2025年高考数学总复习专项突破练：立体几何（含答案）

专题检测4立体几何2025年高考总复习优化设计二轮专题

数学课后习题专题突破练含答案专题检测四（分值:150分）

♦学生用书P181

一'选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2024四川成都模拟）已知直线/的方向向量是a=（3,2,1）,平面a的一个法向量是n=（l,-1,-1）,则/

与a的位置关系是（）

A.l.LaB./〃a

C.l与a相交但不垂直D./〃a或lua

答案D

解析因为a=（3,2,l）,n=（l,-l,-l）,

所以a-n=3xl+2x（-l）+lx（-l）=0,

所以a_Ln.又直线/的方向向量是a,平面a的一个法向量是n,

所以Z〃平面a或/u平面a.

故选D.

2.（2024重庆模拟）正四棱锥的侧棱长为遮，底面边长为2,则该四棱锥的体积为（）

B.V3

c¥D.2V3

答案C

I27

解析因为正四棱锥的侧棱长为逐，底面边长为2,所以底面积为22=4,棱锥的高为J（遥）-（V2）=V3,

所以棱锥的体积为:x4xV3=手.

故选C.

3.（2024山东烟台一模）设a,b为两条不同的直线,a/为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若°〃0!,6〃0!,则a//b

B.若a,b与a所成的角相等，则a//b

C.若a-L^,a//a,b///，则a_Lb

D.若a_LS，a_La,b_L£,则a_Lb

答案D

解析平行于同一平面的两条直线可能异面，可能相交，也可能平行，故A错误；

a力与a所成的角相等，则。力可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误；

aLp,a〃%b〃艮则a,b的位置关系无法判断，故C错误；

因为aJ_£,a_La，所以a//[S或au£.又6_1_£,所以a_Lb，故D正确.

故选D.

4.（2024湖南长沙二模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便.已知蒙古包的造

型可近似地看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为

64兀平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）

A.（l12+16旧）兀平方米

B.（80+16g）兀平方米

C.（112+18g）兀平方米

D.（80+18V17）7t平方米

答案A

解析设底面圆的半径为厂米，则64兀=兀产，所以厂=8,所以圆锥的母线长为》22+8Z=2”7（米）,

所以该蒙古包（含底面）的表面积为Ttx8x2V17+2兀x8x3+64兀=112兀平方米）.故选A.

5.如图，在三棱柱ABC-A^Q中，过45的截面与AC交于点。，与BC交于点瓦该截面将三棱柱分成

体积相等的两部分，则冷（)

A,C.

A

B,

A，-3

八2-V3

C-D号

答案D

解析由题可知平面A1iE£）与棱柱上、下底面分别交于则AiBi〃ED,则即〃AB,可得

CDE-CiAiBi是三棱台.

设△ABC的面积为1,△（7£）£的面积为S,三棱柱的高为h,

贝岭.1%=9〃（1+5+岔），所以遮=

由△CDEs2XcAB,可得穿=吗=”.故选D.

ACVI2

6.（2024河北唐山一模）已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成的角为60。,则球表

面积与圆台侧面积之比为（）

A.2：3B.3：4

C.7：8D.6：13

答案B

解析设圆台上、下底面圆的半径为八,出母线长为/,球的球心为点。，半径为R.

如图,作圆台的轴截面A8CZ）,则四边形ABC。为等腰梯形，设圆。分别切梯形ABCD的边

AB,BC,CD,DA于点E,F,G,H.

由切线长定理可得所以即/=n+72.

因为NA3C=60°,所以GE=2R=lsin60°,r2-n=|z,

所以r2=3ri,7?=V3n,

所以'=4/=4x（brJ=三

S圆台Xri；+r20（4+3r。24

故选B.

7.（2024陕西渭南模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面四边形A8CD是正方形,PC=AB,E/分别为PD,BC

的中点，则下列结论一定正确的是（）

A.PB〃平面AEF

B.EE〃平面PAB

C.EFLPD

D.AF_L平面PBD

答案B

解析如图，记BD与AF的交点为点G,连接EG.

因为点尸为8c的中点,BC〃AD,所以ABFGsZX/MG,所以髭=啜=；.

又点E为的中点，所以直线尸8与EG相交.

又EGu平面AEF,所以P8与平面AEF有公共点，故A错误；

取PA的中点H,连接则EH=^AD,EH//AD.

