2025年高考物理复习疑难压轴：带电粒子在电磁场中的运动（原卷版）

疑难压轴3带电粒子在电磁场中的运动

1.（2024•浙江）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折

射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域I、II和III；I区宽度为d,存在磁感应强度大小

为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，II区的宽度很小。［区和III区电势处处相等，分别为⑦和

<pin，其电势差U=（pi-<pm。一束质量为m、电荷量为e的质子从。点以入射角0射向I区，在

p点以出射角o射出，实现“反射”；质子束从p点以入射角9射入n区，经II区“折射”进入

ill区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数

为N,初速度为vo,不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。

（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；

2

（2）若U=嚓求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）；

（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入H区发生“全反射”（即质子束全部返回I

区）；

（4）在P点下方距离包丝处水平放置一长为竺竺2的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长

eBeB

为吧，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对

eB

称，同时从O点射入I区，且9=30°,求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。

法线

2.（2024•海南）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域I分别与x轴和y轴相切于P点和S

点。半圆形区域n的半径是区域I半径的2倍。区域I、n的圆心。1、。2连线与x轴平行，半

圆与圆相切于Q点，QF垂直于X轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域III。区域I、II分

别有磁感应强度大小为B、色的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域I下方有一粒子源和

2

加速电场组成的发射器,可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到vo。改变发射器的位置，

使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度vo沿纸面射入区域I。已知某粒子从P

点射入区域I,并从Q点射入区域II（不计粒子的重力和粒子之间的影响）。

（1）求加速电场两板间的电压U和区域I的半径R；

（2）在能射入区域III的粒子中，某粒子在区域H中运动的时间最短，求该粒子在区域I和区域II

中运动的总时间t；

（3）在区域III加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里，电场强度的

大小E=BVO,方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域I、n射入区域m,进入区域in

时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小以及所在的位

3.（2024•浙江）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面

如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域之外，存在磁感应强度大小为B、方向垂直

平面向外的匀强磁场。在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度

均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L,

0）,栅极板M中点S的坐标为（3L,0）。离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m、

电荷量为q,b离子的比荷为a离子的［倍，经电压U=kUo（其中。。=与系，k大小可调，a和

b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电

压UNM调控（UNM>0）,a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和。忽

略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。

_L

工L-——»卜2»卜-----L——J

.QATTSJx

离子遐无口P.................-577»

N...............+°UNM

（l）若U=Uo,求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置xo（用L表示）；

（2）调节U和UNM,并保持使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求;

①U的调节范围（用Uo表示）；

②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；

（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。

4.（2024•北京）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的

放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，

间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。

稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度

大小分别为E和Bi；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视

为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可

与左端注入的氟原子碰撞并使其电离。每个氤离子的质量为M、电荷量为+e,初速度近似为零。

债离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。

已知电子的质量为m、电荷量为-e；对于氤离子，仅考虑电场的作用。

（1）求敬离子在放电室内运动的加速度大小a；

（2）求径向磁场的磁感应强度大小B2；

（3）设被电离的氤原子数和进入放电室的电子数之比为常数k,单位时间内阴极发射的电子总数

为n,求此霍尔推进器获得的推力大小Fo

5.（2024•镇海区模拟）如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源

可以沿纸面内与SO1（01为圆形磁场的圆心）的夹角为e（eW60°）的方向内均匀地发射速度为

vo=lOm/s＞电荷量均为q=-2.0义10一七、质量均为m=1.0义10-6kg的粒子，粒子射入半径为R

=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0X1（）5个粒子，圆形区域磁场方

向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系

统是由竖直宽度为L、且L在0WLW2R范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中

点与01始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、

场强E=0.625N/C,边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁

场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T,磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所

有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系

统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kv,

不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求：

（1）圆形磁场的磁感应强度Bo；

（2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数No；

（3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所

受的阻力f与其速度v关系为f=kv（k=0.2N-s-m-1）,求粒子在样品中可达的深度d；

测试平台

6.（2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿-y方向的匀强电场，其场强大小为Ei,曲线

左侧有一粒子源AB,B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为vo、质量为m、电

荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点

进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。

（1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）；

（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场Bi（未画出），磁场方向垂直纸面向外。

自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁

场，求磁场的最小面积；

（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁

场边界与y轴平行，宽度均为d,长度足够长。匀强磁场殳=篝，方向垂直纸面向里，匀强电

2

场为=瀛，方向沿X轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场Ei偏转后，恰好与

y轴负方向成9=45°从。点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴

平行）。

7.（2024•越秀区校级模拟）如图甲所示，两间距为d的水平放置的平行金属板M、N,M板某处C

放有粒子源，C的正上方的N板D处开有一个可穿过粒子的小孔.间距L=2d的平行金属导轨

P、Q与金属板M、N相连，导轨上存在一垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，一导体棒ab贴

