP交BC于点连接PC.

(1)求抛物线的解析式；

⑵是否存在点P,使得2：3?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

(2024春・昆都仑区校级月考)

6.如图，抛物线y=ax?+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点

B在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD,CD,OD交BC于点F,当

SACOF:SACDF=3：2时，求点D的坐标.

（2024•济宁）

7.已知二次函数y=尤+c的图像经过（0,-3）,（-反。）两点，其中a,b,c为常数，且

ab>0.

（2）若该二次函数的最小值是T,且它的图像与无轴交于点A,2（点A在点2的左侧），与

y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点48的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点尸，过点P作尤轴的垂线，垂足为。，与

直线AC交于点E,连接尸C,CB,BE.是否存在点P,使》笆=??若存在，求此时点

）△CBE5

尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

（2024•东营）

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+6x+c与x轴交于A（-1,O）,8（2,0）两点,

与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的表达式；

⑵当点。在直线2C下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交BC于点E,设点。的横

坐标为f,OE的长为/,请写出/关于，的函数表达式，并写出自变量f的取值范围；

⑶在（2）的条件下，连接AD,交BC于点F,求学里的最大值.

（2024•湖北模拟）

9.如图，抛物线>=加+法+。与x轴交于点4-2,0）和点8,交y轴负半轴于点C,对称

轴在y轴的右边，O3=2OC,点P是直线BC下方抛物线上的点，连接OP交BC于点E,

连接PC,记VPECVOEC的面积分别为印邑.当抛物线的对称轴为直线x=l时.

（1）求抛物线的函数表达式；

S.

⑵当U的值最大时，求此时点P的坐标;

三、面积差

例3.（2023•武汉模拟）

10.如图1,抛物线>=依2+法一3（。>0）交x轴于点A,8（点A在点8左侧），交y轴于点

C,且O3=OC=3OA,点。为抛物线上第四象限的动点.

(2)如图，直线AD交BC于点P,连接AC,BD,若△ACP和△&)尸的面积分别为H和1，

当I-邑的值最小时，求直线AD的解析式.

对应练习：(2024•资阳)

11.已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线尤2+bx+c与x轴交于A,B两

点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4,0),BC=4A/I.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点尸是抛物线在第一象限内的一点，连接尸氏PC,过点P作尸。，彳轴于点。，交

BC于点K.记VPBCVBDK的面积分别为岳，S2,求工-星的最大值；

参考答案与解析

参考答案：

1.(1)y=-x2+2x+3

【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，及面积问题,

（1）根据题意设抛物线的表达式为y=o（x+l）（x-3）,将（0,3）代入求解即可；

（2）利用待定系数法求得直线的表达式y=-x+3,根据题意得SPCLS.A。，则

S=SPBC，连接CP,过点P作y轴的平行线交8C于点E,设尸（，",-病+2,"+3）,则

293

E（m,-m+3）,有PE=—m+3m=+-,当优=3时，PE取的最大值，即可求得

42

13

S最大^xOBxPE,那么，当根时，根据二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为y=a（x+D（x-3）,

将C（0,3）,代入上式得：3=a（0+l）（0—3）,

a——1,

则抛物线的表达式为y=*+2x+3；

（2）解:设直线BC的表达式为了=丘+〃，

将3（3,0）,C（0,3）,代入＞=丘+〃中，

[3左+〃=0

.,*直线BC的表达式为y=—x+3,

9：DP//AC

连接CP,过点P作y轴的平行线交5C于点E,如图,

设P{m,-m2+2m+3),则E(m,—m+3),

则FE=-m2+2m+3-(-m+3)

(3丫9

=-m2+3m=-m——+—,

I2j4

39

・・・当m=7时，尸石取的最大值:，

24

11Q27

.・.Sm太=-xOBxPE=-x3x-=—,

取大2248

3<3315

当小二一时，一根2+2m+3=——+2x—+3=一，

2⑶24

•,唔野

2.(l)y-x2-2x-3

⑵尸(T,21)或(3,0)

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解方程组等知识点，

(1)由抛物线解析式可得抛物线经过定点(T,0),(3,0),从而可得。的值，进而即可得解.

(2)过点尸作AC的平行线交x轴于点H,连接C",求出直线AC解析式为y=-3x-3,

直线PH解析式为丫=-3尤+9,联立解方程组即可得解；

熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键.

