2025年高考物理大题突破训练（黑吉辽蒙专用）曲线运动（4大题型）（解析版）

大题02曲线运动

》明考情•笈方向》.

曲线运动计算题近5年在高考中稳定出现，分值约为10〜12分。题型以平抛运动和圆周运动为主,

经常出现与能量、动量、电磁场等结合的综合题。平抛运动多与斜面、圆弧轨道结合，注重几何关系与

运动学公式的灵活应用（如2024年黑吉辽卷物体从桌面飞出问题），圆周运动重点考查竖直平面内的临

界问题（如绳/杆模型）和水平面内的动力学分析（如2022年辽宁卷弯道滑行问题）。

曲线运动题的考查规律多为“经典模型主导，弱化复杂数学，强化多过程分析”，应熟记平抛运动

和圆周运动公式，2025年重点关注斜面平抛的几何关系和竖直圆周的临界条件。

@研大题-梃能力4

题型一平抛运动

Or【例。

[例1]（2024•辽宁葫芦岛•二模）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼

竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在。位置开始甩竿，鱼饵被甩至最高点b时

迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b水平距离s=22.5m的水面上。鱼饵的质量为机=

0.02kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕。点转动，且。离水面高度〃=1.55m,。到鱼竿末端鱼饵

的距离A=2.5m,鱼饵从6点抛出后，忽略鱼线对其作用力和空气阻力，0a,均视为直线，重力加

速度g取lOm/s"求：

(1)鱼饵在6点抛出时的速度大小；

(2)释放鱼线前，鱼饵在6点受鱼线作用力的大小和方向。

【答案】(1)25m/s；(2)4.8N,竖直向下

【解析】(1)鱼饵在b点做平抛运动，竖直方向有

r,12

L+h=-gt

水平方向有

s=vt

联立可得，鱼饵在b点抛出时的速度大小为

v=25m/s

(2)鱼饵在b点受重力和鱼线的拉力，由牛顿第二定律

v2

F+mg=m—

代入数据解得，鱼饵在b点受鱼线作用力的大小为

F=4.8N

方向竖直向下。

r

瞎

特靛4平抛运动的公式

1、速度

(1)分速度：水平分速度：匕=%;竖直分速度：vy=gt

(2)合速度：大小：n==Jn；+(g/)~；方向：tan6=」=维

匕%

2、位移

1、

(1)水平分位移：x=vot竖直分位移：y=-gt~

L

(2)合位移：大小：s=Jx"+y~；方向：tan(X=—=——

x2v0

3、平抛运动的两个重要推论

(1)速度偏向角与位移偏向角的关系

做平抛运动的物体，其末速度与水平方向的夹角为仇位移与水平方向的夹角为a,则tan£=2tana。

(2)平抛物体速度反向延长线的特点

做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

雪式

1.(2024・新疆•一模)2024年巴黎奥运会，中国选手郑钦文力克对手夺得冠军，为中国赢得首枚奥运网球

单打金牌。现将某次击球过程简化，如图所示。网球在离水平地面高为2=0.6m处被击出，初速度方向与

水平方向的夹角。=37。，一段时间后网球刚好能水平飞过离水平地面高4=2.4m的位置，不计空气阻力,

取重力加速度大小g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求：

(1)该过程的时间；

(2)初速度的大小。

【答案】(D0.6s(2)10m/s

【解析】(1)网球在竖直方向上做匀减速直线运动，最高点竖直分速度恰好为0,则有

%-%=渣厂

解得

t=0.6s

(2)网球离手时，竖直方向上的分速度大小为

v=g£=10x0.6m/s=6m/s

所以

v='=£m/s=10m/s

sin3700.6

2.(24-25高三上•辽宁大连•期中)直升机因为有许多其他飞行器难以办到或不可能办到的优势(如可以垂

直起飞降落，不用大面积机场)，所以受到广泛应用，主要用于观光旅游、火灾救援、海上急救、缉私

缉毒、消防、商务运输、医疗救助、通信以及喷洒农药杀虫剂消灭害虫、探测资源等国民经济的各个部

门。如图是在某次救灾中直升机沿水平方向做匀加速运动时的情境，不计空气阻力，悬挂箱子的绳子长

Z=10m,与竖直方向的夹角保持为10。，此时箱子距水平地面高20m,sin10°=0.174,cosl0°=0.984,

tanl0°=0.176,g取lOm/s2,箱子可以看作质点。求：

(1)直升机的加速度。的大小；

(2)某时刻直升机上仪表显示飞行速度为100km/h,若此时有一可以看作质点的小物体从箱子中掉落,