紧PQ以一定的初速度向右匀速进入磁场.在ab进入磁场的瞬间，粒子源飘出一个初速度视为

零、质量为m、带电量为q的粒子，在M、N间加速后从D处射出.在N板的上方（并与D点

相切）有一个内圆半径Ri=d、外圆半径R2=3d的圆环形匀强磁场，其大小也为B、方向垂直纸

面向外，两圆的圆心O与C、D在一竖直线上.不计粒子重力，忽略平行板外的电场以及磁场间

（1）C处飘出的粒子带何种电荷？已知ab棒的速度为vo,求粒子到达N板时速度v；

（2）为了不让粒子进入内圆半径为R1的无磁场区域，试求出ab棒的速度vo最大值vom；

（3）若ab棒的速度只能是1/。=嚓，为了实现粒子不进入半径为R1的内圆无磁场区域，可以

控制金属导轨P、Q的磁场宽度（如图乙所示），求该磁场宽度S的范围.

2

8.(2024•江苏四模)如图所示，直线y=*x与y轴之间有垂直于xOy平面向外的匀强磁场区域H,

直线x=d与y=间有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度E=3X105V/m,另有一半径R二岑m

的圆形匀强磁场区域I,磁感应强度Bi=0.9T,方向垂直坐标平面向外，该圆与直线*=(1和*轴

均相切，且与x轴相切于S点。一带负电的粒子从S点沿y轴的正方向以速度vo进入圆形磁场

区域I,经过一段时间进入匀强磁场区域H,且第一次进入匀强磁场区域H时的速度方向与直线

y=1x垂直。粒子速度大小vo=3X1。5向§,粒子的比荷为里=1Xl()5c/kg,粒子重力不计。已知

4m

sin37°=0.6,cos37°=0.8,求：

(1)粒子在圆形匀强磁场区域_L中做圆周运动的半径大小；

(2)坐标d的值；

(3)要使粒子能运动到X轴的负半轴，则匀强磁场区域H的磁感应强度B2应满足的条件。

9.（2024•海安市校级二模）如图甲所示为质谱仪的原理图，加速电压为U。粒子源A持续释放出初

速度可忽略、比荷分别kl和k2的两种正电荷，kl>k2o粒子从O点沿垂直磁场边界方向进入匀

强磁场，磁场下边界放置胶片C。比荷为ki的粒子恰好打在距。点为L的M点，不计粒子重力

和粒子间的相互作用。求：

（1）磁感应强度B的大小；

（2）若加速电压存在波动，在（U-AU）到（U+AU）之间变化，在胶片上分开两种粒子，A

U的取值范围；

（3）如图乙所示，若比荷为ki的粒子进入磁场时存在散射角8=60。，粒子在2。范围内均匀射

入，现撤去胶片C,紧靠M点在其左侧水平放置一长度为0.4L的接收器，求接收器中点左右两

侧在单位时间内接收到比荷为kl的粒子数之比T]o

A

甲乙

10.（2024•镇海区校级模拟）如图甲所示，真空中存在一间距为d=0.02m的水平平行板电容器，板

长L=0.04m,板间电压为U、板间匀强电场方向向上，MN为一垂直上极板PQ的足够长的光屏，

其下端N与极板右端Q重合，在MN所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个

粒子源A,可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为区=1xl（）8c"g,初速

m

度为=1X1。5爪/5。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力

不计。

（1）为使粒子能够从极板间射出，求电压u的最大值；

（2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为Bi=0.05T,电压U可任意调节，则求粒

子击中光屏形成痕迹的长度AL；

（3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为B2=*T,电压U可任意调节，在极板右侧放置

另一块与MN平行的足够大的光屏CD,CD在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD上留下

所有痕迹的面积S；

（4）在满足第（3）间的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，其

场强大小E=誓义104N/C,在光屏上以D点原点（D点为光屏与FG直线的交点），垂直纸面

向内为x轴，竖直向上为y轴，水平向右的方向为z轴，建立如图乙所示的三维直角坐标系xyz。

光屏位置到G点的距离用K表示，现将光屏CD沿FG直线从G点开始从近到远依次放在不同

位置上，光屏CD始终平行MN,当光屏距G点为Ki与K2这两个位置时打在光屏上所有粒子的

点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场E,水平向右看光屏），其中图丙为

距离Ki时的图样，图丁为距离K2时的图样，则K1与K2这两位置相距多少距离？

甲乙丙

疑难压轴3带电粒子在电磁场中的运动

1.（2024•浙江）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折

射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域I、II和III；I区宽度为d,存在磁感应强度大小

为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，II区的宽度很小。［区和III区电势处处相等，分别为⑦和

<pin，其电势差U=（pi-<pm。一束质量为m、电荷量为e的质子从。点以入射角0射向I区，在

p点以出射角o射出，实现“反射”；质子束从p点以入射角9射入n区，经II区“折射”进入

ill区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数