1

又BF=^AD,BF//AD,

所以EH=BF,EH//BF,

所以四边形8年H是平行四边形，

所以EF//BH.

又EF（t平面PAB,BHu平面所以E尸〃平面故B正确；

连接PF,DF,若EFLPD,点、E为PD中点，则PF=DF.又CP=CD,所以四所以N£）b=/

PC£即CP_LCE由题可知点P的位置不确定，故C不一定正确；

显然AF与8。不垂直，所以AE与平面尸3。不可能垂直，故D错误.故选B.

8.（2024陕西西安二模）如图,在矩形A8C。中,AB=44D=3,尸,G分别在线段上,8尸=83=1,将4

BFG沿FG折起，使B到达M的位置，且平面PGM,平面ADCGF,则四面体ADFM的外接球的表面

积为（）

K""T

A.20TIB.20A/5TT

cC~100nc100V5n

答案A

解析设FG的中点为O,连接OD,MO.

由题可知为等腰直角三角形，所以MOLFG.

又平面/GM_L平面AOCGF,平面EGA/n平面AZ）CGF=G£MOu平面FGM,所以MO_L平面ADCGF.

由题可知,&尸=4。=3,4。_14尸,所以44。斤的夕卜心为。歹的中点,记为点N.

设四面体4DFM的外接球的球心为。，则QN_L平面AOE

在矩形ABCD中，易知/。£4=/8既；=45°,

所以DFLGF.

又DRGEu平面ADCGF,^以OM,DF,GF两两垂直.

以点E为坐标原点，分别以尸G,BD所在直线为x轴、y轴,以过点尸且平行于OM的直线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，则R0,0,0）,N|0呼,0,必孚。，与：.

设Q（0,苧）则而=（0,芋色丽=（弓，乎,竹）.

因为。知=。£所以|所|=|加所以Jl+俘=l|+|+（t-y）2,

所以得所以2（0,苧爷同=o,苧多,

所以I所I=声,即外接球的半径为有，

所以外接球的表面积为47rx（遥）2=20兀.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2023新高考H,9）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为为底面直径,/4尸8=120。,尸4=2,点C在底

面圆周上,且二面角PAC-。为45。,则（）

A.该圆锥的体积为兀

B.该圆锥的侧面积为4V3it

C.AC=2V2

□.△PAC的面积为

答案AC

解析由题意，可得PO_L平面AOC,/APO=gzAPB=60°,所以PO^PAcosZAPO^lAO^PAsinZ

如图，取AC的中点D,连接PD,ODMPD_LAC,O£>_LAC,所以ZPDO即为二面角P-AC-0的

平面角，所以NPOO=45°.

花血念空」7三二3&

因为ODu平面AOC,PO_L平面AOC,所以尸0_10。,所以4尸。。为等腰直南三角形,所以

OD=PO=\,PD=yf2.

对于A,圆锥的体积V=i-nx（遮）2义1=私故A正确；

对于B,圆锥的侧面积S=7txV3x2=2V^Tt,故B不正确；

对于（2川=2山1。2-。。2=2位,故C正确；

对于D,SAPAC=|XACXP£）=1X2A/2x/=2,故D不正确.

故选AC.

10.（2024贵州贵阳一模）如图，在正方体ABCD-A^BiCiDi中，点尸为线段4G的中点，点。为线段BQ

上的动点，则下列结论正确的是（）

A.存在点Q,使得PQ//BD

B.存在点。，使得尸。,平面ABiCiD

C.三棱锥Q-APD的体积是定值

D.存在点Q,使得PQ1AC

答案BD

解析如图1,在正方体488-43G5中，连接BQi.易知BD//B{D\.

图1

因为点尸为线段AiG的中点,四边形AiBiCiDi为正方形,所以点P为BD的中点，所以BiDiHPQ^P,

即BiDi与PQ不平行，所以BD与PQ不平行，故A错误；

如图2,连接AiB,易知A,B±ABi.由题可知5G_L平面ABB',因为A/u平面ABBXAX,^以AiB_L

81cl.

图2

又2iCinA8i=8i,8iCi,A8|U平面ABCi。,所以48_L平面A81C0,所以当PQ//AiB时,PQ_L平面

ABC1D易知当点Q为BCi中点时,PQ〃4B,故B正确；

如图3,连接A。,易知BCi//ADi.