【详解】(1)...抛物线y=依2-2ox-3a,

b

对称轴为直线X=-==1,令y=o,

2a

解得占=-1，无2=3,

・•・4-1,0),

又-OC=3OA,

C(0,-3),

代入解析式得。=1，

y——2x—3；

(2)过点尸作AC的平行线交工轴于点H,连接C",

PH//AC,

/.AH-OCx—=6,

2

:.AH=4,

・••”(3,0),

设直线AC解析式为y=kx+b,

j-k+b=0

[b=-3

k=—3

b=-3

・•・直线AC角军析式为y=-3x-3,

・•・设直线PH解析式为y=~3x+nf

—3x3+71=0,

n=9,

・・・直线尸”解析式为y=-3%+9,

y=x2-2x-3

联立

y=-3x+9

xx=—4,fx2=3

解得M=21,匕二°

.•.尸(<21)或(3,0).

3.(1)y=-yx2+x+4；(2)m的最大值为2,此时P(2,4).

23

【分析】(1)根据题意，设抛物线的交点式解析式为y=a(x+2)(x-4),由0C=20A,0A=2,

解得点C的坐标，再代入点C(0,4),利用待定系数法解题即可；

(2)作PELx轴于E,交BC于F,可证明△CMDS/XFMP,再由相似三角形对应边成比

例解得11!="==；,接着求得CD的长，设P(n,-1n2+n+4),F(n,-n+4),代入

DMDC2

线段的比值，解得PF的长，用配方法化为顶点式，利用二次函数的性质即可解得最大值.

【详解】(1):抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,0)、B(4,0)两点，

.,.设y=a(x+2)(x-4),

VOC=2OA,OA=2,

AC(0,4),

代入解析式得到a=-

Ay=-g(x+2)(x-4),

即y=-gx2+x+4；

(2)如图，作PE，x轴于E,交BC于F,

VCD//PE,

.•.△CMD^AFMP,

.PMPF

•・m二-

DMDC

;直线y=kx+](k>0)与y轴交于点D,

AD(0,1),

・・.CD=4-1=3,

设BC的解析式为广dx+e,代入点B(4,0),C(0,4),得

J4d+e=0

[e=49

[e=4

•BC的解析式为y=—%+4,

设P(n,-^-n2+n+4),则F(n,-n+4),且0VnV4,

PF=-n2+n+4-(-n+4)=-(n-2)2+2,

・PF1/八-2

・・m=-----=-----(n-2)2+—,

DC63

V--<0,

6

2

.,.当n=2时，m有最大值，最大值为此时P(2,4).

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，是重要考

点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

4.(1)y=-2,x+3

⑵D(T2)

【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题,等腰直角三角形的性质与判定等知识点，

熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据抛物线解析式求得A8的坐标，进而得出NCBO=45。，根据=5^加=1：2得

出则点。到x轴的距离为2,即可得出点。的坐标;

【详解】(1)解：•••抛物线丫=加+版+3的顶点坐标为(-1,4),

b

2a

〃一b+3=4

a=-1

解得:

b=-2'

...抛物线解析式为>=-尤2_2尤+3；

(2)解：令y=0,得—x2—2x+3=0,

解得：演=一3,%2=1,

令兀=0,贝Uy=-x2-2冗+3=3,

.-.C(0,3),

：.OB=OC=3,

BC=VOB2+OC2=3叵,ZCBO=45。，

S4CPD:S/\BPD=1:2,设点尸到BC的距离为"

./△CPDCO」

S^BPD.1BDhBD2

2

:.BD=-BC=-x3y/2=2y/2,

33

过点。作。K，x轴于点K,则3DK是等腰直角三角形,

BK=—BD=2,

2

【分析】(1)利用待定系数法即可求解;

(2)过点尸作PQ〃8C交x轴于点Q,求得点。的坐标为(5,0),求得直线P。的解析式为

420

y=--x+y,据此求解即可;

【详解】(1)解：把点4(一1,。),。(3,0)代入丫=浸+加;+43-0),

4

a-b+4=Q八,3

得9a+3b+4=0‘解得

4«

二抛物线的解析式为y=尤2+:尤+4；

(2)解:存在，

"OQ~OP'