为N,初速度为vo,不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。

（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；

2

（2）若U=嚓求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）；

（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入H区发生“全反射”（即质子束全部返回I

区）；

（4）在P点下方距离包丝处水平放置一长为竺竺2的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长

eBeB

为吧，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对

eB

称，同时从O点射入I区，且9=30°,求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。

法线

【解答】解：（1）根据题意，粒子从O点射入时的运动轨迹如图所示:

法线

粒子从0点射入，不出I区域的临界条件为2r=dmin

洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律Be%=血答

代入数据解得=2r=噜

(2)设水平方向为x方向，竖直方向为y方向，x方向速度不变，y方向速度变大，假设折射角

为。

11

根据动能定理Ue=2mvi-2mvo

2

由于uf

代入数据联立解得%=V2v0

设粒子射出区域n时与竖直方向成。'角，如图所示：

根据速度关系Vx=vosin0=visine,

根据折射定律n=鸣

sinO

代入数据联立解得“折射率”几=企

(3)在n区域下边界发生全反射的条件是沿竖直方向的速度为零；

1

2

根据动能定理Ue=0-2^(vocos0)

可得u=—鹫誉

即应满足UV-吟”

(4)分粒子全部打在探测板CQD和全部打不到探测板CQD两种情形；

根据数学知识M4PQ=器=甯x前/字

解得/CPQ=3O°

所以如果U20的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下:

①当UNO时，取竖直向上为正方向，根据动量定理F=2Nm[0-(-vy)]=2Nmvy

11

根据动能定理eU=2mry一2m（roC05^）2

解得F=2NmJ%+部

②全部都打不到板的情况，根据几何知识可知当从II区射出时速度与竖直方向夹角为60。时，粒

子刚好打到D点，水平方向速度为以=?

所以％=赢下=够%

11

2

根据动能定理eU=-^mVy-2^（vocos0）

2

代入数据联立解得u=-翳

2

即当UV—筌时，F=o

2

③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（-簧WUV0）,此时仅有O点右侧的一束粒

子能打到板上，因此F=Nmvy

11

根据动能定理eU=27n啰一2m3ocos6）2

代入数据联立解得尸=即\展+等。

2.（2024•海南）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域I分别与x轴和y轴相切于P点和S

点。半圆形区域n的半径是区域I半径的2倍。区域I、n的圆心01、。2连线与x轴平行，半

圆与圆相切于Q点，QF垂直于X轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域III。区域I、II分

别有磁感应强度大小为B、赖匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向夕卜。区域I下方有一粒子源和

加速电场组成的发射器,可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到vo。改变发射器的位置,

使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度vo沿纸面射入区域I0已知某粒子从P

点射入区域I,并从Q点射入区域II（不计粒子的重力和粒子之间的影响）。

（1）求加速电场两板间的电压U和区域I的半径R；

（2）在能射入区域III的粒子中，某粒子在区域H中运动的时间最短，求该粒子在区域I和区域II

中运动的总时间t；

（3）在区域III加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里，电场强度的

大小E=BVO,方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域I、n射入区域m,进入区域in

时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小以及所在的位

解得：U=^

粒子进入区域I做匀速圆周运动，根据题意某粒子从p点射入区域I,并从Q点射入区域n,故

可知此时粒子的运动轨迹半径与区域I的半径R相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力

Bqv0=m^~

解得：

(2)带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度vo沿纸面射入区域I,由(1)可得,

粒子的在磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径均为R,因为在区域I中的磁场半径和轨迹半径相等,