因为Ann平面A尸£)=A,所以与平面AP。不平行，所以点。在线段BCi上运动时，点。到平面

APD的距离不是定值.又△APD的面积为定值，所以三棱锥Q-AP。的体积不是定值，故C错误；

如图4,易知AC±BD.由题可知8811.平面A8CZ),因为ACu平面ABCD,^以ACLBB\.

图4

又BD,BBiU平面BDDiBi,BDC\BBi=B,

所以AC_L平面BDDiBi.

又BPu平面所以AC_LBP,所以当点。与点B重合时，尸。_L4C,故D正确.故选BD.

11.（2024辽宁沈阳模拟）中国古建筑闻名于世，如图所示的中国传统建筑的屋顶的结构示意图为五面

体.若四边形ABCD为矩形,EF〃AB,AB=3EF=3AD=2，AADE与ABCF是全等的等边三角

形，顺）

B.五面体EFBCDA的表面积为6+10V3

C.AE与平面ABCD所成的角为45°

D.当五面体EFBCDA的各顶点都在球。的球面上时，球。的表面积为矍

答案ACD

解析如图1,可将该五面体分割成四棱锥E-AGJ。,三棱柱EGJ-FHL四棱锥三部分，其中G,H

是48的三等分点,/J是CD的三等分点.

因为所〃AB42=3E尸=3,△?!£»£1与△BC尸是全等的等边三角形，所以由对称性可知点瓦厂在平面

A8CD的投影分别为GJ,H/的中点，平面均垂直于平面A8CD易得四边形H/JG是矩形，所

以易证G”分别垂直于平面EGJ/印,所以几何体EGJ-FH/是直三棱柱.由对称性可知四棱锥E-

AGJD与四棱锥F-HBCI的体积相等.

因为GH_L平面EGJ,EGu平面EGJ,所以AG_LEG,由题意AE=2/G=1,所以EG=y/AE2-AG2=V3.R

理EJ±DJ.因为△AOE是等边三角形，所以AE=DE.

又因为AG=D/,所以Rt^AGE丝Rtz\DJE,所以EG=E/,即是等腰三角形，所以△EGJ的边GJ

上的高h=JFG2-(|(7/)2=VI所以五面体EFBCDA的体积V=2x|xAGxGJx/j+ixGJx/?xGH=2x

|xlx2xV2+^x2xV2*1=手，故A正确;

五面体EFBCDA的表面积S=2x|xAD2sin60°+ADxAB+2x|x(£F+AB)x£G=22xy+2x3+(l+3)x

旧=6+6遮，故B错误;

如图2,取GJ的中点K,连接KE,KA,则KE1平面ABCD,^以AE■与平面ABCD所成的角即为ZEAK.

因为sinNEAK卓=%/EAK为锐角，所以/EAK=45。,故C正确;

AE2

分别取ARABIC,CDEF中点尸,连接MN,P。,交于点。2,连接。。〜

由题可知，点。2为A/N,P。的中点,0102,平面A8CZ),OIO2_LEEMN_LP。,所以点。2为四边形ABCD

外接圆的圆心,。1。2为EF的中垂线,所以该五面体外接球的球心0在直线。1。2上.以点。2为坐标原

点,分别以02Mo2。,。2。1所在直线为x轴、y轴、Z轴，建立如图3所示的空间直角坐标系，则Fl

0,1,V21,|,0；，.设0((W),则不=(0,|,&-〃，布=(1)|,-Z).

由|而|=|加I,得lt2-2V2t+^=卜+■解得/=¥，所以00,0,¥1,0F^0,<,平),所以五面体外

74744424

接球的半径R=\0F\=+y=苧所以外接球的表面积为4兀RM兀xy=等，故D正确.

故选ACD.

三'填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知圆柱的底面半径为4,侧面面积为16兀,则该圆柱的母线长等于.

答案2

解析由题意可知圆柱的底面周长为2兀x4=8兀，所以该圆柱的母线长为好=2.

13.(2024江苏南通二模)已知二面角6(-//为直二面角,4€%86£,4&,84/,48与61/所成的角分别为

则A2与/的夹角为

D4

宏案U

口本3

解析如图，作A0_L/,8C_L/,分别交/于点Z),C连接BDAC.

