2025年高考数学总复习《圆锥曲线》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《圆锥曲线》专项测试卷及答案

（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）

学校:姓名：班级：考号：

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

22

I.已知直线>=氐是双曲线二-二=1（">08>0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

ab

A.逅B.75C.瓜D.叵

55

2.若抛物线x=4y2上一点尸到焦点的距离为1,则点P的横坐标是（）

1517

A.—B.—C.0D.2

1616

3.若动点尸在y=2/+1上移动，则点p与点。（0,-1）连线的中点的轨迹方程是（）

A.y=412B.y=2x2

C.y=4x2+1D.y=2x2-1

4.已知抛物线C:/=6x,过点A（4,2）的直线/与抛物线C交于两点，若凉=丽，则直线/的斜率

是（）

A.-B.-C.-D.-

3432

2222

5.已知耳是椭圆G：土+匕=1和双曲线C2：=-与=l（a>0,b>0）的公共焦点，P是它们的一个公共点，

122ab

TT

且尸8=],则双曲线C2的离心率为（）

A.正B.75C.叵D.M

22

6.已知PG，%）是/：尤+丁-6=0上一点，过点尸作圆O：f+/=16的两条切线，切点分别为A,B,则

当直线A8与/平行时，直线AB的方程为（）

A.x+y=4B.x+y=8

C.3x+3y=16D.3%+3y=8

7.已知双曲线V-X=1的左右焦点分别为K，匕尸为双曲线在第一象限上的「点，若cos/"用=：’

3

则可巨祗=（）

第1页共22页

A.715B.2厉C.14D.15

22

2222

8.椭圆点+方=l(a>0,6>0,awb)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x+y=a+b,这个圆称

2

为椭圆的蒙日圆.在圆(x-4)2+(y-3)2=/(r>0)上总存在点P,使得过点P能作椭圆V+2_=1的两条相

互垂直的切线，贝卜的取值范围是()

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知双曲线C的两个焦点分别为耳卜2血,0),工(20,0),且满足条件"，可以解得双曲线C的方程为

/-产=4,则条件。可以是()

A.实轴长为4B.双曲线C为等轴双曲线

C.离心率为走D.渐近线方程为y=±x

2

2-

10.已知圆G：/+;/=9,C2:(x-l)+(y+l)=16,贝!]()

A.直线GG的方程为y=-x

B.过点(-3,-3)作圆G的切线有且仅有2条

C.两圆相交，且公共弦长为典

4

D.圆C2上到直线y=x的距离为2的点共有3个

11.已知抛物线口丁=2「宜「>0)的焦点为尸，准线与x轴的交点为过点加且斜率为左的直线/与抛

物线C交于两个不同的点A2,则下列说法正确的有()

A.当p=2,左=g时，|冏+但因=16

B.左

C.若直线AF,族的倾斜角分别为d6，则a+6=兀

D.若点A关于x轴的对称点为点A,则直线A3必恒过定点

12.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长

线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知

分别为双曲线C:1-y2=i的左，右焦点，过C右支上一点4(无。,％)(毛>君)作双曲线的切线交工轴

于点”，交y轴于点N,则()

第2页共22页

A.平面上点矶4,1),|A阊+|/回的最小值为收'一26

B.直线MN的方程为*0-3与0=3

C.过点匕作耳AM,垂足为则|。引=2(。为坐标原点)

D.四边形A耳叫面积的最小值为4

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆O:f+y2=4,过作圆。的切线/,则直线/的倾斜角为.

22

14.已知椭圆C:鼻+当=l(a>6>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,直线A3与直线％=-2。相交于点。，

ab

且点。到％轴的距离为。，则。的离心率为.

22

15.已知双曲线E:「-1=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为耳，「2,过左焦点写作直线/与双曲线交于A,

ab

B两点(B在第一象限)，若线段AB的中垂线经过点F?,且点F?到直线/的距离为氐，则双曲线的离心率

为.

22_

16.已知双曲线C：=-2=1(。>6>0)的焦距为2而，过双曲线C上任意一点P作直线4分别平行于

ab

两条渐近线,且与两条渐近线分别交于点M,N.若四边形Q0PN的面积为g，则双曲线C的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(10分)

已知点直线依->+4=。及圆C：Q-if+O2)2=4.