直升机仍以上述加速度运动，小物体落在水平地面时距直升机上。点的水平距离"的大小。

【答案】(1)1.76m/s2(2)5.26m

【解析】(1)对箱子受力分析，由牛顿第二定律

ma=mgtan6

解得

a=1.76m/s2

(2)依题意，小物体从箱子中掉落后，做平抛运动，初速度为100km/h,下落高度为20m,则有

,12

h=2gt

直升机自此之后做初速度为100km/h,加速度为1.76m/s?的匀加速直线运动，取小物体为参考系，则小

物体落在水平地面时距箱子的水平距离为

L=-at2

2

可得小物体落在水平地面时距直升机上O点的水平距离的大小

d=1sinlO°+Z/

联立，解得

d=5.26m

3.（24-25高三上•黑龙江•阶段练习）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。2024年5月，借

助配重小车进行弹射测试，若测试时，福建舰始终静止，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直线运

动，经5s落到海平面。小车运动轨迹如图所示，甲板距海平面高度为20m,小车的落水点到航空母舰

前端水平距离为132m。不计空气阻力，小车可视为质点，g取lOm/s?,求:

（1）小车离开航空母舰时的速度大小;

（2）小车在电磁驱动过程中加速的距离。

【答案】（1）66m/s（2）99m

【解析】（1）设小车离开甲板后做平抛运动的时间为4,水平方向上有

x-vt1

竖直方向上有

,12

h=2gt'

解得

%=2s,v=66m/s

（2）小车在甲板上加速过程中，有

」O+V/工

d=^~（£一，1）

解得

d=99m

题型二斜抛运动

【例1】（2024•辽宁本溪•一模）甲、乙两位运动员在体育场进行投掷标枪训练。甲

站在/点，将标枪以W=25m/s的初度沿与水平方向间夹角。=53。方向掷出，乙站在3点，将标枪以某

一初速度匕水平掷出，两支标枪都在水平地面上的C点插入地面。甲投掷标枪投出点的高度％=4.2m,

乙投掷标枪投出点的高度〃2=L8m,A、3两点间的距离x°=51m,两标枪的飞行轨迹如图所示。不计

空气阻力,重力加速度g=10m/s"求:

(1)甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度〃；

(2)甲掷出的标枪在空中运动的时间才；

(3)乙掷出的标枪初速度匕的大小。

【答案】(1)24.2m(2)4.2s(3)20m/s

【解析】(1)甲做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，利用逆向思维有

(匕sinOp=2gh0

甲掷出的标枪在飞行过程中离地面的最大高度

H=h0+ht

解得

H=24.2m

(2)甲做斜抛运动，竖直方向做竖直上抛运动，则有

-hi=VjSin^

解得

t=4.2s

(3)做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，则有

X]=V1cos0-t

结合题意可知，乙水平分位移为

乙做平抛运动，则有

%=V2Zj

解得

v2=20m/s

r

;瞎斜抛运动的基本规律

!~I-~-X*

：：

।1**­1*

------S-------

|1、速度：水平速度：vx=v0cos0；竖直速度：vy=v0sin0-gt

2

|2、位移：水平位移：x=vGtcos0；竖直位移：y=vQtsm0--^gt

g2

!3＞轨迹方程：y=xtan0——??x,是一条开口向下的抛物线。

12v；cos20

'4,最大高度和射程

sin0r,“目一日

（1）到达最大高度时，物体在竖直方向的分速度为零，故t=------,则最大局度

g

2

1,12vnsin0

■h=-gt-=」------o

I2S2g

1

；（2）当物体在竖直方向上的位移为零时，物体到达最远点，此时有＞=二%sin0-t--gt72=0,解得

!_2v0sin0

*t—o

jg

由此得射程S=vt=vcose-，vsin26＞。由上式可知当。二

x02%sin=«二45。时，射程最大。

gg

南

1.（2025•安徽马鞍山•一模）如图所示，将一篮球（可视为质点）从水平地面上方5点以吨=10m/s的速度

斜向上抛出，抛出时速度方向与水平方向成内37。角，篮球恰好垂直击中竖直篮板上/点，取：

sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取lOm/s?,己知/点距离水平地面的高度为3.2m,不计空气阻力。