因为a_LAan夕=/,AZ)ua乃。(=夕,所以A0_LA8C_La,AD,8C/两两垂直，所以N84C为A3与a所成的

角,ZABD为A3与万所成的角，即/BAC=]NA8。=：

64

以点。为坐标原点，分别以。AQC所在的直线为x轴、y轴,以过点。且平行于8C的直线为z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系.

设A5=2几相>0,则BC=mAC=WjnAD=BD=&m,所以=AA4c2_402=加，所以A(V2m,0,0),B(0,m,m),

所以AB=

易知/的一个方向向量为1=(0,1,0),所以cos<荏,1>=篙=券=去又<福1>6[o,J,所以

〈丽,1>=/即AB与I所成的角为看

14.(2024山东临沂一模)球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的

直径被截得的一段的长度叫做球冠的高;球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面，垂直

于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.如图1,一个球面的半径为尺球冠的高是/?,球冠的表面

积公式是S=2兀R〃，与之对应的球缺的体积公式是丫三口庐仃?初如图2,已知CQ是以为直径的圆

上的两点,乙40。=/8。。=押扇形coz>=6兀,则扇形C。。绕直线A5旋转一周形成的几何体的表面积

为，体积为.

图1

图2

答案72兀+36A/5TT144兀

解析因为NA0C=N500q,所以NOOC=7i-2x：5

设圆的半径为R,所以S扇形COD二2x兀相二6兀，解得R=6(负值舍去).

6

过点C作CE_L4B交A2于点E,过点。作。尸_LAB交AB于点£则

C£=OCs靖=3V5,OE=OCcos5=3,所以AE-R-0E-3.

同理可得DF=3®OF=BF=3.

将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径R=6的球上下截去两个球缺及其底面围

成的几何体所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高〃=3,圆锥的高吊=3,底面半径r=3V3.

其中一个球冠的表面积&=2兀=2兀x6x3=36兀，球的表面积S?=4兀R2=4兀x6?=144兀，圆锥的侧面积

S3=3A/3x6兀=18百11,所以几何体的表面积S=S2-2SI+2S3=1447t-2x367t+2x18V3n=72n+36V3TT.

其中一个球缺的体积Vi=|TT/I2(37?-/Z)=|nx3?x(3x6-3)=45兀，圆锥的体积X(3V3)2x3=27;r,球

3

的体积V3^-n：7?=|TTx63=288兀,

所以几何体的体积1/=丹-2%-2匕=288兀-2x4571-2x27兀=144兀.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)如图，直四棱柱A8CDA山CQ1的底面为平行四边形,MN分别为ABQOi的中点.

(1)证明:。加〃平面AiBN;

(2)若底面ABCD为矩形,A8=2AD=4,异面直线与4N所成角的余弦值为唱，求5到平面AiBN

的距离.

⑴证明如图，连接451,交AiB于点E,连接NE,ME,则点、E为人田的中点.

1

因为点〃为AB的中点，所以ME//AAi,ME^^AAi.

1

因为点N为DDr的中点，所以DN//AAi,DN^AAi,

所以ME〃DN,且ME=DN,

所以四边形EMON为平行四边形，

所以EN//DM.

又因为。环I平面AiBN,ENu平面A/N,所以。M〃平面AiBN.

(2)解因为直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面为矩形，所以AB,ADMi两两垂直.

以点A为坐标原点，分别以AB,ADAAI所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则2(4,0,0),0(0,2,0),M(2,0,0),所以丽=(2,-2,0).

设44i=2r(r＞0),则4(0,02),川(0,2,力乃1(4,0,2。,所以兀讨=(0,2,力.

设异面直线。M与4N所成角为0,

上4|

则cos0=|cos＜两布＞|=需箫==詈，解得f=l(负值舍去)，所以

^22+(-2)2^22+(-()2

Ai(0,0,2),N(0,2,1),21(4,0,2),中=(0,2,-1),所以布=(4,0,-2),西=(0,0,2).

设平面AiBN的一^个法向量为n=(x,y,z),

(ABn=4x-2z=0,

所以r取z=2,则x=l,y=l,所以平面AiBN的一■个法向量为n=(l,l,2).

□IN•九=2y-z=0.

设点Bi到平面48N的距离为d,则］=粤粤=^=孚，即点Bi到平面的距离为孚.