⑴若直线以7+4=0与圆C相切，求“的值.

(2)求过M点的圆C的切线方程.

18.（12分）

设椭圆石:1+%=1(">。>0)经过点：,半，且其左焦点坐标为(-L0).

(1)求椭圆的方程;

第3页共22页

（2）对角线互相垂直的四边形ABQ5的四个顶点都在E上，且两条对角线均过E的右焦点，求|AC|+忸。的最

小值.

19.（12分）

已知F是抛物线及丁=2处（p>0）的焦点，/（七,4）是抛物线E上一点，N（0,7）与点尸不重合，点厂关

于点Mr的对称点为P,且标•而=0.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）若过点（0,2）的直线与抛物线E交于A,B两点，求丽•丽的最大值.

20.（12分）

在直角坐标系xOy中，抛物线Y=4y与直线/：y=履+。（。>0）交于M,N两点.

（1）若M点的横坐标为4,求抛物线在“点处的切线方程；

⑵探究丁轴上是否存在点尸，使得当上变动时，总有NOPM=/OPN?若存在，求出尸点坐标；若不存在,

请说明理由.

21.（12分）

已知双曲线C：£-1=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为耳，F2,且|耳阊=4,C的一条渐近线与直线/：

ab

y=一^^］垂直.

3

第4页共22页

(1)求C的标准方程；

⑵点M为C上一动点，直线加片，“分别交C于不同的两点A,B(均异于点M),且砺=4用,

而及=质^,问:九+〃是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.

22.(12分)

设抛物线E:y2=2Px(p>0),过焦点F的直线与抛物线E交于点&(和％)、台优，%).当直线AB垂直于无轴

时，|的=2.

(1)求抛物线E的标准方程.

⑵已知点P(LO),直线AP、3P分别与抛物线E交于点C、。.求证：直线。过定点.

参考答案

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

22

1.已知直线>=区是双曲线=-*=l(a>0,6>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为()

cib

A.逅B.75C.屈D.叵

55

【答案】D

第5页共22页

【解析】由题意可知：=君，所以e，

ba

故选：D.

2.若抛物线x=4y2上一点尸到焦点的距离为1,则点尸的横坐标是（）

1517

A.—B.—C.0D.2

1616

【答案】A

【解析】工=4y化为标准形式为〉2=人故焦点坐标为（J,。],准线方程为x=

4116716

由焦半径可得辱+1=1,解得”善.

1616

故选：A

3.若动点尸在y=2/+i上移动，则点尸与点。（0,-1）连线的中点的轨迹方程是（）

A.y=4.r2B.j=lx1

C.y=4x2+]D.y=2尤2-1

【答案】A

【解析】设p。的中点为M（x,y）,P（%,%）,

x+0

x=-n----

x0=2x

y0=2y+l

即P（2x,2y+1）,又点P在曲线y=2/+l上,

所以2y+l=2（2x>+l,即y=4尤,，

所以P。的中点的轨迹方程为了=41.

故选:A

4.已知抛物线C：V=6x,过点A（4,2）的直线/与抛物线C交于两点，若丽4=丽，则直线/的斜率

是（）

A.-B.-C.-D.-

3432

【答案】D

【解析】设”（凡,为）,吹吃,%），则解=6%,瓷=6%2,

因为方位=丽，所以A（4,2）为MN的中点，

第6页共22页

所以y+%=4,

.二％一%二%一%二6二3

故直线I的斜率%yfyly+%2.

~6~~6

2222

5.已知居,8是椭圆G：工+工=1和双曲线C2：「-当一Ma〉。山〉。）的公共焦点，P是它们的一个公共点,

122ab

TT

且/月PR=1,则双曲线C2的离心率为（）

A.好B.y/5C.叵D.而

22,

【答案】A

【解析】因为和：］+9=1,有朋=3,依题意，由椭圆及双曲线的定义得:

附|+「局=46』尸周一归剧=2即闺词2=阀『+|尸局2=40,

由（阀1+1*y+（阀日咽y=2（阀「+附>80,

解得a=2应，而。=亚，所以双曲线C?的离心率e=£=少=@.

a2,22

故选：A.

