2025年九年级数学中考三轮冲刺练习：四边形 压轴题综合训练（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习四边形压轴题综合训练

一、选择题

1.如图，在中，AC,5。相交于点。AC=2,BD=2V3.过点A作AE_L3C的

垂线交8C于点记防长为x,5C长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值

不变的是（）

A.x+yB.x-yC.xyD.x2+y2

2.如图，在RtZkABC中，ZC=90°，AC=12f3C=5,点尸是边A5上任意一点，过点

尸作PQLAC,PE上BC,垂足分别为点。，E,连接。E,则OE的最小值是（）

13601230

A.C.—D.

213513

3.如图，矩形A8CD中，AB=瓜BC=1,动点E,厂分别从点A,C同时出发，以每秒

1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线

/的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（）

lV3

A.V3B.—C.2D.1

2

第1题图第2题图第3题图

4.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E是BC上一点，点歹是CZ）延长线上一点,

连接AE,AF,AM平分/EAF'交于点仞.若BE=DF=1,则0M的长度为（）

LL12

A.2B.V5C.V6D.—

5.如图，在正方形ABCZ）中，点”在边上（不与点A、。重合），/BHF=90°,HF

交正方形外角的平分线。F于点孔连接AC交于点连接8F交AC于点G,交

CD千点、N,连接80.则下列结论：

①/HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点X是的中点，贝Isin/A®C=钾;

111

④BN=0BM；⑤若贝ISABND=茎SAAHM.其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

第4题图第5题图第6题图

二、填空题

6.如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线AC,2。相交于点O,点E在2c延长线

0F5

上，OE与CD相交于点F.若/AC£)=2/OEC,—=:则菱形ABCD的面积

FE6

为.

7.如图，正方形A8CO的边长为1,M,N是边BC、CD上的动点.若/MAN=45°,则

MN的最小值为.

8.如图，正方形ABC。的边长为3vL对角线AC,2。相交于点。，点E在CA的延长线

上，OE=5,连接。E.

(I)线段AE的长为；

(II)若/为。£的中点，则线段AF的长为.

9.如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE,EA^ED=|.

(1)△AOE的面积为；

(2)若尸为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G,则AG的长

为.

第7题图第8题图第9题图

10.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将

一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面

积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该

原理的重要内容之一，如图，在矩形ABC。中，AB=5,

AD=n,对角线AC与BO交于点。，点E为8C边上的

一个动点，EF1AC,EG±BD,垂足分别为点RG,则

EF+EG=_______________________

三、解答题

11.如图，在四边形A8CD中，E是的中点，DB,CE交于点尸，DF=FB,AF//DC.

(1)求证：四边形A尸。为平行四边形；

(2)若/EFB=90°,tan/FEB=3,EF=1,求BC的长.

12.如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,ZABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE

为一边作/。石/=60°,所交射线BC于点R连接BE,。足点E从点C出发，沿CA

方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设△8EF的面积为ycm2,点E的运动时间

为尤秒.

(1)求证：BE=EF；

(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)求x为何值时，线段。尸的长度最短.

13.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,相交于点。，点P,。分别是边BC,线段。。

上的点，连接AP,QP,AP与。8相交于点E.

(1)如图1,连接Q4.当。A=QP时，试判断点。是否在线段PC的垂直平分线上,

并说明理由；

(2)如图2,若乙4尸2=90°,且

①求证：AE=2EP；

②当。0=。£时，设EP=a,求PQ的长(用含。的代数式表示).

C

C

图1

图2

14.如图，在正方形ABC。中，线段C。绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,点歹在

直线DE上，MAD=AF,连接BE.

⑴如图1,当0°<a<90°时，

①求/BAF的大小(用含a的式子表示).

②求证：EF=0BF.

(2)如图2,取线段所的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转

过程中(0°<a<360°)△AOG面积的最大值.

BCBC

图2

15.如图1,点。为矩形ABC。的对称中心，AB=4,AD=8,点E为AD边上一点(0<

A£<3),连结EO并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线

成轴对称，线段3'F交AD边于点、G.

(1)求证：GE=GF.

(2)当AE=2OG时，求AE的长.

(3)令AE=a,DG=b.

①求证：(4-°)(4-b)—4.