\n\V633

16.(15分)某市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”，计划将平顶房屋改为

尖顶，并铺上彩色瓦片.现对某幢房屋有A,B两种改造方案:如图1所示,A方案中坡顶为底面是等边

三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AAi与房屋长度等长，有两个坡面需铺上瓦片.如图2所示,B方案中

坡顶为方案A坡顶的两端削去两个相同的三棱锥而得，尖顶屋脊比房屋长度BBi短，有四个坡面

需铺上瓦片.若房屋长BBi=2a,宽BC=26,屋脊高为瓦要使铺设的瓦片比较省，则应选择A,B两种方案

中的哪一个？

图1

解要比较A,B两种方案铺设的瓦片量，只要比较2sAABO与SABO的大小即可.

如图，取BC中点瓦连接AE,DE.

由△ABC为等边三角形得,AE_LBC.因为三棱柱ABC-AiBiCr为直三棱柱，所以23_L平面ABC.又

AEu平面ABC,所以BB\LAE.

又2CnB8i=3,BC,BBiU平面SBCG,所以AE_L平面SBCG,所以所以h=Wb.

因为DB=DC,E为BC中点，所以OE_L8C.设AO=x,由题意知0<x<a,则DE=-jAE2+AD2=

V/i2+x2=3+3炉,所以SABCD寿CDE=b\x2+3b2,

11

SAABD=-AD'AB=/,2匕=bx,

sbyjx2+3b2

所以卫生2+竺

2S/\ABD2bx44/

2s2

当会>)，即入x>°时，威丝>1,即SABC»>2SAAB»,选方案A;当*=*即b=x时,S"C»=2SAABZ),两方

轨4乙'XABD4X4

案均可;

2

当<］，即b<x<a时,SABCZ)<2SAAB£>,选方案B.

综上，若AD长小于房屋宽度的一半，则图1尖顶铺设瓦片较省，即选方案A;若AD长等于房屋宽度的

一半，则图1与图2相同，两方案都可以;若长大于房屋宽度的一半且小于房屋长的一半时，则图2

尖顶铺设瓦片较省，即选方案B.

17.（15分X2024山东淄博一模）如图,多面体ABCAEF是由一个正四棱锥A-BCAE与一个三棱锥F-

AOE拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为3<2,AF//CD.

⑴在棱OE上找一点G,使得平面A8CL平面AFG,并给出证明;

⑵当AF=^CD时，求点尸到平面ADE的距离;

(3)若AF=gcr>,求直线。尸与平面A3C所成的角的正弦值.

解⑴当点G为。E中点时，平面ABCL平面AFC,

证明如下:因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥，所以AD=AE,^以AGLDE.

在正方形BCDE

在正方形BCDE中,CD_LBC,因为AF//CZ),所以AF±BC,又A/TlAG=AAEAGu平面AFG,所以BC±

平面AFG又BCu平面ABC,所以平面ABC_L平面AFG.

(2)如图，设。E中点为点G,连接B2CE交于点0,连接AO0G,则AF//0G.

又AF=?C。,所以0G=A凡所以四边形A0GF为平行四边形.因为四棱锥A-BCDE是正四棱锥，所以

A0_L平面BCDE.又OGu平面BCD及所以AO_LOG,所以四边形AOGB为矩形，所以AF_LFG.

因为A尸〃。G,OGJ_。及所以AF_LDE

又QEnFG=G,QE,FGu平面所以AF_L平面DEF.

2

又FG=AO=I(3V2)-(YX3/)2=3,所以VA.FDE=I-AF-jDEFG=gx誓Xgx3&x3=|.

设点尸到平面AOE的距离为//,则VF.ADE^VA-FDE=1^xfx(3或产力芸,所以仁次,所以点尸到平面

2342

AOE的距离为VI

(3)因为四棱锥A-8CAE是正四棱锥，所以OC,OD,OA两两垂直.

以点。为坐标原点，分别以OCODOA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，则A(0,0,3),8(0,-3,0),C(3,0,0),Z)(0,3,0)F(-l,l,3),

//：\\JK\

—■—y"太牛夕£

*y

所以a二(0,3,3),卞=(-3。3),而=(-1,-2,3).

设平面42c的一个法向量为n=(尤,y,z),则卜丝—3y+3z—0,

kn-CA=-3x+3z=0.

取z=1,则y=-l,x=1,所以平面ABC的一个法向量为n=(l,-l,1),设直线。尸与平面ABC所成的角为仇

贝IsinO=|cos<罚,11>|="型=二八=绛

11\DF\\n\V14xV321'

所以直线。尸与平面ABC所成的角的正弦值为富.