6.已知P（%,%）是/：元+丁-6=0上一点，过点尸作圆。：/+y=16的两条切线，切点分别为A,B,则

当直线AB与/平行时，直线A3的方程为（）

A.x+y=4B.x+y=8

C.3x+3y=16D.3x+3y=8

【答案】c

22

【解析】因为以。尸为直径的圆的方程为。-尹+（〉苫）2=匕匕

又圆。：x2+y2=16,两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为x/+y°y=16,

第7页共22页

%+%-6=0

*=：,即得直线AB的方程为3尤+3y=16.

由“1，可得

---------二—i%=3

、%。

故选：c.

21

7.己知双曲线尤2一（=1的左右焦点分别为耳，F],尸为双曲线在第一象限上的一点，若cosN尸耳片=1,

则初时=（）

A.V15B.2A/15C.14D.15

【答案】C

【解析】依题意，椭圆长半轴长a=l,短半轴长方=石，半焦距c=2,则|尸耳|=2+|尸囚，

|w8|cos

在4PF岛中，|尸片『=|尸入『卡月『一？।PF2/尸耳片,

即有(1尸61+2)2=|尸6F+42-2|PFJX4X；,解得|帆|=2,则|尸耳|=4,即△尸耳鸟是等腰三角形,

J\P■丽耳扉11丽|cosNPFpz=4x4cos(7T-2APF2FX)=-16cos2ZPF2Fl

=-16(2cos2NPF/i-1)=-16[2x(1)2-1]=14.

故选：C

22

8.椭圆r亍v+方=1（。>0,6>0,。Wb）任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：x2+y2=a2+b2,这个圆称

为椭圆的蒙日圆.在圆红-4）2+行-3）2=/任>0）上总存在点尸，使得过点产能作椭圆/+[=1的两条相

互垂直的切线，则厂的取值范围是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【答案】C

2

【解析】根据题意可知椭圆/+匕=1的蒙日圆方程为一+丁=4,圆心为原点，半径为2,

3

圆。一4）2+（丁-3）2=/«>0）的圆心为（4,3）,半径为小

第8页共22页

贝U圆（X-4）2+（y-3）2=/r>0）与/+丁=4必有交点才符合题意,

即两圆圆心距1=J(4-0『+(3-0)2=5,

贝！]|—2|4dv|r+2|n/e[3,7].

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知双曲线C的两个焦点分别为耳卜2虚,0）,名（2血,0）,且满足条件。，可以解得双曲线C的方程为

*-9=4,则条件「可以是（）

A.实轴长为4B.双曲线C为等轴双曲线

C.离心率为正D.渐近线方程为1=土无

2

【答案】ABD

22

【解析】设该双曲线标准方程为=-当=1,贝UC=2A/L

ab

对于A选项，若实轴长为4,贝熊=2,.“'。2-标二心符合题意；

对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，贝！Ja=8,又c=20,a2+b2=c2=8,

可解得/=〃=4,符合题意；

对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；

对于D选项，若渐近线方程为1=±乙则。=6,结合/+。2=°2=8,可解得/=》2=4,符合题意，

故选：ABD.

222

10.已知圆G：/+y=9,C2:(x-l)+(y+l)=16,贝!]()

A.直线GG的方程为丁=一了

B.过点（-3,-3）作圆C1的切线有且仅有2条

第9页共22页

C.两圆相交，且公共弦长为反

4

D.圆C2上到直线'=尤的距离为2的点共有3个

【答案】AB

【解析】由题知，G（O，°），C2（I，T），

则直线GC2的方程为旷=-％,所以A正确；

因为G（o,o）,圆q半径为3,

过点（-3,-3）作圆G的切线有》=-3,'=-3两条，所以B正确；

X4-3<|C1C2|=A/1+T=A/2<4+3,

公共弦所在直线/为2x-2y+5=O,

圆心G至U/的距离为5L=述，

V4+44

所以公共弦长为2“9-（逑］=迤，所以C错误；

4

VIJ2

圆心C?到直线y=x的距离为&,4-a>2,

所以圆G上到直线y=X距离为2的点有4个，所以D错误.