设，OPC中OP边上的高为人

二.S^pcM=-PM,h,SVCMO=5OM,h,

QSVPCM-SycMO=2：3，

-PM-hc

.2______=2

"1一3，

—OM-hJ

2

:.PM=-OM,

3

:.OP=OM+PM=-OM,

3

,PCOMOM3

3

OC=3,

02=5,

点。的坐标为(5,0),由抛物线的解析式知5(0,4),

4=4

设直线BC的解析式为y=k1x+bi,把8(0,4),C(3,0)代入得,

3kx+4=0

解得勺=一々，

4=4

4

・,・直线BC的解析式为y=-+4,

PQ//BC,

4

・・・设直线PQ的解析式为y=~x+b2f

4

代入。(5,0)得—95+与二。，

解得：耳弋20,

420

・,・直线PQ的解析式为J=+

•・•点P在抛物线，

4904R

・••联立得一+=一1/+1%+4,解得：再=1,々=2,

把尤।=1,1=2代入y=-gx+g,解得％=y,y2=4,

•••点尸的坐标为或(2,4).

【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和

性质，三角形的面积，一次函数解析式，相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函

数的图象与性质是解题的关键.

6.(1)y=-x2+2x+3；(2)(1,4)或(2,3)

【分析】(l)c=3,点B(3,0),将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax?+2x+3并解得：

a=-1,即可求解；

?

(2)SACOF:SACDF=3:2,贝ijOF:FD=3:2,DH〃CO,故CO:DM=3:2,贝ijDM=j

CO—2,而DM=-x2+2x+3-(-x+3)=2,即可求解.

【详解】解：(1)VOB=OC=3.

；.c=3,点B(3,0),

将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3并解得：a=-1,

故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；

(2)如图，过点D作DHLx轴于点H,交AB于点M,

/?

SACOF:SACDF=3：2,则OF：FD=3:2,

2

：DH〃CO,故CO：DM=3：2,则DM=-CO=2,

3

由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y=-x+3,

设点D(x,-x2+2x+3),则点M(x,-x+3),

DM=-x2+2x+3-(-x+3)=2,

解得：x=l或2,

故点D(l,4)或(2,3).

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键.

7.(l)a=l,c=—3

2

(2)①该二次函数的解析式为：y=x+2%-3;A(-3,0),B(l,0)

②存在，尸点横坐标为：-3+二或-3-石或-3-后

222

【分析】(1)先求得。=-3,则可得(0,-3)和(-6,c)关于对称轴尤=-或对称，由此可得

¥=-二，进而可求得。=1；

22a

1

(2)①根据抛物线顶点坐标公式得％小值=—-宁M-也h=-4,由此可求得人=2,进而可得抛

物线的表达式为y=f+2x-3,进而可得A(-3,0),6(1,0)；

②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求

出点尸的坐标即可.

【详解】(1)解：•••了=内2+公+。的图像经过(0,_3),

(0,-3)和(-6,c)关于对称轴x=-?对称,

.0-b_b

，9~27~~2^

bwO,

..4=1,

••tz—1,c——3•

(2)解：①：a=1,c=—3,

y=x1+bx-3,

•y最小值=4=-4，

：解得6=±2,

ab>0,且a>0,

b>0,

b=2,

.♦•该二次函数的解析式为：y=/+2x-3,

当y=0时，%2+2%-3=0,

解得占=-3,x2=l,

：.A(-3,0),8(1,0).

②设直线AC的表达式为：y=klx+bl,

—3%+=0

则

仄=—3

k[=—1

解得

b、=-3'

直线AC的表达式为：y=-x-3,

当点P在点A右侧时，作CFLPD于凡如图所示:

设P(m,m2+2m-3)(-3<m<0),则E(m,—m—3),D(m,0),

则PE=(—m—3)—+2m—3)=—m2—3m,

CF=0-m=-m,

=；•PE♦CF=3Qm2—3mj-(-^)=~^m(m?+3加

,•OPCE

*.*AB=1—3)=4,OC=3,DE=—(—m—3)=m+3,

•c_c_c

,,uCBE一°ABCuABE

=-ABxOC--xABxDE

22

=-2m,

q

..°4PCE_3

S^CBE8

gm^m2+3m)

3,

-2m8

解得:

•・•点p横坐标为三或¥

当点尸在点A左侧时，作C尸，于凡如图所示:

设P(m,m2+2m-3)(m<-3),则E(m,-m-3),£)(m,0),

则PE=(/+2m—3)_(_加—3)=根2+3m,

CF=0-m=—m,

*22

SPCE=-PE-CF=^mm)=-^m(m+3相),

,.・AB=l—(—3)=4,OC=3,DE=-m-3,

,•0,CBE~UABCT°ABE

=-ABxOC+-xABxDE

22

=-2m，

SACBE8

12

——m（m+3m）3

-2m8

解得：叫==姮，牡=三姮（舍去），

.,.点尸横坐标为一3一屏,

2

综上所述，尸点横坐标为：上8或士^或一3一炉.