18.(17分)如图,在平行四边形ABCD中,。=60。。。=24。=2,将△&£)(7沿AC折起，使点。到达点尸位

置，且尸C_LBC,连接PB得三棱锥P-ABC.

⑴证明:平面尸A8_L平面ABC;

(2)在线段PC上是否存在点M,使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为於若存在，求出籍的值;若

不存在，请说明理由.

(1)证明由题可知/4尸。=60°,。=24尸=2,易证尸4_LAC,所以BC_LAC又尸C_L

8C/CnPC=CAC,PCu平面PAC,所以8C_L平面PAC因为PAu平面PAC,则PA_L8C.又

ACnBC=C,AC,2Cu平面ABC,所以E4_L平面ABC又PAu平面PA2,所以平面P4B_L平面ABC.

⑵解存在.

由(1)知,PA,BC,AC两两垂直，以点A为坐标原点,以过点A且平行于8C的直线为x轴，分别以AC,AP

所在直线为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0』),C(0,U,0),8(-l,y,0),所

以下=(0,0,1),PB=(-1,V31),PC=(0,V31),^5=(-1,V3,0).

ft

ilPM=APC=(0,V32,-/l),0<^<l,

则前=而+PM=(O,V32,1J).

设平面ABM的一个法向量为m=(x,y,z),

m-AB--x+V3y=0,

{m-AM-V32y+(l-A)z=0.

取y=1l,则z=V5/l,尤=V5；l-V5,所以平面ABM的一个法向量为m=(V32-V3,^-1,732).

设平面M8C的一个法向量为n=(a,6,c),

^(n-PB--a+V3b-c=0,

{.n-PC=y[3b-c=0.

令6=遍，则a=0,c=3,所以平面MBC的一个法向量为n=(0,遍,3).

因为平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为:，所以cos<m,n>=-^-=——竺"包==-|,

8Im||n|2摩后肃8

整理可得27r+24/1-28=0,

解得4=|或4=-昔(舍去)，

所以丽=|丽,所以震=|.

19.(17分)(2024山东济南一模)在空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+。=0,其中A,B,C,。eR,A2+"+c2M,且n=(A,氏C)为该平面的法向量.已知集合

P={(xj,3)||x|<l,|y|<l,|z|<l},<2={(x,y,3)||x|+|y|+|z|<2),T={(x,y,z)||x|+|y|<2,|y|+|z|<2,|z|+U|<2}.

⑴设集合M={(x,y,z)|z=0},记PCM中所有点构成的图形的面积为中所有点构成的图形的面

积为求Si和&的值；

⑵记集合Q中所有点构成的几何体的体积为ViJTlQ中所有点构成的几何体的体积为匕,求Vi和

%的值；

(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.

①求W的体积L的值；

②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小,并指出W的面数和棱数.

解⑴集合M={(x,y,z)|z=0}表示xOy平面上所有的点，尸={(尤,y,z)||尤表示(±1,±1,±1)这八

个顶点形成的正方体内所有的点./T1M可以看成正方体在xOy平面上的截面内所有的点，其为边长为

2的正方形，因此Si=4.

对于0={(尤,y,z)||尤|+|y|+|z|g2},当x,y,z>Q时Q+y+zS2表示经过(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)的平面与平面

xOy,xOz,yOz围成的部分.

由对称性可知。表示(±2,0,0),(0,±2,0),(0,0,±2)这六个顶点形成的正八面体内所有的点.QCM可以看

成正八面体在xOy平面上的截面内所有的点，其为边长为2爪的正方形，因此$2=8.

(2)由(1)可知VI=8X，X23=¥.如图，

63

3

当x,y,z>0时，尸CQ构成的图形为边长为1的正方体截去一个三棱锥后的几何体,其体积V3=l-

；X13=W由对称性可知匕=8g=%

663

(3)如图所示，即为T所构成的图形.

①其中正方体ABCD-IJML即为集合P所构成的区域.E-ABCD构成了一个正四棱锥，其中E到平面

ABCD的距离为2,

144

VE-ABCD=-X1X2X2=-,V3-VI+6VE-ABC£)-8+6X-=16.

②由题意知平面EBC方程为x+z-2=0,由题干定义知其法向量ni=（l,O,l）,平面ECD方程为y+z-2=0,

由题干定义知其法向量112=（0,1,1）,故COS〈H1,I12>==I.