粒子射入点、区域I圆心O1、轨迹圆心粒子出射点四点构成一个菱形

由几何关系可得，区域I圆心01和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心CT连线，则区

域I圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出，粒子射入区域H,仍

做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力

如上图，要使能射入区域III的粒子在区域II中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角最小，可知

在区域n中运动的圆弧所对的弦长最短，即此时最短弦长为区域n的磁场圆半径2R,根据几何知

识可得此时在区域II和区域I中运动的轨迹所对应的圆心角都为60°,粒子在两区域磁场中运动

周期分别为

72TTR2jim

TL寸百

2m2R4冗m

双一"Bq"

故可得该粒子在区域I和区域II中运动的总时间为

[=募71+募心

(3)如图，将速度vo分解为沿y轴正方向的速度vo及速度娟，因为E=Bvo可得Eq=Bqvo,故

可知沿y轴正方向的速度vo产生的洛伦兹力与电场力平衡，粒子同时受到另一方向的洛伦兹力

Bqv',故粒子沿y正方向做旋进运动，根据角度可知

V*=2vosin53°=1.6vo

故当娟方向为竖直向上时此时粒子速度最大，即最大速度为

Vm=VO+1.6VO=2.6vo

圆周运动半径R'=%=蜉=L6R

根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离为

L=R'+R，sin53°+2R+2R

解得

_172m%

乙=25Bq

2

答：(1)加速电场两板间的电压四包和区域I的半径竺

2qBq

Tim

(2)该粒子在区域I和区域II中运动的总时间一：

Bq

(3)粒子的速度大小2.6vo,所在的位置到y轴的距离二詈。

3.（2024•浙江）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面

如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域之外，存在磁感应强度大小为B、方向垂直

平面向外的匀强磁场。在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度

均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L,

0）,栅极板M中点S的坐标为（3L,0）。离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m、

电荷量为q,b离子的比荷为a离子的［倍，经电压U=kUo（其中。。=与系，k大小可调，a和

b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电

压UNM调控（UNM>0）,a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和。忽

略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。

_L

工L-——»卜2»卜-----L——J

.QATTSJx

离子遐无口P........-577»

N........+°UNM

（l）若U=Uo,求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置xo（用L表示）；

（2）调节U和UNM,并保持使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求；

①U的调节范围（用Uo表示）；

②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；

（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。

【解答】解：（1）a离子经电压为U的电场加速，由动能定理=

2

a离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB=m%

a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置为xo=2R；

解得x。.坪

由于u=u°=需

联立解得xo=L；

（2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置处，只能经过电压为U的电场加速再经过第

一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则LWx,oW2L

qB2L2qB2L2

由（1）得--------<U<---------

8m2m

即UoWUW4Uo；

②b离子先经电压为U的电场加速后再在xOy平面第一次偏转打在x轴上位置坐标&空皮

1%

、一qb1q

由于—二一•一，Uo〈UW4Uo；

mjj4m

解得2LWxbW4L

57

则b离子能从栅极板（坐标范围二£<x<-L）任意位置经电压为UMN的电场减速射入虚线下

22

2549

方磁场，此时五g<U<—[/0

b离子先经电压为U的电场加速后再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后，再经电压为UNM=，U

Q1

的电场减速，由动能定理得=2m（r，）2

洛伦兹力提供向心力佻81/=rnb^Q-

K

得Axb=2R'

当U=1|Uo时，b离子从栅极左端经虚线下方磁场偏转打在P,此时离栅极板左端的距离/&'=

当[/=*九时，b离子从栅极左端经虚线下方磁场偏转打在P,此时离栅极板右端的距离4久J=

则b离子落在P下表面区域长度=Axb'+L—Axb"=^L

（3）要求a离子落在喷镀板中点Q,由（1）得久J=萼=|乙

9

-

4

D2r2

由于为=翳

联立解得u=嚼;