222

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二

次函数和一次函数的表达式.熟练掌握“三角形面积=[><水平宽X铅锤高”是解题的关键.

2

8.⑴J”—一

(2)I——产+2/(0<r<2)

⑶泮=1

2AEF4大3

【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和

性质等知识.

（1）将点A和点B坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果；

（2）先求出直线BC的解析式，进而表示出OE的长，进一步得出结果；

（3）在（2）的条件下，当0<f<2时，作AG〃/5E,交BC于G,可得出DEF^,AGF,

从而名=隼，进而得出?|=W=-4（'T）2+4，进一步得出结果-

AFAGAF333

【详解】（1）解：由题意得,

l—b+c=O

4+26+c=0

，厂;，

[c=—2

,抛物线的表达式为：y=--x-2；

(2)解：抛物线”二7-2与y轴交于点C(0,-2),

/\{n=—2

设直线8C的函数表达式为：y=〃zx+〃，代入8(2,0),C(°，—2)两点得痴+〃=0

[n=—2

解得I,

直线BC的函数表达式为：y=x-2,

:过点D作y轴的平行线交BC于点E,设点D的横坐标为t,

£(/,1—2),

D(t,■2),

二./=(1一2)—(产—/—2)——，2+2力(0<Iv2)；

(3)解：如图1,

当0</<2时，作AG〃。石，交5C于G,

DEFs,AGF,

.DF_DE

一~AF~~AG'

把犬=T代入y=x-2得，）=-3,

AG=3,

.•.竺=3」（/1）呈，

AF333

1

当f=l时,

BL3

q

DF*.DEF

~AF

°AEF

11

9.(l)y=a无9一5x-2

(2)尸(2,-2)

【分析】(1)利用二次函数的对称性质求得8(4,0),利用待定系数法求解即可；

(2)过点尸作尸尸，x轴，交BC于点F,设尸［根，:由0c〃依，证明

PEPFS,PEPFPF1zc、21—

AOCESAPFE,得到7^=7^，求得不二后二定二亏二一鼻。"一？)+不，利用二次函

OEOC)2U乜C7Czo2

数的性质求解即可；

【详解】(1)解：•・,抛物线的对称轴为直线％=1,A(-2,0),

・•・5(4,0),

・•・OB=4

9：OB=2OC,

：.OC=2,

・・•点。在y轴负半轴上,

C(0,-2),即C=—2,

・・•点AB在抛物线上,

j4a-2b-2=0

\16a+4b-2=0

1

a=­

4

解得：

b=一一

12

•••抛物线的函数表达式为y=尤-2；

(2)解：,••■8(4,0),C(0,-2),

设直线BC的解析式为y=kx-2,

；.0=4左一2,

解得：a=;,

・,・直线BC的解析式为y=-2,

过点P作P尸，X轴，交BC于点F,

F[HI,^m-2^,OCPF,

PF=—m2-—m-2|=-—(m-2)2+l,

2U2J4

QOC//PF,

:NOCE^NPFE,

PEPF

,~OE~~OCf

,Si_PE_PFPF11

---二—Czm—2)H—,

S2OEOC282'

:——<0,

8

5.

二.当机=2时，U的值最大，

d2

此时P(2,-2).

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及用待定系数法求解抛物线的解析式和一次函

数解析式，相似三角形的性质和判定，面积最值问题等知识内容，综合性较强，正确掌握相

关性质内容是解题的关键.

10.(1)y=x2-2x-3

(2)直线ZO的表达式为：y=-2x-2

【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式、

一次函数与二次函数的性质，

(1)由二次函数、=加+法-3,令尤=0,贝独=-3,则C(0,-3),又由O3=OC=3OA得

到A(-LO),8(3,0),利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2)由S]-S?=SAABC-S&ABD和SABC=5A''℃=6得到当SABD达到最大值时，S]-邑的

值最小，则当点。为抛物线的顶点(LT)时，S"达到最大值.利用待定系数法求出直线AD

的解析式即可；

【详解】(1)解：由二次函数y=a%2+bx-3,令x=0,则y=-3,

...C(0,-3),

又・：OB=OC=3OA,

.•.A(-l,0),3(3,0),