由图知两个相邻的面所成角为钝角，故”相邻两个面所成角为了.

由图可知共有12个面,24条棱.

专题检测五（分值：150分）

・学生用书P193

一'选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（2024湖南长沙模拟）某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表所示，则这组数

据的中位数为（）

6-)1()

人数1：>2-11

A.2B.8

C.8.2D.8.5

答案D

解析将射击成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,所以其中位数为半=85故选D.

2.（2024福建龙岩一模）（1-1）（x+y）7的展开式中含力2的项的系数为（）

A.-91B.-21

C.14D.49

答案D

解析，丁1（%+y）7=Rx+y）7-（x+y）7.（x+y）7的展开式的通项为T^+l=CyX7'^,

44

则（x+y）7的展开式中含的项为八=阴%〉3=35；|；>3,含％5俨的项为乃=（；我5y2=21尤5y2,则,,—_J

a+y）7的展开式中含尤5y2的项的系数为2x35-1x21=49.故选D.

3.（2023新高考H,3）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学

生，则不同的抽样结果有（）

A"C400'C至o种

c.cl°o-c^

答案D

解析由题意，初中部和高中部总共有400+200=600（人），按照分层随机抽样的原理,应从初中部抽取

芸x60=40（人），从高中部抽取芸x60=20（人）.

第一步，从初中部抽取40人，有C瑞种方法，第二步,从高中部抽取20人，有C乳种方法，

根据分步乘法计数原理,一共有（48（）C至0种抽样结果.故选D.

4.（2024辽宁鞍山二模）某校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中

被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的青女生选学生物学的人数占女生人数

的|.若依据小概率值a=0.1的独立性检验，可以认为选学生物学和性别有关，则被调查的男生人数不

可能为（）

2

附二-----小出姐------苴中〃=q+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+dy八十0

0.00

a0.10.050.010.001

5

X2.703.846.637.8710.82

(1.61598

A.20B.30C.35D.40

答案A

解析零假设为国：选学生物学和性别无关.

设被调查的学生人数为2九则由题可得列联表如下.

选学情况

性4

选学生物未选学生物1=1

别计

学学

男4

-m1-mm

生55

女32

-m-mm

生55

合73

-m-m2m

计55

根据列联表中的数据，经计算得到*竺退岑*=弄

因为根据小概率值a=0.1的独立性检验，可以推断为不成立，即认为选学生物学和性别有关，所以

Z2次）.1=2706,即舞22.706,解得论28.413.

由题可知，加为5的倍数，所以加230且加为5的整数倍,故男生人数不可能为20.故选A.

5.（2024广东江门一模）已知9名女生的身高（单位:cm）平均值为162,方差为26,若增加1名身高为172

cm的女生，则这10名女生身高的方差为（）

A.32.4B.32.8

C.31.4D.31.8

答案A

解析设9名女生的身高分别为a,cm,i=l,2,…,9.

99

由题可知£0=9x162,2（%-162）2=9义26.增加1名女生后身高的平均值为

i=li=l

99

白（20+172）=（9x162+172）=163,所以这10名女生身高的方差为923663）?+（172-

10

1。i=i101=1

9999

163）2]=[{£[（a"62）-lp+8i}*{乞[Q-162）2-2Q-162）+1]+81}=1，（G,-162）2-2£（处

iUi=l1Ui=liUi=li=l

162）+9+81]=99x26+9+81）=32.4.故选A.

6.（2024广东佛山二模）劳动可以树德、增智、健体、育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动

实践比赛,已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名

次）的可能结果共有（）

A.12种B.24种

C.36种D.48种

答案B

解析依题意，排第1名，有玛种方法，排丁和戊，有A专种方法,排余下2人，有A'种方法，所以这5名同学的

名次排列（无并列名次）的可能结果共有禺A专A4=24（种）.故选B.

7.（2024华中师大一附中模拟）如图所示，已知一质点在外力的作用下,从原点。出发，每次向左移动的

概率为|,向右移动的概率为去若该质点每次移动1个单位长度,设经过5次移动后，该质点的坐标为X,

贝ijP（X>0）=（）

4；-21O4:一门

答案D

解析依题意，当X>0时,X的可能取值为1,3,5.

用y表示5次移动中向左移动的次数，则Y~B；5,|）,

•31

+C啕3（|）2喑故选口.