则b离子从X,b=3L处经过栅极板，要使b离子打在P板下方中央处，设UNM=k'U

1

根据动能定理（1-k'~）Uqb=2nl（i/'）2

2

洛伦兹力提供向心力加8〃"=mb^Q-

K

,r

Axb—2R〃=打

联立解得k

川〃_339_27_27qB2L2_27qB2L2

则"NM—[U—4X[%—元/一正X---128M。

1

当减速n次Uqb-nUNMqb=2mbv，b

m

rt/b

联立解得瑞=孚-誓MM

一Bq

当减速n次恰好打在P板下方中央处，2ni>2L

2rn=5L

日2

即9L丁一8(n个-l)丁m、尔0

解得：27叱5B2qL2

128nm32(n-l)m

即nV予，n取整数，故可得n=l,2,3,故可得:

历=铲或辿叱或如

128m256m128m

答：(1)a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置为L；

(2)①U的调节范围为UoWUW4Uo；

1

②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度为；-L

……9qB2L2血应或娑尤或呼

(3)U的大小为------；UNM=

32m128m256m128m

4.（2024•北京）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器的

放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，

间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。

稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度

大小分别为E和Bi；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子可视

为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可

与左端注入的氟原子碰撞并使其电离。每个氤离子的质量为M、电荷量为+e,初速度近似为零。

债离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。

已知电子的质量为m、电荷量为-e；对于氤离子，仅考虑电场的作用。

（1）求敬离子在放电室内运动的加速度大小a；

（2）求径向磁场的磁感应强度大小B2；

（3）设被电离的氤原子数和进入放电室的电子数之比为常数k,单位时间内阴极发射的电子总数

为n,求此霍尔推进器获得的推力大小Fo

【解答】解：（1）债离子在放电室时仅考虑电场的作用，其只受电场力作用，由牛顿第二定律得：

eE=Ma

解得：a=*

（2）在阳极附近电子在垂直于轴线的平面绕轴线做匀速圆周运动，在径向方向上电子受到的轴向

的匀强磁场Bi的洛伦兹力提供向心力，则有：

eBiv=m+

在沿轴线的方向上电子所受电场力与径向磁场的洛伦兹力平衡，则有：

eE=evB2

解得；B2=导

（3）已知单位时间内阴极发射的电子总数为n,被电离的次原子数和进入放电室的电子数之比为

常数k,设单位时间内进入放电室的电子数为ni,则未进入的电子数为n-ni,设单位时间内被

电离的债原子数为N,则有：

N

—=k

已知血离子从放电室右端喷出后与未进入放电室的电子刚好完全中和，则有:

N=n-ni

联立可得：”瑞

氤离子经电场加速过程，根据动能定理得:

1

eEd=2M说o

时间At内喷出的敷离子持续受到的作用力为F',以向右为正方向，由动量定理得

F',At=N,AfMvi

解得：F，=血*泮

由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小F=F'=叫2：泮

J.।/v

eE

答：⑴氤离子在放电室内运动的加速度大小a为万

.、、,Em

(2)径向磁场的磁感应强度大小B2为----；

eBrR

nk、2eEdM

(3)此霍尔推进器获得的推力大小F为—

1+k

5.（2024•镇海区模拟）如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S点的粒子源

可以沿纸面内与SO1（01为圆形磁场的圆心）的夹角为e（eW60°）的方向内均匀地发射速度为

vo=lOm/s＞电荷量均为q=-2.0义10一七、质量均为m=1.0义10-6kg的粒子，粒子射入半径为R

=0.1m的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N=2.0X1（）5个粒子，圆形区域磁场方

向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控制系

统是由竖直宽度为L、且L在0WLW2R范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L的中

点与01始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平向右、

场强E=0.625N/C,边界由x轴、曲线OA和直线GF（方程为：y=-x+0.4（m））构成，匀强磁

场方向垂直纸面向里、磁感应强度B=0.25T,磁场的边界由x轴、直线GF、y轴构成，已知所

有经过聚焦系统的粒子均可以从F点沿垂直x轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。加速系

统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P点，上下两板间电势差U=-10kv,

不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求：

（1）圆形磁场的磁感应强度Bo；

（2）当L=R时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数No；

（3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动所

受的阻力f与其速度v关系为f=kv（k=0.2N-s-m-1）,求粒子在样品中可达的深度d；

2

【解答】解：⑴由洛伦兹力提供向心力得=

K

解得Bo=O.5T

(2)临界1：粒子恰好从控制系统上边界进入，粒子在S点入射速度与SO1的夹角为包

R

sin91=春=2

解得。1=30°

R

临界2：粒子恰好从控制系统下边界进入，粒子在s点入射速度与soi的夹角为e2s讥。2=%=

解得02=30°

能进入控制系统的粒子数M=黑N=105个

(3)对粒子在加速系统运用动能定理：Uq=^mv2

解得v=2000m/s

对粒子进入样品得过程运用动量定理-2kvAt=0-mv

d=EvJt=竿=10-2m

(4)设粒子从曲线OA的(x,y)点进入电场，则粒子从直线GF的(0.4-y,y)点射出电场,

11

有Eq(0.4—y—%)=27n说—々mu衣

mv?