故选：AB

11.已知抛物线。:丁2=20匹0>0）的焦点为/，准线与x轴的交点为过点M且斜率为左的直线/与抛

物线C交于两个不同的点则下列说法正确的有（）

A.当p=2次=g时，|网+|FB|=16

B.^e（-l,l）

C.若直线A尸,8F的倾斜角分别为©?，则a+£=n

D.若点A关于x轴的对称点为点A,则直线AB必恒过定点

【答案】ACD

【解析】设4（演,％），3（巧,%）.

对于选项A：当。=2时，抛物线方程为y2=4x,准线方程为：尸-1,点M（TO）.

当A=g时，过点〃的直线/方程为y=；（x+l）.

第10页共22页

联立方程组,整理得:x2—14%+1=0,

则%+%=14.

所以由抛物线的定义可得：|出+|EB|=(占+1)+(9+1)=16,故选项A正确;

对于选项B：当左=0时，直线/为无轴，此时直线/和抛物线只有一个交点，故选项B不正确;

对于选项C：由C:y2=2内(p>O)可得：点JF《,oJ,准线方程为x=/，点加[，,0

则直线/：y={x+^|J.

联立方程组I2),整理得：k2x2+(k2p-2p)x+^=0,

y2=2px

k1p-2p

x+x=-

i2k2

则O

%一°

因为L=tana%

2-l2-I

所以无"+%BF='V1+%

YP

占一5%一万

所以夕+£=无，故选项C正确;

对于选项D：因为点AQ,%)关于x轴的对称点为点A'(x“_y),

f#+幻+j小2+|]小+^

KA'F—_—__2__一，KBF--一

演-£西-£J^-PX2-P%上

12124%2-222

所以直线AF与BF的倾斜角相同，即A,F,B三点共线.

所以直线A3必恒过定点尸，故选项D正确.

故选：ACD.

12.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长

线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知

月，入分别为双曲线丁=1的左，右焦点，过C右支上一点4(龙”。乂无。>⑹作双曲线的切线交x轴

第11页共22页

于点M,交y轴于点N,则（）

A.平面上点3（4,1）,|伍|+|四|的最小值为用_26

B.直线MN的方程为%-3y%=3

C.过点与作耳”LAM,垂足为则|。”|=2（。为坐标原点）

D.四边形面积的最小值为4

【答案】ABD

【解析】对于A,由双曲线定义得|A耳H4图=2a=26，且耳（-2,0）,

贝U|Ag|+1A邳=|A司+1A邳一2指N忸周一2/=42如=质一2/，

所以的最小值为历一2■.故A正确；

对于B,设直线即V的方程为V-%=Q-M）,k力士与,

2

联立方程组j'UJ"；一"‘）’消去y整理得，（1-3/卜2+（6kx0-6ky0）x-3左飞+6日。％-3北-3=。,

.•.△=0,化简整理得9y/2-6X。%左+其=。，解得％=白，

“0

可得直线M2V的方程为>-%=并（彳-%）,BPxox-3yoy=3,故B正确；

对于C,由双曲线的光学性质可知，AM平分N£A&,延长久”与A工的延长线交于点石，

则A”垂直平分月E,即|明|=|的，H为月E的中点，

又。是久居中点，所以|0川=3优4=；传E|一恒工|）=（仍用一|4刃）=4=出，故C错误；

对于D,由直线M2V的方程为升了-3%、=3,令*=0,得>=--则

>01%J

+

%耳a=Sv—+Sv/2=]x|片用Xbo||^-|>-x4x2/|70|-|—|-=4,

当且仅当民卜亡，即%=±1时等号成立，

所以四边形A耳叫面积的最小值为4,故D项正确.

故选：ABD.

第12页共22页

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知圆。:/+9=4,过贝1,@作圆。的切线/,则直线/的倾斜角为.

5兀

【答案】三（或写为150。）

O

【解析】因为F+（6『=4,所以，点/在圆。上，直线。河的斜率为七=g2=6,

由圆的几何性质可知，OMLI,则直线/的斜率为无=-」=-3=-且,

k°MA/33

设直线/的倾斜角为夕，贝1]04。＜兀，则tanc=-且，故。=毛.

36

即直线/的倾斜角为57T?（或150。）.

6

5兀

故答案为：~（或写为150。）.