求：

一乳B

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

(1)/、2两点间的水平距离；

(2)8点距离水平地面的高度。

【答案】(1)4.8m(2)1.4m

【解析】(1)篮球做斜上抛运动，在竖直方向有

「sine=gf

所以

t—0.6s

水平方向有

xAB=v0cos0•t

解得

xAB=4.8m

(2)竖直方向有

1・八

yAB=-vosin<9^

解得

加=1.8m

B点距离水平地面的高度

h=3.2-yAB=1.4m

2.(23-24高一下•吉林四平•期中)篮球作为世界三大球类运动之一，深受学生们的喜爱。在一次校园篮球

赛中，一同学进行投篮，如图所示，篮球离手时，速度的方向与水平方向成53。角，篮球在下落过程中

进入篮筐。己知最高点到篮球离手点和篮球进篮筐点间的水平距离分别为北和空，篮球质量为小，不

计空气阻力，忽略篮球及篮筐大小的影响，重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6„求:

(1)篮球离手时的速度1的大小以及篮球从离手到进入篮筐的过程在空中飞行的时间t；

(2)篮球进入篮筐时的速度与水平方向间夹角的正切值；

(3)篮球从离手到进入篮筐的过程中重力做功的功率大小。

【解析】(1)由逆向思维，可以将篮球离手到最高点的过程看成是从最高点平抛到离手点的逆过程，则

由平抛规律可得此时速度的延长线交于水平位移的中点，设离手点到最高点间的高度差为则有

tan53。=与

解得

H=2L

则在竖直方向有

(%sin53°『=2g〃

解得

v0=

篮球在水平方向做匀速直线运动，则整个过程经历时间为

5L

t=------------

%cos53°

解得

(2)从最高点到进入篮筐经历时间为J则有

2L4L

4=

v0cos5303yg

则进入篮筐时篮球竖直方向的速度大小为

,4向

Vy=^=~^-

设此时速度与水平方向间的夹角为二，则有

tag」8

v0cos5309

（3）设篮筐到最高点的高度为力，有

h

tana--

L

解得

则从离手到进入篮筐，篮球重力做功为

W=-mg（H-h）=-^-mgL

故整个过程篮球重力的功率大小为

\W\mgy/gL

1----=----------

3

3.（24-25高三上•山东潍坊•开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生活

垃圾（可视为质点），当以％=2m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路沿

平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d/=0.3m,垃圾桶最近边距路沿垂直距离4=0.2m。骑

行至距垃圾桶桶口/点的直线距离乙=1.3m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线

方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口/点落入桶内。已知垃圾桶口为正方

形，边长s=0.4m,桶口距地面高度7/=1.5m,抛出点距地面高度〃=1.2m。可将垃圾包、车辆、人

看作质点，忽略空气阻力的影响，g=10m/s2o求:

路

沿

；

(1)抛出后，垃圾包在空中运动的时间；

(2)垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小；

(3)若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？

【答案】(1)r=0.6s(2)v=叵3(3)储

6256

【解析】(1)垃圾包抛出时，由于惯性的原因，在沿电动车行进的方向上，垃圾包的速度与车辆一致,

v0=2m/s,匀速运动，由勾股定理可知，垃圾包沿电动车行进方向上运动的位移

=JZ?—(4+d2)