②如图2,连结。2,，0D,分别交A。，B'F于点H,K.记四边形。KGH的面积为S1,

参考答案

一、选择题

题号12345

答案CBDDA

二、填空题

6.【解答】解：作OH〃BC交CD于点H,则△DOHS2XOBC,

・・•四边形A3CD是边长为10的菱形，对角线AC8。相交于点O,

.*.BC=10,OD=OB=^BD,OA=OC,AC±BD,

OHOD

ZBOC=90°,

BCBD2

1

.OH=^BC=5,

.•.△OFHSAEFC,

.OHOF5

••EC-FE-6’

：.EC=10H=|x5=6,

■;BC=DC,AC工BD,Z.ACD=2/OEC,

：./ACB=ZACD=2ZOEC=ZCOE+ZOEC,

：・/OEC=/COE,

OC=EC=6,

：.OB=yjBC2-0C2=V102-62=8,

・・・50=208=16,AC=2OC=12,

11

菱形A5c。=,3Z)・AC=2X16X12=96,

故答案为：96.

Ap

BCE

7.【解答】解：方法一：如图，延长8到点G,DG=BM.

・・•四边形A5CD为正方形，

：.AD=BC=AB,ZBAD=ZADC^90°,

；・NADG=/ADN=90°=/ABM,

又・・・8M=DG,AD^AB,

：.AABM^AADG(SAS),

：.ZBAM=ZDAG,AM=AGf

U：ZMAN=45°,

：.ZBAM+ZDAN=45°,

：.ZDAG+ZDAN=45°,即NGAN=45°,

在4647和中，

AG=AM

乙GAN=乙MAN,

.AN=AN

:AGAN”AMAN(SAS),

：.GN=MN.

设BM=x,MN=y,则GN=y,DG=x.

9：BC=CD=1,

：.CM=1-x,CN=x-y+l,

222

在Rt^CMN中，由勾股定理得：MN=CM+CNf

即y2=(1-x)2+(x-y+1)2,

整理可得：产富一(尤+1)2君+D+2=x+l+磊—2,

,•*x+1d--j-r之2/(%+1),--j-y=2ypL,

x+l9Jx+1

・・・y22/一2,

当冗=夜一1时，y最小值为2夜一2.

方法二：如图，延长到点G,使。G=3M.

・・•四边形A5CD为正方形，

：.AD=BC=AB,ZBAD=ZADC=90°,

工ZADG=ZADN=9Q°=ZABM,

又•：BM=DG,AD^ABf

：.AABM^AADG(SAS),

：.ZBAM=ZDAG,AM=AG,

VZMAN=45°,

・・・N8AM+NOAN=45°,

・・・NZMG+NZMN=45°,即NG4N=45°,

在△GAN和中，

AG=AM

乙GAN=乙MAN,

AN=AN

•••△GAN之AMAN(SAS),

：.GN=MN.

作AGAN的外接圆，圆心为O,

9：ZGAN=45°,

：.ZGON=90°,

过O作OHLGN于点H,则GH=NH,

设GH=NH=a,则GN=2a,OH=a,

在RtZ\GON中，OG=ON=&a,

OA=V2tz,

*：OA+OH^ADf

a>V2—1,

当A、O、”三点共线时取等，

此时GN=2a=2近一2,

:.MN=2五一2；

故MN的最小值为：2近-2.

8.【解答】解：(I)•••四边形ABC£＞是正方形，

：.OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°,

在RtADOC中，OD2+OC2=£)C2,

,:DC=3五,

：.OA=OD=OC=OB=3,

：0E=5,

：.AE=OE-04=2；

故答案为：2.

(II)延长D4到点G,使AG=A。，连接EG,过E作比/LAG于H,

为△OGE中位线，

1

：.AF=扣G,

在中，ZEAH=ZDAC^45°,

：.AH=EH,

,：AH2+EH2=AE1,

：.AH=EH=V2,

GH=AG-AH=3近-V2=2近，

在RtAEGH中,EG2=EH2+GH2=10,

：.EG=V10,

•iTio

..Ar=]£G=—.

故答案为：.