0

22

14.已知椭圆cj+方=1（。＞"0）的右顶点、上顶点分别为A,B,直线A3与直线x=-2a相交于点D,

且点D到无轴的距离为a,则C的离心率为.

【答案】迥自正

33

【解析】设直线x=-2。与x轴的交点为E,如下图所示：

则四=a,A（a,0）,B（0,b）,^\OB\=b,\OA\=a,

第13页共22页

易知V：VAR则D正E=而AE，所以z/>—a—（—2。）=3,

即2=(,所以e=£

a3a

故答案为：逆.

3

22

15.已知双曲线E:十方=1（八0,6>0）的左，右焦点分别为耳，用，过左焦点写作直线/与双曲线交于4

B两点（B在第一象限），若线段AB的中垂线经过点Fz，且点F?到直线/的距离为氐，则双曲线的离心率

设双曲线E的半焦距为c,c>0,忸闾=|伤|,根据题意得忸娟-忸闾=2a,

又|你卜|秋|=忸巴卜期仁勿，即卜1明1=4环设AB的中点为C,

22

在中，\CF2\=y/5a,\AC\^2a,\AF2\=^（2a）+（V5a）=3a,

则|A团=a,|Cf；|=3a,根据|C£『+|/「=|甲珠，

可知（3a>+（扃『=（2C）2,；e=£=半.

故答案为：画.

2

16.已知双曲线C：=-}=l（a>b>0）的焦距为2面，过双曲线C上任意一点尸作直线4，4分别平行于

ab

两条渐近线,且与两条渐近线分别交于点M,N.若四边形OMPN的面积为&,则双曲线C的方程为.

【答案】--^=1

42

【解析】因为双曲线。的焦距为2«，所以4+〃=6.

b

双曲线渐近线方程为y=±-％,即以土ay=O,

a

第14页共22页

设尸■，%),4&分另51为点尸至1&¥-纱=。和法+@=。的距离，

则尸到两条渐近线的距离之积

dd_\bxo+ayo\一今()|_k飞一°.；|_|飞一。2y寺_a2b2

12-/a2+b2'4a2+b2~y[a2+bT~/a1+bT~'

又ZMON=71-ZPNO=兀一ZPMO，

sinZPMO=,sinZPNO=幺,

PMPN

所以sinZMON=,sinZMON=&-,

PMPN

../“A—.-…八一.一二2sinZMOxcosZMOx

又smZMON=sin2ZMOx=2smZMOxcosZMOx=——-------------------------

sin2ZMOx+cos2ZMOx

2tanZMOxa_lab_lab

tan2ZMOx+1行+]a2+b2c2

aJ

22

所以PM・PN=——&——d2_ab

sinZMONsinZMON~c2sin2AMON

所以S'moMPN=PM.PN.sinZMON=—.—=-ab=^.

所以qb=2\/2-

因为a>〃，所以/=4,/=2.

所以双曲线c的方程为

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

已知点M（3,l）,直线“x-y+4=0及圆C:（x-l）2+（y-2f=4.

⑴若直线依-丫+4=0与圆C相切，求。的值.

(2)求过M点的圆C的切线方程.

第15页共22页

【解析】(1)圆心坐标C(l,2),半径厂=2,

若直线以-y+4=0与圆C相切，

一,〃+24

则圆心到直线的距离d=匕T=2,解得。=0或。=；.

yjl+a23

4

所以a=0或。=§.

(2)圆心坐标C(l,2),半径厂=2,

当直线的斜率不存在时，直线方程为x=3,

由圆心C(l,2)到直线尤=3的距离d=3-1=2=厂知，直线与圆相切.

当直线的斜率存在时，设方程y-l=k(x-3),即辰->+1-3左=0.

由题意知^~,",解得々J

yjl+k24

即直线方程为y-l=即3x-4y-5=0.

综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.

18.(12分)

设椭圆E-.^+^=l(a>b>0)经过点j半，且其左焦点坐标为(-1,0).

(1)求椭圆的方程；

(2)对角线互相垂直的四边形ABCD的四个顶点都在E上,且两条对角线均过E的右焦点，求|AC|+忸q的最

小值.