再=卬

解得

t=0.6s

(2)垃圾包实际运动轨迹为抛物线，将该运动分解为平行地面运动和垂直地面向上的运动。

①平行地面方向且与路沿平行的速度％=2m/s,运动时间”0.6s。平行地面方向且与路沿垂直方向上

的位移为乃，则

x2=dl+d2=0.5m

x2=v/

解得

5/

v.=—m/s

16

与地面平行方向的速度

v2=M+.二，m/s

o

②垂直地面向上的方向：竖直方向为初速度为巧，加速度为g，位移为0.3m的匀变速直线运动，则

2

H-h=v2t--gt

解得

7,

%=—m/s

32

盯和V3合成即为垃圾包抛出时的对地速度，即

vv2

V对地=7t+3=^-m/s

(3)由上题可知

当"Is时取极小值，垃圾包在空中运动的最短时间小=0-6s,垃圾包在空中运动的最长时间

%

由上述分析可知，运动时间越长，打越大，上升高度越大，将，、=0-8s式代入

可得最大的竖直速度

因此最大竖直上升高度为

题型三水平面内的圆周运动

【例1】（2024•黑龙江哈尔滨•二模）如图所示，在足够大的转盘中心固定一个小物块B,距离中心为

%=0.2m处放置小物块A。A、B质量均为〃?=lkg,A与转盘之间的动摩擦因数为4=0.5。现在用原

长为d=0.2m、劲度系数左=40N/m的轻质弹簧将两者拴接，重力加速度g=lOm/sz,假设弹簧始终处

于弹性限度以内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：

（1）缓慢增加转盘转动的角速度，求A即将打滑时的例；

（2）若小物块B解除固定状态，B和转盘间动摩擦因数为〃2=。-2,现将转盘角速度从0开始缓慢增大,

为了保证B不打滑，求满足条件的转盘角速度你的大小范围。

BEDAMWWWCI

【答案】(1)5rad/s；(2)cox<2>/7rad/

【解析】（1）设盘的角速度为例时，物块A将开始滑动，则

=mroa\

代入数值解得A即将打滑时

a）x=5rad/s

（2）若小物块B解除固定状态，则物块刚好滑动时弹簧拉力为R则对B有

F=4加g

由胡克定律可知

F=k（r-r0）

可得

r=0.25m

对A受力分析，为了保证B不打滑，则有

F+4】mg>mcofr

可得

<2V?rad/s

【例2】（2024•辽宁•一模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为R=lm的圆盘，圆盘与餐

桌在同一水平面内且两者之间的间隙可以忽略不计。服务员一边转动圆盘，一边把餐盘放在圆盘边缘。

餐盘的质量为相，与圆盘之间的动摩擦因数为4=04,与餐桌之间的动摩擦因数为〃2=。2。设最大静

摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g（g=10m/s2）。

（1）为使餐盘不滑到餐桌上，求圆盘的角速度。的最大值。

（2）摆放好餐盘后缓慢增大圆盘的角速度，餐盘同时从圆盘上甩出，为使餐盘不滑落到地面，求餐桌

半径4的最小值。

【答案】（1）2rad/s；（2）也m

【解析】（1）餐盘不滑到餐桌上，当圆盘的角速度达到最大值时，恰好由圆盘对餐盘的最大静摩擦力提

供圆周运动的向心力，则有

—mco1R

解得

*管=2rad/s

（2）当餐盘从圆盘上甩出时，餐盘的速度

0M=2m/s

随后，餐盘在餐桌上做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有

jU2mg=ma

餐盘速度减为0过程，利用逆向思维，根据速度与位移关系式有

Vo=2ax0

当餐桌半径4取最小值时，根据几何关系有

R；=R2+X1

解得

&=y/2m

I-------

!喳

水平面内的圆周运动模型的临界问题

题干信息图示特征解题思路

若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当物体

咛

“物体刚要静摩擦力提供向刚要滑动时，Ffmax=jumg=marr,临界

滑动时”心力

角速度为0=小匠

//

（我小球

“物体运动圆盘与小球角速小球稳定运动时，由绳拉力和摩擦力的合力

稳定”度相同提供向心力，小球竖直方向合力为0

\水平圆盘几

、"一一一J

唐

1.（23-24高一下•福建泉州•期中）如图所示，倾角方30。的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,