8.（2024广东湛江一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项,A和D是错

误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件〃="甲、

乙两人所选选项恰有一个相同"，事件"=“甲、乙两人所选选项完全不同"，事件乂="甲、乙两人所选

选项完全相同”，事件^="甲、乙两人均未选择B选项”，则（）

A.事件M与事件N相互独立

B.事件X与事件y相互独立

C.事件M与事件¥相互独立

D.事件N与事件y相互独立

答案C

解析由题可知尸（%）=装=|,P（N）=|11=纪（㈤=晶=^（n=|H='

C4C43L4C4。C4c4。C4c44

由题可知事件M与事件N互斥，所以P（MN）=0.又P（M）P（N）《，所以事件M与事件N不相互独立，故

A错误；

2

由题可知尸（xy）=品=

C4C4■1■4

因为p（x）p（y）=5,所以事件x与事件y不相互独立，故B错误；

由题可知尸@//）=鬻=i

因为P（M）尸（r）=,所以事件M与事件y相互独立，故c正确；

6

由题可知事件N与事件Y互斥，所以P（NY）=0.

1

又p（y）p（N）=5,所以事件N与事件y不相互独立，故D错误.故选c.

24

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024辽宁抚顺一模）采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预

测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所

示，则下列说法正确的是（）

上月比较无变化

9^2

加/2023*2月SJ|4J|SJ|S月UI1Q/IItJ112/1

12MIJI

A.图中前三个月的数据的平均值为49.9%

B.2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大

C.图中PMI指数的极差为3.8%

D.2023年PMI指数的75%分位数为50.1%

答案AB

解析对于A,根据题表中数据可知题图中前三个月的数据的平均值为

|x(47%+50.1%+52.6%)=49.9%,故A正确;

对于B,从题表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大,稳定性最差,

所以方差最大，故B正确；

对于C,易知题图中PMI指数的极差为52.6%-47%=5.6%,故C错误；

对于D,易知12x75%=9,可知2023年PMI指数的75%分位数为从小到大排列的第9项和第10项的

平均数，即四竿喳=50.15%,故D错误.

故选AB.

2

10.(2024云南保山模拟)若(1+2x)2°24=〃()+〃ix+a2X+…+^2期,则下列正确的是()

A.〃o=l

B.G()+〃I+…+。2024=3?°24

C.flo-ai+(l2-a3+…+々2024=1

D.QI-2〃2+3〃3+…+(-2024。2024)—■2024

答案ABC

解析令％=0,得“0=(1+2x0)2024=],故A正确；

令X=l,得〃o+〃l+…+〃2024=(1+2x1)2024=32024,故p正确；

令X=-l,得〃0-。1+〃2-。3+...+。2024=(1-2*1)2()24=],故Q正确；

由(l+2x)2°24=加+的工+^^+…+〃202涓°24两边同时求导，得?024x2x(1+2x)2°23=〃I+2。加+3〃3%2+…+2

024。2024^2°23,

令x=-l,得〃1-2〃2+3的+...+(-2024^2024)=2024x2x(l-2xl)2023=-4048,故D错误.

故选ABC.

11.(2024山西朔州一模)在信道内传输M,N,P信号,信号的传输相互独立，输入某一信号时，输出的信号

字母不变的概率为a(0<a<l),输出其他两个字母的概率均为竽.设事件加尸“输入信号

"输入信号MVNV',Pi="输入信号尸尸PP',P(M)=pi,P(M)=02,P(Pi)=P3,且pi+p2+03=l.设

事件。="依次输出河桥吠,则()

A.若输入信号则输出的信号只有两个M的概率为a2(l-a)2

B.P(ZWi)=a2(?丫

3

C.P(@Pi)=a(竽)

2api

D.P(Mi|Z))=

(3a-l)P]+l-a

答案BCD

解析因为输入某一信号时，输出的信号字母不变的概率为a(O<a<l),输出其他两个字母的概率均为

手，即输出的信号字母改变的概率为1-%且信号的传输相互独立,所以用X表示输入4个字母的信号

时，输出的信号中不变的字母个数,X~2(4,a),所以输入信号输出的信号只有两个M的概率为

P(X=2)=C/a2(l-a)2=6a2(l-a)2,故A错误；

2

心M尸需=哼应内竽)2,故B正确；

3

P(冽尸i)=需2=吧*=a(竽丫,故C正确；

rv17"3'乙/