【解析】(1)因为椭圆E的左焦点坐标为(TO),

所以右焦点坐标为(1,0),c=L

又椭圆E经过点［'I，2，),

所以2〃=+Jg+=4,〜—C2=y/3.

—2寸

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（2）①当直线AC,血中有一条直线的斜率不存在时，|AC|+忸。=7.

②当直线AC的斜率存在且不为0时，

设直线AC的方程x=a+l,A（%,yi）,C（X2，y2），

由1得（3人以2+6衿9=。，

rI-6/—9

则%+必=门'乂%二门’

12（12+1

\AC\=yJl+t2-

3产+4

设直线.的方程为-%+1,同理得忸q=骼?

,,,,84（Z2+1V

所以AC+忸。=/2\J，

111（3产+4）（3+4产）

设加=r+1,则R>1,

2

111K『ci84m848448

AC+\BD\=------------------?=--——-------=--------------5------->—

则।।।।（3m+l）（4m-l）_J_+1+12_O_0\497,

点m一（『/J+彳

AQ

所以m=2时，忸力有最小值户.

AQ

综上，|AC|+忸q的最小值是;.

已知E是抛物线E：d=2py（p>0）的焦点，M5,4）是抛物线E上一点，N（0,7）与点尸不重合，点F关

于点Mr的对称点为P,且而?.标=0.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）若过点（0,2）的直线与抛物线E交于A,8两点，求可.而的最大值.

【解析】（1）:标•格=0，点N与点F不重合，...■ZVF_L7VP,%=6=7.

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•.,点/关于点M的对称点为P,

，2y“=小+%,（中点坐标公式）.

2x4=7+^,得p=2,

二抛物线E的标准方程为x2=4y.

(2)由(1)知产(0,1),

2

易知直线A8的斜率存在，设直线A8的方程为>=丘+2,代入/=4y,整理得，x-4fcv-8=0,

A=(T4-4X(-8)=16k2+32>0,

设4(%,%),3(%,%)，则%+9=4左=-8.

丽=(芯,％_：1),丽=(%，%_1)，

1

FA-FB=XjX2+(%—1)(%—1)=玉尤2+(例+1)(辰2+1)=(k+1)%赴+左(％,+尤2)+1

=-8(^2+l)+4A:2+l=^2-7,

当上=0时，丽.而取得最大值，为-7.

20.（12分）

在直角坐标系X0V中，抛物线炉=4y与直线/：、=丘+4（。＞0）交于M,N两点.

（1）若M点的横坐标为4,求抛物线在〃点处的切线方程；

⑵探究y轴上是否存在点尸，使得当上变动时，总有NOPM=NORV?若存在，求出尸点坐标；若不存在,

请说明理由.

【解析】（1）由已知，得M（4,4）,因为y=所以/=斜率左=；x4=2,

因止匕切线方程为y_4=2（x—4）,BP2x-y-4=0.

（2）存在符合题意的点尸（0,-。），理由如下：

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设点P（o,3为符合题意的点，M（占,%）4（心％），直线的斜率分别为

y=kx+a

联立方程,X2，得％2-4履一4a=0,

[y=­4

因为〃〉0,则A=16严+16〃>0,可得石=4%,%々=一4〃,

从而k_丁15+%8_丘1+〃一万+丘2+〃8

.X]x2X]x2

Q

2kxxx2+(a—Z?)(^+x2)一83+4A(—Z?)k(a+b)

2~^aa

因为女不恒为0,可知当且仅当办=-〃时，恒有勺+左2二。，

则直线与直线PN的倾斜角互补，故/OPM=/OPN,

所以点尸（0,-。）符合题意.

22

已知双曲线C：点-卓=1（。>0,"0）的左、右焦点分别为耳，F2,且闺词=4,C的一条渐近线与直线/：

y=一且x垂直.

3

（1）求C的标准方程；

（2）点M为C上一动点，直线加耳，加瑞分别交C于不同的两点A,B（均异于点M）,且函=2不，

而（=豆，问：2+〃是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.

【解析】（1）因为闺司=2c=4,所以c=2,

因为双曲线C的渐近线与直线/：>无垂直，

3

所以2=君，②

a

又。2=/+凡③

解得4=1,b=6，

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2

所以双曲线C的方程为炉-匕=1.

3