斜面最低点在转轴。Q上。将质量为根的小物块（可视为质点）放置于斜面的顶端，斜面底面长为人

小物块始终和斜面相对静止；已知小物块与斜面之间动摩擦因数为立，重力加速度为g,最大静摩擦

4

等于滑动摩擦力；求：

（1）当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度g为多少？

（2）要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的角速度取值范围是多少？

【答案】（1）

【解析】（1）当小物块不受摩擦力时

mgtan30°=mco^L

解得

（2）当小物块刚要沿斜面下滑时，受力分析如图

水平方向

Nsin30°-〃Ncos30°=

竖直方向

Ncos30°+〃Nsin30°=mg

解得

0『夜

当小物块刚要沿斜面上滑时，受力分析如图

水平方向

Nsin300+juNcos300=ma＞；L

竖直方向

Ncos30°=〃Nsin30°+mg

解得

则要使小物块不下滑，水平转台的角速度取值范围

2.（23-24高一下•山东临沂•期中）“疯狂大转盘”在游乐场中是很常见的娱乐设施。现在简化模型平面图如

图所示，大转盘的最大半径为七大转盘转动的角速度。从。开始缓慢的增加。大转盘上有两位游客A

D

和B,分别位于距转盘中心§和7?处。为保证安全，两游客之间系上了一根轻质不可伸长的安全绳。游

客和转盘之间的最大静摩擦力为游客自身重力的左倍，两游客的质量均为相，且可视为质点，重力加速

度为g。求：

（1）当绳子开始出现张力时，转盘的角速度

（2）当转盘的角速度增加到q时，游客A受到转盘的静摩擦力大小；

（3）游客A、B相对转盘保持静止，安全绳上的最大张力。

【答案】(1)软=糕；(2)^kmg；(3)等

【解析】(1)由题可知，A、B具有相同的角速度，根据向心力公式

rJ—I=mco2r

可知角速度相同时，圆周运动半径越大，向心力越大；B的圆周半径较大，当B达到最大静摩擦力时,

绳子即将产生拉力，此时对B有

kmg=mco^R

解得

(2)由于例＞外,所以此时绳子有张力，设绳子张力为(，贝对B

7]+kmg=mco；R

对A,根据牛顿第二定律

r_2R

Tx

JA~T\二加①Iy

解得

,2,

A=~kmg

(3)设安全绳上的最大张力为骞，此时加速度为例，则与(2)同理分析AB,可得

Tm+kmg=ma^R

hng_Tm=mco：x[

解得

kmg

m"T"

题型四竖直平面内的圆周运动

典行【例1】（2024•辽宁大连•二模）如图所示，竖直平面内的轨道由直轨道N2和半圆

弧轨道2C平滑连接组成，C点为半圆弧轨道最高点。小球从直轨道上的/点由静止开始滑下，/点距

轨道最低点的竖直高度为。=2.6m,滑到轨道底端后又滑上半径为R=0.4m的半圆弧轨道（不考虑经过

连接处的速率变化），小球质量为加=0.2kg。（g=10m/s2）

（1）若接触面均光滑，求小球滑到C点时速度和对轨道的压力。

（2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N,求全过程中克服摩擦力做的功。

【答案】（1）6m/s；16N；竖直向上；（2）3J

【解析】（1）若接触面均光滑，小球从4点到C点过程，根据动能定理可得

mg(fi.2R)=gmvf

解得

匕=6m/s

在。点，根据牛顿第二定律可得

N+mg=m

R

解得

N=16N

根据牛顿第三定律可知，小球滑到。点时对轨道的压力大小为16N,方向竖直向上。

（2）若接触面不光滑，小球运动到C点时对轨道的压力为1N,在。点，根据牛顿第二定律可得

,,V；

Nr+mg=m比

解得

v2=V6m/s

小球从A点到。点过程，根据动能定理可得

mg[h-2R^-W{=gmvf

解得

W{=3J

r

瞎回四竖直平面内的圆周运动模型的临界问题

绳模型杆模型

球与绳连接、水流星、沿内轨道运动

实例球与杆连接、球在管道中运动

的“过山车

最高点无支撑最高点有支撑

套环

图示,绳上,先清血，［杆光滑

管道

除重力外，物体受到的弹力方向向下除重力外，物体受到的弹力方向向下、等

受力特征

或等于零于零或方向向上

金"-—

最八

受力示意图mg，mgmg

.0.0•0・o.0

高F、可能向下八可能为零人可能向上人可能向下人可能为零

点

V2v2

力学方程mg+氏二掰——mg±r^=m——

rr

尺=0，Vmm=7F

临界特征竖直向上的尺,=Mg,Vmin=0

过最高点条件vN而v>0

磨m

1.（2024•辽宁丹东•一模）某兴趣小组模拟一个娱乐设施做如下实验：轨道N2CD图所示，竖直固定在水平

地面上。已知倾斜轨道48与水平面的夹角。=37。，A点距地高度力=0.3m,水平轨道8C与左侧半圆轨

道切于C点，BC长0.2m,半圆轨道光滑，半径R=0.2m,倾斜轨道/3、水平轨道与小物块间的动

摩擦因数〃=0.5,g=10m/s2o设小物块通过倾斜轨道底端B点速度大小不变，现将加=01kg的小物块

P(可视为质点)从倾斜轨道上A点以初动能Ek°=0.8J释放。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)则