=回归5

得10y2-y-x=0

6.（2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿-y方向的匀强电场，其场强大小为Ei,曲线

左侧有一粒子源AB,B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为vo、质量为m、电

荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点

进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。

（1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）；

（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场Bi（未画出），磁场方向垂直纸面向外。

自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁

场，求磁场的最小面积；

（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁

场边界与y轴平行，宽度均为d,长度足够长。匀强磁场殳=篝，方向垂直纸面向里，匀强电

2

场为=瀛，方向沿X轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场Ei偏转后，恰好与

y轴负方向成9=45°从。点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴

平行）。

【解答】解：（1）对从P（x,y）点射入电场的粒子，在电场中做类平抛运动，则有：

x=vot

qEi

a=

m

联立解得边界方程为：丫=勒・一

2771VQ

（2）设粒子从。点射入磁场时，速度v与x轴正方向的夹角为0,则有:

vo=vcosp

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有

mv

qvB=m—,解得:

根据几何关系可得,粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为：d=2rcos0

解得：d=鬻

C[D

可见d为定值，即所有粒子从y轴上的同一点射出磁场。

可得沿+x方向入射的粒子的运动轨迹离y轴最远，只要此方向入射的粒子在第四象限运动时未

离开磁场，其它粒子均可满足要求。

此方向入射的粒子的运动半径为：门=嘿

磁场的最小面积为；Smin=dn=2粤

q2BZ

⑶自A端射入的粒子恰好与y轴负方向成0=45°从O点射入,易知入射速度大小等于avo,

已知匀强磁场殳=篝，根据r=器，可得在第一列磁场中的运动半径为Rl=/d,粒子轨迹如

下图所示，粒子逆时针偏转45°角沿+x方向进入第一列电场，做匀加速直线运动直到进入第二

列磁场，从此处开始计数，令n=l（即第二列磁场被计数为n=l）。

国.

v

八.

B2

y

经电场n次加速后粒子速度大小为Vn,由动能定理得:

nqE2d=（V2vo）2,已知：E2=/号

角军得：Vn=

则在第n列磁场（实际是第n+1歹D中的运动半径为Rn=……①

假设粒子在第n列磁场区域拐弯时轨迹恰好与边界相切，根据图中的几何关系可得:

Rn-Rnsincxn-d....（2）

粒子在第n次被加速过程沿+y方向的分速度不变，可得:

Vn-isinY=Vnsinan

'n+3

代入得:-^-vosmy=v0sinan

l?i+4,

可得：siny=市si*

在第n-1列磁场中圆周运动过程，由几何关系得:

Rn-isiny-Rn-isinan-1—d

'n+3,

又有：Rn-1=—d

联立整理可得：Vn+4sinan—Vn+3sinan-1=V2

因粒子沿+x方向进入和射出第一列电场，故sinai=O。可得:

._1_V2

n=2时,sina2=第=疾

n=3时,sina3=

n=3时，sina4=

（n-l解

归纳可得：sinan=

n+4,③

联立①②③式得:^+F]=I

"n+4八

整理得:--n=0

解得：n=二誉（另一解为负值，舍去），因l<n<2,故n取2,对应实际的第3个磁场。

即该粒子将在第3个磁场区域拐弯。

答：（1）匀强电场边界OP段的边界方程为y=#"•久2；

2mv0

2777.2y2

（2）磁场的最小面积为2c2%

q2B2

（3）该粒子将在第3个磁场区域拐弯。

7.（2024•越秀区校级模拟）如图甲所示，两间距为d的水平放置的平行金属板M、N,M板某处C

放有粒子源，C的正上方的N板D处开有一个可穿过粒子的小孔.间距L=2d的平行金属导轨

P、Q与金属板M、N相连，导轨上存在一垂直纸面向里、