9.【解答】解：(1)过E作EM_LAO于

9：EA=ED=^.AO=3,

：.AM=DM=^AD=I，

：.EM=y/AE2-AM2=2,

11

•••△AOE的面积为一AD-EM=-x3X2=3；

22

故答案为：3；

(2)过E作A。的垂线交A。于M,AG于N,BC于P,

•・•四边形A3CD是正方形，

：.BC//AD,

：.EPLBC,

・•・四边形是矩形，

：.PM=AB=3,AB//EP,

：・EP=5,ZABF=ZNEF,

•・•尸为5E的中点,

：.BF=EF,

在AABF与ANEF中,

NABF=(NEF

BF=EF,

.A.AFB=乙NFE

:•△ABF"ANEF(ASA),

:・EN=AB=3,

：・MN=1,

9

：PM//CDf

:.AN=NG,

：.GD=2MN=2,

：.AG=VXD2+GD2=V13,

故答案为：V13.

10.【解答】解：连接OE,

:四边形ABC。是矩形，

AZABC=90°,BC=AD=n,AO=CO=BO=DO,

：AB=5,BC^12,

：.AC^7AB2+Be?=13,

・・OB=OC=

11111

:•SABOC=SABOE+SACOE=2xOB*EG+]OC・EF=金2ABC=2xx5x12=15,

：.EG+EF=^,

故答案为：骂.

【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,

注意掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

11.如图，在四边形ABC。中，E是A8的中点，DB,CE交于点F,DF=FB,AF//DC.

(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；

(2)若NEFB=90°,tanZFEB=3,EF=1,求BC的长.

【分析】⑴根据三角形中位线定理得到E尸〃4。，根据平行四边形的判定定理得到结

论；

（2）根据三角形中位线定理求得AD=2斯=2,根据三角函数的定义得到BF=3EF=3,

求得尸=3,木艮据勾股定理得至【JAF=7AD?+。尸2=g根据平行四边形的性质

得到CZ）=AF=V13,根据线段垂直平分线的性质得到结论.

【解答】（1）证明：是AB的中点，

：.AE=BE,

•：DF=BF,

:.EF是AABD的中位线，

J.EF//AD,

C.CF//AD,

'JAF//CD,

...四边形AFCD为平行四边形；

（2）解：由（1）知，所是△A3。的中位线，

:.AD=2EF=2,

"：ZEFB=9Q°,tanZFEB=3,

:.BF=3EF=3,

,:DF=FB,

:.DF=BF=3,

'：AD//CE,

：.ZADF=ZEFB=90°,

：.AF=y/AD2+DF2=V13,

V四边形AFCD为平行四边形，

：.CD=AF=V13,

;DF=BF,CELBD,

:.BC=CD=V13.

12.如图，在菱形ABC。中，AB^lOcm,ZABC=60°,E为对角线AC上一动点，以DE

为一边作/。Eb=60°,EF交射线8C于点F,连接BE,。凡点E从点C出发，沿CA

方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止.设4BEF的面积为y。后，点E的运动时间

为x秒.

（1）求证：BE=EF；

(2)求y与尤的函数表达式，并写出自变量尤的取值范围;

(3)求x为何值时，线段的长度最短.

备用图

【分析】(1)设CD与EF相交于点证明△BCE四△OCE(SAS),可得

BE=DE,利用三角形外角性质可得/a)E=NCPE,即得NCBE=NCFE,即可求证;