(1)判断小物块P能否运动到半圆轨道的最高点D；

(2)若C点另放置一个"?=0」kg的小物块Q(可视为质点)，P与Q碰撞后粘在一起，求整体沿斜

面上升的最大高度及最终停下来的位置与8点的距离。

【答案】(1)见解析；(2)0.06m,0.04m

【解析】(1)从/到C的过程中，由动能定理得

mghfmgXB「〃mgcos，$=g〃诧-Ek。

解得

vc-4m/s

从。到。的过程中，由动能定理

解得

vD=2后m/s

恰好到达最高点D的临界速度为%M,由牛顿第二定律

V2.

mg=

R

解得

=酒=V2m/s

因为

V

D>Vmin

所以小物块P能到达半圆轨道最高点。

(2)P与Q碰撞过程中，由动量守恒定律

mvc=2mv

解得

v=2m/s

对PQ物块由机械能守恒定律

2mgh'=—x2mv2

解得

h'=0.2m=R

所以P与Q碰撞后恰好运动到与圆心等高的位置，不会脱离轨道，则从C点再次到达斜面最高点过程,

由动能定理

2

-^-2mg^xBC+-^^-mghl=Q-^x2m-v

解得

%=0.06m

从最高点到停止运动的过程中

mgh-/Mg—-/Jmgx=0

{tan370

解得

x=0.04m

所以停在8左侧0.04m

2.(2025•新疆乌鲁木齐•一模)如图所示，一辆汽车在平直公路上向左匀速行驶，用长度』=0.4m的轻绳将

一质量加=0.2kg的小球悬挂于车厢顶部。将小球向右拉至轻绳与竖直方向成一定夹角时，小球相对于汽

车处于静止状态。释放小球，小球连续两次经过最低点时，相对于路面的速度大小分别为h=22m/s和

v2=18m/s,已知重力加速度g取lOm/s?。小球可视为质点，忽略空气阻力。求

(1)释放小球时轻绳与竖直方向的夹角

(2)轻绳对小球拉力的最大值臬。

【答案】(1)0=60°(2)4=4N

【解析】(1)取向左为正，设车的运动速度大小为v车，小球运动过程中相对于车的最大速度大小为%。

小球向左经过最低点时的速度

丫尸车+%

小球向右经过最低点时的速度

畛=丫车一匕

解得

vm=2m/s

以车厢为参考系，小球由释放至运动到最低点过程中，根据机械能守恒得到

mgZ(l-cos^)=~^mvm

解得

6=60°

（2）据牛顿第二定律小球运动到最低点时，有

F-mg=m

mL

解得

%=4N

3.（2024•四川成都•三模）我国正在大力发展冰雪运动，四川省境内有众多的山地滑雪场地，可以开展丰富

多彩的冰雪运动。如图所示，一位质量为机=60kg的可视为质点的运动员（包括滑雪装备）从半径为

R=8m、圆心为。的四分之一圆弧轨道上某处滑下，之后从轨道最低点/为竖直线）以％=10m/s

的水平速度离开轨道，最后落在水平地面上。/点离水平地面的高度为〃=5m,重力加速度大小取

2

g=10m/so

(1)运动员在/点时，求运动员对圆弧轨道的压力大小;

(2)如果忽略空气阻力，求运动员落地前瞬间的速度;

(3)由于空气阻力的作用，运动员落地前瞬间的速度大小实际为v'=14m/s,从N点到落地的过程中,

求空气阻力对运动员做的功。

【答案】(1)1350N(2)10V2m/s(3)-120J

【解析】（1）运动员在/点

4

解得

然=1350N

根据牛顿第三定律可知，运动员对圆弧轨道的压力为1350No

（2）根据动能定理

^mv2-^mv^=mgH

解得运动员落地前瞬间的速度

v=10V2m/s

（3）根据动能定理

mv，2

~加%2=mgH+/

解得空气阻力对运动员做的功

匕=—120J