(2)过点E作EALLBC于M解直角三角形得到EN=C0sin60°,CN=CE・cos60°,

可得BN=BC-CN,由等腰三角形三线合一可得8R即可由三角形面积公式得到y与x

的函数表达式，最后由0<2xW10,可得自变量x的取值范围；

(3)证明△OEF为等边三角形，可得BE=DF,可知线段。厂的长度最短，即BE的长

度最短，当8EJ_AC时，BE取最短，又由菱形的性质可得AABC为等边三角形，利用三

线合一求出CE即可求解；

【解答】(1)证明：设CO与EF相交于点M,

:四边形A8CZ)为菱形，:.BC-=DC,NBCE=/DCE,AB//CD,

VZABC=60°,

Z.ZDCF=60°,

在△8CE和△OCE中，

BC=DC

Z-BCE=Z-DCE,

CE=CF

：.ABCE^ADCE(SAS),

：.ZCBE=ZCDEfBE=DE,

ZDMF=/DEF+NCDE=ZDCF+ZCFE,

又♦：NDEF=/DCF=60°,

：・NCDE=NCFE,

：.ZCBE=ZCFE,

：.BE=EF；

(2)解：过点E作EN_L5C于N,

"；BE=EF,

:・BF=2BN,

•・•四边形A5CD为菱形，ZABC=60°,

：.BC=AB=10cm,ZACB=ZBCD=60°,即NECN=60°,

*.*CE=2xcm,

y/3/—1

EN=CE*sin60°=2x・-=y3x(cm),CA^=CE*cos60°=2%•一=x(cm),

22

：.BN=BC-CN=10-x(cm),

BF=2(10-x)cm,

；.y=^BF-EN=1x2(10-尤)x回=-V^f+loV5x,

V0<2x^10,

.•.0<_rW5,

.*.y=—V3X2+10V3X(0〈XW5)；

(3)解：•:BE=DE,BE=EF,

:.DE=EF,

VZDEF=60°,

•••△OE/为等边三角形，

:.DE=DF-EF,

：.BE=DF,

・•・线段。尸的长度最短，即BE的长度最短，当时，BE取最短，如图,

AD

・・•四边形A3CD是菱形，

：.AD=BC,

VZABC=60°,

・・・△ABC为等边三角形，

：.AE=AB=AC=10cmf

VBE±AC,

1

CE=-^AC=5cmf

.CE5

••x—2——2,

...当尤=5时，线段的长度最短.

13.如图，在菱形A8CD中，对角线AC,8。相交于点。，点P,。分别是边BC,线段。。

上的点，连接AP,QP,AP与08相交于点E.

C

C

图1

图2

（I）如图1,连接QA.当QA=。尸时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，

并说明理由；

（2）如图2,若NAPB=90°,且/BAP=/AO8,

①求证：AE=2EP；

②当。。=。£时，设求尸。的长（用含a的代数式表示）.

【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；

（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA,再由各角之间的关系得出

ABD^ZCBD^30°,由含30度角的直角三角形的性质求解即可；

②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a,AP=3a,再由正切函数及全等

三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.

【解答】（1）解：结论：点。在线段PC的垂直平分线上.

理由：连接QC：四边形A2C。是菱形，对角线AC,相交于点0,

：.BD±AC,OA=OC,

：.QA^QC,

'：QA=QP,

•••QC=QP，

/.点。在线段PC的垂直平分线上；

（2）①证明：如图，：四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC^CD^DA,

：.NABD=ZADB,ZCBD=ZCDB,

'：BD±AC,：.ZADO=ZCDO,

：./ABD=NCBD=ZADO.

,：ZBAP=ZADB,

：.ZBAP=ZABD=ZCBD.

:.AE=BE,ZAPS=90°,ZBAP+ZABP^9Q°,NBAP=NABD=/CBD=30°

在RtABPE中，NEPB=90°,NPBE=30°,

1

：.EP=^BE,

•：AE=BE,

1

：.EP=^AE,

：.AE=2EP；

②如图，连接QC

U：AB=BC,ZABC=60°,

：.AABC是等边三角形.ZAPB=90°,

:・BP=CP,EP=a,

.\AE=2a,AP=3a,

在Rt^APB中，ZAPS=90°,

AD_

:tan乙ABP=器=百，

.,.BP=V3a,

：.CP=BP=V3a,

：AO=CO,ZAOE^ZCOQ,OE=OQ,

△AOE四△CO。（SAS）,

：.AE=CQ=2a,ZEAO=ZQCO,

：.AE//CQ,

VZAPS=90°,

：.ZQCP^90°,

在RtZ\PC。中，NQCP=90°,

由勾股定理得尸。2=pc2+CQ2,

；.PQ2=PC2+CQ2,

PQ=V7a.

14.如图，在正方形ABC。中，线段C£>绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,点尸在

直线。E上，且AD=AR连接8足

(1)如图1,当0°<a<90°时，

①求/BAF的大小(用含a的式子表示).

②求证：EF=V2BF.

(2)如图2,取线段EF的中点G,连接AG,已知AB=2,请直接写出在线段CE旋转

过程中(0°<a<360°)△AOG面积的最大值.

图1图2

【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到/胆。=180。-a,

据此求解即可；

②连接BE,计算得到N8CE=90°-a=ZBAF,利用SAS证明△BCEg△BAR推出△

防尸是等腰直角三角形，据此即可证明EF=V2BF；

（2）过点G作的垂直，交直线A。于点H,连接AC,8。相交于点，连接。G,利

用直角三角形的性质推出点G在以点。为圆心,02为半径的一段弧上,得到当点H、。、

G在同一直线上时，GH有最大值，则△AOG面积的最大值，据此求解即可.

【解答】（1）解：①•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC=CD=DA.ZADC=ZBCD=ZDAB=90°,

由题意得CD=CE,NDCE=a：

11

：.ZCDE=ZCED=^（180°-a）=90°一匆

ZAZ）F=90°-ZCZ）E=90°-（90°一为）=加,

'：AD=AF,

1

・•・ZADF=ZAFD=匆

：.ZFAD=1SO°-ZADF-ZAFD=180°-a,

/.ZBAF=ZFAD-ZBAD=180°-a-90°=90°-a；

②连接BE.

'：/DCE=a,

：.ZBCE-90°-a=ZBAFf

•・•CD=CE=AD=AF=BC,

：.ABCE^ABAF(S4S),

：.BF=BE,NABF=NCBE.

VZABC=90",

，Z£BF=90°

AEBF是等腰直角三角形，

：.EF=V2BF；

(2)解：过点G作的垂线，交直线4D于点连接AC,3。相交于点，O,连接

AHn

OG,£7

由(1)得△EBE是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，

：.BG±EF,即NBGO=90°,

:四边形A8CZ)是正方形，

：.OB=OD.

：.OB=OD=OG,

...点G在以点。为圆心，08为半径的一段弧上，

当点H、0、G在同一直线上时，G8有最大值，则△AOG面积的最大值，

GH=^AB+OG=^AB+^BD=|x2+|X2A/2=1+V2.

乙乙乙乙乙

1

AADG面积的最大值为］A£)><G”=1+V^.

15.如图1,点。为矩形ABC。的对称中心，AB=4,AD=8,点E为边上一点(0<

A£<3),连结E。并延长，交BC于点F.四边形A2FE与A'B'FE关于跖所在直线

成轴对称，线段3,尸交A。边于点G.

(1)求证：GE=GF.

(2)当AE=2Z)G时，求AE的长.

(3)令AE=a,DG=b.

①求证：(4-a)(4-b)=4.

②如图2,连结。夕，OD,分别交AD,B'F于点H,K.记四边形。KGH的面积为

S

Si,△OGK的面积为S2,当a=l时，求二1的值.

【分析】(1)由四边形ABC。是矩形，可得NGEF=NBFE,

PE关于EF所在直线成轴对称，看/BFE=NGFE,故NGEF=/GFE,GE=GF；

(2)过G作GH_LBC于H,设。G=x,可知AE=2x,GE=AD-AE-£)G=8-3x=GF,

根据点。为矩形ABCD的对称中心，可得b=AE=2无，故FH=CF-CH=x,在RtA

GFH中，^+42=(8-3尤)2,解得x的值从而可得AE的长为6-2百；

(3)①过。作于Q,连接。4,0D,0G,由点。为矩形A8CZ)的对称中心，

1GQ00

EF过点。，可得。为EF中点，。4=。。。。=/8=2,证明460。62\0£•0,得一=一,

乙OQEQ

即GQ・EQ=O02,故GQ・EQ=4,即可得(4-a)(4-b)=4:

②连接B'D,0G,0B,证明2/=£>E,0D=0B=0B',可得△DOG0△B'OG(SSS),

ZODG=ZOB'G,从而ADGK也△B'GH(ASA),DK=B'H,GK=GH,即可证△OGK

OC1

乌△OGH(SSS),得SAOGK=S&OGH,△OGK,而NEG尸=N0G8,GE=GF,

S2

OKOFS

GD=GB\知EF〃BD,可得△OKFs^DKB',△EGFS^DGB',得一=—,—=

DKBiDS2

2S.QGK20K20FEF「EFGE,,Q

=——=——=—,又AEGFSADGB,有一=一,当。=1时，b=<

S2DKBiDB/DB，DGD3

13

QS-iEFGET_13

即A£=1'OG=W’即可得及=嬴=而

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